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  • 复变函数论

    2013-05-21 23:13:22
    复变函数论(功力金二郎),很不错的。其实复变函数论并不难,只要肯用功。
  • 复变函数论习题复变函数论习题解答 复变函数论习题解答
  • 复变函数论_张锦豪

    2019-04-07 07:30:21
    复变函数论》 张锦豪 邱维元 高等教育出版社 O174.5 ISBN 9787040091151
  • 复变函数论》试题库
  • 复变函数论复变函数论 中文 版作者未知复变函数论 中文 版作者未知复变函数论 中文 版作者未知复变函数论 中文 版作者未知复变函数论 中文 版作者未知
  • 本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.温故而知新. 在这一节中, 我们选择性...

    2bb39f7111e7af295081b20e75927791.png

    本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.

    更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.


    温故而知新. 在这一节中, 我们选择性地回顾若干单复变函数论中的问题与方法, 并尝试将其推广至多复变函数.

    多复变函数论研究的是多元全纯函数. 仿照一元情形, 我们有

    定义

    是开集. 称
    全纯, 若
    满足
    Cauchy–Riemann 方程
    . 记
    上全纯函数的空间为
    .

    这个定义中

    的条件是不必要的, 它可以在两种互不包含的意义下放宽. 其一是仅假设
    各偏导存在, 且
    作为经典导数逐点成立. 下面将证明的 Hartogs 定理断言这推出
    . 其二是假设
    是分布, 且
    作为弱导数成立. 由于
    是椭圆算子, 标准的椭圆正则性理论直接推出
    .

    有了全纯的概念后, 我们便可以谈论复流形及其间的全纯映射等等, 这些定义是显然的, 不再赘述. 另外, 为方便起见, 我们将不加说明地使用复几何中的标准记号, 例如

    .

    Cauchy 积分表示

    单复变中全纯函数的许多基本性质都是 Cauchy 积分公式的直接推论. 同样的结论与证明也适用于多元函数.

    定理 (Cauchy–Pompeiu 积分公式)

    是有界开集,
    简单闭曲线,
    , 则

    上对
    用 Stokes 公式, 再令
    .

    全纯时, 此即通常的 Cauchy 积分公式. 另一方面, 它也给出了一元非齐次 Cauchy–Riemann 方程的解的构造.

    推论 (一元

    -Poincaré 引理)
    在分布意义下
    . 换言之, 对
    , 定义

    .

    换元

    , 在积分号下求导, 再在足够大的圆盘上用 Cauchy–Pompeiu 积分公式.

    在多复变中, 对多元函数各分量应用 Cauchy 积分公式即得其多元版本. 为此我们需要多圆盘的概念.

    定义 开多圆盘指形如

    的区域, 其中
    . 其
    特殊边界定义为
    . 注意通常
    .

    推论 (Osgood 引理)

    是开集,
    , 则

    由此立得一系列全纯函数的基本性质, 它们的证明与一元情形完全类似, 故略去. 下设

    是开集.

    推论 开多圆盘上全纯函数在中心处的 Taylor 级数展开绝对收敛到它自己. 特别地, 全纯

    解析, 即局部可写成绝对收敛的幂级数
    , 其中
    .

    推论 (恒等定理, 解析延拓的唯一性)

    连通,
    在非空开子集上相等, 则
    .

    推论 (极大模原理)

    连通,
    ,
    上取得极大值, 则
    是常数.

    推论 (Cauchy 不等式)

    , 则

    推论 (Liouville)

    上的有界全纯函数必为常数.

    推论

    拓扑与
    拓扑相同. 特别地,
    中闭.

    注意

    拓扑和
    拓扑几乎分别是函数空间上能给的最粗糙和最精细的拓扑, 而位于二者之间的函数空间拓扑在
    上都相同, 例如任意 Соболев 范数拓扑. 这当然是
    的椭圆正则性的体现. 我们赋予
    该拓扑, 从而它具有 Fréchet 空间的结构.

    推论 (Montel)

    是 Montel 空间, 即它满足 Heine–Borel 性质, 即有界闭
    紧.

    作为 Cauchy 积分表示的另一应用, 我们证明多元

    -Poincaré 引理, 它也称为 Dolbeault–Grothendieck 引理.

    定理 (Dolbeault–Grothendieck 引理)

    ,
    . 换言之, 若
    满足
    , 则存在
    使
    .

    先证对

    , 存在
    使得在
    . 乘以在
    的截断函数后, 不妨设
    紧支. 归纳地, 设
    , 其中
    只含有
    . 定义

    即对

    的每个系数关于第
    个分量应用一元
    -Poincaré 引理的构造. 考虑
    . 对
    ,
    , 故
    , 这里
    表示对第
    个分量作用
    . 由一元
    -Poincaré 引理,
    . 因此
    , 其中
    只含有
    . 对
    继续这样做即得
    .

    取一列

    . 对每个
    , 取
    使得在
    . 于是
    . 由幂级数展开, 可取
    使得
    . 则
    即为所求.

    该证明后半部分的逼近方法是复变的常用技术, 以后会见到其一般形式.

    多次调和函数

    定义

    是开集. 称
    次调和, 若
    上半连续, 且

    上次调和函数的空间为
    .

    定义

    是开集. 称
    多次调和, 若
    上半连续, 且
    限制在每条复线与
    的交上均是次调和的. 记
    上多次调和函数的空间为
    .

    可类似定义

    中开集上的次调和函数, 其基本理论与
    上的相同. 由于我们不会用到这些函数, 故不详细讨论, 仅仅指出
    , 即多次调和函数是一类适用于多复变的特殊的次调和函数.

    我们不加证明地胡乱罗列一些基本性质. 证明见 [Demailly] 与 [Hörmander].

    命题

    是开集,
    上半连续. 下述等价于
    次调和:

    (1)
    ,
    ,
    上调和, 在
    .

    (2)
    ,
    , 在
    .

    (3)
    ,
    .

    (4)
    ,
    .

    (5) ... (其余等价刻画略)

    命题

    是开集. 若
    , 则
    (作为 Hermite 矩阵). 一般地,
    在分布意义下成立.

    命题 次调和函数在连通分支上要么

    要么
    .

    命题

    是开集,
    , 则
    处处成立, 其中
    为任意标准磨光子. 特别地, 若
    几乎处处相等, 则
    .

    命题

    是开集.

    (1) 若
    ,
    , 则
    .

    (2) 若
    上半连续, 则
    .

    (3) 若
    ,
    , 则
    .

    (4) 若
    ,
    凸且关于各分量递增, 则
    .

    , 则
    .

    这是全纯与次调和的一个重要联系. 我们给出两个证明. 只需证明一元情形.

    证 1 这由 Jensen 公式直接推得: 若

    , 记
    中的零点, 则

    证 2

    ,
    . 用极大模原理.

    一个有趣的推论是, 若

    , 则
    的零点集零测, 因为
    .

    Hartogs 分别全纯定理

    作为次调和函数的应用, 我们证明前文提到的

    定理 (Hartogs)

    是开集,
    各偏导存在且
    , 则
    解析.

    关于各分量全纯, 简称为
    分别全纯. 这个定理就是说分别全纯
    全纯. 注意我们甚至不假设
    连续. 事实上, 若假设连续, 则证明十分容易.

    步骤 1 局部有界 + 分别全纯

    解析.

    证 1 回忆 Osgood 引理. 由于

    关于各实分量连续,
    Borel 可测. 又
    局部有界, 故 Osgood 引理中右边积分作为 Lebesgue 积分绝对可积. 因此通常的全纯
    解析的证明依然适用, 即该积分表示推出
    有幂级数展开.

    证 2

    . 对每个
    , 右边的第
    项是
    的全纯函数, 它在
    附近有界, 且
    时取
    . 由单复变中的 Schwarz 引理, 它
    . 故
    局部 Lipschitz 连续, 从而 Osgood 引理中右边积分作为 Riemann 积分可积. 其余同证 1.

    如何得到有界? 答案是用 Baire 纲定理. 对

    归纳. 单复变中的 Goursat 定理推出
    的情况. 假设结论对
    维成立. 下面记
    ,
    等, 其中
    表示前
    个分量的部分.

    步骤 2

    上分别全纯, 则对任意
    , 存在非空开集
    使得
    上有界.

    的情形,
    关于
    连续, 故
    . 由归纳假设,
    关于前
    个分量连续, 故上式左边均为闭集. 用 Baire 纲定理.

    下面的目标是由此推出

    在整个
    上解析, 做法是对其幂级数展开的系数应用次调和函数的如下性质. 这是该证明的核心.

    引理 (Hartogs)

    是开集,
    局部有一致上界. 若在
    , 则
    ,
    ,
    使
    ,
    .

    使得
    . 由于
    局部有一致上界, 不妨设
    ,
    . 任取
    . 由 Fatou 引理,
    . 取
    使得
    ,
    . 由平均值不等式及
    , 对
    ,
    ,
    , 有
    , 故
    . 不妨设
    , 则可取
    使得上式右边
    . 用有限个
    覆盖
    , 取对应
    即得欲证.

    该引理对

    中开集上的次调和函数也成立, 证明相同.

    步骤 3

    ,
    上分别全纯, 在
    上解析, 则
    上解析, 这里
    .

    任取

    . 设
    的幂级数展开为
    . 由 Cauchy 不等式,
    , 故
    上有一致上界. 对
    , 该幂级数在
    上绝对收敛, 故
    , 故在
    . 对
    应用引理, 得
    使
    ,
    . 这说明该幂级数在
    上绝对收敛. 令
    , 即得
    上解析.

    定理的证明 留作习题.

    Cousin 问题初探

    单复变中有两个关于全纯函数的存在性的重要定理:

    定理 (Mittag-Leffler)

    是开集,
    局部有限. 对每个
    , 任取
    , 则存在
    使得
    在每个
    附近的主部为
    , 且
    上全纯.

    定理 (Weierstraß)

    是开集,
    局部有限. 对每个
    , 任取
    , 则存在
    使得
    在每个
    处的阶为
    , 且
    .

    如何将其推广至多元情形? 尽管我们还未定义多元亚纯函数, 但不难想象, 多元亚纯函数的局部行为不再能被主部或阶这样的概念刻画. 因此, 我们先将问题转述为更适合多元理论的形式. 这里合适的语言是层的 Čech 上同调.

    先看 Mittag-Leffler 问题. 考虑

    的开覆盖
    , 其中对
    ,
    的小邻域, 而
    . 令
    ,
    , 则
    , 且
    定义了层上同调类
    . 若该上同调类平凡, 即存在
    使得
    ,
    , 则
    拼接成所要的亚纯函数. 反之依然. 因此, 该 Mittag-Leffler 问题有解
    该上同调类平凡. 这样表述的 Mittag-Leffler 问题可以直接搬到多元情形, 此即

    问题 (第一 Cousin 问题)

    是复流形,
    的开覆盖,
    使得
    . 是否存在
    使得
    ?

    由上述讨论立得

    命题 上述第一 Cousin 问题可解

    . 特别地, 若
    , 则
    上所有第一 Cousin 问题可解.

    对 Weierstraß 问题有类似的讨论.

    问题 (第二 Cousin 问题)

    是复流形,
    的开覆盖,
    使得
    . 是否存在
    使得
    ?

    命题 上述第二 Cousin 问题可解

    . 特别地, 若
    , 则
    上所有第一 Cousin 问题可解.

    一般地, 多复变中证明层上同调消失的最强大的工具是著名的

    定理 (Cartan 定理 B)

    是 Stein 空间,
    上的凝聚解析层, 则
    ,
    .

    这个讨论班的目标之一就是证明这个定理.

    参考文献

    本讲义的所有内容均来自所列参考文献, 只是证明有时略有不同. 文献按相关性排序.

    L. Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables
    J.-P. Demailly: Complex Analytic and Differential Geometry

    展开全文
  • 复变函数论第4版
  • 本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.温故而知新. 在这一节中, 我们选择性...

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    本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.

    更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.


    温故而知新. 在这一节中, 我们选择性地回顾若干单复变函数论中的问题与方法, 并尝试将其推广至多复变函数.

    多复变函数论研究的是多元全纯函数. 仿照一元情形, 我们有

    定义

    是开集. 称
    全纯, 若
    满足
    Cauchy–Riemann 方程
    . 记
    上全纯函数的空间为
    .

    这个定义中

    的条件是不必要的, 它可以在两种互不包含的意义下放宽. 其一是仅假设
    各偏导存在, 且
    作为经典导数逐点成立. 下面将证明的 Hartogs 定理断言这推出
    . 其二是假设
    是分布, 且
    作为弱导数成立. 由于
    是椭圆算子, 标准的椭圆正则性理论直接推出
    .

    有了全纯的概念后, 我们便可以谈论复流形及其间的全纯映射等等, 这些定义是显然的, 不再赘述. 另外, 为方便起见, 我们将不加说明地使用复几何中的标准记号, 例如

    .

    Cauchy 积分表示

    单复变中全纯函数的许多基本性质都是 Cauchy 积分公式的直接推论. 同样的结论与证明也适用于多元函数.

    定理 (Cauchy–Pompeiu 积分公式)

    是有界开集,
    简单闭曲线,
    , 则

    上对
    用 Stokes 公式, 再令
    .

    全纯时, 此即通常的 Cauchy 积分公式. 另一方面, 它也给出了一元非齐次 Cauchy–Riemann 方程的解的构造.

    推论 (一元

    -Poincaré 引理)
    在分布意义下
    . 换言之, 对
    , 定义

    .

    换元

    , 在积分号下求导, 再在足够大的圆盘上用 Cauchy–Pompeiu 积分公式.

    在多复变中, 对多元函数各分量应用 Cauchy 积分公式即得其多元版本. 为此我们需要多圆盘的概念.

    定义 开多圆盘指形如

    的区域, 其中
    . 其
    特殊边界定义为
    . 注意通常
    .

    推论 (Osgood 引理)

    是开集,
    , 则

    由此立得一系列全纯函数的基本性质, 它们的证明与一元情形完全类似, 故略去. 下设

    是开集.

    推论 开多圆盘上全纯函数在中心处的 Taylor 级数展开绝对收敛到它自己. 特别地, 全纯

    解析, 即局部可写成绝对收敛的幂级数
    , 其中
    .

    推论 (恒等定理, 解析延拓的唯一性)

    连通,
    在非空开子集上相等, 则
    .

    推论 (极大模原理)

    连通,
    ,
    上取得极大值, 则
    是常数.

    推论 (Cauchy 不等式)

    , 则

    推论 (Liouville)

    上的有界全纯函数必为常数.

    推论

    拓扑与
    拓扑相同. 特别地,
    中闭.

    注意

    拓扑和
    拓扑几乎分别是函数空间上能给的最粗糙和最精细的拓扑, 而位于二者之间的函数空间拓扑在
    上都相同, 例如任意 Соболев 范数拓扑. 这当然是
    的椭圆正则性的体现. 我们赋予
    该拓扑, 从而它具有 Fréchet 空间的结构.

    推论 (Montel)

    是 Montel 空间, 即它满足 Heine–Borel 性质, 即有界闭
    紧.

    作为 Cauchy 积分表示的另一应用, 我们证明多元

    -Poincaré 引理, 它也称为 Dolbeault–Grothendieck 引理.

    定理 (Dolbeault–Grothendieck 引理)

    ,
    . 换言之, 若
    满足
    , 则存在
    使
    .

    先证对

    , 存在
    使得在
    . 乘以在
    的截断函数后, 不妨设
    紧支. 归纳地, 设
    , 其中
    只含有
    . 定义

    即对

    的每个系数关于第
    个分量应用一元
    -Poincaré 引理的构造. 考虑
    . 对
    ,
    , 故
    , 这里
    表示对第
    个分量作用
    . 由一元
    -Poincaré 引理,
    . 因此
    , 其中
    只含有
    . 对
    继续这样做即得
    .

    取一列

    . 对每个
    , 取
    使得在
    . 于是
    . 由幂级数展开, 可取
    使得
    . 则
    即为所求.

    该证明后半部分的逼近方法是复变的常用技术, 以后会见到其一般形式.

    多次调和函数

    定义

    是开集. 称
    次调和, 若
    上半连续, 且

    上次调和函数的空间为
    .

    定义

    是开集. 称
    多次调和, 若
    上半连续, 且
    限制在每条复线与
    的交上均是次调和的. 记
    上多次调和函数的空间为
    .

    可类似定义

    中开集上的次调和函数, 其基本理论与
    上的相同. 由于我们不会用到这些函数, 故不详细讨论, 仅仅指出
    , 即多次调和函数是一类适用于多复变的特殊的次调和函数.

    我们不加证明地胡乱罗列一些基本性质. 证明见 [Demailly] 与 [Hörmander].

    命题

    是开集,
    上半连续. 下述等价于
    次调和:

    (1)
    ,
    ,
    上调和, 在
    .

    (2)
    ,
    , 在
    .

    (3)
    ,
    .

    (4)
    ,
    .

    (5) ... (其余等价刻画略)

    命题

    是开集. 若
    , 则
    (作为 Hermite 矩阵). 一般地,
    在分布意义下成立.

    命题 次调和函数在连通分支上要么

    要么
    .

    命题

    是开集,
    , 则
    处处成立, 其中
    为任意标准磨光子. 特别地, 若
    几乎处处相等, 则
    .

    命题

    是开集.

    (1) 若
    ,
    , 则
    .

    (2) 若
    上半连续, 则
    .

    (3) 若
    ,
    , 则
    .

    (4) 若
    ,
    凸且关于各分量递增, 则
    .

    , 则
    .

    这是全纯与次调和的一个重要联系. 我们给出两个证明. 只需证明一元情形.

    证 1 这由 Jensen 公式直接推得: 若

    , 记
    中的零点, 则

    证 2

    ,
    . 用极大模原理.

    一个有趣的推论是, 若

    , 则
    的零点集零测, 因为
    .

    Hartogs 分别全纯定理

    作为次调和函数的应用, 我们证明前文提到的

    定理 (Hartogs)

    是开集,
    各偏导存在且
    , 则
    解析.

    关于各分量全纯, 简称为
    分别全纯. 这个定理就是说分别全纯
    全纯. 注意我们甚至不假设
    连续. 事实上, 若假设连续, 则证明十分容易.

    步骤 1 局部有界 + 分别全纯

    解析.

    证 1 回忆 Osgood 引理. 由于

    关于各实分量连续,
    Borel 可测. 又
    局部有界, 故 Osgood 引理中右边积分作为 Lebesgue 积分绝对可积. 因此通常的全纯
    解析的证明依然适用, 即该积分表示推出
    有幂级数展开.

    证 2

    . 对每个
    , 右边的第
    项是
    的全纯函数, 它在
    附近有界, 且
    时取
    . 由单复变中的 Schwarz 引理, 它
    . 故
    局部 Lipschitz 连续, 从而 Osgood 引理中右边积分作为 Riemann 积分可积. 其余同证 1.

    如何得到有界? 答案是用 Baire 纲定理. 对

    归纳. 单复变中的 Goursat 定理推出
    的情况. 假设结论对
    维成立. 下面记
    ,
    等, 其中
    表示前
    个分量的部分.

    步骤 2

    上分别全纯, 则对任意
    , 存在非空开集
    使得
    上有界.

    的情形,
    关于
    连续, 故
    . 由归纳假设,
    关于前
    个分量连续, 故上式左边均为闭集. 用 Baire 纲定理.

    下面的目标是由此推出

    在整个
    上解析, 做法是对其幂级数展开的系数应用次调和函数的如下性质. 这是该证明的核心.

    引理 (Hartogs)

    是开集,
    局部有一致上界. 若在
    , 则
    ,
    ,
    使
    ,
    .

    使得
    . 由于
    局部有一致上界, 不妨设
    ,
    . 任取
    . 由 Fatou 引理,
    . 取
    使得
    ,
    . 由平均值不等式及
    , 对
    ,
    ,
    , 有
    , 故
    . 不妨设
    , 则可取
    使得上式右边
    . 用有限个
    覆盖
    , 取对应
    即得欲证.

    该引理对

    中开集上的次调和函数也成立, 证明相同.

    步骤 3

    ,
    上分别全纯, 在
    上解析, 则
    上解析, 这里
    .

    任取

    . 设
    的幂级数展开为
    . 由 Cauchy 不等式,
    , 故
    上有一致上界. 对
    , 该幂级数在
    上绝对收敛, 故
    , 故在
    . 对
    应用引理, 得
    使
    ,
    . 这说明该幂级数在
    上绝对收敛. 令
    , 即得
    上解析.

    定理的证明 留作习题.

    Cousin 问题初探

    单复变中有两个关于全纯函数的存在性的重要定理:

    定理 (Mittag-Leffler)

    是开集,
    局部有限. 对每个
    , 任取
    , 则存在
    使得
    在每个
    附近的主部为
    , 且
    上全纯.

    定理 (Weierstraß)

    是开集,
    局部有限. 对每个
    , 任取
    , 则存在
    使得
    在每个
    处的阶为
    , 且
    .

    如何将其推广至多元情形? 尽管我们还未定义多元亚纯函数, 但不难想象, 多元亚纯函数的局部行为不再能被主部或阶这样的概念刻画. 因此, 我们先将问题转述为更适合多元理论的形式. 这里合适的语言是层的 Čech 上同调.

    先看 Mittag-Leffler 问题. 考虑

    的开覆盖
    , 其中对
    ,
    的小邻域, 而
    . 令
    ,
    , 则
    , 且
    定义了层上同调类
    . 若该上同调类平凡, 即存在
    使得
    ,
    , 则
    拼接成所要的亚纯函数. 反之依然. 因此, 该 Mittag-Leffler 问题有解
    该上同调类平凡. 这样表述的 Mittag-Leffler 问题可以直接搬到多元情形, 此即

    问题 (第一 Cousin 问题)

    是复流形,
    的开覆盖,
    使得
    . 是否存在
    使得
    ?

    由上述讨论立得

    命题 上述第一 Cousin 问题可解

    . 特别地, 若
    , 则
    上所有第一 Cousin 问题可解.

    对 Weierstraß 问题有类似的讨论.

    问题 (第二 Cousin 问题)

    是复流形,
    的开覆盖,
    使得
    . 是否存在
    使得
    ?

    命题 上述第二 Cousin 问题可解

    . 特别地, 若
    , 则
    上所有第一 Cousin 问题可解.

    一般地, 多复变中证明层上同调消失的最强大的工具是著名的

    定理 (Cartan 定理 B)

    是 Stein 空间,
    上的凝聚解析层, 则
    ,
    .

    这个讨论班的目标之一就是证明这个定理.

    参考文献

    本讲义的所有内容均来自所列参考文献, 只是证明有时略有不同. 文献按相关性排序.

    L. Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables
    J.-P. Demailly: Complex Analytic and Differential Geometry

    展开全文
  • 复变函数论 钟玉泉

    2018-03-28 14:16:48
    钟玉泉老师的复变函数,还不错的。虽然不够清晰,跟其他作者的对照看看,有收获
  • 复变函数论

    2017-12-15 16:03:54
    数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科,有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源,但由于其特有的困难和复杂性,在研究的重点和方法上
  • 复变函数论基础 出版时间:2014年版 丛编项: 高等学校教材 内容简介  多复变函数理论是当代数学研究的主流方向之一,发展非常迅速。《多复变函数论基础/高等学校教材》是学习多复变函数理论的一本入门教材,内容...
  • 高等教育出版社 zhong'yu'quan一...了解复变函数的定义,掌握复变函数的极限与连续性。 (三)复变函数 1.复变函数的概念;2.复变函数的极限与连续性. (四) 复球面与无穷远点 1.复球面;2.扩充复平面上的几个概念。
  • 复变函数论课后题答案-(第四版-钟玉泉)
  • 复变函数论方法

    2017-12-06 19:28:07
    第一章 基本概念第二章 共形映射第三章 函数论的边值问题及其应用第四章 共形映射的变分原理第五章 函数论在分析上的应用第六章 算子法及其应用第七章 特殊函数参考文献索引译者后记
  • 本书是俄罗斯综合大学和高等技术学校使用的复变函数论教材。它基于前苏联著名数学家、科学院院士拉夫连季耶夫的讲稿,由沙巴特补充整理,并经过多次修订,使内容更为合理,应用实例更为丰富,已成为该领域一本经典...
  • 复变函数起源..希望对你们有用Mathematics复变函数论的发展简况-
  • 这个压缩包里面有史济怀编著的《多复变函数论基础》1996年版与2014年版两个版本的PDF 史济怀,男,1935年11月出生于上海,祖籍浙江湖州,教授,博士生导师 ,中国科学技术大学原副校长 。1958年毕业于复旦大学数学系...
  • 复变函数论第二版 钟玉泉 学习指导书
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  • 复变函数论方法(第6版).part2 复变函数论方法(第6版).part2
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  • 非线性薛定谔方程的求解-讲义 复变函数论的理论深化 想对复变函数进行深入研究的同学不妨看一下
  • 复变函数的课后习题,过程很详细,对于课后习题的解决有很大帮助
  • 复变函数论基础

    2019-05-15 18:54:16
    作者: 史济怀 编著 出版社: 高等教育出版社 出版时间: 1996-05 版次: 1 印刷时间: 1996-05 印次: 1 装帧: 平装 开本: 大32开 页数: 331页
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  • 《华罗庚文集:多复变函数论卷1》包括这些论文的主要结果。在第一章中,证明了一系列的恒等式;第二章是关于矩阵积分的计算:第三章是方阵极坐标表示法及特征流形的体积的计算;第四章是关于核函数及Cauchy公式;第五...
  • 由有理函数的广义积分谈谈复变函数论中的留数 ∫−∞∞11−x6dx \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1-x^6}dx ∫−∞∞​1−x61​dx

    由有理函数的广义积分引入,谈谈复变函数论中的留数

    11x6dx \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1-x^6}dx
      没接触过复变函数的童鞋们们遇到这道积分,多半是将分母因式分解并展开成几个不同的分式分别积分。这种方法虽然可行,但却非常繁琐,需要解题者对此种方法十分熟练。下面我们先用这种方法进行积分。接着再通过介绍复变函数中的留数,对此题作出十分简便的解答。

    经典方法

    • 将被积函数分解
      (1)11x6=A1x+B1+x+Cx+Dx2+x+1+Ex+Fx2x+1 \frac{1}{1-x^6} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} + \frac{Cx+D}{x^2+x+1} + \frac{Ex+F}{x^2-x+1}\tag1
      式(1) × (x-1),再将 x=1 代入,得 A = 1/6;
      式(1) × (x+1),再将 x=-1 代入,得 B = 1/6;
      式(1) 中,将 x= 0 代入,得 D+F = 2/3;
      接下来再计算得到 D = F = 1/3,C = 1/6,D = -1/6。
      以上计算步骤中必须小心,一步错则全盘皆输。
      (2)I=11x6dx=16(11x+11+x+x+2x2+x+1+x+2x2x+1)dx I=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1-x^6}dx=\frac{1}{6}\int_{-\infty}^{\infty}(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}+\frac{x+2}{x^2+x+1}+\frac{-x+2}{x^2-x+1})dx\tag2
    • 分别计算各个分式的积分
      11xdx=limδ0+andξ+(ξ1δ11xdx+1+δξ11xdx)=limδ0+andξ+(ln1+ξδ+lnδ1ξ)=limξ+ln1+ξξ1=0 \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-x}dx=\lim_{δ→0+ and ξ→+\infty}(\int_{-ξ}^{1-δ}\frac{1}{1-x}dx+\int_{1+δ}^{ξ}\frac{1}{1-x}dx)=\lim_{δ→0+ and ξ→+\infty}(\ln{\frac{1+ξ}{δ}}+\ln{\frac{-δ}{1-ξ}})\\=\lim_{ξ→+\infty}\ln\frac{1+ξ}{ξ-1}=0
      (3)11+xdx=11udu=0    (x=u) \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x}dx=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-u}du=0~~~~(令x=-u)\tag3
      上式亦可从对称性以及奇偶性的角度分析:
      由于f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}是奇函数,故而1xdx=0\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx=0,而1x±1\frac{1}{x\pm1}1x\frac{1}{x}平移后的函数,\积分上下限随着平移,积分值不变。而±±1\pm\infty\pm1依旧是±\pm\infty
      (4)x+2x2+x+1dx=x+12(x+12)2+34dx+321(x+12)2+34dx=121(x+12)2+34d[(x+12)2+34]+32×23π=12×0+3π=3π\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x+2}{x^2+x+1}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx+\frac{3}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx\\=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}d[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}]+\frac{3}{2}\times\frac{2}{\sqrt3}\pi\\=\frac{1}{2}\times0+\sqrt{3}\pi=\sqrt{3}\pi\tag4
      同理可得:(5)x+2x2x+1dx=3π\int_{-\infty}^{\infty}\frac{-x+2}{x^2-x+1}dx=\sqrt{3}\pi\tag5(其实不过就是把③中的x换成-x而已,结果一致)
      最终有:(6)I=11x6dx=16(0+0+3π+3π)=π3I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-x^6}dx=\frac{1}{6}(0+0+\sqrt{3}\pi+\sqrt{3}\pi)=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\tag6
        到这里,我们可以看到,这个积分形式是如此的简洁,却用了如此繁琐丑陋的有理函数积分方法求解,数学之美焉存?接下来本文将介绍复变函数中的留数,用求留数的方法轻松、简洁而美丽地解出此积分!Let’s go!

    留数

    • show time!
        这里直接上解法,先让童鞋们对使用留数求解此积分时的简洁与美丽有个直观的认识,背景知识以及相关定理的推导将在下一篇文章中给出。想了解更多的童鞋可以自行找相关资料学习。
      f(x)=11x6f(x)=\frac{1}{1-x^6}中的自变量x(xR)x(x\in R)换成复数z(zC)z(z\in C)f(z)=11z6f(z)=\frac{1}{1-z^6}即为一复变函数。
      1z6=01-z^6=0,即z6=ei0z^6=e^{i\cdot0},可得z=ei0+2kπ6,k=0,1,2,3,4,5z=e^{i\frac{0+2k\pi}{6}},k=0,1,2,3,4,5,这些是f函数f(z)的奇点(后文会介绍到这些是f(z)的一阶极点)
      则有:
      f(z)=11z6=1(z1)(zeiπ3)(zei2π3)(z+1)(zei4π3)(zei5π3)f(z)=\frac{1}{1-z^6}=-\frac{1}{(z-1)(z-e^{i\frac{\pi}{3}})(z-e^{i\frac{2\pi}{3}})(z+1)(z-e^{i\frac{4\pi}{3}})(z-e^{i\frac{5\pi}{3}})} (7)I=11x6dx=2πi[Res f(z)z=eiπ3+Res f(z)z=ei2π3]+πi[Res f(z)z=1+Res f(z)z=1]=2πi[1(1z6)z=eiπ3+1(1z6)z=ei2π3]+πi[1(1z6)z=1+1(1z6)z=1]=2πi6[1z5z=eiπ3+1z5z=ei2π3]πi6[1z5z=1+1z5z=1]                                       =πi3(12+32i12+32i)πi6(11)                                                          =π3                                                                                                                           I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-x^6}dx=2\pi i[Res~f(z)|_{z=e^{i\frac{\pi}{3}}}+Res~f(z)|_{z=e^{i\frac{2\pi}{3}}}]+\pi i[Res~f(z)|_{z=1}+Res~f(z)|_{z=-1}]\\=2\pi i[\frac{1}{(1-z^6)^{'}}|_{z=e^{i\frac{\pi}{3}}}+\frac{1}{(1-z^6)^{'}}|_{z=e^{i\frac{2\pi}{3}}}]+\pi i[\frac{1}{(1-z^6)^{'}}|_{z=1}+\frac{1}{(1-z^6)^{'}}|_{z=-1}]\\=-\frac{2\pi i}{6}[\frac{1}{z^5}|_{z=e^{i\frac{\pi}{3}}}+\frac{1}{z^5}|_{z=e^{i\frac{2\pi}{3}}}]-\frac{\pi i}{6}[\frac{1}{z^5}|_{z=1}+\frac{1}{z^5}|_{z=-1}]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\=-\frac{\pi i}{3}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i)-\frac{\pi i}{6}(1-1)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\=\frac{\pi}{\sqrt3}\tag7~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
      上式中Res f(z)z=z0Res~f(z)|_{z=z_0}表示f(z)f(z)z=z0z=z_0处的留数,至于为何选eiπ3ei2π3e^{i\frac{\pi}{3}}、e^{i\frac{2\pi}{3}}和1、-1,而不选ei4π3e^{i\frac{4\pi}{3}}ei5π3e^{i\frac{5\pi}{3}},是因为eiπ3e^{i\frac{\pi}{3}}ei2π3e^{i\frac{2\pi}{3}}在复平面的上半平面上,1、-1在复平面的实轴上,而ei4π3e^{i\frac{4\pi}{3}}ei5π3e^{i\frac{5\pi}{3}}在复平面的下半平面上。具体原因将在下一篇文章详细介绍和推导。

    结语

      怎么样,留数这个东西是不是很新奇、很简洁美丽!下一篇文章中,我将介绍复变函数的基本知识、重要定理,详细介绍留数相关定理,推导出上文中第二种解法中的依据。敬请期待。

    展开全文
  • 钟玉泉主编的《复变函数论》第三版 课后答案

空空如也

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