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  • 等比数列

    2018-04-15 23:10:50
    fr=aladdin等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式推导过程: Sn = a1 + a2 + ... + an q*Sn = q*(a1 + a2 + ... + an) = q*a1 + q*a2 + ... + q*an = a2 + a3 + ... + an ...

    参考:https://baike.baidu.com/item/等比数列公式/3288970?fr=aladdin

    等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式

    推导过程:

          Sn = a1 + a2 + ... + an

        q*Sn = q*(a1 + a2 + ... + an) = q*a1 + q*a2 + ... + q*an = a2 + a3 + ... + an + a(n+1)

        (1 - q)Sn = a1 - a(n+1) = a1 - a1 * (q^n) = a1 * (1 - q^n)

        当q != 1时,Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)

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  • 等比数列的性质

    千次阅读 2019-01-03 09:26:00
    一、等比数列的相关概念: 定义:自然语言略,符号语言:\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=q\),\(n\ge 2\),\(n\in N^*\),\(q\)为常数。 等比中项:如果三个实数\(a,G,b\)成等比数列,则\(G\)称为\(a,b\)的等比中项,...

    一、等比数列的相关概念:

    • 定义:自然语言略,符号语言:\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=q\)\(n\ge 2\)\(n\in N^*\)\(q\)为常数。

    • 等比中项:如果三个实数\(a,G,b\)成等比数列,则\(G\)称为\(a,b\)的等比中项,满足\(G^2=ab\)

    注意:必须\(ab>0\)才能保证\(G\)的存在性。

    任意两个实数都有等差中项,但任意两个实数不一定都有等比中项。

    • 等比数列的通项公式:\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\),推广形式为\(a_n=a_m\cdot q^{n-m}\)

    • 等比数列的前\(n\)项和公式:\(S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1,q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q},q\neq 1}\end{array}\right.\)

    其中\(n\)为参与求和的项数,而不是最后一项的指数。是分段函数,当不知道\(q\)的值时,应该分类讨论。

    二、等比数列的性质

    • ①在等比数列\(\{a_n\}\)中,若\(m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k\in N^*)\),则\(a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q=a_k^2\)

    • ②若数列\(\{a_n\}\)\(\{b_n\}\)(项数相同)是等比数列,则\(\{\lambda a_n\}(\lambda\neq 0)\)\(\{\cfrac{1}{a_n}\}\)\(\{a_n^2\}\)\(\{a_n\cdot b_n\}\)\(\{\cfrac{a_n}{b_n}\}\)仍然是等比数列;

    • ③在等比数列\(\{a_n\}\)中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即\(a_n,a_{n+k},a_{n+2k},a_{n+3k},\cdots\)为等比数列,公比为\(q^k\)

    • ④公比\(q\neq -1\)的等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\),则\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\cdots ,\)仍成等比数列,其公比为\(q^n\),当公比\(q=-1\)时,\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n},\cdots ,\)不一定成等比数列,若\(n\)为偶数,则其不能构成等比数列,若\(n\)为奇数,则可以构成等比数列。比如数列\(2,-2,2,-2,2,-2,\cdots,2,-2\)

    • \(q\neq 1\)的等比数列的前\(2n\)项,\(S_{偶}=\cfrac{a_2\cdot [1-(q^2)^n]}{1-q^2}\)\(S_{奇}=\cfrac{a_1\cdot [1-(q^2)^n]}{1-q^2}\),则\(\cfrac{S_{偶}}{S_{奇}}=q\)

    • ⑥等比数列的单调性,取决于两个参数\(a_1\)\(q\)的取值,\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

    故当\(\left\{\begin{array}{l}{a_1>0}\\{q>1}\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}{a_1<0}\\{0<q<1}\end{array}\right.\)时,\(a_n\)单调递增;

    \(\left\{\begin{array}{l}{a_1>0}\\{0<q<1}\end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l}{a_1<0}\\{q>1}\end{array}\right.\)时,\(a_n\)单调递减;

    三、等比数列的判定与证明:

    证明方法:

    • 定义法:\(\cfrac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\ge 2)\),或者\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(n\ge 1)\)

    • 等比中项法:\(a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}(n\ge 1)\),或者\(a_n^2=a_{n+1}\cdot a_{n-1}(n\ge 2)\)

    判定方法:除了上述的两种方法以外,还有

    • 通项公式法:\(a_n=c\cdot q^n(n\in N^*)\)\(c\)\(q\)均为不为零的常数,

    说明:\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}=\cfrac{a_1}{q}\cdot q^n=c\cdot q^n\)

    • \(n\)项和法:\(S_n=k\cdot q^n-k\)\(k\neq 0\)\(q\neq 0\)\(q\neq 1\)

    说明:\(S_n=\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1}{1-q}-\cfrac{a_1}{1-q}\cdot q^n\),令\(-\cfrac{a_1}{1-q}=k\),则\(S_n=k\cdot q^n-k\)

    如果判定某数列不是等比数列,只需要判定其任意的连续三项不成等比数列即可,则可以联系到赋值法,必有\(a_2^2\neq a_1\cdot a_3\)

    四、等比数列运算中常用公式和变形技巧:

    • 数学公式:
    $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$; $a_4^2+2a_4a_6+a_6^2=(a_4+a_6)^2$;
    $1-q^6==1-(q^3)^2=(1+q^3)(1-q^3)$; $1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$;

    \(1-q^2=(1-q)(1+q)\)

    \(\cfrac{S_6}{S_3}=\frac{\cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}}{\cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}}=1+q^3\)

    • 整体思想的运用,解方程组时整体相除,

    \(\left\{\begin{array}{l}{a_1q^3-a_1q=6①}\\{a_1q^4-a_1=15②}\end{array}\right.\)

    两式相除得到,\(\cfrac{q}{1+q^2}=\cfrac{2}{5}\),从而解得\(q=2\)\(q=\cfrac{1}{2}\)

    • 求比值时整体思想的运用;

    再比如给定等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q=2\),求\(\cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}\)的值。

    由题目可知,\(\cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}=\cfrac{(a_5+a_6+a_7)\cdot q^3}{a_5+a_6+a_7}=q^3=8\)

    • 当涉及\(S_n\)的下标比较小的运算题目时,常常利用定义式。

    比如已知等比数列的\(S_3=8\),则可知\(S_3=a_1+a_2+a_3=8\),这样可以有效的避免分类讨论,而不是利用\(\cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}=8\)来计算,

    如果非要利用这个公式,你就必须先分类讨论排除\(q\neq 1\),否则使用就是错的。

    • 比例因子的运用。设等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项的和为\(S_n\),若\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}\),则\(\cfrac{S_9}{S_6}\)=?

    分析:引入比例因子,设\(\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}=\cfrac{k}{2k}(k\neq 0)\)

    \(S_6=k\)\(S_3=2k\)\(S_6-S_3=-k\),由\(S_3,S_6-S_3,S_9-S_6\)成等比数列,

    可知\(S_9-S_6=\cfrac{k}{2}\),则\(S_9=\cfrac{3k}{2}\),故\(\cfrac{S_9}{S_6}=\cfrac{\frac{3k}{2}}{2k}=\cfrac{3}{4}\)

    • 在数列题目中,若出现各项为正数或\(a_n>0\),则有\(a_n+a_{n+1}>0\),或者\(a_n+a_{n-1}>0\),这样就为约分埋下了伏笔。

    比如某个题目变形得到\((a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})=a_n+a_{n-1}\),约掉\(a_n+a_{n-1}\),得到\(a_n-a_{n-1}=1\),即\(\{a_n\}\)是等差数列。

    • 若出现证明数列\(\{a_n+1\}\)为等比数列,则你必须意识题目已经给了变形的提示,因为变形到最后必然会出现\(a_n+1=p(a_{n-1}+1)(p为常数)\)

    或者出现同类型的\(a_{n+1}+1=p(a_n+1)(p为常数)\),这样你往上回溯,自然就会看到题目应该怎么变形了。

    • 等比数列求和中的项数的计算

    如数列求和:\(S=2^1+2^3+2^5+\cdots+2^{2n+3}\)

    其项数的计算,可以利用上标来计算,其上标刚好成等差数列,

    故项数\(r=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1=\cfrac{(2n+3)-1}{3-1}+1=n+2\)

    \(S=\cfrac{2\cdot (4^{n+2}-1)}{4-1}=\cfrac{2}{3}(4^{n+2}-1)\)

    五、等比数列的给出方式

    • 直接给出:\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=3\)

    • 变形给出:\(S_{n+1}-S_n=3(S_n-S_{n-1})\)

    • 变形给出:\(a_n>0\),点\((a_{n+1}^2,a_n^2)\)在直线\(x-9y=0\)上,则\(a_{n+1}^2=9a_n^2\),即\(a_{n+1}=3a_n\)

    • 构造给出:如\(a_{n+1}=2a_n+1\),构造得到\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\),即数列\(\{a_n+1\}\)为等比数列;

    其他变形请参阅常见构造方法

    六、典例剖析

    例1【2018·广州综合测试】

    已知数列\(\{a_n\}\)为等比数列,若\(a_4+a_6=10\),则\(a_7(a_1+2a_3)+a_3a_9\)的值为 【】

    $A.10$ $B.20$ $C.100$ $D.200$

    【法1】分析:\(a_7(a_1+2a_3)+a_3a_9=a_7a_1+2a_3a_7+a_3a_9\)

    \(=a_4^2+2a_4a_6+a_6^2=(a_4+a_6)^2=10^2=100\)。故选\(C\)

    【法2】:特殊化策略,由于题目数列\(\{a_n\}\)为等比数列,\(a_4+a_6=10\),则可以将其特殊化为\(a_4=a_6=5\)的特殊的等比数列,即常数列,

    此时\(a_n=5\),代入运算得到\(a_7(a_1+2a_3)+a_3a_9=100\),故选\(C\)

    例2【2015\(\cdot\)高考广东卷】

    设数列\(\{a_n\}\)\(n\)项和为\(S_n,n\in N^*\),已知\(a_1=1,a_2=\cfrac{3}{2},a_3=\cfrac{5}{4}\),且当\(n\ge 2\)\(4S_{n+2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}\)

    (1)求\(a_4\)的值。

    分析:(1)简单的数字运算,不过你得注意必须用\(S_n\)的定义式,

    \(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)

    不能用等差或等比的前\(n\)项和公式,因为题目没有告诉你数列的性质。

    \(n=2\)\(4S_4+5S_2=8S_3+S_1\)

    \(4(a_1+a_2+a_3+a_4)+5(a_1+a_2)=8(a_1+a_2+a_3)+a_1\)

    将已知条件代入,解得\(a_4=\cfrac{7}{8}\)

    (2)证明:\(\{a_{n+1}-\cfrac{1}{2}a_n\}\)为等比数列。

    分析:题目告诉的条件是关于\(S_n\)类的,而要求解的是关于\(a_n\)类的,

    所以变形的方向肯定是要消去\(S_n\)类的,全部转化为\(a_n\)类的。

    但是这里有了两个变形思路和变形方向:纵向变形和横向变形,

    思路一:纵向变形,\(n\ge 2\)时,\(4S_{n+2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}\).

    仿此构造如下式子

    \(n\ge 1\)时,\(4S_{n+3}+5S_{n+1}=8S_{n+2}+S_n\).两式相减得到

    \(n\ge 2\)时,\(4a_{n+3}+5a_{n+1}=8a_{n+2}+a_n\). 到此思路受阻,

    打住。为什么?

    我们证明到最后肯定会得到

    \((a_{n+2}-\cfrac{1}{2}a_{n+1})=k(a_{n+1}-\cfrac{1}{2}a_n)\)

    或者\((a_{n+1}-\cfrac{1}{2}a_{n})=k(a_n-\cfrac{1}{2}a_{n-1})\)

    这两个式子都只是涉及到\(a_n\)类的三项,而我们思路一的涉及到了四项,

    所以变形的思路受阻了,得到启示,我们变化如下,

    思路二:横向变形,由题目结论的指向作用知道,

    不是纵向构造式子做差,应该是就此式子横向做变形,

    \(n\ge 2\)时,\(4S_{n+2}+5S_n=8S_{n+1}+S_{n-1}\)

    即就是\((4S_{n+2}-4S_{n+1})=(4S_{n+1}-4S_n)-(S_n-S_{n-1})\)

    得到\(4a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n\),变形得到,

    \(a_{n+2}=a_{n+1}-\cfrac{1}{4}a_n\)

    比照题目结论,尝试给两边同时加上\(-\cfrac{1}{2}a_{n+1}\),整理得到

    \(n\ge 2\)时,\((a_{n+2}-\cfrac{1}{2}a_{n+1})=\cfrac{1}{2}(a_{n+1}-\cfrac{1}{2}a_n)\)

    这样基本的等比数列的大样有了,接下来是细节的验证,

    其一验证\((a_3-\cfrac{1}{2}a_2)=\cfrac{1}{2}(a_2-\cfrac{1}{2}a_1)\)

    其二还得说明\(a_2-\cfrac{1}{2}a_1\ne 0\)

    才能说明这是个等比数列。

    是否将\((a_{n+2}-\cfrac{1}{2}a_{n+1})=\cfrac{1}{2}(a_{n+1}-\cfrac{1}{2}a_n)\)改写为分式形式,

    不是必要的。

    (3)求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。

    分析:由第二问知道,\(\{a_{n+1}-\cfrac{1}{2}a_n\}\)为首项为1,公比为\(\cfrac{1}{2}\)的等比数列,

    \(a_{n+1}-\cfrac{1}{2}a_n=1\cdot(\cfrac{1}{2})^{n-1}\)

    \(a_{n+1}=\cfrac{1}{2}a_n+1\cdot(\cfrac{1}{2})^{n-1}\),两边同乘以\(2^{n+1}\)得到,

    所以\(2^{n+1}\cdot a_{n+1}-2^n\cdot a_n=4\)

    数列\(\{2^n\cdot a_n\}\)是首项为\(2^1\cdot a_1=2\),公差为4的等差数列,

    所以\(2^n\cdot a_n=2+4(n-1)=4n-2\)

    \(a_n=\cfrac{2n-1}{2^{n-1}}\)

    例4【2018\(\cdot\)宁夏石嘴山高三联考】

    在各项均为正数的等比数列\(\{a_n\}\)中,\(a_2\cdot a_{10}=9\),则\(a_5+a_7\) 【 】

    $A.有最小值6$ $B.有最大值6$ $C.有最大值6$ $D.有最小值3$

    分析:由\(a_n>0\)\(a_2\cdot a_{10}=9\),则可知\(a_5\cdot a_7=9\)

    则由均值不等式可知,\(a_5+a_7\ge 2\sqrt{a_5a_7}=6\)

    当且仅当\(a_5=a_7=3\)时取得等号,

    \(a_5+a_7\)有最小值\(6\),故选\(A\)

    例5【】

    已知方程\((x^2-mx+2)(x^2-nx+2)=0\)的四个根组成以\(\cfrac{1}{2}\)为首项的等比数列,则\(\cfrac{m}{n}\)等于【】

    $A.\cfrac{3}{2}$ $B.\cfrac{3}{2}或\cfrac{2}{3}$ $C.\cfrac{2}{3}$ $D.以上都不对$

    分析:设\(a,b,c,d\)是方程\((x^2-mx+2)(x^2-nx+2)=0\)的四个根,

    不妨设\(a<c<d<b\),则有\(ab=cd=2\),且\(a=\cfrac{1}{2}\),则\(b=4\)

    根据等比数列的性质可知,\(c=1\)\(d=2\)

    \(m=a+b=\cfrac{1}{2}+4=\cfrac{9}{2}\)\(n=c+d=3\)

    或者\(n=a+b=\cfrac{1}{2}+4=\cfrac{9}{2}\)\(m=c+d=3\)

    \(\cfrac{m}{n}=\cfrac{3}{2}\)\(\cfrac{m}{n}=\cfrac{2}{3}\),故选\(B\)

    例6【2018奉贤区一模】

    已知数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=1\)\(a_{n+1}=3S_n(n\in N^*)\),则下列结论正确的是【】

    $A.数列\{a_n\}是等比数列;$ $B.数列a_2,a_3,\cdots,a_n是等比数列;$
    $C.数列\{a_n\}是等差数列;$ $D.数列a_2,a_3,\cdots,a_n是等差数列;$

    分析:由\(a_{n+1}=3S_n(n\ge 1)\),可得\(a_n=3S_{n-1}(n\ge 2)\),两式做差,得到

    \(a_{n+1}-a_n=3a_n(n\ge 2)\),整理得到,

    \(n\ge 2\)时,满足\(a_{n+1}=4a_n\)

    由于\(a_1=1\)\(a_{n+1}=3S_n(n\ge 1)\),故得到\(a_2=3\)

    故数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\left\{\begin{array}{l}{1,n=1}\\{3\cdot 4^{n-2},n\ge 2}\end{array}\right.\)

    即数列\(\{a_n\}\)不是等比数列,但是数列\(a_2\)\(a_3\)\(\cdots\)\(a_n\)是等比数列;故选\(B\)

    例7【等比中项,易错题】

    • 已知等比数列\(\{a_n\}\)中, \(a_3=4\)\(a_9=1\), 求\(a_6=\)

    分析:\(a_6^2=a_3\cdot a_9=4\),故\(a_6=\pm 2\)。原因是\(a_6=a_3\cdot q^3\)\(q^3\)可取正负两种情形,故\(a_6=\pm 2\)

    • 对照:已知等比数列\(\{a_n\}\)中, \(a_3=4\)\(a_{11}=1\), 则\(a_7=\)

    分析:\(a_7^2=a_3\cdot a_{11}=4\),故\(a_7=\pm 2\)。又由于\(a_7=a_3\cdot q^4\)\(q^4\)只能取正值一种情形,故\(a_7=2\)

    例8【2018漳州八校联考】

    等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\),若\(S_3=2\)\(S_6=18\),则\(\cfrac{S_{10}}{S_5}\)等于【】

    $A.-3$ $B.5$ $C.-31$ $D.33$

    分析:由题目可知\(q\neq 1\),则\(\cfrac{S_6}{S_3}=\frac{\cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}}{\cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}}=1+q^3=9\)

    \(q=2\),同理,\(\cfrac{S_{10}}{S_5}=\frac{\cfrac{a_1(1-q^{10})}{1-q}}{\cfrac{a_1(1-q^5)}{1-q}}=1+q^5=33\)

    故选\(D\)

    例9【2018辽宁沈阳二模】已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列,且\(a_2a_3a_4=-a_7^2=-64\),则\(tan(\cfrac{a_4a_6}{3}\cdot \pi)\)=【】

    $A.\sqrt{3}$ $B.-\sqrt{3}$ $C.-\cfrac{\sqrt{3}}{3}$ $D.\pm \sqrt{3}$

    分析:由\(a_2a_3a_4=-a_7^2=-64\),可知\(a_3^3=-64\),故\(a_3=-4\),又\(a_7=a_3\cdot q^4<0\),故由\(a_7^2=64\),可得\(a_7=-8\),这样\(a_4a_6=a_3a_7=32\)

    \(tan(\cfrac{a_4a_6}{3}\cdot \pi)=tan(\cfrac{32}{3}\cdot \pi)=tan(\cfrac{2\pi}{3})=-\sqrt{3}\),故选\(B\).

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  • 递归求解等比为a的等比数列前n项和 对n要分奇偶讨论 #include <bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; int mo; int ksm(int a,int b,int p=mo) { int ans=1; while(b) { if(b&...

    递归求解等比为a的等比数列前n项和

    对n要分奇偶讨论

    #include <bits/stdc++.h>
    #define int long long 
    using namespace std;
    
    int mo;
    int ksm(int a,int b,int p=mo)
    {
        int ans=1;
        while(b)
        {
            if(b&1) ans = ans*a%p;
            a=a*a%p; b >>= 1;     
        }
        return ans;
    }
    
    int sum(int a,int n)
    {
        if(n==1) return a;
        if(n%2) return (ksm(a,n)+(1+ksm(a,n/2))*sum(a,n/2))%mo;
        else return (1+ksm(a,n/2))*sum(a,n/2)%mo;
    }
    
    signed main()
    {
        ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
        int a,n;
        cin>>a>>n>>mo;
        int ans=sum(a,n);
        cout<<ans<<endl;
        return 0;
    }
    
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  • 等比数列的前n项和----基于核心素养的数学教学设计.pdf
  • 2015高中数学2.5等比数列的前n项和课后练习新人教A版必修5
  • 等比数列求和公式

    千次阅读 2019-09-16 13:21:41
    等比数列之和快速求法。

    等比数列求和公式

    汉语名:等比数列求和公式
    英语名:the formula of summation for geometric sequence
    相关概念:等比数列 乘方
    博客园

    内容

    ∑ i = 0 n − 1 a i = a n − 1 n − 1 \sum_{i=0}^{n-1}a^i=\frac{a^n-1}{n-1} i=0n1ai=n1an1

    证明

    证明
    原 式 = ( n − 1 ) 原 式 n − 1 − − − − − − − − − = n × 原 式 − 原 式 n − 1 = ( n ∑ i = 0 n − 1 a i ) − ∑ i = 0 n − 1 a i n − 1 = ( ∑ i = 1 n a i ) − ∑ i = 0 n − 1 a i n − 1 = a n − 1 n − 1 原式=\frac{(n-1)原式}{n-1}\\ ---------\\ =\frac{n\times原式-原式}{n-1}\\ =\frac{(n\sum_{i=0}^{n-1}a^i)-\sum_{i=0}^{n-1}a^i}{n-1}\\ =\frac{(\sum_{i=1}^na^i)-\sum_{i=0}^{n-1}a^i}{n-1}\\ =\frac{a^n-1}{n-1}\\ =n1(n1)=n1n×=n1(ni=0n1ai)i=0n1ai=n1(i=1nai)i=0n1ai=n1an1
    证毕

    应用

    • 求一棵满 k k k叉树的节点数。
    • 编码 log ⁡ ( n ) \log(n) log(n)求等比数列之和。
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  • 等比数列求和

    2021-01-27 14:33:21
    分治 + 快速幂 typedef long long ll; ll fastpow(ll base, ll power, ll mod) { ll ans = 1; while (power > 0) { if (power & 1) ans = ans * base % mod;...* the sum of : 1 + p^1 + p^2 + ..
  • [MATLAB学习tip2]等比数列

    千次阅读 2021-05-22 17:11:40
    等差数列 MATLAB自带等差数列生成方法:linspace()函数(也可直接使用冒号运算符) linspace - 生成线性间距向量 y = linspace(x1,x2)%此 MATLAB 函数 返回包含 x1 和 x2 之间的 100 个等间距点的行向量。 y = ...
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空空如也

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等比数列