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  • 马太效应
    2019-05-23 14:13:49

    马太效应

    马太效应(Matthew Effect),指强者愈强、弱者愈弱的现象,广泛应用于社会心理学、教育、金融以及科学领域。马太效应,反映的社会现象是两极分化,富的更富,穷的更穷。名字来自圣经《新约·马太福音》一则寓言: “凡有的,还要加倍给他叫他多余;没有的,连他所有的也要夺过来”。“马太效应”与“平衡之道”相悖;与“二八定则”类似,是十分重要的人类社会规律。中国古代哲学家老子曾提出类似的思想:“天之道,损有余而补不足。人之道则不然,损不足以奉有余。

    内涵:指存在的两极分化现象

    1968年,美国科学史研究者罗伯特·莫顿(Robert K. Merton)提出这个术语用以概括一种社会心理现象:“相对于那些不知名的研究者,声名显赫的科学家通常得到更多的声望;即使他们的成就是相似的,同样地,在一个项目上,声誉通常给予那些已经出名的研究者”。

    罗伯特·莫顿归纳“马太效应”为:任何个体、群体或地区,在某一个方面(如金钱、名誉、地位等)获得成功和进步,就会产生一种积累优势,就会有更多的机会取得更大的成功和进步。

    此术语后为经济学界所借用,反映赢家通吃的经济学中收入分配不公的现象。

    社会心理学上也经常借用这一名词。

    积极和消极的影响

    从积极的方面来说,一个人只要努力,让自己变强,就会在变强的过程中受到鼓舞,从而越来越强。从消极的方面来说,这社会上大多数人并不具有足以变强的毅力,马太效应就会成为逃避现实拒绝努力的借口。态度积极主动执着那么你就获得了精神或物质的财富,获得财富后你的态度更加强化了你的积极主动,如此循环,你才能把马太效应的正效果发挥到极致。

    出处

    马太效应的名字就来源于圣经《新约·马太福音》中的一则寓言:从前,一个国王要出门远行,临行前,交给3个仆人每人一锭银子,吩咐道:“你们去做生意,等我回来时,再来见我。”国王回来时,第一个仆人说:“主人,你交给我的一锭银子,我已赚了10锭。”于是,国王奖励他10座城邑。第二个仆人报告:“主人,你给我的一锭银子,我已赚了5锭。”于是,国王奖励他5座城邑。第三仆人报告说:“主人,你给我的1锭银子,我一直包在手帕里,怕丢失,一直没有拿出来。 ”于是,国王命令将第三个仆人的1锭银子赏给第一个仆人,说:“凡是少的,就连他所有的,也要夺过来。凡是多的,还要给他,叫他多多益善。”这就是“马太效应” ,反映当今社会中存在的一个普遍现象,即赢家通吃。

    声明:苏南生 发表于 2019-05-23 11:15:00 ,共计813字。

    转载请署名:马太效应 | www.sunansheng.com

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  • 20210526-华西证券-轻工行业“碳中和”专题(1):林业碳汇百亿市场蓄势待发,造纸龙头马太效应突显.pdf
  • 思维模型 马太效应

    2020-10-25 23:08:50
    换言之,股票市场的内在机制以一种特殊的马太效应方式表现出来,它直接导致了股票价格背离基本价值而大升深跌、暴升暴跌。由于马太效应及股价的超常涨跌是股票市场内在运作规则的结果,因而它也就成为股票市场的必然...

    本系列文章 主要是 分享 思维模型,涉及各个领域,重在提升认知


    1 模型故事

    股市马太效应:在股票市场上,价格的上升会推动价格的上升;相反,价格的下跌则会导致价格的进一步下跌。换言之,股票市场的内在机制以一种特殊的马太效应方式表现出来,它直接导致了股票价格背离基本价值而大升深跌、暴升暴跌。由于马太效应及股价的超常涨跌是股票市场内在运作规则的结果,因而它也就成为股票市场的必然的、常规性的运作形式。股票市场必然有投机、必然超常动荡,因而股票市场永远是一个可以博取差价的场所。股市在经历了一轮或强或弱的马太式不平衡循环后,可能会进入另一个反向马太循环过程,也可能进入暂时平衡状态。使一轮马太循环中止的原因,如果是价格升涨的中止,通常是因为后续资金量枯竭、高价位所形成的高市场风险、突发利空消息刺激和累积获利筹码过多等等;如果是价格下跌的中止,则多是因为价位进入投资价值区域、突发利多消息刺激、累积套牢筹码过多过深等等。

    房价马太效应:如今,房产价值已经背离了实际的居住价值,房产价值捆绑了教育、医疗、商业及就业等资源,受到城市发展的差异化影响,房价的涨跌明显,两极分化的现象加剧。在房价高的城市或地区,即使房价高居不下还一房难求,而房价低的城市或地区,房价“白菜”,却遍地空置无人问津。

    品牌马太效应:品牌资本的马太效应是指,某个行业或产业的产品或服务,品牌知名度越大,品牌的价值越高,其忠实的消费者就越多,势必其占有的市场份额就越大。反之,某个行业或产业的产品或服务,品牌知名度越小,品牌的价值越低,其忠实的消费者就越少,势必其占有的市场份额就越小,将导致利润减少,被市场淘汰,其让位的市场将会被品牌知名度高的产品或服务代替。马太效应(Matthew Effect),在品牌资本领域内就是普遍存在的市场现象:强者恒强,弱者恒弱。

    人才分布的马太效应:人才危机将是一个世界现象,人才占有上的“马太效应”将更加显现:占有人才越多的地方,对人才越有吸引力;反过来,被认可的人才越稀缺。此外,在〖科学、学术〗研究中也存在“马太效应”,研究成果越多的人往往越有名,越有名的人成果越多,最后就产生了学术权威。

    2 模型 马太效应

    马太效应(Matthew Effect),是指好的愈好,坏的愈坏,多的愈多,少的愈少的一种现象。即两极分化现象。来自于圣经《新约•马太福音》中的一则寓言。1968年,美国科学史研究者罗伯特·莫顿(Robert K. Merton)提出这个术语用以概括一种社会心理现象:“相对于那些不知名的研究者,声名显赫的科学家通常得到更多的声望即使他们的成就是相似的,同样地,在同一个项目上,声誉通常给予那些已经出名的研究者,例如,一个奖项几乎总是授予最资深的研究者,即使所有工作都是一个研究生完成的。” 此术语后为经济学界所借用,反映贫者愈贫,富者愈富,赢家通吃的经济学中收入分配不公的现象。

    3 模型简图

     

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  • "马太效应"是社会各领域中普遍存在的现象,在科学研究中尤为突出。运用科学计量学方法,对检索于中国期刊全文数据库的大连市管理学研究文献进行计量与可视化分析。通过研究产出文献分布的增长规律、研究产出机构和高...
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    什么是帕累托分布

    帕累托分布是以意大利经济学家维弗雷多·帕雷托命名的。 是从大量真实世界的现象中发现的幂次定律分布。这个分布在经济学以外,也被称为布拉德福分布。

    帕累托因对意大利20%的人口拥有80%的财产的观察而著名,后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则(80/20法则),后来进一步概括为帕累托分布的概念。

    帕累托分布的概述

    19世纪末期,意大利经济学家维弗雷多·帕累托认为,贫与富的存在,既是经济问题,也有政治原因。

    帕累托在研究英国人的收入分配问题时发现,绝大部分社会财富最终总会流向少数人群;他还发现,某一部分人口占总人口的比例,与这一部分人所拥有的财富的份额具有比较确定的计量经济关系;进一步的研究证实,这种不平衡模式可以重复出现,甚至可以预测。经济学把这一社会财富的分布状态,称为“帕累托分布”。

    帕累托分布可以归纳为一个非常简洁的表述:通过市场交易,20%的人将占有80%的社会财富,如果交易可以不断进行下去,那么,“在因和果、努力和收获之间,普遍存在着不平衡关系,典型的情况是:80%的收获来自20%的努力;其他 80%的力气只带来20%的结果”。丹尼尔·贝尔在《帕累托分布与收入最大化》中进一步叙述到:“如果待分配的财富总量是100万元,人数为100人,那么我们会有这样一组对应的分配比例:排在前面的20个人,分得80万元;同理,这20人中的4个人,分得64万元;4个人中的1个人,分得50万元。”

    如果我们把这些数据用数学公式简单处理一下,就会显示一条收缩中的“财富曲线”以及一条发散中的“贫困曲线”。它的最终走向,是必然会“清零”的,也只有如此,“财富”中所包含的生产力因子才能重新释放出来。

    帕累托分布从经济学角度论证出,社会分配的“绝对的失衡”必然导致“绝对的贫困”,甚至导致“宗教末日审判”的来临,除非我们可以通过政治手段,人为地阻止财富向高端不断聚集,否则,贫富双方的利益冲突是不可避免的。

    帕累托分布的函数

    ​​帕累托分布 (xmin=1)

    在帕累托分布中,如果X是一个随机变量, 则X的概率分布如下面的公式所示:

    其中x是任何一个大于xmin的数,xmin是X最小的可能值(正数),k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的:xmin和k。分布密度则为

    帕累托分布属于连续概率分布。

    “吉普夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。 一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为 (如果 , 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为 (如果 , 标准差不存在)。

    被大致认为的帕累托分布

    被认为大致是帕累托分布的例子有:

    • 在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之前,财富在个人之间的分布。
    • 甚至在现代工业资本主义创造了大量中产阶级之后,财富在个人之间的分布。
    • 人类居住区的大小
    • 对维基百科条目的访问
    • 接近绝对零度时,爱因斯坦凝聚的团簇
    • 在互联网流量中文件尺寸的分布
    • 油田的石油储备数量
    • 龙卷风带来的灾难的数量

    相关背景介绍:

    马太效应(Matthew Effect),指强者愈强、弱者愈弱的现象,广泛应用于社会心理学、教育、金融以及科学领域。马太效应,反映的社会现象是两极分化,富的更富,穷的更穷。名字来自圣经《新约·马太福音》一则寓言: “凡有的,还要加倍给他叫他多余;没有的,连他所有的也要夺过来”。“马太效应”与“平衡之道”相悖;与“二八定则”类似,是十分重要的人类社会规律。中国古代哲学家老子曾提出类似的思想:“天之道,损有余而补不足。人之道则不然,损不足以奉有余。”
    内涵:指存在的两极分化现象。
    1968年,美国科学史研究者罗伯特·莫顿(Robert K. Merton)提出这个术语用以概括一种社会心理现象:“相对于那些不知名的研究者,声名显赫的科学家通常得到更多的声望;即使他们的成就是相似的,同样地,在一个项目上,声誉通常给予那些已经出名的研究者”。
    罗伯特·莫顿归纳“马太效应”为:任何个体、群体或地区,在某一个方面(如金钱、名誉、地位等)获得成功和进步,就会产生一种积累优势,就会有更多的机会取得更大的成功和进步。
    此术语后为经济学界所借用,反映赢家通吃的经济学中收入分配不公的现象。
    社会心理学上也经常借用这一名词。
    积极和消极的影响:
    从积极的方面来说,一个人只要努力,让自己变强,就会在变强的过程中受到鼓舞,从而越来越强。从消极的方面来说,这社会上大多数人并不具有足以变强的毅力,马太效应就会成为逃避现实拒绝努力的借口。态度积极主动执着那么你就获得了精神或物质的财富,获得财富后你的态度更加强化了你的积极主动,如此循环,你才能把马太效应的正效果发挥到极致。
    出处:
    马太效应的名字就来源于圣经《新约·马太福音》中的一则寓言:从前,一个国王要出门远行,临行前,交给3个仆人每人一锭银子,吩咐道:“你们去做生意,等我回来时,再来见我。”国王回来时,第一个仆人说:“主人,你交给我的一锭银子,我已赚了10锭。”于是,国王奖励他10座城邑。第二个仆人报告:“主人,你给我的一锭银子,我已赚了5锭。”于是,国王奖励他5座城邑。第三仆人报告说:“主人,你给我的1锭银子,我一直包在手帕里,怕丢失,一直没有拿出来。 ”于是,国王命令将第三个仆人的1锭银子赏给第一个仆人,说:“凡是少的,就连他所有的,也要夺过来。凡是多的,还要给他,叫他多多益善。”这就是“马太效应” ,反映当今社会中存在的一个普遍现象,即赢家通吃。

    二八定律又名80/20定律、帕列托法则(定律)也叫巴莱特定律、最省力的法则、不平衡原则等,被广泛应用于社会学及企业管理学等。
    分析方法:
    80/20分析法检验两组类似数据之间的关系,并用来改变它们所描述的关系。一个主要用途是去发现该关系的关键起因——20%的投入就有80%的产出,并在取得最佳业绩的同时减少资源损耗。
    假如20%喝啤酒的人喝掉70%的啤酒,那么这部分人应该是啤酒制造商注意的对象。尽可能争取这20%的人来买,最好能进一步增加他们的啤酒消费。啤酒制造商出于实际理由,可能会忽视其余80%喝啤酒的人,因为他们的消费量只占30%。
    同样的,当一家公司发现自己80%的利润来自于20%的顾客时,就该努力让那20%的顾客乐意扩展与它的合作。这样做,不但比把注意力平均分散给所有的顾客更容易,也更值得。再者,如果公司发现80%的利润来自于20%的产品,那么这家公司应该全力来销售那些高利润的产品。
    80/20分析法的第二个主要用途是对80%的投入只产出20%的生产状况进行改进,使之发挥有效作用。
    不同于线性思维,我们应该系统并谨慎地应用80/20分析法,因为线性思维会导致对80/20原则的误解,也可能会导致滥用。“不要轻易地认为某一变量是关键的原因是其他每个人都会关注……这就是线性思维。80/20分析法赋予的最有价值的洞察力总是检验别人都忽视的非线性关系。”二八现象:
    1.管理学:通常一个企业80%的利润来自它20%的项目;这个80/20定二八定律图示
    律被一再推而广之–经济学家说,20%的人手里掌握着80%的财富。有这样两种人,第一种占了80%,拥有20%的财富; 第二种只占20%,却掌握80%的财富。
    -漠视20%80%两者相关性,如同只认可喂饱口腹的最后一口饼子
    2.心理学:20%的人身上集中了人类80%的智慧,他们一出生就鹤立鸡群。
    大智出有大伪,朴素的力量同样托起了蓝天
    3.日常生活中的“二八法则”:以下是二八定律在生活中的体现:
    20%的重要软件需要80%的时间去测试
    20%的人成功------------------80%的人不成功 唯成功论近似于唯利是图,没有大众默默无闻忍辱负重怎么凸显‘人上人’
    20%的人用脖子以上赚钱--------80%的人脖子以下赚钱
    20%的人正面思考--------------80%的人负面思考
    20%的人买时间----------------80%的人卖时间
    20%的人找一个好员工----------80%的人找一份好工作
    20%的人支配别人--------------80%的人受人支配
    20%的人做事业----------------80%的人做事情
    20%的人重视经验--------------80%的人重视学历
    20%的人认为行动才有结果------80%的人认为知识就是力量
    20%的人我要怎么做才有钱------80%的人我要有钱我就怎么做
    20%的人爱投资----------------80%的人爱购物
    20%的人有目标----------------80%的人爱瞎想
    20%的人在问题中找答案--------80%的人在答案中找问题
    20%的人在放眼长远------------80%的人只顾眼前
    20%的人把握机会--------------80%的人错失机会
    20%的人计划未来--------------80%的人早上起来才想今天干嘛
    20%的人按成功经验行事--------80%的人按自己的意愿行事
    20%的人做简单的事情----------80%的人不愿意做简单的事情
    20%的人明天的事情今天做------80%的人今天的事情明天做
    20%的人如何能办到------------80%的人不可能办到
    20%的人记笔记----------------80%的人忘性好
    20%的人受成功人的影响--------80%的人受失败人的影响
    20%的人状态很好--------------80%的人态度不好
    20%的人相信自己会成功--------------80%的人不愿改变环境
    20%的人永远赞美、鼓励--------------80%的人永远谩骂、批评
    20%的人会坚持--------------80%的人会放弃
    20%的人敢于面对困难--------------80%的人逃避现实
    20%的人认为他们应该满足以上的80%--------------80%的人觉得上面说的我有20%就好
    ——20%的罪犯的罪行占所有犯罪行为的80%;
    ——20%的汽车狂人,引起80%的交通事故;
    ——20%的已婚者,占离婚人口的80%(那些不断离婚的人,扭曲了统计数字);
    ——世界上大约80%的资源,是由世界上20%的人口所消耗;
    ——世界财富的80% 为20%的人所拥有;
    ——80%的能源浪费在燃烧上,只有其中的20%可以应用到车辆中,而这20%的投入,却回报以100%的产出;
    ——在一个国家的医疗体系中,20%的人口与20%的疾病,会消耗80%的医疗资源。
    ——20%的产品或20%的客户,为企业赚得约80%的销售额;
    总而言之,在原因和结果、投入和产出、努力和报酬之间存在的这种不平衡关系,可以分为两种不同类型:多数,它们只能造成少许的影响;少数,它们造成主要的、重大的影响。

    20%的强势品牌,占有80%的市场份额。一般来说,第一品牌的市场占有率比第二品牌高出一倍以上,在行业中是价值最大的品牌。在网络界,三大门户网站无论是在吸引力方面,还是收入方面都占据网络产业的绝大部分。
    “二八定律”之所以得到业界的推崇,就在于其提倡的“有所为,有所不为”的经营方略,确定了传媒业的视野。

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  • 马太效应/幂律分布的本质以及其数学表述

    万次阅读 多人点赞 2018-01-26 22:38:02
    上周我说想要用***严谨的数学***来描述***“马太效应”***,还说用韦恩图来表示…本文我来完成愿望的一部分,即用传统的数学理论,即概率和微积分的知识来表述这个马太效应。   所谓的马太效应,就是***“富者越...

    2018/01/27深圳回沪办事,走G15途径厦门,温州,自从2015年11月底最后一次离开上海就再也没有回去过…然后北上呼伦贝尔根河,一路向东北方向直抵漠河…路上途径的地方如果无聊了,会写下些思考随笔,当然也会有类似去年川西高原行的游记。

      今日惠州团建返回,在后面将会引入大量***与技术无关***的随笔之前,我加紧写完这篇文章,不耽误明日出发。想想也挺有意思的,去年是重庆,成都,川西青藏高原,走前去了一趟江门,今年是上海,根河,漠河,走前去了一趟惠州,完美对称!

      希望这趟自由行可以给自己的2018年带来好运,同时也给家庭,公司团队带来好运,满血迎接新的挑战!


    ***“凡是少的,就连他所有的,也要夺过来。凡是多的,还要给他,叫他多多益善。”***《新约.马太福音》
    ***“凡是相信大数定律的,凡是相信热力学第一定律的,就不要去赌博,不要去炒股,不要去进行任何投机,而应该去开赌场”***《疲累的狡辩.在路上 by 赵亚》

      举一个例子,我们的互联网并不是平等的,大多数的流量都是在流向那不多的几个大型公司,20%不到的公司控制了80%以上的信息资源,这是事实!我们的一切都不是平等的,因为我们的存在不是随机的,弱者将至多维持现状,强者将至少恒强。

      逆袭的机会,很少!***不是没有可能,但逆袭确实是小概率事件,属于概率分布的***长尾!


    上周我说想要用***严谨的数学***来描述***“马太效应”***,还说用韦恩图来表示…本文我来完成愿望的一部分,即用传统的数学理论,即概率和微积分的知识来表述这个马太效应。

      所谓的马太效应,就是***“富者越富,穷者越穷”***,大道理几乎所有人都知道,但我们想知道这是为什么,这一切背后的动力学是什么。因此,我们需要建立一个数学模型,用数学来推导这一切。这样会让人信服。当然,谁都知道我们无法用朴素的数学描述整个世界的每一个细节,即便是可以我们也将会一叶障目无法看到大局,所以需要对问题进行适当的抽象。

      本文中我将首先用图论的基础知识来描述一个具有马太效应的网络的动力学细节,然后扯一通形而上学的理解(不过这部分比较重要,这是我的精髓,一般书上是看不到的),最后我用微积分的知识来证明这个马太效应在一般意义上上正确性。


    到底如何来表示马太效应。事实上,马太效应,80/20法则,它们大概说的意思是一致的,在统计学中,这些说法被抽象成所谓的***幂律分布***,在分布图上,它表现为一条拖着长长尾巴的曲线:

    这里写图片描述

    这种幂律分布曲线方程可以表示成以下的形式:

    f ( x ) = α x − γ f(x)=\alpha x^{-\gamma} f(x)=αxγ   其 中 , α , γ 均 为 正 数 其中,\alpha,\gamma均为正数 α,γ

    可见,在这种幂律概率分布上,概率越高,占比越小,反正大占比的分布位于那条长长的尾巴上。本文接下来就详细分析这种幂律特征的细节以及成因。


    考虑一个网络,我们把网络节点看作是实体,该网络遵循一定的规则自我增长,在该规则下,最终我们将导出幂律。这个规则尽可能地模拟了我们人类心智的某些特征,比如我们都喜欢有威信的人,我们总是想和混的好的人交朋友,上学的时候,如果大家都不喜欢某个孩子,我也很难喜欢他,我们同样都喜欢去好的公司上班,比如腾讯,阿里,我们也喜欢明星,如果有一天发生了天底下最难以应对的混乱,我们希望寄人篱下,每个人都希望能依附最强者…等等这一切,归根结底都是在***扩展一个网络***,我把它们抽象成以下的规则:

    • 每次有一个新节点接入到网络中,链入网络中已经存在的一个节点
    • 新节点链接旧节点的方式:新节点接入网络中已有节点 i i i的概率与节点 i i i的度正相关,其概率满足以下关系:
      p i = k i ∑ j k j p_i=\dfrac{k_i}{\sum\limits_jk_j} pi=jkjki   ( 相 当 于 对 度 k 进 行 了 归 一 化 ) (相当于对度k进行了归一化) (k)

    我们把上面的 p i p_i pi整理一下。由于 在一个图中节点总的度等于边数的2倍,以边数衡量网络的规模,设该图中节点的数目为 n n n,则有:

    p i = k i ∑ j k j = k i 2 n p_i=\dfrac{k_i}{\sum\limits_jk_j}=\dfrac{k_i}{2n} pi=jkjki=2nki

    现在,我们考虑一下当一个新的节点链接入一个网络时,发生了什么。

      当一个节点链接入网时,它会增加它所链接节点的度,增加 1 1 1,且增加一条边,我们假设表达式 p k , i , n p_{k,i,n} pk,i,n表示的含义如下:
    既存在于网络中的节点 i i i在网络规模达到 n n n时,其度为 k k k的概率
    那么新加入一个节点时,这个概率会发生变化。即:新加入一个节点后,度为 k k k的节点包括两个部分,分别是:

    1. 新节点链入的那个旧节点,如果它的度为 k − 1 k-1 k1
    2. 新节点没有链入的那些度本来就是 k k k的旧节点。

    我们分别求这两部分的概率,然后将其相加就是网络规模变成 n + 1 n+1 n+1时节点度为 k k k的概率:

    1. 第1部分概率: k − 1 2 n p k − 1 , i , n ( 注 意 下 标 为 k − 1 ) \dfrac{k-1}{2n}p_{k-1,i,n} (注意下标为k-1) 2nk1pk1,i,n(k1)
    2. 第2部分概率: ( 1 − k 2 n ) p k , i , n ( 注 意 下 标 维 持 k ) (1-\dfrac{k}{2n})p_{k,i,n}(注意下标维持k) (12nk)pk,i,n(k)

    所以:

    p k , i , n + 1 = k − 1 2 n p k − 1 , i , n + ( 1 − k 2 n ) p k , i , n p_{k,i,n+1}=\dfrac{k-1}{2n}p_{k-1,i,n}+(1-\dfrac{k}{2n})p_{k,i,n} pk,i,n+1=2nk1pk1,i,n+(12nk)pk,i,n   ( 0 ) (0) (0)

    有了这个递推关系,把 等 式 ( 0 ) 等式(0) (0)关于 i i i展开即可(递推式不就是拿来展开相抵或者相加的吗?):
    p k , 0 , n + 1 = k − 1 2 n p k − 1 , 0 , n + ( 1 − k 2 n ) p k , 0 , n p_{k,0,n+1}=\dfrac{k-1}{2n}p_{k-1,0,n}+(1-\dfrac{k}{2n})p_{k,0,n} pk,0,n+1=2nk1pk1,0,n+(12nk)pk,0,n
    p k , 1 , n + 1 = k − 1 2 n p k − 1 , 1 , n + ( 1 − k 2 n ) p k , 1 , n p_{k,1,n+1}=\dfrac{k-1}{2n}p_{k-1,1,n}+(1-\dfrac{k}{2n})p_{k,1,n} pk,1,n+1=2nk1pk1,1,n+(12nk)pk,1,n
    p k , 2 , n + 1 = k − 1 2 n p k − 1 , 2 , n + ( 1 − k 2 n ) p k , 2 , n p_{k,2,n+1}=\dfrac{k-1}{2n}p_{k-1,2,n}+(1-\dfrac{k}{2n})p_{k,2,n} pk,2,n+1=2nk1pk1,2,n+(12nk)pk,2,n
    p k , 3 , n + 1 = k − 1 2 n p k − 1 , 3 , n + ( 1 − k 2 n ) p k , 3 , n p_{k,3,n+1}=\dfrac{k-1}{2n}p_{k-1,3,n}+(1-\dfrac{k}{2n})p_{k,3,n} pk,3,n+1=2nk1pk1,3,n+(12nk)pk,3,n

    p k , n , n + 1 = k − 1 2 n p k − 1 , n , n + ( 1 − k 2 n p k , n , n ) p_{k,n,n+1}=\dfrac{k-1}{2n}p_{k-1,n,n}+(1-\dfrac{k}{2n}p_{k,n,n}) pk,n,n+1=2nk1pk1,n,n+(12nkpk,n,n)

    上面的一系列式子左右分别相加并整理如下:

    ∑ i = 1 n p k , i , n + 1 + p k , 0 , n + 1 = ( k − 1 2 ) 1 n ∑ i = 0 n p k − 1 , i , n + ∑ i = 0 n − 1 p k , i , n − k 2 1 n ∑ i = 0 n − 1 p k , i , n \sum\limits_{i=1}^{n}p_{k,i,n+1}+p_{k,0,n+1}=(\dfrac{k-1}{2})\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^np_{k-1,i,n}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}p_{k,i,n}-\dfrac{k}{2}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}p_{k,i,n} i=1npk,i,n+1+pk,0,n+1=(2k1)n1i=0npk1,i,n+i=0n1pk,i,n2kn1i=0n1pk,i,n

    考虑当 n n n非常大到海量的时候,统计期望即满足***大数定律***,即:

    lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n p k , i , n + 1 = lim ⁡ n → + ∞ 1 n ∑ i = 0 n − 1 p k , i , n \lim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}p_{k,i,n+1}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}p_{k,i,n} limn+n1i=1npk,i,n+1=limn+n1i=0n1pk,i,n

    所以在 n n n海量巨大的时候,可以认为下面的式子成立:

    ∑ i = 1 n p k , i , n + 1 ≈ ∑ i = 0 n − 1 p k , i , n \sum\limits_{i=1}^{n}p_{k,i,n+1}\approx\sum\limits_{i=0}^{n-1}p_{k,i,n} i=1npk,i,n+1i=0n1pk,i,n   ( 当 n 趋 向 无 穷 时 取 等 号 。 后 面 我 们 忽 略 这 个 无 穷 小 差 异 , 一 律 取 等 号 ) (当n趋向无穷时取等号。后面我们忽略这个无穷小差异,一律取等号) (n)

    考虑到度的分布满足下面的表达式:
    P ( k ) = lim ⁡ n → + ∞ ( 1 n ∑ i p k , i , n ) P(k)=\lim_{n\rightarrow+\infty}(\dfrac{1}{n}\sum_{i}p_{k,i,n}) P(k)=limn+(n1ipk,i,n)
    则有:
    p k , 0 , n + 1 = ( k − 1 2 ) P ( k − 1 ) − ( k 2 ) P ( k ) p_{k,0,n+1}=(\dfrac{k-1}{2})P(k-1)-(\dfrac{k}{2})P(k) pk,0,n+1=(2k1)P(k1)(2k)P(k)   ( 1 ) (1) (1)
    另外,根据上述的极限定义,将***新节点接入网络***作为随机事件,由***大数定律***我们得出初始加入网络的节点 i 0 i_0 i0在网络最终无穷大的时候(即 n → + ∞ n\rightarrow+\infty n+),其度为 k k k的概率趋近于整个网络的度为 k k k的节点占比的数学期望,即:

    p k , 0 , n + 1 = P ( k ) p_{k,0,n+1}=P(k) pk,0,n+1=P(k)

    代入上面的 等 式 ( 1 ) 等式(1) (1),即可得到如下的新的递推关系:

    P ( k ) = k − 1 k + 2 P ( k − 1 ) P(k)=\dfrac{k-1}{k+2}P(k-1) P(k)=k+2k1P(k1)   ( 2 ) (2) (2)

    我们把 等 式 ( 2 ) 在 k > 1 时 等式(2)在k>1时 (2)k>1展开,得到:

    P ( 2 ) P ( 1 ) = 1 4 \dfrac{P(2)}{P(1)}=\dfrac{1}{4} P(1)P(2)=41
    P ( 3 ) P ( 2 ) = 2 5 \dfrac{P(3)}{P(2)}=\dfrac{2}{5} P(2)P(3)=52
    P ( 4 ) P ( 3 ) = 3 6 \dfrac{P(4)}{P(3)}=\dfrac{3}{6} P(3)P(4)=63
    P ( 5 ) P ( 4 ) = 4 7 \dfrac{P(5)}{P(4)}=\dfrac{4}{7} P(4)P(5)=74

    P ( k − 1 ) P ( k − 2 ) = k − 2 k + 1 \dfrac{P(k-1)}{P(k-2)}=\dfrac{k-2}{k+1} P(k2)P(k1)=k+1k2
    P ( k ) P ( k − 1 ) = k − 1 k + 2 \dfrac{P(k)}{P(k-1)}=\dfrac{k-1}{k+2} P(k1)P(k)=k+2k1
    这次我们把上面的一系列式子相乘,得到下面的等式:

    P ( k ) P ( 1 ) = 1 × 2 × 3 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) \dfrac{P(k)}{P(1)}=\dfrac{1\times2\times3}{k(k+1)(k+2)} P(1)P(k)=k(k+1)(k+2)1×2×3   ( 3 ) (3) (3)

    嗯,貌似OK了…但是 P ( 1 ) P(1) P(1)是什么?

      就是说刚开始加入的那个节点需要特殊处理,这其实很容易,我们再看递推式 ( 0 ) (0) (0)
    p k , i , n + 1 = k − 1 2 n p k − 1 , i , n + ( 1 − k 2 n ) p k , i , n p_{k,i,n+1}=\dfrac{k-1}{2n}p_{k-1,i,n}+(1-\dfrac{k}{2n})p_{k,i,n} pk,i,n+1=2nk1pk1,i,n+(12nk)pk,i,n
    其中的两个概率重新定义就是了。

      首先,节点的度不可能是 0 0 0,因此,新加入的节点是度为 1 1 1的一部分,另外一部分度为 1 1 1的节点是***原本的度就是 1 1 1的节点***,因此新加入节点相比之前的递推式就是:

    p 1 , i , n + 1 = 1 n + ( 1 − 1 2 n ) p 1 , i , n p_{1,i,n+1}=\dfrac{1}{n}+(1-\dfrac{1}{2n})p_{1,i,n} p1,i,n+1=n1+(12n1)p1,i,n

    依然按照上面的处理方式展开相加,最终得到的结果就是:
    p 1 , 0 , n + 1 = 1 − ( 1 2 ) P ( 1 ) p_{1,0,n+1}=1-(\dfrac{1}{2})P(1) p1,0,n+1=1(21)P(1)
    进一步,由***大数定律***,得到:

    P ( 1 ) = 1 − 1 2 P ( 1 ) , 即 : P(1)=1-\dfrac{1}{2}P(1),即: P(1)=121P(1)

    P ( 1 ) = 2 3 , 代 入 ( 3 ) , 得 到 : P(1)=\dfrac{2}{3},代入(3),得到: P(1)=32(3)

    P ( k ) = 4 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ∝ 2 k − 3 P(k)=\dfrac{4}{k(k+1)(k+2)}\propto2k^{-3} P(k)=k(k+1)(k+2)42k3
    $ 毕!$


    我们已经证明了在上述***网络扩展规则***的情况下网络上的某些节点是如何做到***胜者通吃***的。但是能不能将其总结成一个通行的公例呢?

      完全可以!

      这种网络其实就是叫做***无标度网络***,所有的幂律都符合无标度网络特征。那么什么叫做无标度网络?你可以百度谷歌一下,估计得到的仅仅是一种描述,这些解释并没有告诉你为什么。这里,我来告诉你为什么。

      所谓的无标度,几何上***指的是***曲线在双对数坐标下是一条直线,在***代数方程上***指的是***不管自变量如何缩放单位,方程的形式不会变化***。

      也许你可能不知道我在扯什么,我现在就解释。我们假设一个符合幂律的分布函数 f ( x ) = a x 3 f(x)=ax^3 f(x)=ax3,我们对其两边取对数:

    l n f ( x ) = l n a x 3 = > l n f ( x ) = 3 l n x + l n a lnf(x)=ln{ax^3}=>lnf(x)=3lnx+lna lnf(x)=lnax3=>lnf(x)=3lnx+lna

    看看是不是点 ( l n x , l n f ( x ) ) (lnx,lnf(x)) (lnx,lnf(x))在同一条直线 y = 3 x + l n a y=3x+lna y=3x+lna上呢?该直线的斜率为 3 3 3,截距为 l n a lna lna。这就是***双对数意义上的直线***,所有的幂律分布均符合这种双对数坐标系里的直线性质。

      现在开个脑洞,你知道人的大脑对这种双对数直线情有独钟吗?如果有的话,那么人脑大概想的都是幂律吧,同时也把幂律和对数联系上了吧。还记得我猜测的那般,觉得人总是喜欢对数据取对数吗?人脑天生就是一台取对数机器…既然联系了起来,难道人脑是因为幂律才喜欢取对数,还是因为取了对数才符合了双对数坐标下的幂律…不得而知~~哈哈

      其实,人脑是喜欢直线吧。不想让直线弯曲了,才会拼命让自己的大脑符合幂律或者去取对数。不得而知。不过,经验看起来,人脑天生喜欢追随强者。如果追溯原因,这是因为人天生懒惰从而喜欢被奴役吗?这难道是幂律的成因?还是说因为大脑天生只识别双对数直线,从而只向着符合条件的曲线靠拢!

      换句话说,我觉得,只要是双对数坐标系下是一条直线的表达式,都是人脑易于理解的。这也正是***费希纳定律***所表达的含义。虽然物理量已经指数增加,但感觉量却只是线性增加。这也是为什么虽然80/20规则是很不公平的,但是人们却感觉不到它不公平,毕竟在人们的心理预期上,并不存在80/20,可能只是20/20。

      不管怎样,强者越强,富者越富,弱者越弱,这个确实是真理。

      看过了关于直线的几何解释,我们来看下代数方程的解释。假设我们已经知道 f ( x ) = a x b f(x)=ax^b f(x)=axb,此时我们将 x x x扩大或者缩放成 γ x \gamma x γx,那么 f ( γ x ) = ( a γ b ) x b f(\gamma x)=(a\gamma^b)x^b f(γx)=(aγb)xb,请注意,形式并没有任何变化,只是函数值最终进行了等比例的缩放,缩放系数是个常数。这正像吹气球一样,同步膨胀,越膨胀越大,最为重要的是,虽然膨胀了,大师形状并没有改变(这里并没有用大气压说事…),这就说明这个气球是无标度的,这也说明它是分形的。

      但是,符合无标度特征的就一定是幂律分布吗?接下来我给出个数学推导:


    这又是一个数学题,学过微分方程的应该都能解出,但不管怎样,本文还是给出一个简要说明。题目如下:

    • 对 于 一 个 概 率 分 布 函 数 f ( x ) , 如 果 对 任 意 的 常 数 a , 均 存 在 常 数 b , 是 的 下 面 的 式 子 成 立 : 对于一个概率分布函数f(x),如果对任意的常数a,均存在常数b,是的下面的式子成立: f(x)ab
      f ( a x ) = b f ( x ) f(ax)=bf(x) f(ax)=bf(x)
      那 么 f ( x ) 便 符 合 无 标 度 条 件 , 则 必 有 : 那么f(x)便符合无标度条件,则必有: f(x)便
      f ( x ) = f ( 1 ) x − γ f(x)=f(1)x^{-\gamma} f(x)=f(1)xγ   其 中 γ = − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) 其中\gamma=-\dfrac{f(1)}{f\prime(1)} γ=f(1)f(1)

    解这个题目非常简单,首先取 x = 1 x=1 x=1,得到 b = f ( a ) f ( 1 ) b=\dfrac{f(a)}{f(1)} b=f(1)f(a),从而:

    f ( a x ) = f ( a ) f ( x ) f ( 1 ) f(ax)=\dfrac{f(a)f(x)}{f(1)} f(ax)=f(1)f(a)f(x)

    接下来我们想办法把自变量 x x x分离出来,因此可以对 a a a求导,得到:

    x d f ( a x ) d ( a x ) = f ( x ) f ( 1 ) d f ( a ) d a x\dfrac{df(ax)}{d(ax)}=\dfrac{f(x)}{f(1)}\dfrac{df(a)}{da} xd(ax)df(ax)=f(1)f(x)dadf(a)

    由 于 a 为 任 意 常 数 , 为 消 除 其 影 响 , 只 需 设 置 其 为 一 个 特 殊 值 , 然 后 求 解 题 目 , 最 终 证 明 结 果 充 分 且 必 要 即 可 , 不 妨 设 a = 1 , 则 有 : 由于a为任意常数,为消除其影响,只需设置其为一个特殊值,然后求解题目,最终证明结果充分且必要即可,不妨设a=1,则有: aa=1

    x d f ( x ) d ( x ) = f ( x ) f ( 1 ) f ′ ( 1 ) x\dfrac{df(x)}{d(x)}=\dfrac{f(x)}{f(1)}f\prime(1) xd(x)df(x)=f(1)f(x)f(1)

    上 式 整 理 得 : 上式整理得:

    1 f ( x ) d f ( x ) = f ′ ( 1 ) f ( 1 ) 1 x d x \dfrac{1}{f(x)}df(x)=\dfrac{f\prime(1)}{f(1)}\dfrac{1}{x}dx f(x)1df(x)=f(1)f(1)x1dx

    两 边 对 微 分 进 行 积 分 , 微 分 方 程 可 以 轻 易 求 解 : 两边对微分进行积分,微分方程可以轻易求解:

    l n f ( x ) = f ′ ( 1 ) f ( 1 ) l n x + C lnf(x)=\dfrac{f\prime(1)}{f(1)}lnx+C lnf(x)=f(1)f(1)lnx+C   注 意 这 是 双 对 数 坐 标 系 下 的 直 线 注意这是双对数坐标系下的直线 线

    其中 C C C为任意常数,既然是任意常数,那么考虑值域***同样也***为任意常数的函数 l n x lnx lnx,一定会有常数 C 1 C_1 C1,其值等于 C C C,于是:

    设 C = l n C 1 , 则 有 : 设C=lnC_1,则有: C=lnC1

    l n f ( x ) = f ( 1 ) f ′ ( 1 ) l n x + l n C 1 lnf(x)=\dfrac{f(1)}{f\prime(1)}lnx+lnC_1 lnf(x)=f(1)f(1)lnx+lnC1

    进 一 步 , 根 据 对 数 的 性 质 , 有 : 进一步,根据对数的性质,有:

    l n f ( x ) = l n ( x f ( 1 ) f ′ ( 1 ) × C 1 ) lnf(x)=ln(x^{\frac{f(1)}{f\prime(1)}}\times C_1) lnf(x)=ln(xf(1)f(1)×C1)

    所 以 : 所以:

    f ( x ) = C 1 x f ( 1 ) f ′ ( 1 ) f(x)=C_1x^{\frac{f(1)}{f\prime(1)}} f(x)=C1xf(1)f(1)

    为 了 求 C 1 , 设 x = 1 , 则 有 : f ( 1 ) = C 1 为了求C_1,设x=1,则有:f(1)=C_1 C1x=1f(1)=C1

    结 论 为 : 结论为:

    f ( x ) = f ( 1 ) x − γ f(x)=f(1)x^{-\gamma} f(x)=f(1)xγ   其 中 γ = − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) 其中\gamma=-\dfrac{f(1)}{f\prime(1)} γ=f(1)f(1)

    这 正 是 幂 律 分 布 , 毕 ! 这正是幂律分布,毕!


    写到这里,本文的主要内容已经写完了,即便如此,本文到此为止依然没有提到任何关于复杂网络的术语和概念的内容,我是有理由的。

      惠州团建中有个帆船出海的项目,船主耐心的给我们讲解了帆船的各种原理以及各种操作,这趟出行让我喜欢上了帆船,纯手动操作,可完美体验操控的乐趣。关键点不在这,而是船主给我们讲空气动力原理的时候,说了很多,当我想逞能插话念出伯努利方程的时候,船主自然而然说出了这就是伯努利方程…这跟我想的简直一样…其实我对伯努利方程仅仅知道个名称以及它的表示或者还有它的一些推导,但是从来没有听到过生动的实例讲解,如果船主不说这最后一句话,我觉得他依然可以胜过很多的物理老师。嗯,同样的道理,我也不准备先把诸如小世界网络,随机网络,BA网络,Pareto分布等等术语摆出来,然后再解释幂律,我觉得即使不懂这些,也照样可以完全理解幂律。

      喜欢上了他的帆船(30万左右可以买一艘,大概是一辆奥迪A4L或者BMW 3系的价格),还有一个原因,那就是这位船主的风格是我所认同的,和一个志同道合的人终成伴侣,然后将共同的爱好变成了事业,非常不错。有幸能坐上老板亲自拉绳掌舵的帆船,这趟出游的感觉非常棒。

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