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复变函数论
2013-05-21 23:13:22复变函数论(功力金二郎),很不错的。其实复变函数论并不难,只要肯用功。 -
复变函数论习题解答 复变函数论习题解答
2009-07-01 22:12:14复变函数论习题复变函数论习题解答 复变函数论习题解答 -
复变函数论_张锦豪
2019-04-07 07:30:21《复变函数论》 张锦豪 邱维元 高等教育出版社 O174.5 ISBN 9787040091151 -
《复变函数论》试题库.pdf
2021-03-14 22:10:08《复变函数论》试题库 -
复变函数论 中文 版作者未知
2010-05-16 20:15:24复变函数论复变函数论 中文 版作者未知复变函数论 中文 版作者未知复变函数论 中文 版作者未知复变函数论 中文 版作者未知复变函数论 中文 版作者未知 -
幂级数和函数经典例题_多复变函数论(一): 从单复变到多复变
2021-01-10 08:19:08本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.温故而知新. 在这一节中, 我们选择性...本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.
更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.
温故而知新. 在这一节中, 我们选择性地回顾若干单复变函数论中的问题与方法, 并尝试将其推广至多复变函数.
多复变函数论研究的是多元全纯函数. 仿照一元情形, 我们有
定义 设
是开集. 称
全纯, 若且
Cauchy–Riemann 方程满足
. 记
上全纯函数的空间为
.
注 这个定义中
的条件是不必要的, 它可以在两种互不包含的意义下放宽. 其一是仅假设
各偏导存在, 且
作为经典导数逐点成立. 下面将证明的 Hartogs 定理断言这推出
. 其二是假设
是分布, 且
作为弱导数成立. 由于
是椭圆算子, 标准的椭圆正则性理论直接推出
.
有了全纯的概念后, 我们便可以谈论复流形及其间的全纯映射等等, 这些定义是显然的, 不再赘述. 另外, 为方便起见, 我们将不加说明地使用复几何中的标准记号, 例如
.
Cauchy 积分表示
单复变中全纯函数的许多基本性质都是 Cauchy 积分公式的直接推论. 同样的结论与证明也适用于多元函数.
定理 (Cauchy–Pompeiu 积分公式) 设
是有界开集,
是
简单闭曲线,
, 则
证 在
上对
用 Stokes 公式, 再令
.
当
全纯时, 此即通常的 Cauchy 积分公式. 另一方面, 它也给出了一元非齐次 Cauchy–Riemann 方程的解的构造.
推论 (一元
在分布意义下-Poincaré 引理)
. 换言之, 对
, 定义
则
.
证 换元
, 在积分号下求导, 再在足够大的圆盘上用 Cauchy–Pompeiu 积分公式.
在多复变中, 对多元函数各分量应用 Cauchy 积分公式即得其多元版本. 为此我们需要多圆盘的概念.
定义 开多圆盘指形如
的区域, 其中
特殊边界定义为. 其
. 注意通常
.
推论 (Osgood 引理) 设
是开集,
, 则
由此立得一系列全纯函数的基本性质, 它们的证明与一元情形完全类似, 故略去. 下设
是开集.
推论 开多圆盘上全纯函数在中心处的 Taylor 级数展开绝对收敛到它自己. 特别地, 全纯
解析, 即局部可写成绝对收敛的幂级数, 其中
.
推论 (恒等定理, 解析延拓的唯一性) 设
连通,
在非空开子集上相等, 则
.
推论 (极大模原理) 设
连通,
,
在
上取得极大值, 则
是常数.
推论 (Cauchy 不等式) 设
, 则
推论 (Liouville)
上的有界全纯函数必为常数.
推论
上
拓扑与
拓扑相同. 特别地,
在
中闭.
注 注意
拓扑和
拓扑几乎分别是函数空间上能给的最粗糙和最精细的拓扑, 而位于二者之间的函数空间拓扑在
上都相同, 例如任意 Соболев 范数拓扑. 这当然是
的椭圆正则性的体现. 我们赋予
该拓扑, 从而它具有 Fréchet 空间的结构.
推论 (Montel)
是 Montel 空间, 即它满足 Heine–Borel 性质, 即有界闭
紧.
作为 Cauchy 积分表示的另一应用, 我们证明多元
-Poincaré 引理, 它也称为 Dolbeault–Grothendieck 引理.
定理 (Dolbeault–Grothendieck 引理)
,
. 换言之, 若
满足
, 则存在
使
.
证 先证对
, 存在
使得在
上
. 乘以在
上
的截断函数后, 不妨设
紧支. 归纳地, 设
, 其中
只含有
. 定义
即对
的每个系数关于第
个分量应用一元
-Poincaré 引理的构造. 考虑
. 对
,
, 故
, 这里
表示对第
个分量作用
. 由一元
-Poincaré 引理,
. 因此
, 其中
只含有
. 对
继续这样做即得
.
取一列
. 对每个
, 取
使得在
上
. 于是
. 由幂级数展开, 可取
使得
. 则
即为所求.
该证明后半部分的逼近方法是复变的常用技术, 以后会见到其一般形式.
多次调和函数
定义 设
是开集. 称
次调和, 若上半连续, 且
记
上次调和函数的空间为
.
定义 设
是开集. 称
多次调和, 若上半连续, 且
限制在每条复线与
的交上均是次调和的. 记
上多次调和函数的空间为
.
注 可类似定义
中开集上的次调和函数, 其基本理论与
上的相同. 由于我们不会用到这些函数, 故不详细讨论, 仅仅指出
, 即多次调和函数是一类适用于多复变的特殊的次调和函数.
我们不加证明地胡乱罗列一些基本性质. 证明见 [Demailly] 与 [Hörmander].
命题 设
是开集,
上半连续. 下述等价于
次调和:
(1),
,
在
上调和, 在
上
在
上
.
(2),
, 在
上
在
上
.
(3),
.
(4),
.
(5) ... (其余等价刻画略)命题 设
是开集. 若
, 则
(作为 Hermite 矩阵). 一般地,
在分布意义下成立.
命题 次调和函数在连通分支上要么
要么
.
命题 设
是开集,
, 则
处处成立, 其中
为任意标准磨光子. 特别地, 若
几乎处处相等, 则
.
命题 设
是开集.
(1) 若,
, 则
.
(2) 若且
上半连续, 则
.
(3) 若,
, 则
.
(4) 若,
凸且关于各分量递增, 则
.
例 若
, 则
.
这是全纯与次调和的一个重要联系. 我们给出两个证明. 只需证明一元情形.
证 1 这由 Jensen 公式直接推得: 若
, 记
为
在
中的零点, 则
证 2 对
,
. 用极大模原理.
一个有趣的推论是, 若
, 则
的零点集零测, 因为
.
Hartogs 分别全纯定理
作为次调和函数的应用, 我们证明前文提到的
定理 (Hartogs) 设
是开集,
各偏导存在且
, 则
解析.
即
分别全纯. 这个定理就是说分别全纯关于各分量全纯, 简称为
全纯. 注意我们甚至不假设
连续. 事实上, 若假设连续, 则证明十分容易.
步骤 1 局部有界 + 分别全纯
解析.
证 1 回忆 Osgood 引理. 由于
关于各实分量连续,
Borel 可测. 又
局部有界, 故 Osgood 引理中右边积分作为 Lebesgue 积分绝对可积. 因此通常的全纯
解析的证明依然适用, 即该积分表示推出
有幂级数展开.
证 2
. 对每个
, 右边的第
项是
的全纯函数, 它在
附近有界, 且
时取
. 由单复变中的 Schwarz 引理, 它
. 故
局部 Lipschitz 连续, 从而 Osgood 引理中右边积分作为 Riemann 积分可积. 其余同证 1.
如何得到有界? 答案是用 Baire 纲定理. 对
归纳. 单复变中的 Goursat 定理推出
的情况. 假设结论对
维成立. 下面记
,
等, 其中
表示前
个分量的部分.
步骤 2 设
在
上分别全纯, 则对任意
, 存在非空开集
使得
在
上有界.
证 由
的情形,
关于
连续, 故
. 由归纳假设,
关于前
个分量连续, 故上式左边均为闭集. 用 Baire 纲定理.
下面的目标是由此推出
在整个
上解析, 做法是对其幂级数展开的系数应用次调和函数的如下性质. 这是该证明的核心.
引理 (Hartogs) 设
是开集,
局部有一致上界. 若在
上
, 则
,
,
使
,
.
证 取
使得
. 由于
局部有一致上界, 不妨设
,
. 任取
. 由 Fatou 引理,
. 取
使得
,
. 由平均值不等式及
, 对
,
,
, 有
, 故
. 不妨设
, 则可取
使得上式右边
. 用有限个
覆盖
, 取对应
的
即得欲证.
注 该引理对
中开集上的次调和函数也成立, 证明相同.
步骤 3 设
,
在
上分别全纯, 在
上解析, 则
在
上解析, 这里
.
证 任取
. 设
的幂级数展开为
. 由 Cauchy 不等式,
, 故
在
上有一致上界. 对
, 该幂级数在
上绝对收敛, 故
, 故在
上
. 对
应用引理, 得
使
,
. 这说明该幂级数在
上绝对收敛. 令
, 即得
在
上解析.
定理的证明 留作习题.
Cousin 问题初探
单复变中有两个关于全纯函数的存在性的重要定理:
定理 (Mittag-Leffler) 设
是开集,
局部有限. 对每个
, 任取
, 则存在
使得
在每个
附近的主部为
, 且
在
上全纯.
定理 (Weierstraß) 设
是开集,
局部有限. 对每个
, 任取
, 则存在
使得
在每个
处的阶为
, 且
在
上
.
如何将其推广至多元情形? 尽管我们还未定义多元亚纯函数, 但不难想象, 多元亚纯函数的局部行为不再能被主部或阶这样的概念刻画. 因此, 我们先将问题转述为更适合多元理论的形式. 这里合适的语言是层的 Čech 上同调.
先看 Mittag-Leffler 问题. 考虑
的开覆盖
, 其中对
,
是
的小邻域, 而
. 令
,
, 则
, 且
定义了层上同调类
. 若该上同调类平凡, 即存在
使得
,
, 则
拼接成所要的亚纯函数. 反之依然. 因此, 该 Mittag-Leffler 问题有解
该上同调类平凡. 这样表述的 Mittag-Leffler 问题可以直接搬到多元情形, 此即
问题 (第一 Cousin 问题) 设
是复流形,
是
的开覆盖,
使得
. 是否存在
使得
?
由上述讨论立得
命题 上述第一 Cousin 问题可解
. 特别地, 若
, 则
上所有第一 Cousin 问题可解.
对 Weierstraß 问题有类似的讨论.
问题 (第二 Cousin 问题) 设
是复流形,
是
的开覆盖,
使得
. 是否存在
使得
?
命题 上述第二 Cousin 问题可解
. 特别地, 若
, 则
上所有第一 Cousin 问题可解.
一般地, 多复变中证明层上同调消失的最强大的工具是著名的
定理 (Cartan 定理 B) 设
是 Stein 空间,
是
上的凝聚解析层, 则
,
.
这个讨论班的目标之一就是证明这个定理.
参考文献
本讲义的所有内容均来自所列参考文献, 只是证明有时略有不同. 文献按相关性排序.
L. Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables
J.-P. Demailly: Complex Analytic and Differential Geometry -
复变函数论第4版 [钟玉泉 编] 2013年版.zip
2019-06-19 11:44:31复变函数论第4版 -
单调有界定理适用于函数吗_多复变函数论(一): 从单复变到多复变
2020-11-21 03:08:19本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.温故而知新. 在这一节中, 我们选择性...本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.
更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.
温故而知新. 在这一节中, 我们选择性地回顾若干单复变函数论中的问题与方法, 并尝试将其推广至多复变函数.
多复变函数论研究的是多元全纯函数. 仿照一元情形, 我们有
定义 设
是开集. 称
全纯, 若且
Cauchy–Riemann 方程满足
. 记
上全纯函数的空间为
.
注 这个定义中
的条件是不必要的, 它可以在两种互不包含的意义下放宽. 其一是仅假设
各偏导存在, 且
作为经典导数逐点成立. 下面将证明的 Hartogs 定理断言这推出
. 其二是假设
是分布, 且
作为弱导数成立. 由于
是椭圆算子, 标准的椭圆正则性理论直接推出
.
有了全纯的概念后, 我们便可以谈论复流形及其间的全纯映射等等, 这些定义是显然的, 不再赘述. 另外, 为方便起见, 我们将不加说明地使用复几何中的标准记号, 例如
.
Cauchy 积分表示
单复变中全纯函数的许多基本性质都是 Cauchy 积分公式的直接推论. 同样的结论与证明也适用于多元函数.
定理 (Cauchy–Pompeiu 积分公式) 设
是有界开集,
是
简单闭曲线,
, 则
证 在
上对
用 Stokes 公式, 再令
.
当
全纯时, 此即通常的 Cauchy 积分公式. 另一方面, 它也给出了一元非齐次 Cauchy–Riemann 方程的解的构造.
推论 (一元
在分布意义下-Poincaré 引理)
. 换言之, 对
, 定义
则
.
证 换元
, 在积分号下求导, 再在足够大的圆盘上用 Cauchy–Pompeiu 积分公式.
在多复变中, 对多元函数各分量应用 Cauchy 积分公式即得其多元版本. 为此我们需要多圆盘的概念.
定义 开多圆盘指形如
的区域, 其中
特殊边界定义为. 其
. 注意通常
.
推论 (Osgood 引理) 设
是开集,
, 则
由此立得一系列全纯函数的基本性质, 它们的证明与一元情形完全类似, 故略去. 下设
是开集.
推论 开多圆盘上全纯函数在中心处的 Taylor 级数展开绝对收敛到它自己. 特别地, 全纯
解析, 即局部可写成绝对收敛的幂级数, 其中
.
推论 (恒等定理, 解析延拓的唯一性) 设
连通,
在非空开子集上相等, 则
.
推论 (极大模原理) 设
连通,
,
在
上取得极大值, 则
是常数.
推论 (Cauchy 不等式) 设
, 则
推论 (Liouville)
上的有界全纯函数必为常数.
推论
上
拓扑与
拓扑相同. 特别地,
在
中闭.
注 注意
拓扑和
拓扑几乎分别是函数空间上能给的最粗糙和最精细的拓扑, 而位于二者之间的函数空间拓扑在
上都相同, 例如任意 Соболев 范数拓扑. 这当然是
的椭圆正则性的体现. 我们赋予
该拓扑, 从而它具有 Fréchet 空间的结构.
推论 (Montel)
是 Montel 空间, 即它满足 Heine–Borel 性质, 即有界闭
紧.
作为 Cauchy 积分表示的另一应用, 我们证明多元
-Poincaré 引理, 它也称为 Dolbeault–Grothendieck 引理.
定理 (Dolbeault–Grothendieck 引理)
,
. 换言之, 若
满足
, 则存在
使
.
证 先证对
, 存在
使得在
上
. 乘以在
上
的截断函数后, 不妨设
紧支. 归纳地, 设
, 其中
只含有
. 定义
即对
的每个系数关于第
个分量应用一元
-Poincaré 引理的构造. 考虑
. 对
,
, 故
, 这里
表示对第
个分量作用
. 由一元
-Poincaré 引理,
. 因此
, 其中
只含有
. 对
继续这样做即得
.
取一列
. 对每个
, 取
使得在
上
. 于是
. 由幂级数展开, 可取
使得
. 则
即为所求.
该证明后半部分的逼近方法是复变的常用技术, 以后会见到其一般形式.
多次调和函数
定义 设
是开集. 称
次调和, 若上半连续, 且
记
上次调和函数的空间为
.
定义 设
是开集. 称
多次调和, 若上半连续, 且
限制在每条复线与
的交上均是次调和的. 记
上多次调和函数的空间为
.
注 可类似定义
中开集上的次调和函数, 其基本理论与
上的相同. 由于我们不会用到这些函数, 故不详细讨论, 仅仅指出
, 即多次调和函数是一类适用于多复变的特殊的次调和函数.
我们不加证明地胡乱罗列一些基本性质. 证明见 [Demailly] 与 [Hörmander].
命题 设
是开集,
上半连续. 下述等价于
次调和:
(1),
,
在
上调和, 在
上
在
上
.
(2),
, 在
上
在
上
.
(3),
.
(4),
.
(5) ... (其余等价刻画略)命题 设
是开集. 若
, 则
(作为 Hermite 矩阵). 一般地,
在分布意义下成立.
命题 次调和函数在连通分支上要么
要么
.
命题 设
是开集,
, 则
处处成立, 其中
为任意标准磨光子. 特别地, 若
几乎处处相等, 则
.
命题 设
是开集.
(1) 若,
, 则
.
(2) 若且
上半连续, 则
.
(3) 若,
, 则
.
(4) 若,
凸且关于各分量递增, 则
.
例 若
, 则
.
这是全纯与次调和的一个重要联系. 我们给出两个证明. 只需证明一元情形.
证 1 这由 Jensen 公式直接推得: 若
, 记
为
在
中的零点, 则
证 2 对
,
. 用极大模原理.
一个有趣的推论是, 若
, 则
的零点集零测, 因为
.
Hartogs 分别全纯定理
作为次调和函数的应用, 我们证明前文提到的
定理 (Hartogs) 设
是开集,
各偏导存在且
, 则
解析.
即
分别全纯. 这个定理就是说分别全纯关于各分量全纯, 简称为
全纯. 注意我们甚至不假设
连续. 事实上, 若假设连续, 则证明十分容易.
步骤 1 局部有界 + 分别全纯
解析.
证 1 回忆 Osgood 引理. 由于
关于各实分量连续,
Borel 可测. 又
局部有界, 故 Osgood 引理中右边积分作为 Lebesgue 积分绝对可积. 因此通常的全纯
解析的证明依然适用, 即该积分表示推出
有幂级数展开.
证 2
. 对每个
, 右边的第
项是
的全纯函数, 它在
附近有界, 且
时取
. 由单复变中的 Schwarz 引理, 它
. 故
局部 Lipschitz 连续, 从而 Osgood 引理中右边积分作为 Riemann 积分可积. 其余同证 1.
如何得到有界? 答案是用 Baire 纲定理. 对
归纳. 单复变中的 Goursat 定理推出
的情况. 假设结论对
维成立. 下面记
,
等, 其中
表示前
个分量的部分.
步骤 2 设
在
上分别全纯, 则对任意
, 存在非空开集
使得
在
上有界.
证 由
的情形,
关于
连续, 故
. 由归纳假设,
关于前
个分量连续, 故上式左边均为闭集. 用 Baire 纲定理.
下面的目标是由此推出
在整个
上解析, 做法是对其幂级数展开的系数应用次调和函数的如下性质. 这是该证明的核心.
引理 (Hartogs) 设
是开集,
局部有一致上界. 若在
上
, 则
,
,
使
,
.
证 取
使得
. 由于
局部有一致上界, 不妨设
,
. 任取
. 由 Fatou 引理,
. 取
使得
,
. 由平均值不等式及
, 对
,
,
, 有
, 故
. 不妨设
, 则可取
使得上式右边
. 用有限个
覆盖
, 取对应
的
即得欲证.
注 该引理对
中开集上的次调和函数也成立, 证明相同.
步骤 3 设
,
在
上分别全纯, 在
上解析, 则
在
上解析, 这里
.
证 任取
. 设
的幂级数展开为
. 由 Cauchy 不等式,
, 故
在
上有一致上界. 对
, 该幂级数在
上绝对收敛, 故
, 故在
上
. 对
应用引理, 得
使
,
. 这说明该幂级数在
上绝对收敛. 令
, 即得
在
上解析.
定理的证明 留作习题.
Cousin 问题初探
单复变中有两个关于全纯函数的存在性的重要定理:
定理 (Mittag-Leffler) 设
是开集,
局部有限. 对每个
, 任取
, 则存在
使得
在每个
附近的主部为
, 且
在
上全纯.
定理 (Weierstraß) 设
是开集,
局部有限. 对每个
, 任取
, 则存在
使得
在每个
处的阶为
, 且
在
上
.
如何将其推广至多元情形? 尽管我们还未定义多元亚纯函数, 但不难想象, 多元亚纯函数的局部行为不再能被主部或阶这样的概念刻画. 因此, 我们先将问题转述为更适合多元理论的形式. 这里合适的语言是层的 Čech 上同调.
先看 Mittag-Leffler 问题. 考虑
的开覆盖
, 其中对
,
是
的小邻域, 而
. 令
,
, 则
, 且
定义了层上同调类
. 若该上同调类平凡, 即存在
使得
,
, 则
拼接成所要的亚纯函数. 反之依然. 因此, 该 Mittag-Leffler 问题有解
该上同调类平凡. 这样表述的 Mittag-Leffler 问题可以直接搬到多元情形, 此即
问题 (第一 Cousin 问题) 设
是复流形,
是
的开覆盖,
使得
. 是否存在
使得
?
由上述讨论立得
命题 上述第一 Cousin 问题可解
. 特别地, 若
, 则
上所有第一 Cousin 问题可解.
对 Weierstraß 问题有类似的讨论.
问题 (第二 Cousin 问题) 设
是复流形,
是
的开覆盖,
使得
. 是否存在
使得
?
命题 上述第二 Cousin 问题可解
. 特别地, 若
, 则
上所有第一 Cousin 问题可解.
一般地, 多复变中证明层上同调消失的最强大的工具是著名的
定理 (Cartan 定理 B) 设
是 Stein 空间,
是
上的凝聚解析层, 则
,
.
这个讨论班的目标之一就是证明这个定理.
参考文献
本讲义的所有内容均来自所列参考文献, 只是证明有时略有不同. 文献按相关性排序.
L. Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables
J.-P. Demailly: Complex Analytic and Differential Geometry -
复变函数论 钟玉泉
2018-03-28 14:16:48钟玉泉老师的复变函数,还不错的。虽然不够清晰,跟其他作者的对照看看,有收获 -
多复变函数论
2017-12-15 16:03:54数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科,有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源,但由于其特有的困难和复杂性,在研究的重点和方法上 -
多复变函数论基础 [史济怀 编] 2014年版
2019-05-13 22:36:10多复变函数论基础 出版时间:2014年版 丛编项: 高等学校教材 内容简介 多复变函数理论是当代数学研究的主流方向之一,发展非常迅速。《多复变函数论基础/高等学校教材》是学习多复变函数理论的一本入门教材,内容... -
复变函数论 多媒体教学课件
2019-06-05 10:01:06高等教育出版社 zhong'yu'quan一...了解复变函数的定义,掌握复变函数的极限与连续性。 (三)复变函数 1.复变函数的概念;2.复变函数的极限与连续性. (四) 复球面与无穷远点 1.复球面;2.扩充复平面上的几个概念。 -
复变函数论课后题答案-(第四版-钟玉泉)
2018-04-22 12:52:36复变函数论课后题答案-(第四版-钟玉泉) -
复变函数论方法
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复变函数论方法 第6版-拉夫连季耶夫 沙巴特pdf
2019-01-03 14:21:06本书是俄罗斯综合大学和高等技术学校使用的复变函数论教材。它基于前苏联著名数学家、科学院院士拉夫连季耶夫的讲稿,由沙巴特补充整理,并经过多次修订,使内容更为合理,应用实例更为丰富,已成为该领域一本经典... -
Mathematics复变函数论的发展简况- -
2010-01-16 12:17:32复变函数起源..希望对你们有用Mathematics复变函数论的发展简况- -
《多复变函数论基础》作者: 史济怀 编著 1996年版与2014年版
2019-05-15 19:14:47这个压缩包里面有史济怀编著的《多复变函数论基础》1996年版与2014年版两个版本的PDF 史济怀,男,1935年11月出生于上海,祖籍浙江湖州,教授,博士生导师 ,中国科学技术大学原副校长 。1958年毕业于复旦大学数学系... -
复变函数论第二版 钟玉泉 学习指导
2010-04-07 18:59:39复变函数论第二版 钟玉泉 学习指导书 -
复变函数论方法(第6版).part1
2010-05-07 18:47:45复变函数论方法(第6版).part1 复变函数论方法(第6版).part1 -
复变函数论方法(第6版).part2
2010-05-07 18:50:55复变函数论方法(第6版).part2 复变函数论方法(第6版).part2 -
《华罗庚文集.多复变函数论II》作者: 华罗庚著;周向宇审校 出版年: 2013年
2019-05-26 18:47:15《中国科学院华罗庚数学重点实验室丛书•华罗庚文集:多复变函数论卷2》由华罗庚先生的著作《从单位圆谈起》以及一些关于多复变函数论等方面的论文组成。 适于科研院所及高等学校数学系师生与数学工作者阅读。 -
非线性薛定谔方程的求解-讲义 复变函数论
2010-08-16 09:53:26非线性薛定谔方程的求解-讲义 复变函数论的理论深化 想对复变函数进行深入研究的同学不妨看一下 -
复变函数论答案,第三版
2019-03-18 23:57:17复变函数的课后习题,过程很详细,对于课后习题的解决有很大帮助 -
多复变函数论基础
2019-05-15 18:54:16作者: 史济怀 编著 出版社: 高等教育出版社 出版时间: 1996-05 版次: 1 印刷时间: 1996-05 印次: 1 装帧: 平装 开本: 大32开 页数: 331页 -
《复变函数论》 习题答案(钟玉泉 编)
2010-04-25 15:12:23《复变函数论》课后答案 电子书 .pdf -
《现代数学基础:多复变函数论》作者: 萧荫堂 / 陈志华 / 钟家庆 出版年: 2013年
2019-05-14 18:07:31现代数学基础31:多复变函数论 作者:萧荫堂,陈志华,钟家庆 著 出版时间:2013年版 内容简介 《现代数学基础31:多复变函数论》包含多复变函数研究中分析、层论与复几何这三个最主要方面的主要研究成果与方法。... -
《华罗庚文集.多复变函数论I》作者: 华罗庚著;周向宇审校 出版年: 2010年
2019-05-26 18:39:48《华罗庚文集:多复变函数论卷1》包括这些论文的主要结果。在第一章中,证明了一系列的恒等式;第二章是关于矩阵积分的计算:第三章是方阵极坐标表示法及特征流形的体积的计算;第四章是关于核函数及Cauchy公式;第五... -
由有理函数的广义积分引入,谈谈复变函数论中的留数
2019-01-27 00:45:01由有理函数的广义积分谈谈复变函数论中的留数 ∫−∞∞11−x6dx \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1-x^6}dx ∫−∞∞1−x61dx由有理函数的广义积分引入,谈谈复变函数论中的留数
没接触过复变函数的童鞋们们遇到这道积分,多半是将分母因式分解并展开成几个不同的分式分别积分。这种方法虽然可行,但却非常繁琐,需要解题者对此种方法十分熟练。下面我们先用这种方法进行积分。接着再通过介绍复变函数中的留数,对此题作出十分简便的解答。经典方法
- 将被积函数分解
式(1) × (x-1),再将 x=1 代入,得 A = 1/6;
式(1) × (x+1),再将 x=-1 代入,得 B = 1/6;
式(1) 中,将 x= 0 代入,得 D+F = 2/3;
接下来再计算得到 D = F = 1/3,C = 1/6,D = -1/6。
以上计算步骤中必须小心,一步错则全盘皆输。
- 分别计算各个分式的积分
上式亦可从对称性以及奇偶性的角度分析:
由于是奇函数,故而,而是平移后的函数,\积分上下限随着平移,积分值不变。而依旧是
同理可得:(其实不过就是把③中的x换成-x而已,结果一致)
最终有:
到这里,我们可以看到,这个积分形式是如此的简洁,却用了如此繁琐丑陋的有理函数积分方法求解,数学之美焉存?接下来本文将介绍复变函数中的留数,用求留数的方法轻松、简洁而美丽地解出此积分!Let’s go!
留数
- show time!
这里直接上解法,先让童鞋们对使用留数求解此积分时的简洁与美丽有个直观的认识,背景知识以及相关定理的推导将在下一篇文章中给出。想了解更多的童鞋可以自行找相关资料学习。
把中的自变量换成复数,即为一复变函数。
令,即,可得这些是f函数f(z)的奇点(后文会介绍到这些是f(z)的一阶极点)
则有:
上式中表示在处的留数,至于为何选和1、-1,而不选和,是因为、在复平面的上半平面上,1、-1在复平面的实轴上,而、在复平面的下半平面上。具体原因将在下一篇文章详细介绍和推导。
结语
怎么样,留数这个东西是不是很新奇、很简洁美丽!下一篇文章中,我将介绍复变函数的基本知识、重要定理,详细介绍留数相关定理,推导出上文中第二种解法中的依据。敬请期待。
- 将被积函数分解
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钟玉泉主编的《复变函数论》第三版 课后答案
2010-04-02 23:11:18钟玉泉主编的《复变函数论》第三版 课后答案