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  • 海伦公式

    2021-01-21 00:44:01
    海伦公式的再次探究与延伸 ——关于多边形面积的计算问题 Further Exploration of The Heron's Formula ______ With
  • 海伦公式l为半周长,s为面积float l = (a + b + c) / 2;float s = sqrt(l*(l - a)*(l - b)*(l - c));文章最后发布于: 2018-09-28 23:51:29相关阅读点击段落旁边的小按钮,然后选择制表位,先设置居中的制表位:制表...

    海伦公式

    l为半周长,s为面积

    float l = (a + b + c) / 2;

    float s = sqrt(l*(l - a)*(l - b)*(l - c));

    文章最后发布于: 2018-09-28 23:51:29

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    1、欧氏距离Euclidean Distance:

    2、曼哈顿距离Manhattan:

    3、Mahalanobis马氏距离

    马氏距离的浅显解释,见我的博文:https://blo

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  • 易语言海伦公式求三角形面积源码,海伦公式求三角形面积
  • 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。下面我们利用初中的知识进行推导...
    63d684dba0b04f7e787b149dc151dbee.png

    海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。下面我们利用初中的知识进行推导(注意:公式推导过程的方法比公式更为重要)

    :已知△ABC的三边为a,b,c,求△的面积S。

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    分析:以a为底边,欲求△ABC的面积,只需要求得BC上高。

    :不妨设BC为最大边,作△ABC的高AD(如图)。设BD=x,则DC=a-x。

    由勾股定理,得

    AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-DC^2,

    所以c^2-x^2=b^2-(a-x)^2,

    整理,得

    2ax=a^2+c^2-b^2,

    所以x=( a^2+c^2-b^2)/2a,

    所以AD^2= c^2-x^2

    = c^2-[( a^2+c^2-b^2)/2a]^2,

    =1/(4a^2)•[4a^2c^2-( a^2+c^2-b^2)^2]

    =1/(4a^2)•(2ac+ a^2+c^2-b^2)(2ac- a^2-c^2+b^2)

    =1/(4a^2)•[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]

    =1/(4a^2)•(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)

    =1/(4a^2)•(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c),

    所以AD=1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)],

    所以S=1/2•a•1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]

    =1/4•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)],

    令(a+b+c)/2=p(这里的p称为三角形半周长),则

    a+b+c=2p,

    b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a),

    c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b),

    a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c),

    所以S=1/4•√[2p•2(p-a)•2(p-b)•2(p-c)]

    =√[p(p-a)(p-b)(p-c)].

    这就是海伦公式,在我国又称为秦九韶海伦公式。公式虽然有点复杂,但和谐好记。

    这个公式在实际问题中得到广泛的运用,深受民间百姓的喜爱。有了这个公式,只要将三角形三边的长一代,马上就可以算出它的面积来。由于在测量三角形土地面积时测量三边的长是最容易的,又不会存在大的争议(如果测量一边上的高往往争议不断),所以这个公式才深得人们的喜欢而广为流传。

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  • 之前小编向大家介绍了在python中求取...其实是可以的,用海伦公式就可以方便地导出答案。1、海伦公式介绍别称:希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式。原理:利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积...

    之前小编向大家介绍了在python中求取三角形面积的方法:三角形面积代码。大家对三角形面积的求取有了一定的了解,我们也知道计算机可以进行高精度的计算,那如果说在测量土地的面积的时候,不测三角形的高,只测两点间的距离,可以不可以求取答案呢?其实是可以的,用海伦公式就可以方便地导出答案。

    1、海伦公式介绍别称:希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式。

    原理:利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。

    表达式为:S=√p(p-a)(p-b)(p-c)。

    特点:形式漂亮,便于记忆。

    2、使用海伦公式求取三角形的面积

    代码:import math

    a = float(input('依次输入边长:\n'))

    b = float(input())

    c = float(input())

    p = (a+b+c)/2

    x = p*(p-a)*(p-b)*(p-c)

    while x<=0 :

    print('此三边不构成三角形,请重新输入')

    a = float(input('依次输入边长:\n'))

    b = float(input())

    c = float(input())

    p = (a+b+c)/2

    x = p*(p-a)*(p-b)*(p-c)

    s = math.sqrt(x)

    print('周长:' + str(2*p))

    print('面积:' + str(s))

    在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积。以上就是在python中用海伦公式求三角形面积的代码啦,这种方法既可以求面积又可以求周长,大家可以直接套用哦~

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  • 传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)... 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b...

    传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。 证明(1): 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明(2): 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P=1时,△ 2=q, S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得: S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。 S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a. 根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题: 已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边) 代入解得s=8√ 3 海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有: 设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中,S△ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。 证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④,故得证。 证二:斯氏定理 分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D, 若BD=u,DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明:由证一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = - ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤,故得证。 证三:余弦定理 分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。 证明:要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。 证四:恒等式 分析:考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明:如图,tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式,得: + + = ①②③代入,得: ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z = 代入 ④,得: r 2 · = 两边同乘以 ,得: r 2 · = 两边开方,得: r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。 证五:半角定理 半角定理:tg = tg = tg = 证明:根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得: r3 = ×xyz ∵由证一,x = = -c = p-c y = = -a = p-a z = = -b = p-b ∴ r3 = ∴ r = ∴S△ABC = r·p = 故得证。 三、 海伦公式的推广 由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。 证明:如图,延长DA,CB交于点E。 设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB~△ECD ∴ = = = 解得: e = ① f = ② 由于S四边形ABCD = S△EAB 将①,②跟b = 代入公式变形④,得: ∴S四边形ABCD = 所以,海伦公式的推广得证。 四、 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题:如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求:四边形可能为等腰梯形。 解:设BC = x 由海伦公式的推广,得: (4-x)(2+x)2 =27 x4-12x2-16x+27 = 0 x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1) = 0 (x-1)(x3+x2-11x-27) = 0 x = 1或x3+x2-11x-27 = 0 当x = 1时,AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。

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  • //根据海伦公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] } else { System.out.println("输入的三条边,不能构成三角形。"); } } catch (Exception e) { System.out.println("输入的三条边,不能构成三角形。"); } finally { try { in...
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    海伦公式计算三角形面积. 已知3个边长A,B,C. 设S=(A+B+C)/2. 面积=SQRT(S*(S-A)*(S-B)*(S-C)).

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