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  • 微分几何

    2019-11-21 15:45:11
    微分几何 https://zhuanlan.zhihu.com/hwanji-math
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  • 微分几何基础

    2018-04-01 17:58:38
    经典微分几何基础讲义,对需要学习微分几何的人来说可以提供不少帮助
  • 微分几何_苏步青 一本介绍微分几何的好书,共同学习
  • 本文的主要目的是研究微分几何的旧王国(光滑流形的类别)与新王国(新的Weil代数到某些光滑类别的函子的类别)之间的关系。 结果表明,旧王国对新王国的规范嵌入保留了Weil函子。
  • 微分几何\基于微分几何理论的混沌同步研究.pdf
  • 空间解析几何与微分几何 第一章 向量 第二章 平面与直线 第三章 二次曲面 第四章 等距变换 正交变换 仿射变换 第五章 射影平面 第六章 练习题 第七章 局部曲线论 第八章 整体曲线论 第九章 局部曲面论
  • 微分几何讲义 王幼宁

    2018-03-21 20:20:56
    微分几何讲义 王幼宁
  • 物理学家用的微分几何,从物理具象的角度阐述微分几何,写的很详细
  • 丘成桐 微分几何 丘成桐 微分几何 丘成桐 微分几何 丘成桐 微分几何
  • 庸正几何、非庸正几何和非理想超越完备微分几何,李宗诚,,本文试图建立一种可称为“超越完备微分几何”的新基础。这种几何不仅要研究均匀性的简单空间或流形,而且要研究非均匀性的复杂空
  • 微分几何初步-陈维桓

    2019-03-29 14:25:33
    微分几何初步,主方向主曲率求解,曲面基本方程,weingarten映射等
  • 微分几何-彭家贵.pdf

    2019-06-02 11:33:01
    微分几何彭家贵答案 - 10.求曲面(, , ) = 的 Gauss 曲率... 微分几何彭家贵答案
  • 11 月 8 日,新华社报道称,中国科学技术大学教授陈秀雄、王兵在微分几何学领域取得重大突破,成功证明了「哈密尔顿 - 田」和「偏零阶估计」这两个国际数学界 20 多年悬而未决的核心猜想。论文从写作到发表历时 11 ...

    11 月 8 日,新华社报道称,中国科学技术大学教授陈秀雄、王兵在微分几何学领域取得重大突破,成功证明了「哈密尔顿 - 田」和「偏零阶估计」这两个国际数学界 20 多年悬而未决的核心猜想。论文从写作到发表历时 11 年。

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    微分几何学是数学的一个分支学科,它主要是以分析方法来研究空间(微分流形)的几何性质。应用微分学来研究三维欧几里得空间中的曲线、曲面等图形性质的数学分支,差不多与微积分学同时起源于 17 世纪。

    微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的,欧拉、蒙日、拉格朗日以及柯西等数学家都曾为微分几何学的发展作出过重要贡献。

    在微分几何学领域,陈秀雄和王兵团队的研究方向是「里奇流(Ricci flow)」的收敛性。

    什么是里奇流?在微分几何中,「里奇流」是一种固有的几何学流动,它的主要思想是让流形随时间变形,即是让度规张量随时间变化,观察在流形的变形下,Ricci 曲率是如何变化的,以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是 Hamilton-Ricci 流方程,是一个拟线性抛物型方程组。

    里奇流以意大利数学家格雷戈里奥 · 里奇 - 库尔巴斯托罗(Gregorio Ricci Curbastro)的名字命名,由美国数学家理查德 · 哈密顿(Richard Hamilton)于 1981 年首次引入,也称里奇 - 哈密顿流。这个工具同时被俄罗斯数学家格里戈里 · 佩雷尔曼(Григорий Яковлевич Перельман)用于解决庞加莱猜想。

    对于普通人来说,这种书面解释可能有点抽象。因此王兵教授给了我们一个生动的比喻:如果吹一个气球,气球会不断膨胀,我们可以用「里奇流」来研究它空间的变化,最后得到一个「尽善尽美」的理想结果。王兵教授还提到,「大到宇宙膨胀,小到热胀冷缩,诸多自然现象都可以归结到空间演化」。

    两位教授关于高维凯勒里奇流收敛性的论文发表在《微分几何学杂志(Journal of Differential Geometry)》上,该论文率先解决了哈密尔顿—田猜想和偏零阶估计猜想。《Journal of Differential Geometry》是微分几何领域最高级别的专业期刊,主编是国际数学领袖丘成桐教授。

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    这篇论文引入了很多新思想和新方法,对几何分析,尤其是里奇流的研究产生了深远的影响。《科技日报》报道称,利用这篇论文的结果,陈秀雄、王兵和孙崧给出丘成桐稳定性猜想基于里奇流的新证明。此外,该论文的核心思想也被王兵和李皓昭推广到平均曲率流的研究中,并成功解决了著名的延拓性猜想。

    新华社的报道中提到,这项研究历时 5 年,论文篇幅长达 120 多页。由于审稿人需要花大量时间去了解新的概念和方法,论文的审稿又花了 6 年,近期才正式发表。审稿人评论说,这篇论文是几何分析领域的重大进展,将激发诸多相关研究。菲尔兹奖获得者西蒙 · 唐纳森称赞说,这是「几何领域近年来的重大突破」。

    人物简介

    陈秀雄教授是中国科学技术大学「吴文俊讲席教授」、国际著名几何分析学家,2018 年成为上海科技大学数学科学研究所的创始所长。他 1987 年毕业于中科大数学系,随后就读于中国科学院研究生院,获硕士学位。1989 年由国家保送去美国宾夕法尼亚大学攻读博士和博士后,并获美国国家科学基金资助。

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    get-article-detail-213429.html 图源:https://www.shanghaitech.edu.cn/2019/0626/c1001a43342/page.htm

    陈秀雄教授主要的研究领域是大范围微分几何及非线性偏微分方程。2014 年,陈秀雄教授与英国数学家唐纳森、中科大校友孙崧博士合作,成功解决了被誉为「复几何领域自卡拉比猜想解决后最重要的问题」的「丘成桐猜想」。《美国数学会杂志》审稿人评价说:「陈 - 唐纳森 - 孙的证明是突破性的,它不仅解决了一个基本性的问题,同时还发展了许多新颖有力的工具,以揭示卡勒几何、代数几何和偏微分方程之间的深刻联系。」

    之后,陈秀雄、西蒙 · 唐纳森和孙崧凭借他们在《美国数学会杂志》上连续发表的三篇论文《Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, I, II and III》,获得了 2019 年奥斯瓦尔德 · 维布伦(Oswald Veblen)几何奖。此外,陈秀雄还荣获了 2019 年度西蒙斯学者奖。

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    本次突破的另一位主要研究者是中科大数学科学学院的王兵教授。1998 年王兵入学中科大少年班学院,2003 年赴美,求学于威斯康星大学麦迪逊分校数学系,于 2008 年博士毕业。此后历任普林斯顿大学讲师、石溪大学西蒙斯几何与物理中心研究助理教授以及威斯康星大学麦迪逊分校助理教授、副教授(终身教职)。2018 年王兵教授回到中科大数学科学学院工作。

    王兵教授的研究专长是几何流,特别是凯勒里奇流、里奇流和平均曲率流等。主要研究方向包括微分几何、代数几何、偏微分方程。

    参考链接:

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  • 微分几何I

    千次阅读 2018-08-01 00:18:08
    微分几何I——度量、标架 \quad\quad微分几何的出发点是微积分,一条曲线的切线和微分是同一概念,一条封闭曲线包围的面积相当于对其内部积分。微积分在几何上应用主要是曲线和曲面。首先考虑空间正则曲线ΓΓ\...

    微分几何I——度量、标架


    在Guass 关于内蕴几何研究的启发下,Riemann认识到作为几何学的基本假设,应当将拓扑性质和空间度量性质区别开来,Riemann、Levi、Civita等人在Riemann度量的发展起到重要作用,Riemann提出为每条曲线提供长度的方法,首先为流形上的切向量指定长度,然后沿着曲线积分来定义曲线长度。在Riemman几何中,Levi-Civita平行移动的概念提出对几何发展起到重要作用。它发展为后续的联络以及向量丛上的联络。
    在向量空间V中,考虑函数,:V×VR,如果它满足下面两个条件就称为向量V的内积
    1. 对称性 :u,v=v,uu,vV
    2. 非负性:u,u0,uV,等号成立当且仅当u=0

    内积的作用就是可以定义长度、角度,有了长度角度应用叉积可以定义面积,它可以把欧式空间长度推广至曲面上,接着我们可以定义RIemann度量。从Riemann 度量从发 定义联络然后是 曲率

    定义:设Mm维光滑流形,gM上的二阶协变张量场或者称(02)型张量场,如果g是对称,正定的,称gM上的一个Rimann度量。指定了Riemman度量的光滑流形M,称为Riemann,记为(M,g),简记为M

    假设正则曲线方程为r=r(s),切向量dr的长度按内积定义
    |dr|g=dr,dr
    有了长度在定义切向量之间的角度:
    θ=arccos(dr,δr|dr|g|δr|g)



    图1 曲面参数

    设曲面Σ的参数方程为r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),则坐标u,v的切向量为
    ru=(xu,yu,zu),rv=(xv,yv,zv)

    如果处处有xv×xv0,则称Σ



    图2 曲面参数

    切向量dr=(rudu,rvdv)=(rudurvdv)
    法向量n=ru×rv|ru×rv|

    通过叉积使用长度、角度定义微元面积
    dA=|rudu×rvdv|g=|ru||ru|sin(θ)dudv=r2ur2v(1cos2(θ))dudv=r2ur2v(rurv)2dudv=EGF2dudv

    定义第一基本形式:
    I=d{\bf r^2}\\={\langle d{\bf r},d{\bf r}\rangle}={\langle( {\bf r}_udu+{\bf r}_vdv), ({\bf r}_udu+{\bf r}_vdv)\rangle} \\={{\bf r}_u \cdot {\bf r}_ududu+2 {\bf r}_u \cdot {\bf r}_v dudv+{\bf r}_v \cdot {\bf r}_vdvdv}\\=Edu^2+2Fdudv+Gdu^2
    这是一个关于du,dv的二次型,整理成矩阵形式:
    I= \begin{bmatrix} du & dv \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}E &F \\F & G \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} du \\dv\\\end{bmatrix}


    g=\begin{bmatrix}E &F \\F & G \\ \end{bmatrix}
    g称为度量矩阵。上述计算的微元面积可简化为:
    dA=\sqrt {det(g)}dudv

    考虑微分流形M上的两个开集A,B,如下图所示,它满足A,B相交非空,设A的局部坐标为(x,y)度量为\rhoB的局部坐标是(u,v),度量为g。它们满足坐标变换。h:(x,y) \rightarrow (u,v),相应地微分形式满足变换:
    \begin{bmatrix} du \\dv\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_x &u_y \\v_x & v_y \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} dx \\dy\\\end{bmatrix}


    这里写图片描述
    图3 流形M上的坐标变换

    AB相交的区域,它的基本形式I不依赖于坐标选取,所以有:
    \begin{bmatrix} dx & dy\\\end{bmatrix}\cdot\rho \cdot \begin{bmatrix} dx \\dy\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} du & dv\\\end{bmatrix}\cdot g \cdot \begin{bmatrix} du \\dv\\\end{bmatrix}
    进一步把微分形式变换带入就有:
    \begin{bmatrix} dx & dy\\\end{bmatrix}\cdot\rho \cdot \begin{bmatrix} dx \\dy\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} dx & dy\\\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}u_x &u_y \\v_x & v_y \\ \end{bmatrix} ^T \cdot g \cdot \begin{bmatrix}u_x &u_y \\v_x & v_y \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} dx \\dy\\\end{bmatrix}
    所以\rho= \begin{bmatrix}u_x &u_y \\v_x & v_y \\ \end{bmatrix} ^T \cdot g \cdot \begin{bmatrix}u_x &u_y \\v_x & v_y \\ \end{bmatrix}
    满足上述形式的度量称为在曲面上指定了Riemann 度量。



    图4 向量内积

    文中开头就介绍了内积定义,那是公理化的定义,现在考虑Riemann度量g定义的内积,假设某点的两个向量为d{\bf r},\delta {\bf r},则d{\bf r}=(dx,dy)\delta{\bf r}=(\delta x,\delta y)
    它们的内积表示为:
    \langle d{\bf r},\delta {\bf r}\rangle=\begin{bmatrix} dx & dy\\\end{bmatrix}\cdot\rho \cdot \begin{bmatrix} \delta x \\\delta y\\\end{bmatrix}


    这里写图片描述
    图5 拉回度量

    考虑两个Riemann流形(M,g),(N,h)\phi,\psi分别表示两个流形的局部坐标,M上的曲线通过f映射到N上,由于在N上有相应的度量,它可以定义N上的长度,这个长度然后拉回到M上,认为是M上的长度。角度也类似。如此就在原M上定义新的度量f^*h,称为拉回度量。
    微分形式从M映射到N : (dx,dy)\rightarrow(du,dv)。拉回度量的内积不变
    \begin{bmatrix} dx & dy\\\end{bmatrix}\cdot f^*h \cdot \begin{bmatrix} dx \\dy\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} du & dv\\\end{bmatrix}\cdot h \cdot \begin{bmatrix} du \\dv\\\end{bmatrix}
    可得到f^*h=\left(\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right)^T\cdot h\cdot \left(\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right)
    如果拉回度量与原度量相等f^*h=g,则f是等距变换,若拉回度量与原度量相差一个标量函数f^*h=e^{2 \lambda}g\lambda:S\rightarrow\mathbb{R}是曲面到\mathbb{R},则f称为共形变换。


    \quad\quad微分几何的出发点是微积分,一条曲线的切线和微分是同一概念,一条封闭曲线包围的面积相当于对其内部积分。微积分在几何上应用主要是曲线和曲面。首先考虑空间正则曲线\Gamma,可以认为它是曲面\Sigma上的曲线嵌入在欧式\mathbb{R^3}中,曲线参数方程r=r(s),s是其弧长参数。对参数方程求导,令{\bf T}(s)=r'(s),则{\bf T}(s)是曲线的切向量(tangent vector)。为了描述曲线的弯曲程度,常常使用曲率的概念,它是切向量对弧长的导数d{\bf T}(s)/ds,记为\kappa(s)。即:
    {\kappa(s)}=\dfrac{d{\bf T}(s)}{ds}
    对于单位切向量\left|{\bf T}(s)\right|=1,取平方求导可得,{\bf T'}(s){\bf T}(s)=0,由此可以得出{\bf T'}(s){\bf T}(s)垂直。定义{\bf T'}(s)单位向量为{\bf N}(s),它表示曲线\Gamma的主法向量。有了{\bf T}(s),{\bf N}(s)这两个向量,可以确定唯一的第2法向量,即:
    {{\bf B}(s)}={\bf T}(s)\times{\bf N}(s)
    这样{\{r(s),{\bf T}(s),{\bf N}(s),{\bf B}(s)}\}构成曲线r(s)的正交标架。



    图6 曲线标架

    \quad曲线在一点的切线和主法线所张的平面是曲线的密切平面,它的法向量是曲线在p点的次法向量{\bf B}。前面说过,曲线单位切向量{\bf T}关于s的导数的长度表示曲线的曲率,反映的是曲线的切线方向转动的快慢;类似的是,次法向量关于s的导数,反映出曲线的密切平面方向转动的快慢,因而它刻画了曲线偏离平面曲线的程度,即曲线的“挠率”。
    由于{\{{\bf T}(s),{\bf N}(s),{\bf B}(s)}\}分别是单位切向量、单位主法向量、单位次法向量,和前面类似,
    {\bf B'} \bot {\bf B},此外,{\bf B}(s)={\bf T}(s)\times{\bf N}(s){\bf T'}(s) \parallel {\bf N}(s)
    {\bf B}(s)求导可得:
    {\bf B'}(s)={\bf T'}(s)\times{\bf N}(s)+{\bf T}(s)\times{\bf N'}(s)={\bf T}(s)\times{\bf N'}(s)
    所以{\bf B'} \bot {\bf T}{\bf B'}{\bf N}共线,既然共形两者相差一个常数,不妨设{\bf B'}=- \tau(s) {\bf N}(s)
    先前已有 {\bf N}(s)是单位向量,上式两边同乘以 {\bf N}(s)可得:
    \tau(s)=-{\bf B'} (s){\bf N}(s)
    这里插一个定义:设 {\bf N}(s){\bf B}(s)分别是曲线C的主法向量和次法向量,其中s是曲线的弧长参数,则 \tau(s)=-{\bf B'} (s){\bf N}(s)称为曲线C的挠率。

    有了这些曲率、挠率、标架后我们可以推出曲线运动公式
    \begin{align} {\bf T}(s) & = r'(s) &\text{切向量} \tag 1\\ {\bf T'}(s) & =\kappa(s){\bf N}(s)& \text{曲率} \tag 2\\ {\bf B'}(s) & = -\tau(s){\bf N}(s) & \text{挠率} \tag 3\\ \end{align}

    要使用运动公式,上述还缺{\bf N'}(s) ,由右手法则可知:
    {\bf N}(s) ={\bf B}(s)\times{\bf T}(s)
    两边微分:
    \begin{align} {\bf N}'(s) & = B'(s) \times T(s)+B(s) \times T'(s) \tag 1\\ & = -\tau(s)N(s)\times T(s)+B(s)\times\kappa(s)N(s) \tag2 \\ & =-\tau(s)\times(-B(s))+\kappa(s)\times(-T(s)) \tag 3\\ & =\tau(s)B(s)-\kappa(s)T(s)\tag4 \end{align}

    如果整理成矩阵形式:
    \begin{bmatrix} {\bf T'}(s) \\ {\bf N'}(s)\\ {\bf B'}(s) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & \kappa(s) & 0 \\-\kappa(s) & 0 & \tau(s) \\0 & -\tau(s) & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\bf T}(s) \\ {\bf N}(s)\\ {\bf B}(s) \\ \end{bmatrix}
    这个公式称为Frenet公式。

    考虑曲面\Sigma的参数方程r(u,v),定义e_1是曲面S的单位切向量场,在切平面上将e_1逆时针旋转90^\circ 得到e_2e_1\times e_2得到e_3向量场。\{r(u,v),e_1(u,v),e_2(u,v),e_3(u,v)\}构成曲面的局部标架场


    这里写图片描述
    图7 标架场

    由微分1形式在切平面上分解
    d\mathbb{r}=\mathbb{r}_udu+\mathbb{r}_vdv\\= (\langle\mathbb{r}_u,e_1\rangle e_1+\langle\mathbb{r}_u,e_2\rangle) e_2)du\\+(\langle\mathbb{r}_v,e_1\rangle e_1+\langle\mathbb{r}_v,e_2\rangle) e_2)dv\\= (\langle\mathbb{r}_u,e_1\rangle du+\langle\mathbb{r}_v,e_1\rangle) dv)e_1\\+ (\langle\mathbb{r}_u,e_2\rangle du+\langle\mathbb{r}_v,e_2\rangle) dv)e_2\\=\omega_1e_1+\omega_2e_2
    构成微分形式分解。
    同理切向量存在分解:de_i=\omega_{i1}e_1+\omega_{i2}e_2+\omega_{i3}e_3
    \langle e_i,e_j\rangle=\delta^i_j \implies \langle de_i,e_j\rangle+\langle e_i,de_j\rangle=0$ \implies \omega_{ij}+\omega_{ji}=0
    曲面标架运动方程:
    d\mathbb{r}=\mathbb{r}_udu+\mathbb{r}_vdv=\omega_1e_1+\omega_2e_2
    d \begin{bmatrix} {{\bf e}_1} \\ {\bf e}_2\\ {\bf e}_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & \omega_{12} & \omega_{13} \\-\omega_{12} & 0 &\omega_{23} \\-\omega_{13} & -\omega_{23} & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\bf e}_1 \\ {\bf e}_2\\ {\bf e}_3 \\ \end{bmatrix}
    有了微分1-形式的公式,后面的几何计算都可以采用微分形式表示,比较方便。也便于联系上同调等。
    基本量用微分形式表示:
    1.Riemann 度量:\langle d{\bf r},d{\bf r}\rangle=\omega_1^2+\omega_2^2
    2.面元:dA_g=\omega_1 \wedge \omega_2
    3.联络:\omega_{12}

    联络和平行移动
    联络D是为了定义曲面上的切向量的微分而出现的,它与平行移动有关,谈到平行移动首先考虑测地线上的平行移动,测地线是曲面上两点最短线,曲面S在点p处的切向量\vec v_p沿着测地线\gamma(t)平行移动满足:1.切向量\vec v_p和该点处的测地线的切向量\gamma'(0) 保持夹角不变;2.切向量\vec v_p模长不变;3.\vec v_p \in T_p^*S。对于普通曲线取曲线上的分点,在分点之间取测地线,这就是分段测地线,让分点取更细,最后取极限,即可得到平行移动。对于欧式空间的平行移动比较简单,因为测地线是线段,平行移动后向量不变,而对于曲面上的平行移动就比较复杂了。从分析上描述平行移动有利于计算,参考欧式的平行移动,曲面的平行移动可以描述为D_{\gamma'(t)}\vec v(t))=0,测地线方程可以描述为D_{\gamma(t)}\vec v(t)=0。所以有了联络就可以计算平行移动和测地线了。
    定义联络D作用于函数:
    D_{\vec v}f=df(\vec v)
    定义联络D作用于向量:
    D_{\vec v}({fe_1+ge_2})=D_{\vec v}({f})e_1+fD_{\vec v}e_1+D_{\vec v}({g})e_2+gD_{\vec v}e_2
    其中:
    D_{\vec v}({e_1})=\langle De_1, {\vec v}\rangle=\omega_{12}e_2
    D_{\vec v}({e_2})=\langle De_2, {\vec v}\rangle=-\omega_{12}e_1

    仿照曲面运动方程
    D_\vec v \begin{bmatrix} {{\bf e}_1} \\ {\bf e}_2\\ {\bf e}_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & \omega_{12} & 0 \\-\omega_{12} & 0 &0 \\0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\bf e}_1 \\ {\bf e}_2\\ {\bf e}_3 \\ \end{bmatrix}

    有了上述公式后续的计算就可以进行了。












    参考文献:
    1.顾险峰,计算共形几何讲义,高等教育出版社,2008
    2.陈省身,微分几何,世界图书出版公司,2006
    3.陈维桓,微分几何,北京大学出版社,2006

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  • 简介了微分几何学的基本概念和在光学传输中的应用。
  • 微分几何-彭家贵.rar

    2019-07-14 01:02:14
    微分几何-彭家贵.rar
  • 微分几何与拓扑学简明教程,《微分几何与拓扑学简明教程》适合数学、物理及相关专业的高年级本 科生、研究生、高校教师和研究人员参考使用。
  • 两者关系https://www.wesiedu.com/zuoye/6165082422.html

    两者关系https://www.wesiedu.com/zuoye/6165082422.html

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  • 微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面
  • 微分几何学习笔记

    千次阅读 2018-03-10 21:44:48
    准备学习这本书,目标是弄清楚现代微分几何基本概念在古典微分几何中的动机
  • 微分几何初级教程,对三维图形图像处理算法有参考意义,供大家学习。
  • 物理学家用微分几何_11354226.pdf
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    2007-10-07 10:37:45
    几何拓扑 仿射微分几何
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  • 我们系统地开发了针对恒定局部非几何闭合弦真空的抛物线相空间模型量身定制的非缔合微分几何的度量方面,并使用它来构建针对时空的非缔合重力理论的初步步骤。 我们获得了相空间上非缔合黎曼几何中扭转,曲率,Ricci...
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  • 微分几何彭家贵答案,是前5章所有题目的答案,百度文库上的只有部分答案,而我这个是所有题目的答案

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