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  • 对数函数

    万次阅读 2019-11-10 22:27:37
    一般地,对数函数是以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。 对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义: 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为...

    简介

    一般地,对数函数是以真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。

    对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义:

    如果ax =N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数

    一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

    其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

    实数域中,真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数),底数则要大于0且不为1。

    对数函数对数函数

    对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】

    通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外,在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把logeN 记为In N。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:

    当a>0,a≠1时,aX=N

     X=logaN。(N>0)

    指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:

    实数范围内,负数没有对数;

      ,log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点(1,0)。

    有理和无理指数

    如果  是正整数,   表示等于  的

     个因子的加减:

    加减加减

    但是,如果是   不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数  (参见)。类似的,对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数   ,有一个对数函数和一个指数函数,它们互为反函数。

    对数可以简化乘法运算为加法,除法为减法幂运算乘法,根运算为除法。所以,在发明电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

    复对数

    复对数计算公式

    复数的自然对数,实部等于复数的模的自然对数,虚部等于复数的辐角。

    产生历史

    编辑

    16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 [1]  。

    德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。

    欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。

    纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳

    对数的图像对数的图像

    皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:

    Nap.㏒x=10㏑(107/x)

    由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。

    瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。

    英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

    1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。

    对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。正如科学家伽利略(1564-1642)说:「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

    最早传入我国的对数著作是《比例对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫真数,0.3010叫做假数,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用假数对数」。

    我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种求对数的捷法,著有《对数》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905)看到这些著作后,大为叹服。

    当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和21世纪的教科书中的提法一致。

    函数性质

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    定义域求解:对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1

    和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

    值域实数集R,显然对数函数无界;

    定点对数函数的函数图像恒过定点(1,0);

    单调性a>1时,在定义域上为单调增函数;

    0<a<1时,在定义域上为单调减函数;

    奇偶性非奇非偶函数

    周期性不是周期函数

    对称性:无

    最值:无

    零点:x=1

    注意:负数和0没有对数

    两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:

    也就是说:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)

    当0<a<1, 0<b<1时,y=logab>0;

    当a>1, b>1时,y=logab>0;

    当0<a<1, b>1时,y=logab<0;

    当a>1, 0<b<1时,y=logab<0。

    公式推导

    编辑

    e的定义:

    设a>0,a≠1

    方法一: 

    指数函数指数函数

    特殊地,当   时,

        。

    方法二:

      ,两边取对数ln y=xln a

     

    两边对x求导:y'/y=ln a,y'=yln a=a^xln a

    特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。

    eº=1

    运算性质

    编辑

    性质

    一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数

    底数则要>0且≠1 真数>0

    并且,在比较两个函数值时:

    如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)

    如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0<a<1时)

    当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:

    对数函数化简问题对数函数化简问题

    和差

    和差和差

    换底公式

    换底公式换底公式

    推导:设

    换底公式换底公式

    所以

    换底公式换底公式

    两边取对数,则有

    换底公式换底公式

    换底公式换底公式

    又因为

    换底公式换底公式

    所以

    换底公式换底公式

    指系

    指系指系

    互换

    互换互换

    倒数

    倒数倒数

    链式

    链式链式 [2]

    表达方式

    编辑

    (1)常用对数:lg(b)=log10b(10为底数)。

    (2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)。

    e为无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828。

    与指数的关系

    编辑

    同底的对数函数与指数函数互为反函数。

    当a>0且a≠1时,ax=N

     x=㏒aN。

    关于y=x对称

    对数函数的一般形式为 y=㏒ax,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:关于X轴对称、当a>1时,a越大,图像越靠近x轴、当0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴。

    可以看到,对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为

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  • 【摘要】对数函数,特别是对数复合函数的定义域以及值域,由于它牵涉的知识点比较多,在中学数学教学中占有相当重要的地位,笔者根据平时教学经验的积累,总结了一些关于对数函数的定义域和值域的问题,与同行切磋。...

    【摘要】对数函数,特别是对数复合函数的定义域以及值域,由于它牵涉的知识点比较多,在中学数学教学中占有相当重要的地位,笔者根据平时教学经验的积累,总结了一些关于对数函数的定义域和值域的问题,与同行切磋。

    【关键词】定义域;值域;对数函数

    一、简单对数函数的定义域和值域的实用判别法则

    设y=logax(a>0,a≠1)为简单对数函数,则有如下判别法则:

    (1)当a>1,函数y=logax在定义域(0,+∞)单调增加,没有最大值,也没有最小值,函数值域为(-∞,+∞);在定义域[x1,x2](00,a≠1)是对数复合函数,其中中间变量u=g(x)叫内函数,y=logag(x)叫外函数,则对数复合函数的定义域是{x|g(x)>0},在这个定义域内,先确定内函数u=g(x)的值域,然后再在u的值域范围内讨论对数复合函数的单调性与最值,从而得到对数复合函数的值域。

    (1)当a>1,如果u=g(x)的取值范围是(-∞,+∞),没有最大值,也没有最小值,则对数复合函数y=logag(x)在(-∞,+∞)内也是单调增加,没有最值,值域为(-∞,+∞);如果u=g(x)在取值[u1,u2]单调增加,则对数复合函数在[u1,u2]也单调增加,有最小值y1=logau1=logag(x1),有最大值y2=logau2=logag(x2),这时,复合对数函数的值域为[y1,y2];如果u=g(x)在[u1,u2]单调减少,则对数复合函数在[u1,u2]也单调减少,有最大值y1=logau1=logag(x1),有最小值y2=logau2=logag(x2),这时,复合对数函数的值域为[y2,y1]。

    (2)当0  例1 求函数y=log2(x2+2x+5)的定义域和值域。

    解 要使函数有意义,则需x2+2x+5>0。

    ∵Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-160,

    故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的定义域是(-∞,+∞)。

    ∵x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞),y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4,

    ∴函数u=x2+2x+5,当x=-1时,有最小值y0=4。

    即函数u=x2+2x+5的值域是[4,+∞)。

    ∴函数y=log2u在[4,+∞)是单调增函数,且当u=4时,y=log24=2,故对数复合函数y=log2(x2+2x+5)的值域是[2,+∞)。

    例2 求函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域和值域。

    解 设u=-x2+4x-3是内函数,

    要使函数有意义,则需-x2+4x-3>0,

    解之得1  故函数y=log12(-x2+4x-3)的定义域是[1,3]。

    x0=-42×(-1)=2∈[1,3],

    y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。

    ∴内函数u=-x2+4x-3在x0=2时,有最大值u=1,当x=1或者x=3时,有最小值u=0。

    ∴内函数u=-x2+4x-3的值域是[0,1],函数值单调增加,

    ∴对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)在定义域内是单调减少,但当u=1时,y=log12u=0,当u=0时,y→-∞。

    故对数复合函数y=log12(-x2+4x-3)的值域是(-∞,0]。

    例3 求函数y=lgx+1x-1的定义域与值域。

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  • 对数函数是指 这里 对数函数的性质主要有定义域是 值域是 当 时单调递增,当 时单调递减。过定点 关于指数和对数的运算,在过去的文章里已经说得很详细。这次我主要想说两个问题,第一个是关于反函数。定义域为 的...

    对数函数是指

    这里

    对数函数的性质主要有

    1. 定义域是
      值域是
    2. 时单调递增,当
      时单调递减。
    3. 过定点

    关于指数和对数的运算,在过去的文章里已经说得很详细。这次我主要想说两个问题,第一个是关于反函数。定义域为

    的函数
    具有反函数的条件是它是单射,也就是

    在这个条件下,定义

    的反函数为

    特别地,连续函数具有反函数的充要条件是单调。这是很直观的结论,首先单调函数肯定是单射,其次如果区间上的连续函数不单调,那么它不是单射。

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    在平面直角坐标系中,若

    有反函数,则图像

    关于直线

    对称。这一点可以理解为,反函数就是把
    交换。

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    在高中我们着重指出的是,指数函数和对数函数

    互为反函数

    第二个问题是关于幂函数、指数函数和对数函数的增长速率。

    充分大时,幂函数
    指数函数和对数函数
    都是充分大的。但是我们可以看出它们的增长速率差别很大。

    这里的增长速率的比较不能通过直接求差的方式观察,而是通过求比值。如果两个函数的比值当

    充分大时接近一个正的常数,就说它们的增长速率是相等的。

    幂函数

    的增长速率随着
    的增大而增大,据此定义幂函数
    的增长速率是
    这样我们就发现所有的多项式函数

    的增长速率是

    另外我们发现指数函数的增长速率非常大,而对数函数的增长速率非常小。

    事实上当

    充分大时

    总是充分大。这是Excel的计算结果

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    可以直观地考虑原因是当

    充分大时,每当
    再增大,指数函数的增量是幂函数的任意多倍,幂函数的增量是对数函数的任意多倍。这就说明

    指数函数

    的增长速率比任何幂函数都大,所以增长速率是

    对数函数

    的增长速率比任何幂函数都小,所以增长速率是无穷小。
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  • 对数函数图象的特点(1)当a>1时,对数函数的图象呈上升趋势;当0时,对数函数的图象呈下降趋势.(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),函数图象只在第一、四象限.(3)在直线x=1的右侧,当a>1时,...
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    对数函数图象的特点

    (1)当a>1时,对数函数的图象呈上升趋势;

    当0<a<1时,对数函数的图象呈下降趋势.

    (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),函数图象只在第一、四象限.

    (3)在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴,即“底大图低”

    与对数函数有关的复合函数问题的求解策略

    利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题,首先要确定函数的定义域,所有问题必须在定义域内讨论;其次分析底数与1的大小关系,底数大于1与底数小于1的两个函数的性质截然不同;最后考虑复合函数的构成,分析它是由哪些基本初等函数复合而成的.

    首先,要熟知对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.

    对于利用对数的运算法则及性质,对函数解析式进行化简,通过换元化归为二次函数求最值题型,要注意解答过程。

    典型例子

    【例子】已知a>0且a≠1,若函数f(x)=loga(ax2x)在[3,4]上是增函数,则a的取值范围是________.

    【解析】由已知可得ax2x>0在[3,4]上恒成立,故9a-3>0,解得a>1/3.

    若0<a<1,则y=logat在(0,+∞)上单调递减,由题意知tax2x在[3,4]上为减函数,故2a/1≥4,解得a≤1/8,这与a>1/3矛盾,不合题意;

    a>1,则y=logat在(0,+∞)上单调递增,由题意知tax2x在[3,4]上为增函数,故1/2a≤3,解得a≥1/6,因为a>1,所以a的取值范围是(1,+∞).

    【答案】 (1,+∞)

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  • 基本内容指数函数和对数函数是高中的九个基本函数中重要的两个。同其他函数一样,我们必须掌握这两个函数的定义,三要素,图象和性质。指数函数是y=常数的x次数方,x在指数的位置,底数为大于0且不等于1的常数。其...
  • 小伙伴们还记不记得,在高考数学题后面的大题总会出现对数函数,需要我们画成对数函数图才能解答。之前小编向大家介绍对数log函数的表示方法(https://www.py.cn/jishu/jichu/21780.html),其实一般我们在使用对数...
  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.知识点讲解一、对数与对数运算1.对数的概念(2)牢记两个重要对数:...
  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数 与对数函数 互为反函数 .知识点讲解一、对数...
  • 二、对数函数对数函数学习以前,需要学习一下对数函数的定义,让我们先看看数学界的定义:一般地,我们把函数如图,叫做对数函数。只要满足上述格式的函数,就叫做对数函数对数函数是由函数的底数决定的,由于底数...
  • 指数函数与对数函数指数函数与对数函数唐辉成根式根指数被开方数指数函数与对数函数唐辉成n次实数方根③(eq\r(n,a))n=.④当n为奇数时,eq\r(n,an)=;当n为偶数时,eq\r(n,an)
  • 了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.知识点讲解一、对数与对数运算1.对数的概念(2)牢记两个重要对数:...
  • 上一期,我们在探讨性质的时候,我们画了几个非常漂亮的图,这一期,就把画图的python放上来,设对数函数为其中a>0,且a≠1。对应的指数函数为。现在来分a>1和0(1) 当0 完整代码# -*- coding: utf-8 -*-""...
  • 把指数函数y=a^x的x看作因变量,y看作自变量,就得到了一个新的函数,这个新的函数就是对数函数,指数函数称为对数函数的直接函数。例1 绘制底为2的对数函数,观察图像的性质# 导入sympy库im...
  • 我们知道,指数函数 ,对于每一个确定值x,都有一个y值与它相对应。并且当x取不同值时,得到的函数值y也是不同的。也就是说指数函数的自变量与因变量是一一对应的。...这种形式的函数称为对数函数,...
  • 对数函数的定义域、值域、定点》由会员分享,可在线阅读,更多相关《对数函数的定义域、值域、定点(8页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、对数函数的定义域、值域与定点,4)当 时, (4)当 时, 当 时, 当 时,4)当...
  • 复合函数、反函数指数函数对数函数对数的性质对数、指数函数指数、对数函数在描述日常生活中的增长问题有很大的帮助。本章学习它们的函数图像以及相关性质。复合函数、反函数复合函数是一种嵌套函数形式,即一个函数...

空空如也

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对数函数