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  • 参数方程

    2020-01-17 10:47:19
    参数方程 公式角度 x=r(θ)cosθx=r(\theta)cos\thetax=r(θ)cosθ y=r(θ)sinθy=r(\theta)sin\thetay=r(θ)sinθ 形象化 由于很值得注意的是: r(θ)→r(θ+dθ)​r(\theta) \rightarrow r(\theta+d\theta)​r(θ)...

    参数方程

    公式角度

    x=r(θ)cosθx=r(\theta)cos\theta
    y=r(θ)sinθy=r(\theta)sin\theta
    x=r˙cosθrsinθx^{\prime}=\dot{r}cos\theta-rsin\theta
    y=r˙sinθ+rcosθy^{\prime}=\dot{r}sin\theta+rcos\theta
    (x)2+(y)2=[r(θ)]2+[r(θ)]2(x^{\prime})^2+(y^{\prime})^2=[r(\theta)]^2+[r^{\prime}(\theta)]^2

    形象化

    由于很值得注意的是:
    r(θ)r(θ+dθ)r(\theta) \rightarrow r(\theta+d\theta)​
    r(θ+dθ)r(θ)r(\theta+d\theta)-r(\theta)​
    =r(θ+dθ)r(θ)dθdθ=\frac{r(\theta+d\theta)-r(\theta)}{d\theta}d\theta​
    =r˙dθ=\dot{r}d\theta​
    r=(r˙dθ)2+(rsindθ)2\triangle r=\sqrt{{(\dot{r}d\theta)}^2+(rsind\theta)^2}
    我们注意dθ0,sindθ=dθd\theta\approx0,sind\theta=d\theta
    r=r˙2+r2dθ\triangle r=\sqrt{\dot{r}^2+r^2}d\theta

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  • 参数方程中参数的意义: 参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了,一般都是长度,角度等几何量,也有一些是不容易找到对应的几何量的。 参数方程定义: 一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的...

    目录

    参数方程中参数的意义:

    参数方程定义:

    什么是参数方程:

    参数方程与普通方程的公式:

    举例:

    参数方程:


    参数方程中参数的意义:

    参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了,一般都是长度,角度等几何量,也有一些是不容易找到对应的几何量的。

     

    参数方程定义:

    一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数{x=f(t),y=g(t)并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程则为这条曲线的参数方程,联系x,y的变数t叫做变参数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

     

    什么是参数方程:

    其实就是 :

    y=f(t);x=g(t);其中t是参数,分别能表示出x,y;你看看下面参数方程与一般函数的转化你就明白了;

     

    参数方程与普通方程的公式:

    参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式:

    1.cos²θ+sin²θ=1

    2.ρ=x²+y²

    3.ρcosθ=x

    4.ρsinθ=y

    举例:

    参数方程:

    一般的参数方程,主要使2式子进行乘除运算消掉  t。

    遇到三角三角函数一般使用公式带入,消掉。

    x=3-2t ① 
    y=-1-4t ② 

    解:
    ①×2-②得
    x-2y=2(3-2t)-(-1-4t)
    x-2y=7
    ∴2x-y = 7

     

    将x, y的中参数转化为同一的,之后进行替换,得出一般函数方程。

    例子:

    x=cosθ (θ为参数) ①
    y=cos2θ+1 ②
    由②得
    y=2cos²θ-1+1
    y=2cos²θ
    由①得
    cosθ=x
    ∴y=2x² -1

     

    例:

    又例圆,椭圆等:

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    1. 引例(如何描述动点的轨迹?)

     

    2. 参数方程的概念 (一元函数y=f(x),方程F(x,y)=0的图形通常为平面曲线)

     

    3. 竖直判断法判断图形是否为函数图形

     

    4. 曲线的参数方程

     

    5. 直角坐标方程化为参数方程

     

    6. 摆线

     

    7. 常见曲线的参数方程

     

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  • 文章目录平面的参数方程平面的向量式方程平面的行列式方程平面的三点式方程平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程讨论小结:平面方程的几种形式参考资料 平面是随处可见的空间形状 问题1:如何从几何上确定...

    1. 06向量及其坐标表示、向量的方向角与方向余弦、向量组共线与共面的条件、向量的加法与数乘运算、向量组的线性组合、二维向量的基向量分解、三维向量的基向量分解、用坐标做向量的数乘
    2. 07向量的点积、数量积、两向量垂直的条件、投影与投影向量、向量的正交分解、几个不等式、用坐标计算数量积
    3. 08向量的叉积、向量积、用坐标行列式计算向量积、二重外积
    4. 09向量的混合积、向量之间的位置关系、用坐标行列式计算混合积、三向量共面的条件
    5. 10空间直线方程、参数方程、向量式方程、点向式方程、两点式方程、一般方程、空间直线的一般方程化为点向式方程
    6. 11空间平面方程、参数方程、向量式方程、行列式方程、三点式方程、点法式方程、一般方程

    平面是随处可见的空间形状

    image-20201211155255454

    问题1:如何从几何上确定一个平面?

    image-20210529142843991

    • 不在一条直线上的三点确定一个平面 .
    • 过一定点且垂直于一定直线可以作一个平面.

    image-20210529142821100

    • 一条直线和直线外一点确定一个平面.
    • 两相交直线确定一个平面.
    • 两平行直线确定一个平面.

    问题2:如何从代数上描述一个平面 ?

    用代数方程式刻画平面上动点的轨迹,即建立平面的方程 .

    在直角坐标系下,建立动点坐标满足的方程式 .

    平面的参数方程

    不在一条直线上的三点确定一个平面

    要素:点 M0(x0,y0,z0),M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), 不共线的向量 a,b\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}已知要素

    任务:求平面π\pi 的方程即动点𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)的轨迹方程.

    依据: M0M\overrightarrow{M_{0} M}与不共线的向量 𝒂 , 𝒃 共面 .

    image-20210529143035494

    关系式:
    M0M=λa+μb \large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}}}
    a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right),\boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) 得到:
    π:{x=x0+λa1+μb1y=y0+λa2+μb2z=z0+λa3+μb3(1) \boldsymbol{\pi}:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+\lambda a_{1}+\mu b_{1} \\ y=y_{0}+\lambda a_{2}+\mu b_{2} \\ z=z_{0}+\lambda a_{3}+\mu b_{3}\end{array}\right.\tag1
    称为平面 π\pi 的参数方程 ..其中 λ,μ\lambda, \mu 为参数。

    • 平面上的点都满足方程 。
    • 满足方程的点都在平面上, 不在平面上的点不满足方程 .

    平面的向量式方程

    M0M=λa+μb\large{\color{red}{\overrightarrow{M_{0} M}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}}} ,由
    r=OM=(x,y,z)r0=OM0=(x0,y0,z0) r=\overrightarrow{O M}=(x,y,z)\\ r_0=\overrightarrow{O M_0}=(x_0,y_0,z_0)
    得到:π:r=r0+λa+μb\quad \pi: r=r_{0}+\lambda a+\mu b.

    称为平面的向量式方程.

    平面的行列式方程

    要素:点 M0(x0,y0,z0),M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), 不共线的向量 a,b\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}已知要素

    依据:三向量 M0M,a,b\overrightarrow{M_{0} M}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \quad 共面,则它们的混合积为 0 .

    平面 π\pi 的行列式方程为
    xx0yy0zz0a1a2a3b1b2b3=0 \left|\begin{array}{ccc} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|=0

    平面的三点式方程

    要素: 不在一条直线上的三点
    M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), M_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)

     依据:三向量 M1M,M1M2,M1M3 共面 .\text { 依据:三向量 } \overrightarrow{M_{1} M}, \overrightarrow{M_{1} M_{2}}, \overrightarrow{M_{1} M_{3}} \text { 共面 } .

    image-20201211160954444

     平面 π 的方程为 \text { 平面 } \pi \text { 的方程为 }

    xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z1x3x1y3y1z3z1=0 \begin{array}{l} \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0 \end{array}
    一称为平面 π\pi 的三点式方程

    平面的点法式方程

    过一定点且垂直于一定直线可以作一个平面.

    平行于定直线的非零向量是垂直于平面的,称为平面的法向量.

    要素:点 M0(x0,y0,z0),M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), 法向量 nn

    • 任何垂直于平面的非零向量 nn 都是平面的法向量.
    • nn平行的所有非零向量均可作为此平面的法向量.
    • 平面上的所有向量都与该平面的法向量垂直.

    image-20201211161225386

    要素:点 M0(x0,y0,z0),M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), 法向量 n=(A,B,C)\boldsymbol{n}=(A, B, C).

    M(x,y,z)M(x, y, z) 为平面上的动点, 则
    nM0M,       \boldsymbol{n} \perp \overrightarrow{M_{0} {M}} ,~~~~~~ 向量关系

     有 nM0M=0. 向量代数关系  \begin{array}{lll}\text { 有 } & \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{M}_{0} \boldsymbol{M}}=\mathbf{0} . & \text { 向量代数关系 }\end{array}

    平面 π\pi点法式方程 .. :
    π:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0 \pi: A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0

    平面的一般方程

    点法式 : π:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0\pi: A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 ,转化得到
    π:Ax+By+Cz+D=0 \pi: A x+B y+C z+D=0
    称为平面 π\pi 的一般方程,其中 n=(A,B,C)n=(A, B, C) 为平面的法向量

    【注】 平面方程是一个三元一次方程 .反之,一个三元一次方程在几何上表示一个平面 .

    平面的一般方程讨论

    π:Ax+By+Cz+D=0(A,B,C\pi: A x+B y+C z+D=0 \quad(A, B, C 不全为0 ))

    (1) 当 D=0D=0 时, 平面 π:Ax+By+Cz=0\pi: A x+B y+C z=0 过原点;

    (2) 当 A=0A=0 时, 平面 π:By+Cz+D=0\pi: B y+C z+D=0 平行于 xx 轴;

    B=0B=0 时, 平面 π:Ax+Cz+D=0\pi: A x+C z+D=0 平行于 yy

    C=0C=0 时, 平面 π:Ax+By+D=0\pi: A x+B y+D=0 平行于 zz

    (3) 当 A=0,D=0A=0, D=0 时, 平面 π:By+Cz=0\pi: B y+C z=0xx 轴;

    B=0,D=0B=0, D=0 时, 平面 π:Ax+Cz=0\pi: A x+C z=0yy 轴;

    C=0,D=0C=0, D=0 时, 平面 π:Ax+By=0\pi: A x+B y=0zz

    (4) 当 A=0,B=0A=0, B=0 时, 平面 π:Cz+D=0\pi: C z+D=0 平行于 xOyx O y

    B=0,C=0B=0, C=0 时, 平面 π:Ax+D=0\pi: A x+D=0 平行于 yOzy O z

    A=0,C=0A=0, C=0 时,平面 π:By+D=0\pi: B y+D=0 平行于 zOxz O x 面.

    1\Large\color{violet}{例1} 求过 M0(2,1,1)M_{0}(2,1,1) 且平行于 π1:x+2y3z+7=0\pi_{1}: x+2 y-3 z+7=0 的平面方程

    【解法一】 因所求平面 π\pi 与已知平面 π1\pi_{1} 平行, 则 π1\pi_{1}法向量
    n=(1,2,3) n=(1,2,-3)
    也是 π\pi 的法向量,则平面 π\pi点法式方程为
    1(x2)+2(y1)+(3)(z1)=0 1 \cdot(x-2)+2 \cdot(y-1)+(-3) \cdot(z-1)=0
    整理得平面 π\pi 的一般方程为
    x+2y3z1=0 x+2 y-3 z-1=0
    【解法二 】因所求平面 π\pi 与已知平面 π1\pi_{1} 平行, 设平面 π\pi 的一般方程为
    x+2y3z+D=0 x+2 y-3 z+D=0
    代入点 M0(2,1,1)M_{0}(2,1,1) 的坐标, 得 2+23+D=0,2+2-3+D=0, \quadD=1.D=-1 .

    于是平面 π\pi 的方程为
    x+2y3z1=0 x+2 y-3 z-1=0
    2\Large\color{violet}{例2} 已知一平面 π\pi 与三个坐标轴的交点分别为
    P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)(a,b,c0) P(a, 0,0), \quad Q(0, b, 0), \quad R(0,0, c) \quad(a, b, c \neq 0)
    求平面 π\pi 的方程 .

    【解法一】由平面的三点式方程知
    xay0z00ab0000a00c0=0 \left|\begin{array}{ccc} x-a & y-0 & z-0 \\ 0-a & b-0 & 0-0 \\ 0-a & 0-0 & c-0 \end{array}\right|=0
    整理得平面 π\pi 的一般方程为 bcx+acy+abzabc=0.\quad b c x+a c y+a b z-a b c=0 .

    进一步整理得 π:xa+yb+zc=1.\quad \pi: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 . \quad \longrightarrow 称为平面 π\pi\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{截距式方程}}}

    【解法二 】 设平面 π\pi 的一般方程为 π:Ax+By+Cz+D=0,\pi: A x+B y+C z+D=0,
    {Aa+D=0Bb+D=0Cc+D=0 \left\{\begin{array}{l} A a+D=0 \\ B b+D=0 \\ C c+D=0 \end{array}\right.
    解得 A=Da,B=Db,C=Dc.A=-\frac{D}{a}, B=-\frac{D}{b}, C=-\frac{D}{c} .A,B,CA, B, C 不全为 0,0,D0D \neq 0. 于是得
    π:xa+yb+zc=1 \quad \pi: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
    3\Large\color{violet}{例3} 已知空间四点 A(1,0,0),B(2,1,3),C(1,2,5),P(2,3,t)A(1,0,0), B(2,1,3), C(1,2,5), P(2,3, t)

    问:当 tt 为何值时, 这四点在一个平面上? 并求出该平面方程.

    【解 】A(1,0,0),B(2,1,3),C(1,2,5),P(2,3,t)A(1,0,0), B(2,1,3), C(1,2,5), P(2,3, t) 四点共面的充要条件是三向量 AP=(1,3,t),AB=(1,1,3),AC=(0,2,5)\overrightarrow{A P}=(1,3, t), \overrightarrow{A B}=(1,1,3), \overrightarrow{A C}=(0,2,5) 共面, \quad
    13t113025=2t16=0, 即 t=8 \left|\begin{array}{lll} 1 & 3 & t \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}\right|=2 t-16=0, \text { 即 } t=8
    所以, 当 t=8t=8 时, ABCPA 、 B 、 C 、 P 四点共面.

    该平面的三点式方程为
    x1y0z0211030112050=x1yz113025=0 \left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-0 & z-0 \\ 2-1 & 1-0 & 3-0 \\ 1-1 & 2-0 & 5-0 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y & z \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{array}\right|=0
    整理得平面的一般方程为 x+5y2z1=0x+5 y-2 z-1=0.

    \Large\color{violet}{注:}也可以先求出由 ABCA 、 B 、 C 三点所确定的平面的方程
    x+5y2z1=0 x+5 y-2 z-1=0
    再代入点P的坐标,得 t=8t=8.

    小结:平面方程的几种形式

    设点 M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 在平面上, n=(A,B,C)\quad \boldsymbol{n}=(A, B, C) 是平面的法向量

    1、平面的点法式方程
    A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0 A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0
    2、平面的一般式方程
    Ax+By+Cz+D=0 A x+B y+C z+D=0

    3 、平面的截距式方程

    xa+yb+zc=1.\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 . \quad 其中 a,b,ca, b, c 为平面在三个坐标轴上的截距.

    4 、平面的三点式方程

    M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3)M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), M_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right) 是平面上不共线的三点, 则
    xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z1x3x1y3y1z3z1=0 \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0
    5 、平面的参数式方程 π:{x=x0+λa1+μb1y=y0+λa2+μb2,z=z0+λa3+μb3\quad \pi:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+\lambda a_{1}+\mu b_{1} \\ y=y_{0}+\lambda a_{2}+\mu b_{2}, \\ z=z_{0}+\lambda a_{3}+\mu b_{3}\end{array}\right.

    6 、平面的行列式方程 xx0yy0zz0a1a2a3b1b2b3=0\quad\left|\begin{array}{ccc}x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|=0.

    7 、平面的向量式方程 π:r=r0+λa+μb\quad \pi: r=r_{0}+\lambda a+\mu b.

    参考资料

    空间解析几何_国防科技大学

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

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  • 积分域边界曲线为参数方程的二重积分的计算

    万次阅读 多人点赞 2017-10-07 23:32:08
    积分域边界曲线为参数方程的二重积分的计算 1,此题来源于李永乐复习全书(数学一,2018版本)二重积分章节的某一例题,提出了在计算二重积分的过程中,当积分域的边界曲线为参数方程时的二重积分的一种常用解法思想...
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  • Python利用参数方程画圆

    千次阅读 2019-02-25 15:34:21
    1.圆的参数方程表示形式 Python代码: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 1.圆半径 r = 2.0 # 2.圆心坐标 a, b = (0., 0.) # 参数方程 theta = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) x = a + ...
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  • 032 参数方程确定的函数导数

空空如也

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