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  • 泰勒级数

    2015-04-02 22:51:00
    一:函数的泰勒级数:设函数f(x),在点x0具有任意阶导数 称级数 为函数f(x) 的泰勒级数,显然只要函数存在任意阶导数,其泰勒级数必存在,例如 在点x=0处的泰勒级数为: 函数f(x) 在x=0处的泰勒级数常称f(x)...

    一:函数的泰勒级数:设函数f(x),在点x0具有任意阶导数  称级数

    为函数f(x) 的泰勒级数,显然只要函数存在任意阶导数,其泰勒级数必存在,例如  

    在点x=0处的泰勒级数为:

    函数  f(x) 在x=0处的泰勒级数常称f(x)的马克劳林级数

    一般初等函数的泰勒级数都是存在的              

    函数能展开成幂级数的必要条件:如果函数f(x)在x0可以展开成幂级数,则只能展开成它自身的泰勒级数

    证明:

    注:必要条件说明两个问题:

    1.函数在某点要想展开成幂级数,其在该点的泰勒级数必须存在,即必须有任意阶导数,反之如果级数不存在任意阶导数,必不可展成幂级数,例如:

    在x=0处都不能展成幂级数;

    2.如果函数能展成幂级数则必唯一,即是自身的泰勒级数(这一点以后在讲间接展开时要用到)

    需要说明的是当函数在某点不存在任意阶导数时不能展成幂级数,即使函数在该点存在任意阶导数,因而存在泰勒级数,也不一定就可展成幂级数,我们有:

    (充要条件)设函数  f(x)  在点  x0  存在任意阶导数,则其可在该点处展成泰勒级数的充要条件为:其n项后的余项     趋向于0,即

    二:常用函数的泰勒级数

    1:几何级数

    2:二项式定理

    二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。

    3:指数函数

    4:自然对数

    5:三角函数

    tan(x)展开式中的Bk是伯努利数。sec(x)展开式中的Ek是欧拉数。

    6:双曲函数

    7:郎伯W函数

    转载于:https://www.cnblogs.com/javaleon/p/4388697.html

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  • 一:函数的泰勒级数:设函数f(x),在点x0具有任意阶导数称级数为函数f(x) 的泰勒级数,显然只要函数存在任意阶导数,其泰勒级数必存在,例如在点x=0处的泰勒级数为:函数f(x) 在x=0处的泰勒级数常称f(x)的马克劳林...

    一:函数的泰勒级数:设函数f(x),在点x0具有任意阶导数

    658d35aec5c05dc472d17b671951dde4.png 称级数

    f39f3e28c927159f2fcc68e1c44a9da0.png

    为函数f(x) 的泰勒级数,显然只要函数存在任意阶导数,其泰勒级数必存在,例如

    eea8328635e61bcaffcfd35d30e078d6.png在点x=0处的泰勒级数为:

    29c531be0afc3d851010104383781bc3.png

    函数  f(x) 在x=0处的泰勒级数常称f(x)的马克劳林级数

    一般初等函数的泰勒级数都是存在的

    函数能展开成幂级数的必要条件:如果函数f(x)在x0可以展开成幂级数,则只能展开成它自身的泰勒级数

    证明:

    注:必要条件说明两个问题:

    1.函数在某点要想展开成幂级数,其在该点的泰勒级数必须存在,即必须有任意阶导数,反之如果级数不存在任意阶导数,必不可展成幂级数,例如:

    86bb0116b500a275f0037ff4fc4ba201.png

    在x=0处都不能展成幂级数;

    2.如果函数能展成幂级数则必唯一,即是自身的泰勒级数(这一点以后在讲间接展开时要用到)

    需要说明的是当函数在某点不存在任意阶导数时不能展成幂级数,即使函数在该点存在任意阶导数,因而存在泰勒级数,也不一定就可展成幂级数,我们有:

    (充要条件)设函数  f(x)  在点  x0  存在任意阶导数,则其可在该点处展成泰勒级数的充要条件为:其n项后的余项

    7226a182f438e4b894337507dea7b7ee.png  趋向于0,即

    d730222baed6f25692cdeab71b8c8b22.png

    二:常用函数的泰勒级数

    1:几何级数

    2038dbdfc9882a9422e066247419ac5c.png

    2:二项式定理

    495b62362f98526c8365d81c73bc3e85.png

    二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。

    3:指数函数

    78840fbef3025cbab97316065351284e.png

    4:自然对数

    b64b4f1cc3172dce853c70d10dc1a0d8.png

    5:三角函数

    31edcba5b48e91b891fcb137321e4de1.png

    d89fd9964983987965bc965e8a48699d.png

    9c86f995373c3c4a865cb4377972de0e.png

    fc7de37b0d5edbe4df37418c905d7380.png

    35ec4827fe0b2d83505b5856670c1c65.png

    d1743e07ea8fc6c5319e48b015c2698c.png

    f8a83aa438546a94ebaf3082597127da.png

    tan(x)展开式中的Bk是伯努利数。sec(x)展开式中的Ek是欧拉数。

    6:双曲函数

    123af9c6051032a94a117c221f693b24.png

    f1a260dac326c991c581464fa92359b4.png

    25ef9a363469bf1ff7b560a4def9707d.png

    7265d7c7a9ee585758e128a168ed6c8c.png

    06e5600cab2dd707c5cb7fa237462777.png

    7:郎伯W函数

    173f29918569b50025ba2dfe28c498a0.png

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  • 一元函数的泰勒公式或者可以写成:二元函数的泰勒级数对 二元函数 f(x, y), 考虑在点 (a, b) 附近方向 (u, v) 有微小增量 f(a + tu, b + tv), 定义函数:此时 是对 t 的单变量函数,利用上面的 一元函数的泰勒公式,...

    一元函数的泰勒公式

    equation?tex=f%28x%29+%3D+f%28a%29%2B%7B%5Cfrac+%7Bf%27%28a%29%7D%7B1%21%7D%7D%28x-a%29%2B%7B%5Cfrac+%7Bf%27%27%28a%29%7D%7B2%21%7D%7D%28x-a%29%5E%7B2%7D%2B%7B%5Cfrac+%7Bf%27%27%27%28a%29%7D%7B3%21%7D%7D%28x-a%29%5E%7B3%7D%2B%5Ccdots+%5Ctag%7B1%7D+

    或者可以写成:

    equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Csum+_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac+%7Bf%5E%7B%28n%29%7D%28a%29%7D%7Bn%21%7D%7D%28x-a%29%5E%7Bn%7D+%5Ctag%7B2%7D

    二元函数的泰勒级数

    对 二元函数 f(x, y), 考虑在点 (a, b) 附近方向 (u, v) 有微小增量 f(a + tu, b + tv), 定义函数:

    equation?tex=%5Cphi%28t%29+%3A%3D+f%28a+%2B+tu%2C+b+%2B+tv%29+%5Cquad+%280+%5Cle+t+%5Cle+1%29%5C%5C

    此时

    equation?tex=%5Cphi%28t%29 是对 t 的单变量函数,利用上面的 一元函数的泰勒公式, 把

    equation?tex=%5Cphi%28t%29 在 t = 0 处展开:

    equation?tex=+%5Cphi%28t%29+%3D+%5Cphi%280%29+%2B+%5Cphi%27%280%29+t+%2B+%5Cfrac%7B%5Cphi%27%27%280%29%7D%7B2%21%7D+t%5E2+%2B+%5Ccdots+%5C+%5C%5C

    取 t = 1:

    equation?tex=%5Cphi%281%29+%3D+%5Cphi%280%29+%2B+%5Cphi%27%280%29+%2B+%5Cfrac%7B%5Cphi%27%27%280%29%7D%7B2%21%7D+%2B+%5Ccdots++%5C%5C

    明显:

    equation?tex=%5Cphi%28t%29+%3D+f%28a+%2B+tu%2C+b+%2Btv%29+%5C%5C

    根据链式法则:

    equation?tex=%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdt%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x%7D+%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D+%2B++%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%7D+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D+%5C%5C

    有:

    equation?tex=+%5Cbegin%7Balign%7D+%5Cphi%27%28t%29+%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cphi%28t%29+%26%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7Df%28a+%2Btu%2C+b%2B+tv%29+%3D+f_x%28a+%2B+tu%2C+b+%2B+tv%29u+%2B+f_y%28a+%2Btu%2C+b%2Btv%29v+%5C+%5Cend%7Balign%7D+%5C%5C

    所以

    equation?tex=%5Cphi%27%280%29+%3D+f_x%28a%2C+b%29u+%2B+f_y%28a%2C+b%29v . 再次运用 链式法则 求导:

    equation?tex=+%5Cbegin%7Balign%7D+%5Cphi%27%27%28t%29+%26%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cbig%28f_x%28a+%2B+tu%2C+b+%2B+tv%29u+%2B+f_y%28a+%2Btu%2C+b%2Btv%29v%5Cbig%29+%5C%5C+%26%3D+f_%7Bxx%7D%28a%2Btu%2C+b%2Btv%29u%5E2+%2B+2f_%7Bxy%7D%28a%2Btu%2C+b%2Btv%29uv+%2B+f_%7Byy%7D%28a%2Btu%2C+b%2Btv%29v%5E2+%5C+%5Cend%7Balign%7D+

    所以

    equation?tex=%5Cphi%27%27%280%29+%3D+f_%7Bxx%7D%28a%2Cb%29u%5E2+%2B+2f_%7Bxy%7D%28a%2Cb%29uv+%2B+f_%7Byy%7D%28a%2Cb%29v%5E2 , 可以继续求得更高阶的导数,最终代回

    equation?tex=+t+%3D+1+%5C%5C+u+%3D+x+-+a+%5C%5C+v+%3D+y+-+b++%5C%5C

    可得二元函数在 (a,b) 的 泰勒级数展开:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x%2Cy%29+%3D+%26f%28a%2Cb%29+%2B+f_x%28a%2Cb%29%28x+-+a%29+%2B+f_y%28y-b%29+%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%5Bf_%7Bxx%7D%28x-a%29%5E2+%2B+2f_%7Bxy%7D%28a%2Cb%29%28x-a%29%28y-b%29%2Bf_%7Byy%7D%28y-b%29%5E2%5D%2B+%5Ccdots+%5Cend%7Balign%7D

    所以有时候我也看到这种写法:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x_0+%2B+%5CDelta+x%2C+y_0+%2B+%5CDelta+y%29+%26%3D+f%28x_0%2C+y_0%29+%2B+%28%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D+%2B+%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29+f%28x_0%2C+y_0%29+%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%28%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D+%2B+%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5E2+f%28x_0%2C+y_0%29+%2B+%5Ccdots+%5Cend%7Balign%7D+%5C%5C

    第一次看到这种写法还真是让我疑惑了一会,o(╯□╰)o, 但是其实展开,是一样的:

    equation?tex=%28%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D+%2B+%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5E2++%3D+%5CDelta+x+%5E2+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2%7D+%7B%5Cpartial+x%5E2%7D++%2B+2+%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D+%2B+%5CDelta+y%5E2+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+%7D%7B%5Cpartial+y%5E2%7D+%5C%5C+

    或者写成:

    equation?tex=f%28x%2C+y%29+%3D++%5Csum+_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D+%28%5CDelta+x+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x%7D+%2B+%5CDelta+y+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5En+f%28x_0%2C+y_0%29%5C%5C

    当然最让我亲切的写法还是跟 一元函数 类比/类似的写法。

    一元函数线性近似

    equation?tex=f%28x%29+%5Capprox+f%28a%29+%2B+f%27%28a%29%28x-a%29%5C%5C二次近似

    equation?tex=f%28x%29+%5Capprox+f%28a%29+%2B+f%27%28a%29%28x-a%29+%2B+%5Cfrac%7Bf%27%27%28a%29%7D%7B2%21%7D%28x-a%29%5E2%5C%5C

    二元函数线性近似

    equation?tex=f%28x%2Cy%29+%5Capprox+f%28x_0%2Cy_0%29+%2B+f_x%28x_0%2Cy_0%29%28x-x_0%29+%2B+f_y%28x_0%2Cy_0%29%28y-y_0%29+%5C%5C

    写成招人喜欢的向量形式:

    equation?tex=f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Capprox+f%28%5Cmathbf%7Ba%7D%29+%2B+%5Cnabla+f%28%5Cmathbf%7Ba%7D%29+%5Ccdot+%28%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Ba%7D%29%5C%5C二次近似

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x%2Cy%29++%26%5Capprox++f%28x_0%2Cy_0%29+%2B+f_x%28x_0%2Cy_0%29%28x-x_0%29+%2B+f_y%28x_0%2Cy_0%29%28y-y_0%29+%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df_%7Bxx%7D%28x_0%2Cy_0%29%28x+%E2%88%92+x_0+%29%5E2+%2B+f_%7Bxy%7D%28x-x_0%29%28y-y_0%29%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Df_%7Byy%7D%28x_0%2Cy_0%29%28y+%E2%88%92+y_0+%29%5E2%5C%5C+%5Cend%7Balign%7D+

    同样写成向量形式:

    equation?tex=f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5Capprox+f%28%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29+%2B+++%5Cnabla+f%28%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29+%5Ccdot+%28%5Cmathbf%7Bx%7D+-+%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28%5Cmathbf%7Bx%7D+-+%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29%5ETH%28%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29%28%5Cmathbf%7Bx%7D+-+%5Cmathbf%7Bx_0%7D%29%5C%5C

    H 为 Hessian 矩阵:

    equation?tex=H+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x%5E2%7D+%26++%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+x+%5Cpartial+y%7D+%5C%5C++%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y+%5Cpartial+x%7D+%26++%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%5E2%7D+++%5Cend%7Bbmatrix%7D%5C%5C

    可以做简单的验证:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+-+x_0+%26+y+-+y_0+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+f_%7Bxx%7D+%26++f_%7Bxy%7D+%5C%5C++f_%7Byx%7D+%26+f_%7Byy%7D++%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+-+x_0+%5C%5C+y+-+y_0+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5C%5C+%26%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+%28x+-+x_0%29f_%7Bxx%7D+%2B+%28y+-+y_0%29f_%7Byx%7D+%26++%28x+-+x_0%29f_%7Bxy%7D+%2B+%28y+-+y_0%29f_%7Byy%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+-+x_0+%5C%5C+y+-+y_0+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5C%5C+%26%3D+%28x+-+x_0%29%5E2f_%7Bxx%7D+%2B+%28y+-+y_0%29%28x-x_0%29f_%7Byx%7D+%2B++%28x+-+x_0%29%28y-y_0%29f_%7Bxy%7D+%2B+%28y+-+y_0%29%5E2f_%7Byy%7D+%5C%5C+%26%3D+%28x+-+x_0%29%5E2f_%7Bxx%7D+%2B++2%28x+-+x_0%29%28y-y_0%29f_%7Bxy%7D+%2B+%28y+-+y_0%29%5E2f_%7Byy%7D+%5Cend%7Balign%7D+%5C%5C

    推广到变量更多的情况,写法也是多种多样,o(╯□╰)o:

    比如写成这样:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x_1%2C+x_2%2C+%5Ccdots%2C+x_m%29+%26%3D+f%28x_1%5E0%2C+x_2%5E0%2C+%5Ccdots%2C+x_m%5E0%29++%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%21%7D+%28%5CDelta+x_1+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x_1%7D+%2B+%5CDelta+x_2+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D+%2B+%5Ccdots+%2B+%5CDelta+x_m+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x_m%7D%29+f%28x_1%5E0%2C+x_2%5E0%2C+%5Ccdots%2C+x_m%5E0%29+%5C%5C+%26%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%28%5CDelta+x_1+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D+%7B%5Cpartial+x_1%7D+%2B+%5CDelta+x_2+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+x_2%7D+%2B+%5Ccdots+%2B+%5CDelta+x_m+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+x_m%7D%29+%5E2+f%28x_1%5E0%2C+x_2%5E0%2C+%5Ccdots%2C+x_m%5E0%29+%5C%5C+%26%2B+%5Ccdots+%5Cend%7Balign%7D%5C%5C

    其中

    equation?tex=%5CDelta+x_k+%3D+x_k+-+x_k%5E0 .

    写成这样:

    equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+f%28x_1%2C%5Cldots%2Cx_d%29+%26%3D+f%28a_1%2C+%5Cldots%2Ca_d%29+%2B+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ed+%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%28a_1%2C+%5Cldots%2Ca_d%29%7D%7B%5Cpartial+x_j%7D+%28x_j+-+a_j%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ed+%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ed+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2+f%28a_1%2C+%5Cldots%2Ca_d%29%7D%7B%5Cpartial+x_j+%5Cpartial+x_k%7D+%28x_j+-+a_j%29%28x_k+-+a_k%29+%5C%5C++%26+%5Cqquad+%5Cqquad+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Ed%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5Ed%5Csum_%7Bl%3D1%7D%5Ed+%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E3+f%28a_1%2C+%5Cldots%2Ca_d%29%7D%7B%5Cpartial+x_j+%5Cpartial+x_k+%5Cpartial+x_l%7D+%28x_j+-+a_j%29%28x_k+-+a_k%29%28x_l+-+a_l%29+%2B+%5Ccdots+%5Cend%7Balign%7D%5C%5C

    或者运用多重指标,写成上面的更加一元类似的形式:

    equation?tex=f%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%3D+%5Csum_%7B%7C%5Calpha%7C+%5Cgeq+0%7D%5Cfrac%7B%28%5Cmathbf%7Bx%7D-%5Cmathbf%7Ba%7D%29%5E%5Calpha%7D%7B%5Calpha+%21%7D+%5Cleft%28%7B%5Cmathrm%7B%5Cpartial%7D%5E%7B%5Calpha%7D%7Df%5Cright%29%28%5Cmathbf%7Ba%7D%29%5C%5C

    推导更多元函数的泰勒级数 也可以用类似 二元函数 用 方向导数 的方式推出这个结论。

    参考:托马斯微积分

    wikipedia

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  • 复变函数里,函数如果在某点的任一...洛朗级数的正则部分(非负次幂项)在|z|≤R时有效(同泰勒级数),而主要部分(负次幂项)在|z|≥r时有效的(可视为无穷远点附近的关于1/z的泰勒级数),公共有效定义域就是环状...

    复变函数里,函数如果在某点的任一邻域不解析,那么不能泰勒展开;但如果在此点某的圆环域解析,那么可以洛朗展开。因此,泰勒级数是特殊的洛朗级数。

    泰勒级数和洛朗级数有以下差异:

    1.洛朗级数有负幂次项,而泰勒级数只有正幂次项;

    2.洛朗级数的正则部分(非负次幂项)在|z|≤R时有效(同泰勒级数),而主要部分(负次幂项)在|z|≥r时有效的(可视为无穷远点附近的关于1/z的泰勒级数),公共有效定义域就是环状区域r≤|z|≤R,因此洛朗级数定义域就是环状区域r≤|z|≤R,而且洛朗级数是两个泰勒级数的和。


    一个函数若在某点任意次可导,那么这个函数就可以在此点泰勒展开。泰勒级数要求复变函数在一个收敛圆盘内解析,因此需要函数没有奇点。但是有些函数存在奇点,做不到在奇点处的一个收敛圆盘内解析,那么就不能在此点处展开为泰勒级数,这时候怎么办呢?

    在这种情况下,如果函数满足在去除奇点的环域上解析,1843年,皮埃尔·阿方斯·洛朗研究得出,此时函数可在环域上可展开为洛朗级数。复变函数

    在点
    的洛朗级数长这样:

    其中

    是常数。洛朗级数中,正幂部分称为解析部分,负幂部分称为主要部分。在挖去孤立奇点
    的环形域上,函数的洛朗级数有以下三种形式:

    1)没有负幂次项,则称该孤立奇点为可去奇点。

    2)只有有限项负幂次项,则称该孤立奇点为极点。

    3)有无穷多项负幂次项,则称该孤立奇点为本性奇点。

    推广,我们可以定义黎曼面上的函数f在点p关于某坐标卡的洛朗级数。同复变函数类似,黎曼面上的洛朗级数也有以上三种形式。(P25)


    • 引入泰勒级数有哪些用处呢?对的,可用泰勒级数求函数近似值。
    • 引入洛朗级数有哪些用处呢?有人说,复变函数的洛朗展开和对其孤立奇点的分类,为复变函数的留数定理做了铺垫。暂不知。
    • 问题1:实变函数的洛朗展开等同于泰勒展开吗?

    答:不等同。实函数是复函数的一种,它在某点可以洛朗展开的一个充分条件是在此点可泰勒展开。比如sinx,e^x可在R上泰勒展开,当然就可洛朗展开啦。但如1/x可在原点洛朗展开(有一个幂次为-1的项),但不可泰勒展开;e^(1/x)不可在|x|>0泰勒展开,但可以洛朗展开;1/((z-1)(z-2))可在z=1或2处洛朗展开(即可在z=1或2的某去心邻域(是一环形域)泰勒展开),但不可泰勒展开。

    另外,我们以复变函数在点z0为例,它可在点z0洛朗展开的一个充分条件:在z0的某环形域解析;它可在点z0泰勒展开的一个充分条件:在z0的某邻域解析。

    • 问题2:对于实变函数,它在点z0任意次可导=在点z0的某环形域内可导吗?这个问题就是说,可洛朗展开的那个充分条件和可泰勒展开的那个充分条件等价吗?

    答:复变函数中,在点z0解析(即在该点的某邻域内可导)可推出在点z0可导;但是,在点z0可导推不出在点z0任意次可导。 因此,等式左右两边无直接联系。

    但有一问题:复变函数点z0任意次可导能推出在点z0的某环形域内可导吗?

    • 问题3:什么情况下,复变函数在某点的可导等同于任意次可导?

    暂不知。

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    幂级数和泰勒级数

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