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  • 体积公式
    千次阅读
    2021-05-24 02:55:11

    长方体的体积=长×宽×高。设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则它的体积:V=abh=Sh;因为长方体也属于棱柱的一种,所以棱柱的体积计算公式它也同样适用,即V=Sh。

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    长方体的组成

    1、长方体的面:围成封闭几何体的平面多边形称为多面体的面。长方体有6个面。其中每个面都是长方形(有可能有2个相对的面是正方形),有3对相对的面。相对的面形状相同、面积相等。

    2、长方体的棱:多面体上两个面的公共边称为多面体的棱。长方体有12条棱,其中有3组相对的棱,每组相对的4条棱互相平行、长度相等(有可能有8条棱长度相等)

    3、长方体的顶点:长方体有8个顶点,相交于一个顶点的三条棱分别叫作长方体的长、宽、高。一般情况下,把底面中较长的一条棱叫作长,较短的一条棱叫作宽,垂直于底面的棱叫作高。

    长方体特征:

    (1) 长方体有6个面。每组相对的面完全相同。

    (2) 长方体有12条棱,相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组,每一组有4条棱。

    (3) 长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长,宽,高。

    (4) 长方体相邻的两条棱互相垂直。

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    不同图形体积计算公式:

    长方体体积=长×宽×高;

    正方体体积=棱长×棱长×棱长;

    圆柱体积=圆周率×(底半径×底半径)×高;

    角锥体积=底面积×高/3;

    球体体积=4/3(圆周率×半径的三次方);

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  • 四面体体积公式

    千次阅读 2020-12-31 00:42:11
    摘要:本文将推导出一些四面体的体积公式,这些体积公式会涉及到棱长、线线角、线面角、二面角、表面三角形面积等相关元素。四面体是由不在同一平面的四点所连接成的四个三角形包围起来的立体图形,因此,有时候我们...

    摘要:本文将推导出一些四面体的体积公式,这些体积公式会涉及到棱长、线线角、线面角、二面角、表面三角形面积等相关元素。

    四面体是由不在同一平面的四点所连接成的四个三角形包围起来的立体图形,因此,有时候我们也称为三棱锥,而棱锥的体积等于与其等底同高的棱柱的体积的三分之一,而棱柱的体积等于底面积乘以高,因此四面体的体积就等于底面积乘以高的三分之一,这便是求解四面体体积的基本公式。

    我们做一下简要的说明,体积与面积一样既是数学上的概念,也是物理上的概念,大致意思就是物体所占空间的多少,而空间这个概念是三维的,因此只有具备三维的几何体(或物体)才具有体积,也就是说一个点(0维),一条直线(1维),一个平面图形(二维)都没有体积。我们把边长为1的正方体的体积规定为1个单位体积,并以此来度量其余几何体的体积,于是很自然的,一般的正方体体积就是边长的三次方,长方体的体积就是长乘以宽乘以高,棱柱就是底面积乘以高。

    接下来,我们将从基本公式出发,推导出一些实用的体积公式。

    如上图所示的四面体O-ABC,由O点出发的线线角、线面角、二面角的记法保持不变,请参看《四面体空间角公式》,下文中关于这些角的公式都来自此文。

    我们作OO'

    面ABC与O',即O'是O在面ABC上的垂直投影,作

    于D,连接OD,或者是做

    于D,连接O'D,两种做法都可以,因为这就是三垂线定理,也是我们作二面角的平面角的基本作法,于是

    就是二面角O-AB-C的平面角。

    我们记三角形OAB的面积为

    ,三角形OBC的面积为

    ,三角形OAC的面积为

    ,三角形ABC的面积为

    ,OA的长为a,OB的长为b,OC的长为c,AB的长记为c',BC的长记为a',CA的长记为b',四面体体积记为V。

    由基本公式,四面体O-ABC的体积为:

    而在直角

    中,

    而在

    中,OD是其AB边上的高,于是

    于是

    我们记此公式为四面体体积公式二。简单描述一下这个公式就是:四面体的体积等于其上两个面的面积与其所成二面角正弦值的乘积除以这两个面共棱的长度的三分之二。

    此公式二可以看成是三角形面积公式二的推广。

    于是我们把这个公式中的两个面换成顶点O处的三个面,用我们前面约定的符号,则有:

    于是有:

    这可以看成是三角形正弦定理的一种推广。

    由于

    于是

    而由四面体空间角的导出公式

    所以

    ,其中

    我们记为四面体体积公式三。

    由于k是连接三种空间角的媒介,因此k拥有这三种角之间组合的多种变化,因而公式三具有十分灵活的应用,甚至可以用体积来求解这些角度。

    对于k,我们还有一种行列式的表达方式:

    读者可以自行利用三阶行列式展开进行验证,这里就不做演示了。

    于是公式三可以用行列式来表达:

    由于公式三中的三个角度的余弦值完全可以由对应三角形的余弦定理得到,因此,我们可以消去角度,得到一个完全由六条棱长表达的体积公式,其中的运算比较复杂,读者做好准备。

    分别在

    中利用余弦定理,可得:

    代入到行列式的公式里,可得:

    我们记此公式为四面体体积公式四。可以看成是秦九韶公式在四面体中的推广(顺便提一下,秦九韶公式也可以写成行列式形式,这个日后会说明。),我们将上面的三阶行列式展开可得:

    其中:

    我们再来看一下四面体体积的解析公式。

    前文说了,不共面的四点决定一个四面体,当然这四个点也不能有重合的情况,我们设这四个点为

    ,于是根据空间三个向量的混合积的几何意义,可得:

    显然这也是三角形解析公式的推广,仅仅只是增加了一个维度。

    在《三角形的面积公式八叙》中,我们得出了由三条直线所在的方程直接求解这三条直线的三个交点所组成的三角形面积公式,同样,我们也可以在立体几何中得到直接推广的四面体体积公式。

    我们设空间中的四个平面方程为:

    ,它们两两相交,有六条交线,三三相交于一个公共点,简单来说就是,四面体四个面所在的平面方程,那么这个四面体的体积为:

    由于我们设定了四个平面是四面体的四个面,因此分母的每一项都不会为0。

    有时候,我们会需要求解一些特定的四面体体积,我们在此给出。

    正四面体的体积公式:

    所谓正四面体,即四面体的四个面都是正三角形,六条棱长都相等,设为a,则其体积为:

    ,只需将

    代入到公式三中即可。

    正三棱锥的体积公式:

    所谓正三棱锥,即底面是正三角形,高所在的顶点的底面投影正好是底面的中心,用本文中的符号表达就是

    ,同样代入到公式三中,可得其体积为:

    顶角相等底面是斜面的三棱锥:

    与正三棱锥不同地方在于

    ,其体积为:

    三个顶角之和等于

    的三棱锥:

    ,此时,由三角形内角的余弦等式:

    ,代入公式三中,则有:

    总结:四面体是三角形在空间中的推广,因此其体积的求法与三角形的面积有着一定的类似关系,这种关系在解析几何中表达得最为直观,这也是为什么现代几何学对平面几何和立体几何(统称为欧几里得几何,或简称欧氏几何,学术一点的说法叫做二维和三维的线性空间)的理论描述使用解析几何方法的原因。四面体的元素数量比起三角形来几乎是翻倍的,也就导致了其体积公式表达的复杂性,本文通过几个公式的推导想要说明的是,复杂的几何体都是可以分解为简单的几何体来演算的,最根本的还是要回归到三角形中去,这叫做降维,这也是我们在教材中只学习其基本体积公式的原因。

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  • 漫谈超球体的体积公式

    千次阅读 2020-11-24 04:15:12
    现实生活中,我们只要掌握圆的周长和面积公式,了解球的表面积和体积公式就够用了,没有什么可以深究的。本篇将带你走进高维度球的表面积和体积公式以下都假设球的半径为r,表面积为S,体积为V。球心为坐标原点O,...

    现实生活中,我们只要掌握圆的周长和面积公式,了解球的表面积和体积公式就够用了,没有什么可以深究的。本篇将带你走进高维度球的表面积和体积公式

    以下都假设球的半径为r,表面积为S,体积为V。球心为坐标原点O,具有n个维度的点X坐标为

    equation?tex=%28x_1%2C+x_2%2C+%5Ccdots%2C+x_n%29 ,球内任意一点X,都满足距离条件

    equation?tex=distance%28O%2C+X%29+%5Cle+r

    对于向量空间,距离测度分多种:

    1范式 曼哈顿距离(Manhattan distance)

    equation?tex=%5Csum+_%7Bi+%3D+1%7D+%5En+%7Cx_i+-+y_i%7C

    2范式 欧几里德距离(Euclidean distance)

    equation?tex=%5Csqrt%7B%5Csum+_%7Bi+%3D+1%7D+%5En+%28x_i+-+y_i%29%5E2%7D

    n范式

    equation?tex=%5Cbig%28%5Csum+_%7Bi+%3D+1%7D+%5En+%7C+x_i+-+y_i%7C%5Ep+%5Cbig%29%5E%7B%5Cfrac+1+p%7D

    equation?tex=%5Cinfty 范式 切比雪夫距离( Chebyshev distance) 

    equation?tex=%5Cmax+_%7Bi+%3D+1%7D+%5En+%7Cx_i+-+y_i%7C

    超立方体

    无穷大范式最简单,我们先作讨论。所有维度上的坐标的绝对值不超过r,这样的形状是一个边长为2r的超立方体。超(hyper,不是super)是一个泛化的概念,用以延伸到所有的维度上。

    超立方体的各个轴都是正交的,所以体积

    equation?tex=%5Cint+_%5COmega+dV 上的积分等于在各个轴上的长度的乘积,即

    equation?tex=%282r%29%5En

    equation?tex=V_n+%3D+%5Cint+_%7B-r%7D+%5E%7Br%7D+%5Ccdots+%5Cint+_%7B-r%7D+%5E%7Br%7D+%5Cint+_%7B-r%7D+%5E%7Br%7D+dx_1+dx_2+%5Ccdots+dx_n+%3D+%5Cbig+%28+%5Cint+_%7B-r%7D+%5Er+dx+%5Cbig%29%5En+%3D+%282r%29%5En

    每个轴都有左右两个超平面限定,于是n维体有2n个面。在向高维扩展时,n维球的“体”就会沦落为n+1维球的“面”。我们有

    equation?tex=S_n+%3D+2n+%5C%2C+V_%7Bn+-1%7D ,然后连同上面的式子,我们得到

    equation?tex=S_n+%3D+2n+%282r%29%5E%7Bn+-++1%7D 。可以对着正方形和正方体检查一下,是符合的。对于一维情况,“体”就是线长

    equation?tex=V_1+%3D+2r 无疑。但是根据公式,“面”

    equation?tex=S_1+%3D+2 ,与半径无关,没有量纲。有点奇怪,相当于零维空间点的左右两个面?

    超锥体

    在曼哈顿距离下,

    equation?tex=%5Csum+_%7Bi+%3D+1%7D+%5En+%7Cx_i%7C+%5Cle+r 构成什么形状呢?可以从低维度入手。一维情况下是一条直线,二维情况下是一个围住

    equation?tex=%28%5Cpm+r%2C+0%29%2C+%280%2C+%5Cpm+r%29 的正四边形,或者倾斜的正方体。三维情况下是正八面体,与各轴的交点是

    equation?tex=%28%5Cpm+r%2C+0%2C+0%29%2C+%280%2C+%5Cpm+r%2C++0%29%2C+%280%2C+0+%5Cpm+r%29 。同理,n维情况下的交点是

    equation?tex=%28%5Cpm+r%2C+0%2C+%5Ccdots%2C+0%29%2C+%280%2C+%5Cpm+r%2C+%5Ccdots%2C+0%29%2C+%5Ccdots%2C+%280%2C+0%2C+%5Ccdots+%5Cpm+r%29构成超多面体,每个轴上有左右两个交点,每个轴上选一个交点,张成一个超平面。仅考虑正半轴,则形状分别是三角形,三角锥,四角锥,……超角锥。超角锥的体积公式是

    equation?tex=%5Cfrac+1+n+x_1+x_2+%5Ccdots+x_n

    equation?tex=2%5En 个超角锥,每个超角锥的体积为

    equation?tex=%5Cfrac+1+n+%7Br%5En%7D ,于是体积公式就是

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D+%5Cfrac+%7B2%5En%7D+n+r%5En+

    超球体

    最后,我们来看一下常用的欧几里德距离——平方和后再开方。

    先回忆一下公式:

    圆的周长、面积公式

    equation?tex=S_2+%3D+2+%5Cpi+r%2C+V_2+%3D+%5Cpi+r%5E2

    球的表面积、体积公式

    equation?tex=S_3+%3D+4+%5Cpi+r%5E2%2C+V_3+%3D+%5Cfrac+4+3+%5Cpi+r%5E3

    根据上面的结论,一维球的“体”是二维球的“面”,对于一维球而言,其体积就是直线长度(类比二维球,即圆的周长),

    equation?tex=V_1+%3D+2r

    关于圆的公式都涉及到

    equation?tex=%5Cpi ,结合上面超体的结论,再从量纲上分析,我们可以先大胆地推测

    equation?tex=S_n+%3D+C+%5Cpi+r%5E%7Bn+-+1%7D%2C%5C%2C+V_n+%3D+K+%5Cpi+r%5En ,其中 C, K为待求的常数。

    我们可以选取笛卡尔坐标系或极坐标系,笛卡尔坐标系下的式子比较繁琐。

    equation?tex=V%28r%29+%3D+%5Cint+_%7B-r%7D+%5E%7Br%7D+%5Cint+_%7B-%5Csqrt%7Br%5E2+-+x_1%5E2%7D%7D+%5E%7B%5Csqrt%7Br%5E2+-+x_1%5E2%7D%7D+%5Ccdots+%5Cint+_%7B-%5Csqrt%7Br%5E2+-+x_1%5E2+-+%5Ccdots+-+x_%7Bn+-+1%7D%5E2%7D%7D+%5E%7B%5Csqrt%7Br%5E2+-+x_1%5E2+-+%5Ccdots+-+x_%7Bn+-+1%7D%5E2%7D%7D+dx_n+%5Ccdots+dx_2+dx_1

    转化成极坐标系,就是

    equation?tex=V%28r%29+%3D+%5Cint+_%7B0%7D+%5E%7Br%7D+%5Cint+_%7B0%7D+%5E%7B2%5Cpi%7D+%5Cint+_%7B-%5Cpi%2F2%7D+%5E%7B%5Cpi%2F2%7D%5Ccdots+%5Cint+_%7B-%5Cpi%2F2%7D+%5E%7B%5Cpi%2F2%7D+%5Cint+_%7B-%5Cpi%2F2%7D+%5E%7B%5Cpi%2F2%7D+r%5E%7Bn+-+1%7D+%5Csin%5E%7Bn+-+2%7D+%5Ctheta_1+%5Ccdots+%5Csin+%5Ctheta_1+d%5Ctheta_1+%5Ccdots+d%5Ctheta_%7Bn-2%7D++d%5Ctheta_%7Bn-1%7D+d%5Crho

    从一个空间映射到另一个空间,或者从一个坐标系变换到另一个坐标系,需要乘以雅可比矩阵( Jacobi matrix )。

    球是中心对称的,由n维球

    equation?tex=x_1%5E2+%2B+x_2%5E2+%2B+%5Ccdots+%2B+x_n%5E2+%5Cle+r%5E2 移项得

    equation?tex=x_1%5E2+%2B+x_2%5E2+%2B+%5Ccdots+%2B+x_%7Bn+-+1%7D%5E2+%5Cle+r%5E2+-+x_n%5E2 ,如果固定

    equation?tex=x_n (切片操作),就得到n-1维半径为

    equation?tex=%5Csqrt+%7B+r%5E2+-+x_n%5E2%7D的球,我们根据这个思想n维球的任意切片都是n-1维球,在

    equation?tex=X_n 轴上平行切片,体积累加起来。对于3维球,每个切片薄得可以看成一个个半径为

    equation?tex=%5Csqrt+%7B+r%5E2+-+x_3%5E2%7D 圆柱体,

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D+%5Csum+_%7Bx_n+%3D+-r%7D+%5E%7B%2Br%7D+V_%7Bn+-+1%7D%28%5Csqrt+%7B+r%5E2+-+x_n%5E2%7D%29+%5CDelta+x_n ,换成积分得到体积递推公式:

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D+%5Cint+_%7B-r%7D+%5E%7Br%7D+V_%7Bn+-+1%7D%28%5Csqrt+%7B+r%5E2+-+x%5E2%7D%29+%5Cmathrm%7Bd%7D+x

    equation?tex=V_n%28r%29+%5Cpropto+r%5En 这个结论可以通过数学归纳法来证明。

    equation?tex=V_%7Bn%7D%28r%29++%3D+V_%7Bn+-+1%7D%28r%29+%5Cint+_%7B-r%7D+%5E%7Br%7D+%5Cbig%28%5Csqrt+%7B+1+-+%28%5Cfrac+x++r%29%5E2%7D+%5Cbig%29%5E%7Bn+-1%7D+%5Cmathrm%7Bd%7D+x

    基于被积函数是偶函数,缩小积分范围为

    equation?tex=V_%7Bn%7D%28r%29++%3D+2+V_%7Bn+-+1%7D%28r%29+%5Cint+_%7B0%7D+%5E%7Br%7D+%5Cbig%28%5Csqrt+%7B+1+-+%28%5Cfrac+x++r%29%5E2%7D+%5Cbig%29%5E%7Bn+-1%7D+%5Cmathrm%7Bd%7D+x

    然后令

    equation?tex=u+%3D+%28%5Cfrac+x++r%29%5E2 ,则

    equation?tex=x+%3D+r%5Csqrt+u%2C%5C%2C+dx+%3D+r+%5Cfrac+%7Bdu%7D+%7B2%5Csqrt%7Bu%7D%7D ,换元得

    equation?tex=V_%7Bn%7D%28r%29++%3D+2V_%7Bn+-+1%7D%28r%29+%5Cint+_%7B0%7D+%5E%7B1%7D+%281+-u%29+%5E%7B%5Cfrac+%7Bn+-1%7D+2%7D+r+%5Cfrac+%7Bdu%7D+%7B2%5Csqrt%7Bu%7D%7D

    整理一下

    equation?tex=V_%7Bn%7D%28r%29++%3D+V_%7Bn+-+1%7D%28r%29+%5Ccdot+r+%5Cint+_%7B0%7D+%5E%7B1%7D+%281+-u%29+%5E%7B%5Cfrac+%7Bn+-1%7D+2%7D+u%5E%7B-%5Cfrac+1+2%7Ddu+

    积分是Beta函数形式,Beta函数的定义为

    equation?tex=B%28p+%2B+1%2C+q+%2B+1%29+%3D+%5Cfrac+%7Bp%21+%5C%2C+q%21%7D+%7B%28p+%2B+q+%2B+1%29%21%7D+%3D+%5Cint+_0+%5E1+x%5Ep+%281+-+x%29%5Eq+dx

    于是,

    equation?tex=V_%7Bn%7D%28r%29++%3D+V_%7Bn+-+1%7D%28r%29+%5Ccdot+r+%5Ccdot+B%28%5Cfrac+%7Bn+%2B+1%7D+2%2C+%5Cfrac+1+2%29

    Beta函数与Gamma函数存在关系

    equation?tex=B%28m%2C+n%29+%3D+%5Cfrac+%7B%5CGamma%28m%29+%5CGamma%28n%29%7D+%7B%5CGamma%28m+%2Bn%29%7D

    equation?tex=B%28%5Cfrac+%7Bn+%2B+1%7D+2%2C+%5Cfrac+1+2%29+%3D+%5Cfrac+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+%7Bn+%2B+1%7D+2%29+%5CGamma%28%5Cfrac+1+2%29%7D+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+n+2+%2B+1%29%7D

    Gamma函数的定义

    equation?tex=%5CGamma%28x%29+%3D+%5Cint+_0+%5E%5Cinfty+e%5E%7B-t%7Dt%5E%7Bx+-+1%7Ddt ,性质

    equation?tex=%5CGamma%28x+%2B+1%29+%3D+x+%5CGamma%28x%29

    equation?tex=%5CGamma%28%5Cfrac+1+2%29+%3D+%5Cint+_0+%5E%5Cinfty+e%5E%7B-t%7Dt%5E%7B-%5Cfrac+1+2%7Ddt+%5C%2C%5C+%5Cunderrightarrow%7Bt+%3D+x%5E2%7D+%5Cint+_0+%5E%5Cinfty+2e%5E%7B-x%5E2%7Ddx

    到这里就是常见的一类积分了,同济大学高等数学教材有讲过高斯分布。平方后转换成平面直角坐标系二重积分,然后转换成极坐标系求解,用这样巧妙的方法得到

    equation?tex=%5Cint+_0+%5E%5Cinfty+e%5E%7B-x%5E2%7Ddx+%3D+%5Cfrac+%7B%5Csqrt+%5Cpi%7D+2

    带入常数

    equation?tex=%5CGamma%28%5Cfrac+1+2%29+%3D+%5Csqrt+%5Cpi

    equation?tex=V_%7Bn%7D%28r%29++%3D+V_%7Bn+-+1%7D%28r%29+%5Ccdot+%5Csqrt+%5Cpi+r+%5Cfrac+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+%7Bn+%2B+1%7D+2%29%7D+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+%7Bn+%2B+2%7D+2%29%7D

    通过一系列的迭代,Gamma函数分子分母相消,

    equation?tex=V_%7Bn%7D%28r%29++%3D+V_%7B1%7D%28r%29++%28%5Csqrt+%5Cpi+r%29%5E%7Bn+-+1%7D+%5Cfrac+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+3+2%29%7D+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+%7Bn+%2B+2%7D+2%29%7D

    带入

    equation?tex=V_1%28r%29+%3D+2r

    equation?tex=%5CGamma%28%5Cfrac+3+2%29+%3D+%28%5Cfrac+3+2+-+1%29+%5CGamma%28%5Cfrac+1+2%29+%3D+%5Cfrac+%7B%5Csqrt+%5Cpi%7D+2

    equation?tex=V_%7Bn%7D%28r%29++%3D+2r++%28%5Csqrt+%5Cpi+r%29%5E%7Bn+-+1%7D+%5Cfrac+%7B%5Cfrac+1+2+%5Csqrt+%5Cpi%7D+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+%7Bn+%2B+2%7D+2%29%7D+%3D+%5Cfrac+%7B%28%5Csqrt+%5Cpi+r%29%5En%7D+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+n+2+%2B+1%29%7D

    很显然有

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D+V_n%281%29+%5Ccdot+r%5En+

    三角函数积分

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D+%5Cint+_%7B-r%7D+%5E%7Br%7D+V_%7Bn+-+1%7D%28%5Csqrt+%7B+r%5E2+-+x%5E2%7D%29+%5Cmathrm%7Bd%7D+x+%3D+%5Cint+_%7B-r%7D+%5E%7Br%7D+V_%7Bn+-+1%7D%281%29+%5Ccdot+%28%5Csqrt+%7B+r%5E2+-+x%5E2%7D%29%5E%7Bn+-+1%7D+%5Cmathrm%7Bd%7D+x

    由于

    equation?tex=V_%7Bn+-+1%7D%281%29 是相对x而言是常量,可以移到积分式子外面去。加上被积的函数是偶函数,我们有

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D+2V_%7Bn+-+1%7D%281%29+%5Cint+_%7B0%7D+%5E%7Br%7D++%28%5Csqrt+%7B+r%5E2+-+x%5E2%7D%29%5E%7Bn+-+1%7D+%5Cmathrm%7Bd%7D+x

    换元,设

    equation?tex=x+%3D+r+%5Csin+%5Ctheta ,则

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D++2V_%7Bn+-+1%7D%281%29+%5Ccdot+r%5En+%5Cint+_%7B0%7D+%5E%7B%5Cpi+%2F+2%7D++%5Ccos%5E%7Bn%7D%5Ctheta+%5Cmathrm%7Bd%7D+%5Ctheta

    你也可以

    equation?tex=x+%3D+r+%5Ccos+%5Ctheta ,则

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D++2V_%7Bn+-+1%7D%281%29+%5Ccdot+r%5En+%5Cint+_%7B0%7D+%5E%7B%5Cpi+%2F+2%7D++%5Csin%5E%7Bn%7D%5Ctheta+%5Cmathrm%7Bd%7D+%5Ctheta

    好了,这一节的主角登场了。求积分

    equation?tex=%5Cint++%5Csin%5E%7Bn%7D%5Ctheta+d+%5Ctheta 或者

    equation?tex=%5Cint++%5Ccos%5E%7Bn%7D%5Ctheta+d+%5Ctheta

    n取1或2时容易求解,这引导着我们用分部积分法(integration by parts )

    equation?tex=%5Cint+udv+%3D+uv+-+%5Cint+vdu 达到降次的效果。

    equation?tex=I_n+%3D+%5Cint++%5Csin%5E%7Bn%7D%5Ctheta+d+%5Ctheta+%3D+-%5Cint++%5Csin%5E%7Bn+-+1%7D%5Ctheta+d+%5Ccos+%5Ctheta+%3D+-%5Csin%5E%7Bn+-+1%7D%5Ctheta+%5Ccos+%5Ctheta+%2B+%5Cint+%5Ccos+%5Ctheta+d%28%5Csin%5E%7Bn+-+1%7D%5Ctheta%29

    equation?tex=I_n+%3D++-%5Csin%5E%7Bn+-+1%7D%5Ctheta+%5Ccos+%5Ctheta+%2B+%28n+-+1%29+%5Cint+%5Csin%5E%7Bn+-+2%7D%5Ctheta+%5Ccos%5E2+%5Ctheta+d%5Ctheta

    带入

    equation?tex=%5Ccos%5E2+%5Ctheta+%3D+1+-+%5Csin%5E2+%5Ctheta ,然后化简

    equation?tex=I_n+%3D++-%5Csin%5E%7Bn+-+1%7D%5Ctheta+%5Ccos+%5Ctheta+%2B+%28n+-+1%29+%5Cint+%28%5Csin%5E%7Bn+-+2%7D%5Ctheta+-+%5Csin%5En+%5Ctheta%29+d%5Ctheta

    equation?tex=I_n+%3D++-%5Csin%5E%7Bn+-+1%7D%5Ctheta+%5Ccos+%5Ctheta+%2B+%28n+-+1%29+%28I_%7Bn+-+2%7D+-+I_n%29

    equation?tex=nI_n+%3D++-%5Csin%5E%7Bn+-+1%7D%5Ctheta+%5Ccos+%5Ctheta+%2B+%28n+-+1%29+I_%7Bn+-+2%7D

    得到递推公式

    equation?tex=I_n+%3D++-%5Cfrac+1+n+%5Csin%5E%7Bn+-+1%7D%5Ctheta+%5Ccos+%5Ctheta+%2B+%5Cfrac+%7Bn+-+1%7D+n+I_%7Bn+-+2%7D

    接着,限定下上限分别为0和

    equation?tex=%5Cpi+%2F+2 ,在边界,因为

    equation?tex=%5Csin+%5Ctheta

    equation?tex=%5Ccos+%5Ctheta 总有一个为0,导致第一项的结果总是为0,于是得到更简单的递推形式

    equation?tex=I_n+%3D++%5Cfrac+%7Bn+-+1%7D+n+I_%7Bn+-+2%7D ,然后分奇数、偶数迭代求解。

    如何体面

    球可以由半径逐渐递增的壳来填充,类似俄罗斯套娃。当填充的壳的厚度趋近于0时,我们就得到球的体积。由于球、球面的各向同性,球面上任何一个微元(facet)都可以近似看成平面,其体积为

    equation?tex=dS_n+%5Ccdot+dr,球面的体积为

    equation?tex=S_n%28r%29+%5Ccdot+dr,积分得

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D+%5Cint+_0+%5Er+S_n%28t%29+%5Cmathrm%7Bd%7Dt ,反之

    equation?tex=S_n%28r%29+%3D+%5Cfrac+%7BdV_n%7D+%7Bdr%7D 。对n维球的体积求导得n维球的表面积,这样也解释了对圆面积

    equation?tex=%5Cpi+r%5E2 求导得圆周长

    equation?tex=2+%5Cpi+r ,对球体积

    equation?tex=%5Cfrac+4+3+%5Cpi+r%5E3 求导得球表面积

    equation?tex=4+%5Cpi+r%5E2

    equation?tex=V_n%28r%29+%3D+%5Cfrac+%7B%5Cpi%5E%7B%5Cfrac+n+2%7D%7D+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+n+2+%2B+1%29%7D+r%5En

    equation?tex=S_n%28r%29+%3D+%5Cfrac+%7BdV%7D+%7Bdr%7D+%3D++%5Cfrac+%7B%5Cpi%5E%7B%5Cfrac+n+2%7D%7D+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+n+2+%2B+1%29%7D+n+%5Ccdot+r%5E%7Bn+-+1%7D+%3D+%5Cfrac+%7B%5Cpi%5E%7B%5Cfrac+n+2%7D%7D+%7B%5Cfrac+n+2+%5CGamma%28%5Cfrac+n+2%29%7D+n+%5Ccdot+r%5E%7Bn+-+1%7D+%3D++%5Cfrac+%7B2%5Cpi%5E%7B%5Cfrac+n+2%7D%7D+%7B%5CGamma%28%5Cfrac+n+2%29%7D+%5Ccdot+r%5E%7Bn+-+1%7D

    通过求导,我们很体面地从“体”计算出“面”。(no pun intended)

    其实,体积与面积之间还存在这样一个比例关系

    equation?tex=%5Cfrac+%7BV_n%28r%29%7D+%7BS_n%28r%29%7D+%3D+%5Cfrac+%7BC+%5C%2C+r%5En%7D+%7BCn+%5C%2C+r%5E%7Bn+-+1%7D%7D+%3D+%5Cfrac+r+n

    公式细究

    Γ函数有很多的性质,是符合整数点阶乘运算的最佳连续函数。

    equation?tex=n 为偶数时,令

    equation?tex=n+%3D+2m ,则

    equation?tex=V_%7B2m%7D%28r%29+%3D+%5Cfrac+%7B%5Cpi%5Em%7D+%7Bm%21%7D+r%5E%7B2m%7D

    equation?tex=n 为奇数时,令

    equation?tex=n+%3D+2m+%2B+1 ,则

    equation?tex=V_%7B2m%2B1%7D%28r%29+%3D+%5Cfrac%7B2+%282+%5Cpi%29%5Em%7D+%7B%282m%2B1%29%21%21%7D+r%5E%7B2m%2B1%7D

    equation?tex=r+%3D+1 时,

    equation?tex=V_%7B2m%7D+%3D+%5Cfrac+%7B%5Cpi%5Em%7D+%7Bm%21%7D ,这个系数很是熟悉, 根据 Taylor 级数展开式

    equation?tex=e%5Ex+%3D+%5Csum+_%7Bi+%3D+0%7D+%5En+%5Cfrac+1+%7Bi%21%7D+x%5Ei+%3D+1+%2B+x+%2B+%5Cfrac+1+%7B2%21%7D+x%5E2+%2B+%5Cfrac+1+%7B3%21%7D+x%5E3+%2B+%5Ccdots+%2B+%5Cfrac+1+%7Bn%21%7D+x%5En 凑一下,有

    equation?tex=V_0+%2B+V_2+%2B+%5Ccdots+%2B+V_%7B2m%7D+%3D+%5Csum+_%7Bi+%3D+0%7D+%5E%7Bm%7D+V_%7B2i%7D+%3D+e%5E%5Cpi。看!我们就这样构造到了一个神奇的数字

    equation?tex=e%5E%5Cpi 。半径取1的所有偶数维度球的体积之和为

    equation?tex=e%5E%5Cpi

    equation?tex=e%5E%5Cpi是个超越数(Transcendental Number)。

    有了公式之后,任意维度的体积

    equation?tex=V_1%28r%29+%3D+2r%2C%5C%2C+V_2%28r%29+%3D+%5Cpi+r%5E2

    equation?tex=V_3+%28r%29+%3D+%5Cfrac+4+3+%5Cpi+r%5E3%2C%5C%2C+V_4%28r%29+%3D+%5Cfrac+1+2+%5Cpi%5E2+r%5E4

    equation?tex=V_5%28r%29+%3D+%5Cfrac+8+%7B15%7D+%5Cpi%5E2+r%5E5%2C%5C%2C+V_6%28r%29+%3D+%5Cfrac+1+6+%5Cpi%5E3+r%5E6

    equation?tex=V_7%28r%29+%3D+%5Cfrac+%7B16%7D+%7B105%7D+%5Cpi%5E3+r%5E7%2C%5C%2C+V_8%28r%29+%3D+%5Cfrac+1+%7B24%7D+%5Cpi%5E4+r%5E8

    equation?tex=V_9%28r%29+%3D+%5Cfrac+%7B32%7D+%7B945%7D+%5Cpi%5E4+r%5E9%2C%5C%2C+V_%7B10%7D%28r%29+%3D+%5Cfrac+1+%7B120%7D+%5Cpi%5E5+r%5E%7B10%7D

    对于n维单位球,我们用matplotlib画一下体积V关于维度n的函数图。

    #!/usr/bin/env python3

    import matplotlib

    import numpy as np

    import scipy

    import matplotlib.pyplot as plt

    from scipy.special import gamma

    # For unit sphere of dimension n, the volume is

    # V_n = \frac {\pi^{\frac n 2}} {\Gamma(\frac n 2 + 1)}

    t0 = -5.0

    t1 = 20.0

    t = np.arange(t0, t1, 0.1)

    V = np.pi ** (t / 2.0) / gamma(t / 2.0 + 1.0)

    n = np.arange(t0, t1, 1.0)

    V_n = np.pi ** (n / 2.0) / gamma(n / 2.0 + 1.0)

    figure, ax = plt.subplots()

    ax.plot(t, V)

    ax.plot(n, V_n, color='green', marker='o', linestyle='')

    ax.set_xlabel('n (dimensionality)')

    ax.set_ylabel('C_n m^n')

    ax.set_title('volume of n dimensional unit sphere')

    ax.grid()

    figure.savefig("volume.png")

    plt.show()

    需要安装numpy, scipy, matplotlib这三个Python库,没安装的可以安装一下,以后科学计算和作图用得到的。控制台下输入命令 pip3 install numpy, scipy, matplotlib。代码运行无误后,得到图:

    上面顺带也画出了负维空间的情况。从正整数维度到分数维度,再到负数维度,一直扩充到了实数范围。从图中看到,对于单位球,五维空间的体积最大。五维空间是什么概念?不清楚。克里斯托弗·诺兰是一个商业和艺术结合最好的导演,他在电影《星际穿越》中向我们描述了一个五维空间的存在。

    固定半径r,我们可以看到,随着n的增长,分母以越来越大的正整数增加,分子以系数

    equation?tex=%5Csqrt+%5Cpi 稳定增长,不敌增长的最终结果是,体积趋近于0。分析是没错,但这是一个反直觉(counter-intuitive)的结论。下面的图可以帮忙纠正错觉。

    维度越高,越靠近坐标轴。很形象的一个比喻就是海胆,核越来越小,刺突越来越长,也越来越尖。想看动画效果?可以观察

    equation?tex=%7Cx%7C%5Ep+%2B++%7Cy%7C%5Ep+%3D+1%2C%5C%2C+p+%3E+0 在平面直角坐标新中,p从无穷大到0,图形的变化。顺便,维度灾难

    参考

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    棱台体积公式

    棱台体积公式:

    0f2277fda1d7e3b997e288508d012255.png

    公式说明:公式中Sd、Su为棱台上下底面积,h为棱台的高。

    棱台体积计算器:

    上底面积

    上底面积

    棱台的高

    保留小数

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    计 算

    重 置

    棱台体积

    棱台体积公式,什么是棱台,棱台体积怎么算,什么是正棱台,正棱台的性质,在线棱台体积计算器。

    什么是棱台:

    棱台:几何学中研究的一类多面体,指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后,截面与底面之间的几何形体。

    截面也称为棱台的上底面,原来棱锥的底面称为下底面。

    棱台体积怎么算:

    棱台的体积取决于两底面之间的距离(棱台的高),以及原来棱锥的体积。

    设h为棱台的高,Sd、Su为棱台的上下底面积,V为棱台的体积。

    0f2277fda1d7e3b997e288508d012255.png

    由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分(也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥)得到

    所以计算体积的时候,可以先算出原来棱锥的体积,再减去和它相似的小棱锥的体积。

    什么是正棱台:

    用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,介于底面和截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

    正棱台是一种特殊的棱台,是由正棱锥截得的棱台。正棱台的两底面是两个相似正多边形,侧面是全等的等腰梯形,中国古算书上把正四棱台称为方亭或方台。

    正棱台的性质:

    1、正棱台的侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等,它叫做正棱台的斜高;

    2、正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形;

    3、正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形。

    4、棱台各棱的反向延长线交于一点。

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空空如也

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