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  • 抽样定理
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    2019-10-04 15:27:14

    作用:将模拟信号通过抽样转化为数字信号。包括时域抽样定理和频域抽样定理
    只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍,采样值就可以包含原始信号的所有信息,被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。(意思在数字信号处理中可以先用采样定理把模拟信号通过采样后成为数字信号,数字信号中包含了模拟信号的所有信息,可还原)
    二、采样定理解释
      1、采样:指的是理想采样, 即直接记录信号在某时间点的精确取值,所以采样定理只涉及到了从连续信号到离散信号的理想采样过程, 而未涉及到对测量值的量化过程。
      2、采样频率:指单位时间内的采样点数, 采样是一种周期性的操作, 非周期性采样不在采样定理的范围之内。
      3、带宽:是一个信号的一种频域参数,常指信号所占据的频带宽度,简单的说是信号的能量集中的频率范围。至于多少百分比的信号能量集中的范围视为带宽,要根据不同的实际需要了。判断的标准就是,在某个频率范围内的信号频谱已经基本提供了我们需要的信息,那么这个频率范围外的信号频谱就变得可有可无。这个频率范围就是带宽。
      根据采样定理,最低采样频率必须是信号频率的两倍。反过来说,如果给定了采样频率,那么能够正确显示信号而不发生畸变的最大频率叫做恩奎斯特频率,它是采样频率的一半。如果信号中包含频率高于奈奎斯特频率的成分,信号将在直流和恩奎斯特频率之间畸变。
    时域采样定理与频域采样定理
    1、时域采样定理
      频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt),f(t1±2Δt),…来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F,便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。 这是时域采样定理的一种表述方式。
    2、时域采样定理的另一种表述方式是:当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。
    时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。
    频域采样定理

    使用背景:带限信号才能使用采样定理(就是最高频率有限制的信号)

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    以前对低通信号的采样定理简单理解为:必须要以信号的最高频率的2倍进行采样,否则就恢复不出来原信号,原因是采样频率Fs较小时,信号频谱发生了混叠,所以无法恢复。
    仔细想想,这样理解当然正确,可以给出简单推导:
    首先对信号采样相当于原信号 f ( t ) f(t) f(t)与抽样信号 δ \delta δT(t)相乘,而 δ \delta δT(t)是周期性的单位冲激信号,傅里叶变换如下式:

    时域相乘相当于频域卷积,所以采样后的信号的频谱就相当于 f ( t ) f(t) f(t)的频谱的周期扩展, 周期就是 ω \omega ω1(也即Fs),那么如果以小于2FH的采样频率采样,则周期扩展后频谱会发生混叠,无法识别原频谱。
    在这里插入图片描述
    因为频谱都是周期的,所以在分析时只需要取-Fs/2-Fs/2之间就行了,至于为什么,陈爱军老师给出了一个解释:
    1、凭直觉,发生混叠时我们观察到的一般都是接近零频的混淆频率,也就是比较低的频率。例如:以fs=8Hz的采样频率分别对f1=5Hz、f2=13Hz、f3=21Hz的复指数信号进行采样,我们根据采样信号判断,一般都会认为复指数信号的频率是-3Hz=f1-fs=f2-2fs=f3-3fs,而不会认为是5Hz或者其它频率。
    2、数模转换时,DAC一般选择最接近零频的混淆频率转换成模拟信号。
    参考:http://www.txrjy.com/thread-394879-115-1.html

    那么在实际取定采样率的时候,假如突然Fs/2外突然有干扰信号或者噪声怎么办,那么这个信号肯定会被混叠到-Fs/2-Fs/2内造成干扰。
    在这里插入图片描述
    信号是如何恢复的呢?上述采样后的信号经过一个低通滤波器就还原了原来的信号,再傅里叶反变换就行了。当然在实际中没有单位冲激脉冲,通过平顶抽样,这相当与在原来周期性单位冲激脉冲的基础上卷积了一个矩形信号,那么频谱就是乘以一个sinc函数,恢复的话先除以一个sinc函数,再经过一个低通滤波器就行了。
    通过上面的频谱周期扩展,假如某个信号是10Hz附近,但是我用8Hz采样,虽然不满足奈奎斯特采样定理,但是通过混叠后依然可以把频谱移到低频,这样不也是可以获得吗?答案是正确的,但是这样要求原信号在低频本来是不存在频谱的,这不就是带通信号采样定理吗?

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    定义:为了不失真地恢复模拟信号,采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。

     

    香农采样定理,又称奈奎斯特采样定理,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。采样是将一个信号(即时间或空间上的连续 函数)转换成一个数值序列(即时间或空间上的离散函数)。采样得到的离散信号经保持器后,得到的是阶梯信号,即具有零阶保持器的特性。如果信号是带限的,并且采样频率高于信号最高频率的一倍,那么,原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。公式为:fs≥2fmax。采样率越高,稍后恢复的波形就越接近原信号,但是对系统的要求就更高,转换电路必须具有更快的转换速度。

     分别是采样频率大于、等于和小于奈奎斯特采样的情况,小于的情况下直接出现了混叠。

     

    网上找到图片

    所以说:采样定理是连续信号和离散信号之间的桥梁。

    举个列子:

     采样定理的作用和意义:

           采样过程所应遵循的规律,又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的,因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理,因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用,因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式,但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

    采样定理在数字式遥测系统、分时制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。

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    一、(低通)采样定理

    • 如何从抽样信号中恢复原连续信号、在什么条件下才可以无失真地由采样信号恢复原连续信号,著名的采样定理对此作了明确的回答。

    • 采样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十分重要的地位,该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号与系统之间架起了一座桥梁。

    • 该定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。

    抽样信号的频谱及频谱混叠现象

    1、连续信号及其频谱

    2、高抽样频率时的抽样信号及其频谱 

    3、低抽样频率时的抽样信号及其频谱

    不满足抽样定理时产生频率混叠现象

    时域抽样定理:

    时域抽样定理表明,一个频谱受限的信号, 如果频谱只占据的范围,则信号 可以用等间隔的抽样值唯一地表示,只要抽样间隔不大于, 其中为信号的最高频率,或者说,抽样频率满足条件

    通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率称为奈奎斯特频率,把最大允许的抽样间隔称为奈奎斯特间隔。

     


    二、带通采样定理

    实际中遇到的许多信号是带通型信号。如果采用低通抽样定理的抽样速率fs≥2fH,对于频率限制在fL与fH之间的带通型信号抽样,肯定能满足频谱不混叠的要求。但这样选择fs太高了,它会使0~fL一大段频谱空隙得不到利用,抽样后的信号速率很高,降低了信道的利用率。

    那么,能否降低抽样频率?

    对带限信号采样时,若其下限频率fL, 上限频率为fH时:

    为使采样后的频域不发生混叠,需要使信号负频域的分量经过m-1次和m次平移后得到的频谱曲线不能与信号原本的正频域分量重叠,因此必须满足下式:

    对上式进行变换,可得

    从上面的结论中可以看出,当m取1时,正好是奈奎斯特采样定理。对于带通信号,没有必要使采样频率高于信号频率上限的两倍,若信号最高频率f_H为信号带宽的整数倍时采样频率只需大于或等于信号带宽的两倍即可,而不会发生频谱混叠。

    fs的计算例子,以30M-40M的信号为例,fH=40M,fL=30M,B=10M;当:

                        m=1时,80M<=fs<=∞;(低通采样定理)

                        m=2时,40M<=fs<=60M;

                        m=3时,26.6M<=fs<=30M;

                        m=4时,20M<=fs<=20M;(m取得最大值)

    以上3个区间内的任意频率都可以进行频谱不混叠的带通采样。

     

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空空如也

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