复变函数（第五版）课后答案 余家荣 版 课后习题答案 高等教育出版社 第一章 课后题答案与解析
 复变函数（第五版）课后答案 第一章课后答案
 
复变函数 余家荣 版 课后习题答案
 
复变函数 高等教育出版社 课后题答案与解析
 
 
引言
 第一章 复数及复平面 课后习题答案
 § 1.复数及其几何表示
 § 2.复平面的拓扑
 习题一
 第二章 复变函数 课后题答案
 § 1.解析函数
 § 2.初等函数
 习题二
 第三章 复变函数的积分 答案与解析
 § 1.柯西定理
 § 2.柯西公式
 习题三
 第四章 级数 习题答案与解析
 § 1.级数和序列的基本性质
 § 2.泰勒展式
 § 3.洛朗展式
 习题四
 第五章 留数 课后题答案
 § 1.一般理论
 § 2.留数计算的应用
 习题五
 第六章 保形映射 课后习题答案
 § 1.单叶解析函数的映射性质
 § 2.分式线性函数及其映射性质
 § 3.黎曼定理
 习题六
 第七章 解析开拓 课后答案
 § 1.解析开拓概念
 § 2.多角形映射公式
 习题七
 第八章 调和函数
 § 1.调和函数及其性质
 § 2.狄利克雷问题
 习题八
 ?附录一 集与逻辑记号
 1.集的初步概念
 2.函数与映射
 3.逻辑记号
 习题
 ?附录二 若尔当定理
 ?附录三 同调与同伦形式的柯西定理
 1.链与闭链·指标
 2.同调形式的柯西定理
 3.同伦形式的柯西定理
 ?附录四 整函数的无穷乘积展式与亚纯函数的部分分式展式
 1.无穷乘积
 2.整函数的无穷乘积展式
 3.亚纯函数的部分分式展式
 ?附录五 黎曼映射定理与边界对应定理的证明
 ?1.正规族
 2.黎曼映射定理续证
 3.边界对应定理的证明
 ?附录六 多复变函数
 1.解析函数
 2.幂级数
 3.柯西公式与泰勒展式
 4.幂级数的值分布
 部分习题答案及说明

复变函数学习笔记——复数与复平面
 
Ps：素材来源：国防科技大学MOOC，目的是记录自己的学习过程。
 
一，复变函数一览
 
 
二，复数及复平面（一）
 
1.1.1）复数域
 
 
 
 
 1.1.2）复平面
 
a）任何复数都是有模的，但是z = 0时，幅角无意义。
 
 
a）根据arctanx的图像得知arg z（相应的幅角）
 
 
 c）复数 z = x + iy 的三角表示
 
重点是 |z| 等于 z 与 z的共轭 乘积开根号 。
注意两边之和大于第三边，两边之差小于任何一边。三角不等式
注意性质1，复数与直角坐标转换
 
圆方程的复数形式
 
注意复数的实部小于等于复数的模。
 
 
圆的方程
 
 -记住除法公式的应用
 
 
三，复数及复平面（二）
 
1.1.2）乘幂与方根
 
注意虚部是不加 i 的。
棣模弗公式。 注意：升幂公式与降幂公式 (cosA)^2 =(1+cos2A)/2　　(sinA)^2=(1-cos2A)/2
 
 
 
 
 
四，复球面及无穷大
 
1.1.3）
 
 
 

 
复变函数与积分变换
 
出版时间：2011年版
 
内容简介
 
《高等学校十二五规划教材：复变函数与积分变换》主要内容选择力图通俗易懂，包括复变函数、积分变换及Matlab应用简介3个部分共9章，其中第1～2章介绍复变函数的基本概念；第3～6章介绍复变函数的基础理论，包括了复变函数的积分、级数、留数、共形映射等；第7～8章主要介绍了，两种积分变换理论：傅里叶变换和拉普拉斯变换；第9章介绍Matlab及其在求解复变函数与积分变换问题中的应用。每章均有小结并配有习题。《高等学校十二五规划教材：复变函数与积分变换》适合作为高等院校工科各专业，尤其是自动控制、通信、电子信息、机械工程、计算机等本科专业教材，也可供科技、工程技术人员阅读参考。
 
目录
 
引言
 
第1章复数与复变函数
 
1．1复数的概念与运算
 
1．2复变函数及其极限与连续性
 
小结l
 
习题l
 
第2章解析函数
 
2．1解析函数
 
2．2初等函数
 
2．3平面场的复势
 
小结2
 
习题2
 
第3章复变函数的积分
 
3．1复变函数积分的概念
 
3．2柯西(Cauchy)积分定理
 
3．3柯西积分公式
 
3．4解析函数与调和函数的关系
 
小结3
 
习题3
 
第4章级数
 
4．1复数项级数
 
4．2幂级数
 
4．3泰勒级数
 
4．4洛朗级数
 
小结4
 
习题4
 
第5章 留数及其应用
 
5．1孤立奇点
 
5．2 留数
 
5．3 留数在定积分计算上的应用
 
5．4对数留数与辐角原理
 
小结5
 
习题5：
 
第6章共形映射
 
6．1共形映射的概念
 
6．2分式线性映射
 
6．3 唯一决定分式线性映射的条件
 
6．4几个初等函数所构成的映射
 
+6．5关于共形映射的几个一般性定理
 
。6．6施瓦茨一克里斯托费尔映射
 
+6．7拉普拉斯方程的边值问题
 
小结6
 
习题6
 
第7章傅里叶变换
 
7．1傅里叶积分
 
7．2傅里叶变换
 
7．3傅里叶变换的性质
 
7．4卷积定理与相关函数
 
7．5傅里叶变换的应用
 
小结7
 
习题7
 
第8章拉普拉斯变换
 
8．1拉普拉斯变换的概念
 
8．2拉普拉斯变换的性质
 
8．3拉普拉斯逆变换
 
8．4卷积
 
8．5拉普拉斯变换的应用
 
小结8
 
习题8
 
第9章Matlab简介及其在复变函数与积分变换中的应用
 
9．1 Matlab简介
 
9．2 Matlab在复变函数与积分变换中的应用
 
小结9
 
习题9
 
名词索引
 
附录
 
参考文献

总起
 
复变函数这种理科类的课程需要练习，当然技术类的课程也需要练习，他们各自的练习方式是不一样的，技术进步要自己去动手写代码，数学能力的进步需要多做题，多多花时间去研究、归纳，然后在犯错-调整的过程中获得新的知识，写博客作为一种归纳的方式，我觉得是非常好的，它迫使你用自己的话去描述你学到的东西。To teach is the best way to learn 这句话很有道理。
 
复数与复变函数
 
复数高中就学过，最显著的特征就是 $i^2 = -1$, 复数的出现解决了对负数的开平方问题，这样任意的一元二次方程就都有解了。这个印象是对的，至少我学到现在仍然把它当做最主要的特征。我们来回顾一下复数的一点特点吧 
 * 复数一般用 $z$ 来表示：$z =x + iy$. 
 * 它的共轭就是：$\bar{z} = x - iy$ 
 * $z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2$ 
 * $\bar{(\dfrac{z_1}{z_2})} = \dfrac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}$
 
复数表示复平面上的一个向量，因此任意两个复数不能比较大小，很显然，两个方向怎么比大小？东比西大？不可能。
 
复数是个向量，它和实轴正半轴的夹角称为辅角，一般用 $\theta$ 记，我们把它的模写作 $r$, 它就有了一个新的形式，相信你们在很多地方都见过：$z = re^{i\theta}$. 我觉得三角形式大家会见得最多： 
 
 $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$ 
 
一般向量所在的平面叫做坐标平面，复数所在的平面我们称之为复平面.
 
辐角和辐角主值
 
几何上说，辅角 $\theta$ 表示该复数与实轴正半轴的夹角，因此 $\theta$ 的范围是：$(-\pi, \pi]$. 学过三角函数的同学都知道，在坐标平面上的一个角度，加上了 $2k\pi$ 仍然是指向同一个方向，一般复数的辐角都是带有 $2k\pi$ 的。比如 $z = 1 + i$ 的辐角就是 $\frac{\pi}{4} + 2k\pi$. 记法如下： 
 
 $$Arg(z) = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$$ 
 
那么之前说的那个 $(-\pi, \pi]$ 范围内的角度被称为辐角主值. 记作： 
 
 $$arg(z) = \frac{\pi}{4}$$ 
 
美国德州的教材上刚好是反过来的，不过中国的标准是上面所示。一般复数还有另外一种表示方式：$z = x + iy$, 或者复平面上的坐标表示：$(x, y)$. 当复数处于第一和第四象限的时候，我们可以通过公式求得： 
 
 $$arg(z) = \arctan \frac{y}{x}$$ 
 
如果是在二三象限，那么按照求出来的值+或-个 $\pi$ 即可。
 
棣莫弗定理
 
我这里就不说定义了，因为你查书都能找到。我们先看个题目： 
 求$(1+i)^{100}$. 怎么做啊？
 
先求出辐角主值 $\frac{\pi}{4}$，把它化成指数形式 
 
 $$z = 1 + i =  \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$$  

 然后就能做了，指数相乘即可。
 
要是你先把它化成三角形式： 
 
 $$z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$$ 
 
上100次方： 
 
 $$z^{100} = [\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})]^{100}$$ 
 
棣莫弗定理告诉我们，方框外面的100可以乘进去，变成： 
 
 $$2^{50}(\cos\frac{\pi}{4}\times 100 + i\sin\frac{\pi}{4} \times 100)$$ 
 
即 
 
 $$2^{50}(\cos 25\pi + i\sin 25\pi)$$ 
 
这个东西很好算，我们成功地利用棣莫弗定理简化问题，哦也。
 
复变函数
 
函数是一个映射，复变函数也是如此，德州的教材给我的感觉就是复变函数把一个实平面上的区域映射到了复平面上去，知道这个就可以了。
 
复变函数的极限
 
与数学分析里对极限的定义类似，复变函数的极限形式类似： 
 
 $$|f(z)-A|<\epsilon$$ 
 
也可以理解为是： 
 
 $$z=x+iy \to x_0 +iy_0$$ 
 
这里就能够看出，这是类似二元函数的极限，回顾一下有关内容，我们要注意二元函数的极限逼近需要在任意路线上都存在极限，如果能找出一条不存在极限的路径，那么可以说明此极限不存在。
 
适当的例题是必要的。证明：$f(z)=\frac{Re(z)}{|z|}$ 在 $z\to 0$ 时极限不存在。
 
证明： 
 
 $$\lim_{z\to 0}f(z)=\lim_{x\to 0,  y\to 0}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ 
 
这时候选一条路径出来，证明极限不存在；我们选的是直线 $y=kx$: 
 
 $$\lim_{x\to 0,  y\to 0}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{y=kx}=\frac{1}{1+k^2}$$ 
 
最终发现极限与 $k$ 有关，所以极限不存在，证毕。





复变函数的连续性

基本思路是把复变函数换成 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 的形式，然后分别考虑 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 的连续性。
 
例题。讨论 $f(z)=\frac{z Im z^2}{|z|^2}, (z \ne 0)$ 的连续性
 
首先我们化成 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 的形式:
 

 $$f(z)=\frac{z Im z^2}{|z|^2}=\frac{2x^2y}{x^2+y^2}+i\frac{2xy^2}{x^2+y^2}$$ 
 
那就有： 
 
 $$\begin{cases}
u(x,y)=\frac{2x^2y}{x^2+y^2}\\
v(x,y)=\frac{2xy^2}{x^2+y^2}
\end{cases}$$ 
 
因为两者是对称的，所以这里只给出 $u(x,y)$ 的连续性证明。当 $(x_0,y_0)\ne(0,0)$ 时，$u(x,y)\to u(x_0,y_0)$, 当 $(x_0,y_0)=(0,0)$ 时： 
 
 $$0 \leq |\frac{2x^2y}{x^2+y^2}| \leq |x|\cdot \frac{|2xy|}{x^2+y^2}\leq |x|\cdot \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=|x|\to 0$$ 
 
其中用到了基本不等式的知识： 
 
 $$2xy \leq x^2+y^2$$ 
 
因此连续性得到证明。
 
 
解析函数
 
判断是否可导
 
判断是否可导的讨论和数学分析里一样，就是判断 
 
 $$f'(z)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$  

 这个极限是否存在。证明极限是否存在的方法在上面的连续性证明当中已经说过，不再赘述。
 
下面是一些比较简单易懂的归纳：
 
连续：给定一点，有意义
解析 等价于 可导
解析函数也称为正则函数
 
于是判断解析性也就是判断可导性。
 
柯西-黎曼条件
 
(Cauchy-Riemann）条件是用来判断一个复变函数是否解析的，因为上面的方法很多时候会遇到死胡同，所以几个世纪前的大师们就开发了一个新的方法。
 
一个函数解析，等价于：对于任意 $z=x+iy, f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 
 (1). 可导 
 (2). $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
 
例题来一发：讨论 $f(z)=z^2$ 的解析性。 
 答： 
 
 $$u(x,y)=x^2-y^2 \\
v(x,y)=2xy$$ 
 
对其求偏导以后得到： 
 
 $$\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y$$ 
 
和 
 
 $$\frac{\partial v}{\partial x}=2y,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=2x$$ 
 
满足柯西-黎曼条件，函数解析。
 
 
复变函数的求导
 
如果 $f(z)$ 写成的是关于 $z$ 的函数，那么按照普通函数的求导法则即可给复变函数求导，如果 $f(z)$ 写成的是关于 $x$ 和 $y$ 的函数，那就遵循下面的公式： 
 
 $$f'(z)=f_x(z)=-if_y(z)$$ 
 
其中 
 
 $$f_x(z)=u_x(z)+iv_x(z) \\
-if_y(z)=v_y(z)-iu_y(z)$$ 
 
$u_x$ 和 $v_x$ 那都是偏导数，容易理解的，按照上面的公式，我们就完成了求导的介绍。
 
调和函数
 
就是这样冒出来的概念，我也不知道它的意义所在，也许后面会提到，但肯定会考到，所以归纳一下也是必要的。它的定义是这个样子的：如果 $f(z)=u+iv$ 是 $D$ 内的解析函数，那么 $u$, $v$ 就是调和函数。



Laplace方程

就是拉普拉斯方程，这是调和函数 $v(x,y)$ 一定满足的条件： 
 
 $$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2v}{\partial y^2}=0$$ 
 
于是要验证调和函数就看它是否满足拉普拉斯方程即可，例题就不给出了。
 
一些三角函数
 

 $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2} \\
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$ 
 
这个是要记住的，因为做题时候用得到。再介绍两个奇怪一点的：
 
双曲余弦： 
 
 $$ch  z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$$ 
 
双曲正弦： 
 
 $$sh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$$ 
 
$ch z, sh z$ 是全平面的解析函数，他们有对称的求导法则： 
 
 $$ch' z=sh z \\
sh' z=ch z$$ 
 
三角函数就是多做题才能领会，例题：求 $\cos (\pi+5i)$ 
 
 $$\cos (\pi+5i) = \frac{1}{2}(e^{i\pi-5}+e^{-i\pi+5})$$ 
 
最后得到结果： 
 
 $$-\frac{1}{2}(e^5+e^{-5})=-ch 5$$ 
 
 
对数函数
 

 $$Ln z=ln|z|+i(arg z +2k\pi) \\
ln z=ln|z|+i \cdot arg z$$ 
 
幂函数
 

 $$z^{\alpha}=e^{\alpha Ln z}$$ 
 
例题，求 $1^{\sqrt{2}}$. 
 
 $$z=1=1+0i$$ 
 
辅角主值是 $0$, 于是代进上面的公式： 

 $$1^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}Ln z}$$ 
 
随后： 
 
 $$=e^{\sqrt{2}(ln 1+i(2k\pi))} \\
=e^{2\sqrt{2}k\pi i}$$ 
 
复变函数的积分