本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.
更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.
温故而知新. 在这一节中, 我们选择性地回顾若干单复变函数论中的问题与方法, 并尝试将其推广至多复变函数.
多复变函数论研究的是多元全纯函数. 仿照一元情形, 我们有
定义 设 
 是开集. 称 
全纯, 若 
 且 
 满足 
Cauchy–Riemann 方程 
. 记 
 上全纯函数的空间为 
.
注 这个定义中 
 的条件是不必要的, 它可以在两种互不包含的意义下放宽. 其一是仅假设 
 各偏导存在, 且 
 作为经典导数逐点成立. 下面将证明的 Hartogs 定理断言这推出 
. 其二是假设 
 是分布, 且 
 作为弱导数成立. 由于 
 是椭圆算子, 标准的椭圆正则性理论直接推出 
.
有了全纯的概念后, 我们便可以谈论复流形及其间的全纯映射等等, 这些定义是显然的, 不再赘述. 另外, 为方便起见, 我们将不加说明地使用复几何中的标准记号, 例如 
.
Cauchy 积分表示
单复变中全纯函数的许多基本性质都是 Cauchy 积分公式的直接推论. 同样的结论与证明也适用于多元函数.
定理 (Cauchy–Pompeiu 积分公式) 设 
 是有界开集, 
 是 
 简单闭曲线, 
, 则
证 在 
 上对 
 用 Stokes 公式, 再令 
. 
当 
 全纯时, 此即通常的 Cauchy 积分公式. 另一方面, 它也给出了一元非齐次 Cauchy–Riemann 方程的解的构造.
推论 (一元 
-Poincaré 引理)
 在分布意义下 
. 换言之, 对 
, 定义
则 
.
证 换元 
, 在积分号下求导, 再在足够大的圆盘上用 Cauchy–Pompeiu 积分公式. 
在多复变中, 对多元函数各分量应用 Cauchy 积分公式即得其多元版本. 为此我们需要多圆盘的概念.
定义 开多圆盘指形如 
 的区域, 其中 
. 其
特殊边界定义为 
. 注意通常 
.
推论 (Osgood 引理) 设 
 是开集, 
, 则
由此立得一系列全纯函数的基本性质, 它们的证明与一元情形完全类似, 故略去. 下设 
 是开集.
推论 开多圆盘上全纯函数在中心处的 Taylor 级数展开绝对收敛到它自己. 特别地, 全纯 
解析, 即局部可写成绝对收敛的幂级数 
, 其中 
.
推论 (恒等定理, 解析延拓的唯一性) 设 
 连通, 
 在非空开子集上相等, 则 
.
推论 (极大模原理) 设 
 连通, 
 , 
 在 
 上取得极大值, 则 
 是常数.
推论 (Cauchy 不等式) 设 
, 则
推论 (Liouville) 
 上的有界全纯函数必为常数.
推论 
 上 
 拓扑与 
 拓扑相同. 特别地, 
 在 
 中闭.
注 注意 
 拓扑和 
 拓扑几乎分别是函数空间上能给的最粗糙和最精细的拓扑, 而位于二者之间的函数空间拓扑在 
 上都相同, 例如任意 Соболев 范数拓扑. 这当然是 
 的椭圆正则性的体现. 我们赋予 
 该拓扑, 从而它具有 Fréchet 空间的结构.
推论 (Montel) 
 是 Montel 空间, 即它满足 Heine–Borel 性质, 即有界闭 
 紧.
作为 Cauchy 积分表示的另一应用, 我们证明多元 
-Poincaré 引理, 它也称为 Dolbeault–Grothendieck 引理.
定理 (Dolbeault–Grothendieck 引理) 
, 
. 换言之, 若 
 满足 
, 则存在 
 使 
.
证 先证对 
, 存在 
 使得在 
 上 
. 乘以在 
 上 
 的截断函数后, 不妨设 
 紧支. 归纳地, 设 
, 其中 
 只含有 
. 定义
即对 
 的每个系数关于第 
 个分量应用一元 
-Poincaré 引理的构造. 考虑 
. 对 
, 
, 故 
, 这里 
 表示对第 
 个分量作用 
. 由一元 
-Poincaré 引理, 
. 因此 
, 其中 
 只含有 
. 对 
 继续这样做即得 
.
取一列 
. 对每个 
, 取 
 使得在 
 上 
. 于是 
. 由幂级数展开, 可取 
 使得 
. 则 
 即为所求. 
该证明后半部分的逼近方法是复变的常用技术, 以后会见到其一般形式.
多次调和函数
定义 设 
 是开集. 称 
次调和, 若 
 上半连续, 且
记 
 上次调和函数的空间为 
.
定义 设 
 是开集. 称 
多次调和, 若 
 上半连续, 且 
 限制在每条复线与 
 的交上均是次调和的. 记 
 上多次调和函数的空间为 
.
注 可类似定义 
 中开集上的次调和函数, 其基本理论与 
 上的相同. 由于我们不会用到这些函数, 故不详细讨论, 仅仅指出 
, 即多次调和函数是一类适用于多复变的特殊的次调和函数.
我们不加证明地胡乱罗列一些基本性质. 证明见 [Demailly] 与 [Hörmander].
命题 设 
 是开集, 
 上半连续. 下述等价于 
 次调和:

(1) 
, 
, 
 在 
 上调和, 在 
 上 
 在 
 上 
.

(2) 
, 
, 在 
 上 
 在 
 上 
.

(3) 
, 
.

(4) 
, 
.

(5) ... (其余等价刻画略)
命题 设 
 是开集. 若 
, 则 
 (作为 Hermite 矩阵). 一般地, 
 在分布意义下成立.
命题 次调和函数在连通分支上要么 
 要么 
.
命题 设 
 是开集, 
, 则 
 处处成立, 其中 
 为任意标准磨光子. 特别地, 若 
 几乎处处相等, 则 
.
命题 设 
 是开集.

(1) 若 
, 
, 则 
.

(2) 若 
 且 
 上半连续, 则 
.

(3) 若 
, 
, 则 
.

(4) 若 
, 
 凸且关于各分量递增, 则 
.
例 若 
, 则 
.
这是全纯与次调和的一个重要联系. 我们给出两个证明. 只需证明一元情形.
证 1 这由 Jensen 公式直接推得: 若 
, 记 
 为 
 在 
 中的零点, 则
证 2 对 
, 
. 用极大模原理. 
一个有趣的推论是, 若 
, 则 
 的零点集零测, 因为 
.
Hartogs 分别全纯定理
作为次调和函数的应用, 我们证明前文提到的
定理 (Hartogs) 设 
 是开集, 
 各偏导存在且 
, 则 
 解析.
 即 
 关于各分量全纯, 简称为
分别全纯. 这个定理就是说分别全纯 
 全纯. 注意我们甚至不假设 
 连续. 事实上, 若假设连续, 则证明十分容易.
步骤 1 局部有界 + 分别全纯 
 解析.
证 1 回忆 Osgood 引理. 由于 
 关于各实分量连续, 
 Borel 可测. 又 
 局部有界, 故 Osgood 引理中右边积分作为 Lebesgue 积分绝对可积. 因此通常的全纯 
 解析的证明依然适用, 即该积分表示推出 
 有幂级数展开. 
证 2 
. 对每个 
, 右边的第 
 项是 
 的全纯函数, 它在 
 附近有界, 且 
 时取 
. 由单复变中的 Schwarz 引理, 它 
. 故 
 局部 Lipschitz 连续, 从而 Osgood 引理中右边积分作为 Riemann 积分可积. 其余同证 1. 
如何得到有界? 答案是用 Baire 纲定理. 对 
 归纳. 单复变中的 Goursat 定理推出 
 的情况. 假设结论对 
 维成立. 下面记 
, 
 等, 其中 
 表示前 
 个分量的部分.
步骤 2 设 
 在 
 上分别全纯, 则对任意 
, 存在非空开集 
 使得 
 在 
 上有界.
证 由 
 的情形, 
 关于 
 连续, 故 
. 由归纳假设, 
 关于前 
 个分量连续, 故上式左边均为闭集. 用 Baire 纲定理. 
下面的目标是由此推出 
 在整个 
 上解析, 做法是对其幂级数展开的系数应用次调和函数的如下性质. 这是该证明的核心.
引理 (Hartogs) 设 
 是开集, 
 局部有一致上界. 若在 
 上 
, 则 
, 
, 
 使 
, 
.
证 取 
 使得 
. 由于 
 局部有一致上界, 不妨设 
, 
. 任取 
. 由 Fatou 引理, 
. 取 
 使得 
, 
. 由平均值不等式及 
, 对 
, 
, 
, 有 
, 故 
. 不妨设 
, 则可取 
 使得上式右边 
. 用有限个 
 覆盖 
, 取对应 
 的 
 即得欲证. 
注 该引理对 
 中开集上的次调和函数也成立, 证明相同.
步骤 3 设 
, 
 在 
 上分别全纯, 在 
 上解析, 则 
 在 
 上解析, 这里 
.
证 任取 
. 设 
 的幂级数展开为 
. 由 Cauchy 不等式, 
, 故 
 在 
 上有一致上界. 对 
, 该幂级数在 
 上绝对收敛, 故 
, 故在 
 上 
. 对 
 应用引理, 得 
 使 
, 
. 这说明该幂级数在 
 上绝对收敛. 令 
, 即得 
 在 
 上解析. 
定理的证明 留作习题.
Cousin 问题初探
单复变中有两个关于全纯函数的存在性的重要定理:
定理 (Mittag-Leffler) 设 
 是开集, 
 局部有限. 对每个 
, 任取 
, 则存在 
 使得 
 在每个 
 附近的主部为 
, 且 
 在 
 上全纯.
定理 (Weierstraß) 设 
 是开集, 
 局部有限. 对每个 
, 任取 
, 则存在 
 使得 
 在每个 
 处的阶为 
, 且 
 在 
 上 
.
如何将其推广至多元情形? 尽管我们还未定义多元亚纯函数, 但不难想象, 多元亚纯函数的局部行为不再能被主部或阶这样的概念刻画. 因此, 我们先将问题转述为更适合多元理论的形式. 这里合适的语言是层的 Čech 上同调.
先看 Mittag-Leffler 问题. 考虑 
 的开覆盖 
, 其中对 
, 
 是 
 的小邻域, 而 
. 令 
, 
, 则 
, 且 
 定义了层上同调类 
. 若该上同调类平凡, 即存在 
 使得 
, 
, 则 
 拼接成所要的亚纯函数. 反之依然. 因此, 该 Mittag-Leffler 问题有解 
 该上同调类平凡. 这样表述的 Mittag-Leffler 问题可以直接搬到多元情形, 此即
问题 (第一 Cousin 问题) 设 
 是复流形, 
 是 
 的开覆盖, 
 使得 
. 是否存在 
 使得 
?
由上述讨论立得
命题 上述第一 Cousin 问题可解 
. 特别地, 若 
, 则 
 上所有第一 Cousin 问题可解.
对 Weierstraß 问题有类似的讨论.
问题 (第二 Cousin 问题) 设 
 是复流形, 
 是 
 的开覆盖, 
 使得 
. 是否存在 
 使得 
?
命题 上述第二 Cousin 问题可解 
. 特别地, 若 
, 则 
 上所有第一 Cousin 问题可解.
一般地, 多复变中证明层上同调消失的最强大的工具是著名的
定理 (Cartan 定理 B) 设 
 是 Stein 空间, 
 是 
 上的凝聚解析层, 则 
, 
.
这个讨论班的目标之一就是证明这个定理.
参考文献
本讲义的所有内容均来自所列参考文献, 只是证明有时略有不同. 文献按相关性排序.
L. Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables
J.-P. Demailly: Complex Analytic and Differential Geometry

本文及接下来一系列题为《多复变函数论》的文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设的同名讨论班的讲义.
更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好的讲义一并发出.
温故而知新. 在这一节中, 我们选择性地回顾若干单复变函数论中的问题与方法, 并尝试将其推广至多复变函数.
多复变函数论研究的是多元全纯函数. 仿照一元情形, 我们有
定义 设 
 是开集. 称 
全纯, 若 
 且 
 满足 
Cauchy–Riemann 方程 
. 记 
 上全纯函数的空间为 
.
注 这个定义中 
 的条件是不必要的, 它可以在两种互不包含的意义下放宽. 其一是仅假设 
 各偏导存在, 且 
 作为经典导数逐点成立. 下面将证明的 Hartogs 定理断言这推出 
. 其二是假设 
 是分布, 且 
 作为弱导数成立. 由于 
 是椭圆算子, 标准的椭圆正则性理论直接推出 
.
有了全纯的概念后, 我们便可以谈论复流形及其间的全纯映射等等, 这些定义是显然的, 不再赘述. 另外, 为方便起见, 我们将不加说明地使用复几何中的标准记号, 例如 
.
Cauchy 积分表示
单复变中全纯函数的许多基本性质都是 Cauchy 积分公式的直接推论. 同样的结论与证明也适用于多元函数.
定理 (Cauchy–Pompeiu 积分公式) 设 
 是有界开集, 
 是 
 简单闭曲线, 
, 则
证 在 
 上对 
 用 Stokes 公式, 再令 
. 
当 
 全纯时, 此即通常的 Cauchy 积分公式. 另一方面, 它也给出了一元非齐次 Cauchy–Riemann 方程的解的构造.
推论 (一元 
-Poincaré 引理)
 在分布意义下 
. 换言之, 对 
, 定义
则 
.
证 换元 
, 在积分号下求导, 再在足够大的圆盘上用 Cauchy–Pompeiu 积分公式. 
在多复变中, 对多元函数各分量应用 Cauchy 积分公式即得其多元版本. 为此我们需要多圆盘的概念.
定义 开多圆盘指形如 
 的区域, 其中 
. 其
特殊边界定义为 
. 注意通常 
.
推论 (Osgood 引理) 设 
 是开集, 
, 则
由此立得一系列全纯函数的基本性质, 它们的证明与一元情形完全类似, 故略去. 下设 
 是开集.
推论 开多圆盘上全纯函数在中心处的 Taylor 级数展开绝对收敛到它自己. 特别地, 全纯 
解析, 即局部可写成绝对收敛的幂级数 
, 其中 
.
推论 (恒等定理, 解析延拓的唯一性) 设 
 连通, 
 在非空开子集上相等, 则 
.
推论 (极大模原理) 设 
 连通, 
 , 
 在 
 上取得极大值, 则 
 是常数.
推论 (Cauchy 不等式) 设 
, 则
推论 (Liouville) 
 上的有界全纯函数必为常数.
推论 
 上 
 拓扑与 
 拓扑相同. 特别地, 
 在 
 中闭.
注 注意 
 拓扑和 
 拓扑几乎分别是函数空间上能给的最粗糙和最精细的拓扑, 而位于二者之间的函数空间拓扑在 
 上都相同, 例如任意 Соболев 范数拓扑. 这当然是 
 的椭圆正则性的体现. 我们赋予 
 该拓扑, 从而它具有 Fréchet 空间的结构.
推论 (Montel) 
 是 Montel 空间, 即它满足 Heine–Borel 性质, 即有界闭 
 紧.
作为 Cauchy 积分表示的另一应用, 我们证明多元 
-Poincaré 引理, 它也称为 Dolbeault–Grothendieck 引理.
定理 (Dolbeault–Grothendieck 引理) 
, 
. 换言之, 若 
 满足 
, 则存在 
 使 
.
证 先证对 
, 存在 
 使得在 
 上 
. 乘以在 
 上 
 的截断函数后, 不妨设 
 紧支. 归纳地, 设 
, 其中 
 只含有 
. 定义
即对 
 的每个系数关于第 
 个分量应用一元 
-Poincaré 引理的构造. 考虑 
. 对 
, 
, 故 
, 这里 
 表示对第 
 个分量作用 
. 由一元 
-Poincaré 引理, 
. 因此 
, 其中 
 只含有 
. 对 
 继续这样做即得 
.
取一列 
. 对每个 
, 取 
 使得在 
 上 
. 于是 
. 由幂级数展开, 可取 
 使得 
. 则 
 即为所求. 
该证明后半部分的逼近方法是复变的常用技术, 以后会见到其一般形式.
多次调和函数
定义 设 
 是开集. 称 
次调和, 若 
 上半连续, 且
记 
 上次调和函数的空间为 
.
定义 设 
 是开集. 称 
多次调和, 若 
 上半连续, 且 
 限制在每条复线与 
 的交上均是次调和的. 记 
 上多次调和函数的空间为 
.
注 可类似定义 
 中开集上的次调和函数, 其基本理论与 
 上的相同. 由于我们不会用到这些函数, 故不详细讨论, 仅仅指出 
, 即多次调和函数是一类适用于多复变的特殊的次调和函数.
我们不加证明地胡乱罗列一些基本性质. 证明见 [Demailly] 与 [Hörmander].
命题 设 
 是开集, 
 上半连续. 下述等价于 
 次调和:

(1) 
, 
, 
 在 
 上调和, 在 
 上 
 在 
 上 
.

(2) 
, 
, 在 
 上 
 在 
 上 
.

(3) 
, 
.

(4) 
, 
.

(5) ... (其余等价刻画略)
命题 设 
 是开集. 若 
, 则 
 (作为 Hermite 矩阵). 一般地, 
 在分布意义下成立.
命题 次调和函数在连通分支上要么 
 要么 
.
命题 设 
 是开集, 
, 则 
 处处成立, 其中 
 为任意标准磨光子. 特别地, 若 
 几乎处处相等, 则 
.
命题 设 
 是开集.

(1) 若 
, 
, 则 
.

(2) 若 
 且 
 上半连续, 则 
.

(3) 若 
, 
, 则 
.

(4) 若 
, 
 凸且关于各分量递增, 则 
.
例 若 
, 则 
.
这是全纯与次调和的一个重要联系. 我们给出两个证明. 只需证明一元情形.
证 1 这由 Jensen 公式直接推得: 若 
, 记 
 为 
 在 
 中的零点, 则
证 2 对 
, 
. 用极大模原理. 
一个有趣的推论是, 若 
, 则 
 的零点集零测, 因为 
.
Hartogs 分别全纯定理
作为次调和函数的应用, 我们证明前文提到的
定理 (Hartogs) 设 
 是开集, 
 各偏导存在且 
, 则 
 解析.
 即 
 关于各分量全纯, 简称为
分别全纯. 这个定理就是说分别全纯 
 全纯. 注意我们甚至不假设 
 连续. 事实上, 若假设连续, 则证明十分容易.
步骤 1 局部有界 + 分别全纯 
 解析.
证 1 回忆 Osgood 引理. 由于 
 关于各实分量连续, 
 Borel 可测. 又 
 局部有界, 故 Osgood 引理中右边积分作为 Lebesgue 积分绝对可积. 因此通常的全纯 
 解析的证明依然适用, 即该积分表示推出 
 有幂级数展开. 
证 2 
. 对每个 
, 右边的第 
 项是 
 的全纯函数, 它在 
 附近有界, 且 
 时取 
. 由单复变中的 Schwarz 引理, 它 
. 故 
 局部 Lipschitz 连续, 从而 Osgood 引理中右边积分作为 Riemann 积分可积. 其余同证 1. 
如何得到有界? 答案是用 Baire 纲定理. 对 
 归纳. 单复变中的 Goursat 定理推出 
 的情况. 假设结论对 
 维成立. 下面记 
, 
 等, 其中 
 表示前 
 个分量的部分.
步骤 2 设 
 在 
 上分别全纯, 则对任意 
, 存在非空开集 
 使得 
 在 
 上有界.
证 由 
 的情形, 
 关于 
 连续, 故 
. 由归纳假设, 
 关于前 
 个分量连续, 故上式左边均为闭集. 用 Baire 纲定理. 
下面的目标是由此推出 
 在整个 
 上解析, 做法是对其幂级数展开的系数应用次调和函数的如下性质. 这是该证明的核心.
引理 (Hartogs) 设 
 是开集, 
 局部有一致上界. 若在 
 上 
, 则 
, 
, 
 使 
, 
.
证 取 
 使得 
. 由于 
 局部有一致上界, 不妨设 
, 
. 任取 
. 由 Fatou 引理, 
. 取 
 使得 
, 
. 由平均值不等式及 
, 对 
, 
, 
, 有 
, 故 
. 不妨设 
, 则可取 
 使得上式右边 
. 用有限个 
 覆盖 
, 取对应 
 的 
 即得欲证. 
注 该引理对 
 中开集上的次调和函数也成立, 证明相同.
步骤 3 设 
, 
 在 
 上分别全纯, 在 
 上解析, 则 
 在 
 上解析, 这里 
.
证 任取 
. 设 
 的幂级数展开为 
. 由 Cauchy 不等式, 
, 故 
 在 
 上有一致上界. 对 
, 该幂级数在 
 上绝对收敛, 故 
, 故在 
 上 
. 对 
 应用引理, 得 
 使 
, 
. 这说明该幂级数在 
 上绝对收敛. 令 
, 即得 
 在 
 上解析. 
定理的证明 留作习题.
Cousin 问题初探
单复变中有两个关于全纯函数的存在性的重要定理:
定理 (Mittag-Leffler) 设 
 是开集, 
 局部有限. 对每个 
, 任取 
, 则存在 
 使得 
 在每个 
 附近的主部为 
, 且 
 在 
 上全纯.
定理 (Weierstraß) 设 
 是开集, 
 局部有限. 对每个 
, 任取 
, 则存在 
 使得 
 在每个 
 处的阶为 
, 且 
 在 
 上 
.
如何将其推广至多元情形? 尽管我们还未定义多元亚纯函数, 但不难想象, 多元亚纯函数的局部行为不再能被主部或阶这样的概念刻画. 因此, 我们先将问题转述为更适合多元理论的形式. 这里合适的语言是层的 Čech 上同调.
先看 Mittag-Leffler 问题. 考虑 
 的开覆盖 
, 其中对 
, 
 是 
 的小邻域, 而 
. 令 
, 
, 则 
, 且 
 定义了层上同调类 
. 若该上同调类平凡, 即存在 
 使得 
, 
, 则 
 拼接成所要的亚纯函数. 反之依然. 因此, 该 Mittag-Leffler 问题有解 
 该上同调类平凡. 这样表述的 Mittag-Leffler 问题可以直接搬到多元情形, 此即
问题 (第一 Cousin 问题) 设 
 是复流形, 
 是 
 的开覆盖, 
 使得 
. 是否存在 
 使得 
?
由上述讨论立得
命题 上述第一 Cousin 问题可解 
. 特别地, 若 
, 则 
 上所有第一 Cousin 问题可解.
对 Weierstraß 问题有类似的讨论.
问题 (第二 Cousin 问题) 设 
 是复流形, 
 是 
 的开覆盖, 
 使得 
. 是否存在 
 使得 
?
命题 上述第二 Cousin 问题可解 
. 特别地, 若 
, 则 
 上所有第一 Cousin 问题可解.
一般地, 多复变中证明层上同调消失的最强大的工具是著名的
定理 (Cartan 定理 B) 设 
 是 Stein 空间, 
 是 
 上的凝聚解析层, 则 
, 
.
这个讨论班的目标之一就是证明这个定理.
参考文献
本讲义的所有内容均来自所列参考文献, 只是证明有时略有不同. 文献按相关性排序.
L. Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables
J.-P. Demailly: Complex Analytic and Differential Geometry

由有理函数的广义积分引入，谈谈复变函数论中的留数
$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1-x^6}dx$

  没接触过复变函数的童鞋们们遇到这道积分，多半是将分母因式分解并展开成几个不同的分式分别积分。这种方法虽然可行，但却非常繁琐，需要解题者对此种方法十分熟练。下面我们先用这种方法进行积分。接着再通过介绍复变函数中的留数，对此题作出十分简便的解答。
经典方法

将被积函数分解

$\frac{1}{1-x^6} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1+x} + \frac{Cx+D}{x^2+x+1} + \frac{Ex+F}{x^2-x+1}\tag1$

式(1) × (x-1)，再将 x=1 代入，得 A = 1/6；

式(1) × (x+1)，再将 x=-1 代入，得 B = 1/6；

式(1) 中，将 x= 0 代入，得 D+F = 2/3；

接下来再计算得到 D = F = 1/3，C = 1/6，D = -1/6。

以上计算步骤中必须小心，一步错则全盘皆输。

$I=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1-x^6}dx=\frac{1}{6}\int_{-\infty}^{\infty}(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}+\frac{x+2}{x^2+x+1}+\frac{-x+2}{x^2-x+1})dx\tag2$
分别计算各个分式的积分

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-x}dx=\lim_{δ→0+ and ξ→+\infty}(\int_{-ξ}^{1-δ}\frac{1}{1-x}dx+\int_{1+δ}^{ξ}\frac{1}{1-x}dx)=\lim_{δ→0+ and ξ→+\infty}(\ln{\frac{1+ξ}{δ}}+\ln{\frac{-δ}{1-ξ}})\\=\lim_{ξ→+\infty}\ln\frac{1+ξ}{ξ-1}=0$

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x}dx=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-u}du=0~~~~(令x=-u)\tag3$

上式亦可从对称性以及奇偶性的角度分析：

由于$f(x)=\frac{1}{x}$是奇函数，故而$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x}dx=0$,而$\frac{1}{x\pm1}$是$\frac{1}{x}$平移后的函数，\积分上下限随着平移，积分值不变。而$\pm\infty\pm1$依旧是$\pm\infty$

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x+2}{x^2+x+1}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx+\frac{3}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx\\=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}d[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}]+\frac{3}{2}\times\frac{2}{\sqrt3}\pi\\=\frac{1}{2}\times0+\sqrt{3}\pi=\sqrt{3}\pi\tag4$

同理可得：$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{-x+2}{x^2-x+1}dx=\sqrt{3}\pi\tag5$(其实不过就是把③中的x换成-x而已，结果一致)

最终有：$I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-x^6}dx=\frac{1}{6}(0+0+\sqrt{3}\pi+\sqrt{3}\pi)=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\tag6$

  到这里，我们可以看到，这个积分形式是如此的简洁，却用了如此繁琐丑陋的有理函数积分方法求解，数学之美焉存？接下来本文将介绍复变函数中的留数，用求留数的方法轻松、简洁而美丽地解出此积分！Let’s go!

留数

show time！

  这里直接上解法，先让童鞋们对使用留数求解此积分时的简洁与美丽有个直观的认识，背景知识以及相关定理的推导将在下一篇文章中给出。想了解更多的童鞋可以自行找相关资料学习。

把$f(x)=\frac{1}{1-x^6}$中的自变量$x(x\in R)$换成复数$z(z\in C)$，$f(z)=\frac{1}{1-z^6}$即为一复变函数。

令$1-z^6=0$，即$z^6=e^{i\cdot0}$,可得$z=e^{i\frac{0+2k\pi}{6}},k=0,1,2,3,4,5，$这些是f函数f(z)的奇点（后文会介绍到这些是f(z)的一阶极点）

则有:

$f(z)=\frac{1}{1-z^6}=-\frac{1}{(z-1)(z-e^{i\frac{\pi}{3}})(z-e^{i\frac{2\pi}{3}})(z+1)(z-e^{i\frac{4\pi}{3}})(z-e^{i\frac{5\pi}{3}})}$ $I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1-x^6}dx=2\pi i[Res~f(z)|_{z=e^{i\frac{\pi}{3}}}+Res~f(z)|_{z=e^{i\frac{2\pi}{3}}}]+\pi i[Res~f(z)|_{z=1}+Res~f(z)|_{z=-1}]\\=2\pi i[\frac{1}{(1-z^6)^{'}}|_{z=e^{i\frac{\pi}{3}}}+\frac{1}{(1-z^6)^{'}}|_{z=e^{i\frac{2\pi}{3}}}]+\pi i[\frac{1}{(1-z^6)^{'}}|_{z=1}+\frac{1}{(1-z^6)^{'}}|_{z=-1}]\\=-\frac{2\pi i}{6}[\frac{1}{z^5}|_{z=e^{i\frac{\pi}{3}}}+\frac{1}{z^5}|_{z=e^{i\frac{2\pi}{3}}}]-\frac{\pi i}{6}[\frac{1}{z^5}|_{z=1}+\frac{1}{z^5}|_{z=-1}]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\=-\frac{\pi i}{3}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i)-\frac{\pi i}{6}(1-1)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\=\frac{\pi}{\sqrt3}\tag7~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

上式中$Res~f(z)|_{z=z_0}$表示$f(z)$在$z=z_0$处的留数，至于为何选$e^{i\frac{\pi}{3}}、e^{i\frac{2\pi}{3}}$和1、-1，而不选$e^{i\frac{4\pi}{3}}$和$e^{i\frac{5\pi}{3}}$，是因为$e^{i\frac{\pi}{3}}$、$e^{i\frac{2\pi}{3}}$在复平面的上半平面上，1、-1在复平面的实轴上，而$e^{i\frac{4\pi}{3}}$、$e^{i\frac{5\pi}{3}}$在复平面的下半平面上。具体原因将在下一篇文章详细介绍和推导。

结语
  怎么样，留数这个东西是不是很新奇、很简洁美丽！下一篇文章中，我将介绍复变函数的基本知识、重要定理，详细介绍留数相关定理，推导出上文中第二种解法中的依据。敬请期待。