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  • 基本初等函数求导公式与微分公式.(C ) ' 0 ( x ) ' x 1 (ax)' ax lna (e x ) ' e x dC 0 d ( x ) x 1dx d(ax) ax lnxdx d (e x ) e x dx
  • 汇总导数、积分、微分公式和法则,查询方便,时间久了不用总会忘记,下载下来备用,以备不时之需!!!!!
  • 求导公式

    2020-07-26 10:54:09
    基本的求导法则如下: 1、求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。 2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二+一乘二导(即②式)。 3、两个函数的商的导函数也是一个...

     

    y=c(c为常数bai) y'=0

    y=x^n y'=nx^(n-1)

    y=a^x y'=a^xlna

    y=e^x y'=e^x

    y=logax y'=logae/x

    y=lnx y'=1/x

    y=sinx y'=cosx

    y=cosx y'=-sinx

    y=tanx y'=1/cos^2x

    y=cotx y'=-1/sin^2x

    y=arcsinx y'=1/√1-x^2

    y=arccosx y'=-1/√1-x^2

    y=arctanx y'=1/1+x^2

    y=arccotx y'=-1/1+x^2

     

     

    拓展资料:
    导数bai(Derivative)是微积分中的重要基础概du念。当函数y=f(x)的自变量x在一点zhix0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。

    导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

    导数的计算

    计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中,大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数,那么根据导数的求导法则,就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

    导数的求导法则

    由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:

    1、求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

    2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二+一乘二导(即②式)。

    3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

    4、如果有复合函数,则用链式法则求导。

    口诀

    常为零,幂降次

    对倒数(e为底时直接倒数,a为底时乘以1/lna)

    指不变(特别的,自然对数的指数函数完全不变,一般的指数函数须乘以lna)

    正变余,余变正

    切割方(切函数是相应割函数(切函数的倒数)的平方)

    割乘切,反分式

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  • 常用矩阵求导公式

    2021-08-20 10:03:53
    常用矩阵求导公式 常见矩阵求导公式: 公式1 公式2 公式3 公式4 公式5 公式6 公式7 公式8 公式9 公式10 公式11

    常用矩阵求导公式

    常见矩阵求导公式:

    公式1

    d x T d x = I             d x d x T = I \frac{\text{d}x^T}{\text{d}x}=I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\text{d}x}{\text{d}x^T}=I dxdxT=I           dxTdx=I


    公式2

    d x T A d x = A           d A x d x T = A \frac{\text{d}x^TA}{\text{d}x}=A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\text{d}Ax}{\text{d}x^T}=A dxdxTA=A         dxTdAx=A


    公式3

    d A x d x = A T           d x A d x = A T \frac{\text{d}Ax}{\text{d}x}=A^T\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\text{d}xA}{\text{d}x}=A^T dxdAx=AT         dxdxA=AT


    公式4

    ∂ u ∂ x T = ( ∂ u T ∂ x ) T \frac{\partial u}{\partial x^T}=\left( \frac{\partial u^T}{\partial x} \right) ^T xTu=(xuT)T


    公式5

    ∂ u T v ∂ x = ∂ u T ∂ x v + ∂ v T ∂ x u T \frac{\partial u^Tv}{\partial x}=\frac{\partial u^T}{\partial x}v+\frac{\partial v^T}{\partial x}u^T xuTv=xuTv+xvTuT


    公式6
    ∂ u v T ∂ x = ∂ u ∂ x v T + u ∂ v T ∂ x \frac{\partial uv^T}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}v^T+u\frac{\partial v^T}{\partial x} xuvT=xuvT+uxvT


    公式7

    d x T x d x = 2 x \frac{\text{d}x^Tx}{\text{d}x}=2x dxdxTx=2x
    d x T A x d x = ( A + A T ) x \frac{\text{d}x^TAx}{\text{d}x}=\left( A+A^T \right) x dxdxTAx=(A+AT)x


    公式8

    ∂ A B ∂ x = ∂ A ∂ x B + A ∂ B ∂ x \frac{\partial AB}{\partial x}=\frac{\partial A}{\partial x}B+A\frac{\partial B}{\partial x} xAB=xAB+AxB


    公式9

    ∂ u T X v ∂ X = u v T \frac{\partial u^TXv}{\partial X}=uv^T XuTXv=uvT


    公式10

    ∂ u T X T X u ∂ X = 2 X u u T \frac{\partial u^TX^TXu}{\partial X}=2Xuu^T XuTXTXu=2XuuT


    公式11
    ∂ [ ( X u − v ) T ( X u − v ) ] ∂ X = 2 ( X u − v ) u T \frac{\partial \left[ \left( Xu-v \right) ^T\left( Xu-v \right) \right]}{\partial X}=2\left( Xu-v \right) u^T X[(Xuv)T(Xuv)]=2(Xuv)uT


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  • 常用矩阵求导公式推导

    千次阅读 2020-09-29 17:08:48
    矩阵求导的方法一直以来都很让我困惑,最近看了一些博客参考,得到了一些理解。 接下来尝试从最基础的地方开始讲, 在中学的时候,我们最常见到的函数是一元函数,类似这种: f1(x)=xf2(x)=ax2+bf_1(x) = x \\ f_2(x...

    引论

    矩阵求导的方法一直以来都很让我困惑,最近看了一些博客参考,得到了一些理解。
    接下来尝试从最基础的地方开始讲,
    在中学的时候,我们最常见到的函数是一元函数,类似这种:
    f 1 ( x ) = x f 2 ( x ) = a x 2 + b f_1(x) = x \\ f_2(x) = a x^2 + b f1(x)=xf2(x)=ax2+b
    它们的求导很简单:
    d f 1 ( x ) d x = 1 d f 2 ( x ) d x = 2 a x \frac{\text{d}f_1(x)} {\text{d}x} = 1 \\ \frac{\text{d}f_2(x)} {\text{d}x} = 2ax dxdf1(x)=1dxdf2(x)=2ax

    但是学习了线性代数之后,我们可以用线性代数的方式表述上面的两个公式:
    f 1 ( x ) = [ x ] = A x = [ 1 ] x f_1(x) =\begin{bmatrix} x \end{bmatrix} = Ax = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} x f1(x)=[x]=Ax=[1]x
    f 2 ( x ) = [ a x 2 + b ] = x T A x + b = x T [ a ] x + [ b ] f_2(x) = \begin{bmatrix} a x^2 + b \end{bmatrix} = x^T Ax +b =x^T \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} b\end{bmatrix} f2(x)=[ax2+b]=xTAx+b=xT[a]x+[b]
    那么问题来了,对这种表述方式如何进行求导呢?

    矩阵求导

    在学习线性代数的时候,我们知道 x x x f ( x ) f(x) f(x)可能有如下这几种形式的数据类型:

    x x x = 标量、向量和矩阵
    f ( x ) f(x) f(x) = 标量、向量和矩阵

    文章最开头的两个函数是 x x x f ( x ) f(x) f(x)都是为标量,它们的求导可以应用中学的求导法则;
    但是如果 x x x f ( x ) f(x) f(x)是向量或者矩阵的时候,该如何对 f ( x ) f(x) f(x)进行求导,很明显中学的求导法则,不太适用在线性代数中的向量或者矩阵求导。
    通过网上查资料我们可以得到一些常见的矩阵求导公式:
    ∂ A x ∂ x = A T ∂ x T A x ∂ x = ( A + A T ) x ∂ x T x ∂ x = 2 x \frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{x}} = \mathbf{A^T} \\ \\ \frac{\partial \mathbf{ x^T A x}}{\partial \mathbf{x}} = \mathbf{( A + A^T)x} \\ \frac{\partial \mathbf {x^T x}}{ \partial \mathbf x} = 2\mathbf x xAx=ATxxTAx=(A+AT)xxxTx=2x
    它们求导的本质规律其实很简单:

    假设有一个变量y,y可以是标量,向量和矩阵;有一个变量x,x可以是标量,向量和矩阵。那么y对x进行求导,它的规则是矩阵y中的每一个元素对矩阵x中的每一个元素进行求导。

    为了说明这个规律,我们用矩阵求导种的常见类型进行举例说明:

    类型标量向量矩阵
    标量 ∂ y ∂ x \frac{\partial y}{\partial x} xy ∂ y ∂ x \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x} xy ∂ Y ∂ x \frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial x} xY
    向量 ∂ y ∂ x \frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}} xy ∂ y ∂ x \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} xy
    矩阵 ∂ y ∂ X \frac{\partial y}{\partial \mathbf{X}} Xy

    y y y是标量, x x x是标量

    • 求导时候的分子 y y y和分母 x x x都是标量,根据求导规律矩阵 x x x中的每一个元素对矩阵 y y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 1 × 1 1\times 1 1×1

    文章开头的两个例子属于这种情况:
    第一个例子:
    f 1 ( x ) = [ x ] f_1(x) = \begin{bmatrix} x \end{bmatrix} f1(x)=[x]
    f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)是一个标量,它的矩阵形式中只有一个元素 x x x, f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)对标量 x x x进行求导:
    ∂ f 1 ( x ) ∂ x = [ ∂ x ∂ x ] = [ 1 ] \frac{\partial f_1(x)}{ \partial x} =\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial x}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} xf1(x)=[xx]=[1]

    第二个例子:
    f 2 ( x ) = [ a x 2 + b ] f_2(x) = \begin{bmatrix} ax^2 + b \end{bmatrix} f2(x)=[ax2+b]
    f 2 ( x ) f_2(x) f2(x)是一个标量,它的矩阵形式中只有一个元素 a x 2 + b ax^2 + b ax2+b, f 2 ( x ) f_2(x) f2(x)对标量 x x x进行求导:
    ∂ f 2 ( x ) ∂ x = [ ∂ ( a x 2 + b ) ∂ x ] = [ 2 a x + b ] \frac{\partial f_2(x)}{ \partial x} =\begin{bmatrix} \frac{\partial (ax^2 +b)}{\partial x}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2ax +b \end{bmatrix} xf2(x)=[x(ax2+b)]=[2ax+b]

    y 和 x \mathbf{y}和\mathbf x yx有任意一个不是标量

    如果 y 和 x \mathbf{y}和\mathbf x yx 不是标量,在求导的时候有两种方式去求导,分别是分子布局和分母布局

    求导布局

    设定向量 x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] \mathbf x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} x=x1x2xn , y = [ y 1 y 2 ⋮ y m ] \mathbf y = \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix} y=y1y2ym 和矩阵 X = [ x 11 x 12 … x 1 n x 21 x 22 … x 2 n … … … … x m 1 x m 2 … x m n ] \mathbf X = \begin{bmatrix}x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn} \end{bmatrix} X=x11x21xm1x12x22xm2x1nx2nxmn

    • 分子布局
      • 分子是标量,分母是向量。分子 y y y是标量,分母 x \mathbf x x是向量,根据求导规律矩阵 x \mathbf x x中的每一个元素对矩阵 y y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 1 × n 1\times n 1×n
        ∂ y ∂ x = [ ∂ y ∂ x 1 ∂ y ∂ x 2 ⋮ ∂ y ∂ x n ] \frac{\partial y}{\partial \mathbf x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_1}& \frac{\partial y}{\partial x_2} & \vdots & \frac{\partial y}{\partial x_n} \end{bmatrix} xy=[x1yx2yxny]

      • 分子是向量, 分母是标量。分子 y \mathbf y y是向量,分母 x x x是标量,根据求导规律矩阵 x x x中的每一个元素对矩阵 y \mathbf y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 m × 1 m\times 1 m×1
        ∂ y ∂ x = [ ∂ y 1 ∂ x ∂ y 2 ∂ x … ∂ y m ∂ x ] \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x} \\ \dots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x} \end{bmatrix} xy=xy1xy2xym

      • 分子是向量,分母是向量。分子 y \mathbf y y是向量,分母 x \mathbf x x是向量,根据求导规律矩阵 x \mathbf x x中的每一个元素对矩阵 y \mathbf y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 m × n m\times n m×n
        ∂ y ∂ x = [ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 1 … ∂ y 1 ∂ x n ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 … ∂ y 2 ∂ x n … … … … ∂ y m ∂ x n ∂ y m ∂ x n … ∂ y m ∂ x n ] \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial y_2}{\partial x_n} \\\dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_n}& \frac{\partial y_m}{\partial x_n} & \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} xy=x1y1x1y2xnymx1y2x2y2xnymxny1xny2xnym

      • 分子是标量,分母是矩阵。分子 y \mathbf y y是向量,分母 X \mathbf X X是矩阵,根据求导规律矩阵 X \mathbf X X中的每一个元素对矩阵 y \mathbf y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 1 × m × n 1\times m\times n 1×m×n
        ∂ y ∂ X = [ ∂ y ∂ x 11 ∂ y ∂ x 12 … ∂ y ∂ x 1 m ∂ y ∂ x 21 ∂ y ∂ x 22 … ∂ y ∂ x 2 m … … … … ∂ y ∂ x n 1 ∂ y ∂ x n 2 … ∂ y ∂ x n m ] \frac{\partial y}{\partial \mathbf X} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_{11}}& \frac{\partial y}{\partial x_{12}} & \dots & \frac{\partial y}{\partial x_{1m}} \\ \frac{\partial y}{\partial x_{21}}& \frac{\partial y}{\partial x_{22}} & \dots & \frac{\partial y}{\partial x_{2m}} \\\dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial y}{\partial x_{n1}}& \frac{\partial y}{\partial x_{n2}} & \dots & \frac{\partial y}{\partial x_{nm}} \end{bmatrix} Xy=x11yx21yxn1yx12yx22yxn2yx1myx2myxnmy

    • 分母布局
      • 分子是标量,分母是向量。分子 y y y是标量,分母 x \mathbf x x是向量,根据求导规律矩阵 x \mathbf x x中的每一个元素对矩阵 y y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 1 × n 1\times n 1×n
        ∂ y ∂ x = [ ∂ y ∂ x 1 ∂ y ∂ x 2 ⋮ ∂ y ∂ x n ] \frac{\partial y}{\partial \mathbf x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_1}\\ \frac{\partial y}{\partial x_2} \\ \vdots \\ \frac{\partial y}{\partial x_n} \end{bmatrix} xy=x1yx2yxny
      • 分子是向量, 分母是标量。分子 y \mathbf y y是向量,分母 x x x是标量,根据求导规律矩阵 x x x中的每一个元素对矩阵 y \mathbf y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 m × 1 m\times 1 m×1
        ∂ y ∂ x = [ ∂ y 1 ∂ x ∂ y 2 ∂ x … ∂ y m ∂ x ] \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x}& \frac{\partial y_2}{\partial x} & \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x} \end{bmatrix} xy=[xy1xy2xym]
      • 分子是向量,分母是向量。分子 y \mathbf y y是向量,分母 x \mathbf x x是向量,根据求导规律矩阵 x \mathbf x x中的每一个元素对矩阵 y \mathbf y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 m × n m\times n m×n
        ∂ y ∂ x = [ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 1 … ∂ y m ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 2 … ∂ y m ∂ x 2 … … … … ∂ y 1 ∂ x n ∂ y 2 ∂ x n … ∂ y m ∂ x n ] \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf x} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x_1} \\ \frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x_2} \\\dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial y_1}{\partial x_n}& \frac{\partial y_2}{\partial x_n} & \dots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} xy=x1y1x2y1xny1x1y2x2y2xny2x1ymx2ymxnym
      • 分子是标量,分母是矩阵。分子 y \mathbf y y是向量,分母 X \mathbf X X是矩阵,根据求导规律矩阵 X \mathbf X X中的每一个元素对矩阵 y \mathbf y y中的每一个元素进行求导可以得出最后的结果矩阵中的元素个数应该为 1 × m × n 1\times m\times n 1×m×n
        ∂ y ∂ X = [ ∂ y ∂ x 11 ∂ y ∂ x 12 … ∂ y ∂ x 1 n ∂ y ∂ x 21 ∂ y ∂ x 22 … ∂ y ∂ x 2 n … … … … ∂ y ∂ x m 1 ∂ y ∂ x m 2 … ∂ y ∂ x m n ] \frac{\partial y}{\partial \mathbf X} = \begin{bmatrix} \frac{\partial y}{\partial x_{11}}& \frac{\partial y}{\partial x_{12}} & \dots & \frac{\partial y}{\partial x_{1n}} \\ \frac{\partial y}{\partial x_{21}}& \frac{\partial y}{\partial x_{22}} & \dots & \frac{\partial y}{\partial x_{2n}} \\\dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{\partial y}{\partial x_{m1}}& \frac{\partial y}{\partial x_{m2}} & \dots & \frac{\partial y}{\partial x_{mn}} \end{bmatrix} Xy=x11yx21yxm1yx12yx22yxm2yx1nyx2nyxmny

    分子布局和分母布局的关系

    通过观测可以发现,分子布局求导结果的装置就是分母布局求导的结果

    常见矩阵求导推导

    这部分主要想对常用的矩阵求导公式应用分母布局进行推导:

    1. ∂ A x ∂ x = A T \frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{x}} = A^T xAx=AT 推导
      这里的 A = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a m 1 a m 2 … a m n ] \mathbf A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} A=a11a21am1a12a22am2a1na2namn x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] \mathbf x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} x=x1x2xn
      A x = [ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n ] m × 1 \mathbf{Ax} = \begin{bmatrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2}+ \dots + a_{1n}x_{n} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2}+ \dots + a_{2n}x_{n} \\ \dots \\ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2}+ \dots + a_{mn}x_{n} \end{bmatrix}_{m\times 1} Ax=a11x1+a12x2++a1nxna21x1+a22x2++a2nxnam1x1+am2x2++amnxnm×1
      可以看出 A x \mathbf{Ax} Ax是一个向量,这里应用分母布局的分母是向量,分子是向量的求导展开,可以得到:
      ∂ A x ∂ x = [ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n x 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n x 1 … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n x 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n x 2 … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n x 2 … … … … a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n x n … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n x n ] = [ a 11 a 21 … a m 1 a 12 a 22 … a m 2 a 1 n a 2 n … a m n ] = A T \frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{x}} =\begin{bmatrix} \frac{ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2}+ \dots + a_{1n}x_{n}}{x_1} & \frac{a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2}+ \dots + a_{2n}x_{n} }{x_1} & \dots & \frac{ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2}+ \dots + a_{mn}x_{n} }{ x_1} \\ \frac{ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2}+ \dots + a_{1n}x_{n}}{x_2} & \frac{a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2}+ \dots + a_{2n}x_{n} }{x_2} & \dots & \frac{ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2}+ \dots + a_{mn}x_{n} }{ x_2} \\ \dots & \dots & \dots& \dots \\ \frac{a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2}+ \dots + a_{1n}x_{n} }{x_n} & \frac{a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2}+ \dots + a_{2n}x_{n} }{x_n} & \dots & \frac{a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2}+ \dots + a_{mn}x_{n}}{x_n} \end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn}\end{bmatrix} = A^T xAx=x1a11x1+a12x2++a1nxnx2a11x1+a12x2++a1nxnxna11x1+a12x2++a1nxnx1a21x1+a22x2++a2nxnx2a21x1+a22x2++a2nxnxna21x1+a22x2++a2nxnx1am1x1+am2x2++amnxnx2am1x1+am2x2++amnxnxnam1x1+am2x2++amnxn=a11a12a1na21a22a2nam1am2amn=AT

    2. ∂ x T A x ∂ x = ( A + A T ) x \frac{\partial \mathbf{x^T A x}}{\partial \mathbf{x}} =\mathbf{ ( A + A^T)x} xxTAx=(A+AT)x 推导
      同样,这里的 A = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a n 1 a n 2 … a n n ] \mathbf A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} A=a11a21an1a12a22an2a1na2nann x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] \mathbf x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} x=x1x2xn
      从右向左计算 x T A x \mathbf{x^TAx} xTAx
      A x = [ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n … a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n ] n × 1 \mathbf{Ax} = \begin{bmatrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2}+ \dots + a_{1n}x_{n} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2}+ \dots + a_{2n}x_{n} \\ \dots \\ a_{n1} x_{1} + a_{n2} x_{2}+ \dots + a_{nn}x_{n} \end{bmatrix}_{n\times 1} Ax=a11x1+a12x2++a1nxna21x1+a22x2++a2nxnan1x1+an2x2++annxnn×1
      x T A x = [ x 1 x 2 … x n ] 1 × n [ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n … a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n ] n × 1 = [ ( a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n ) + ( a 21 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a 2 n x 2 x n ) + ⋯ + ( a n 1 x 1 x n + a n 2 x 2 x n + ⋯ + a n n x n 2 ) ] 1 × 1 \mathbf{x^TAx} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_n \end{bmatrix}_{1\times n} \begin{bmatrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2}+ \dots + a_{1n} x_1 x_{n} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2}+ \dots + a_{2n}x_{n} \\ \dots \\ a_{n1} x_{1} + a_{n2} x_{2}+ \dots + a_{nn}x_{n} \end{bmatrix}_{n\times 1}\\=\begin{bmatrix} (a_{11} x_{1}^2 + a_{12}x_1 x_{2}+ \dots + a_{1n}x_1x_{n}) + (a_{21} x_{1}x_2 + a_{22} x_{2}^2+ \dots + a_{2n}x_2x_{n} ) + \dots + ( a_{n1} x_{1} x_n+ a_{n2} x_{2}x_n+ \dots + a_{nn}x_{n}^2)\end{bmatrix}_{1\times 1} xTAx=[x1x2xn]1×na11x1+a12x2++a1nx1xna21x1+a22x2++a2nxnan1x1+an2x2++annxnn×1=[(a11x12+a12x1x2++a1nx1xn)+(a21x1x2+a22x22++a2nx2xn)++(an1x1xn+an2x2xn++annxn2)]1×1
      可以看出 x T A x \mathbf{x^TAx} xTAx是一个标量,这里应用分母布局的分母是向量,分子是标量的求导展开,可以得到:
      ∂ x T A x ∂ x = [ ∂ [ a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n ) + ( a 21 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a 2 n x 2 x n ) + ⋯ + ( a n 1 x 1 x n + a n 2 x 2 x n + ⋯ + a n n x n 2 ) ] ∂ x 1 ∂ [ ( a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n ) + ( a 21 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a 2 n x 2 x n ) + ⋯ + ( a n 1 x 1 x n + a n 2 x 2 x n + ⋯ + a n n x n 2 ) ] ∂ x 2 … ∂ [ ( a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + ⋯ + a 1 n x 1 x n ) + ( a 21 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + ⋯ + a 2 n x 2 x n ) + ⋯ + ( a n 1 x 1 x n + a n 2 x 2 x n + ⋯ + a n n x n 2 ) ] ∂ x n ] = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a n 1 a n 2 … a n n ] + [ a 11 a 21 … a n 1 a 12 a 22 … a n 2 … … … … a n 1 a n 2 … a n n ] = ( A + A T ) x \frac{\partial \mathbf{x^TAx}}{\partial \mathbf{x}} =\begin{bmatrix} \frac{\partial [a_{11} x_{1}^2 + a_{12}x_1 x_{2}+ \dots + a_{1n}x_1x_{n}) + (a_{21} x_{1}x_2 + a_{22} x_{2}^2+ \dots + a_{2n}x_2x_{n} ) + \dots + ( a_{n1} x_{1} x_n+ a_{n2} x_{2}x_n+ \dots + a_{nn}x_{n}^2)]}{\partial x_1} \\ \frac{\partial[(a_{11} x_{1}^2 + a_{12}x_1 x_{2}+ \dots + a_{1n}x_1x_{n}) + (a_{21} x_{1}x_2 + a_{22} x_{2}^2+ \dots + a_{2n}x_2x_{n} ) + \dots + ( a_{n1} x_{1} x_n+ a_{n2} x_{2}x_n+ \dots + a_{nn}x_{n}^2)]}{\partial x_2} \\ \dots \\ \frac{\partial [(a_{11} x_{1}^2 + a_{12}x_1 x_{2}+ \dots + a_{1n}x_1x_{n}) + (a_{21} x_{1}x_2 + a_{22} x_{2}^2+ \dots + a_{2n}x_2x_{n} ) + \dots + ( a_{n1} x_{1} x_n+ a_{n2} x_{2}x_n+ \dots + a_{nn}x_{n}^2)]}{\partial x_n}\end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\end{bmatrix} = \mathbf{(A + A^T) x} xxTAx=x1[a11x12+a12x1x2++a1nx1xn)+(a21x1x2+a22x22++a2nx2xn)++(an1x1xn+an2x2xn++annxn2)]x2[(a11x12+a12x1x2++a1nx1xn)+(a21x1x2+a22x22++a2nx2xn)++(an1x1xn+an2x2xn++annxn2)]xn[(a11x12+a12x1x2++a1nx1xn)+(a21x1x2+a22x22++a2nx2xn)++(an1x1xn+an2x2xn++annxn2)]=a11a21an1a12a22an2a1na2nann+a11a12an1a21a22an2an1an2ann=(A+AT)x

    3. ∂ x T x ∂ x = 2 x \frac{\partial \mathbf{x^T x}}{\partial \mathbf{x}} =2\mathbf{ x} xxTx=2x 推导
      同样,这里的 x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] \mathbf x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} x=x1x2xn
      那么:
      x T x = [ x 1 x 2 … x n ] 1 × n [ x 1 x 2 ⋮ x n ] n × 1 = [ x 1 x 1 + x 2 x 2 + ⋯ + x n x n ] 1 × 1 \mathbf{x^T x} = \begin{bmatrix}x_1 & x_2 & \dots & x_n \end{bmatrix}_{1\times n} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}_{n\times 1} = \begin{bmatrix}x_1 x_1 + x_2 x_2 + \dots + x_n x_n\end{bmatrix}_{1\times1} xTx=[x1x2xn]1×nx1x2xnn×1=[x1x1+x2x2++xnxn]1×1
      可以看出 x T x \mathbf{x^Tx} xTx是一个标量,这里应用分母布局的分母是向量,分子是标量的求导展开,可以得到:
      ∂ x T x ∂ x = [ x 1 x 1 + x 2 x 2 + ⋯ + x n x n ∂ x 1 x 1 x 1 + x 2 x 2 + ⋯ + x n x n ∂ x 2 ⋮ x 1 x 1 + x 2 x 2 + ⋯ + x n x n ∂ x n ] = [ 2 x 1 2 x 2 ⋮ 2 x n ] = 2 x \frac{\partial \mathbf{x^T x}}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{x_1 x_1 + x_2 x_2 + \dots + x_n x_n}{\partial x_1} \\ \frac{x_1 x_1 + x_2 x_2 + \dots + x_n x_n}{\partial x_2} \\ \vdots \\ \frac{x_1 x_1 + x_2 x_2 + \dots + x_n x_n}{\partial x_n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 \\ 2x_2 \\ \vdots \\ 2x_n \end{bmatrix} = 2\mathbf x xxTx=x1x1x1+x2x2++xnxnx2x1x1+x2x2++xnxnxnx1x1+x2x2++xnxn=2x12x22xn=2x

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