精华内容
下载资源
问答
  • 灰色系统

    千次阅读 2015-06-01 00:01:35
    灰色系统理论研究的是贫信息建模,它提供了贫信息情况下解决系统问题的新途径。它把一切随机过程看做是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程,对灰色量不是从寻找统计规律的角度,通过大样本进行研究,而是用...

           做数模过程中使用的一些算法总结。

    灰色系统

           在实际问题中,会遇到一些“不明确”的系统,要么是因为缺少大量的数据,要么是因为其内部机理不明确,致使对整个系统进行建模并定量描述十分困难,这种系统就被称为灰色系统。灰色系统建模的理论最早是由华中科技大学的邓聚龙教授确立的。

           灰色系统理论的重心在于尽管事物的表象很复杂,但是必定有其内在规律,只是被一些噪声因素“污染”。为此提出了一种新的分析方法——关联度分析,即根据事物发展态势的异同来衡量因素间的关联程度。

    关联分析

           为了描述两因素之间的关联程度,引入了关联系数指标。若存在参考数列,其中K表示K时刻。假设存在m个比较数列,。则式


    即为比较数列Xi对参考数列X0在K时刻的关联系数,其中称ρ∈[0,1]为分辨系数。分辨系数越大,则分辨率越高,反之则越小。上式定义的是各个时刻的关联系数,不方便整体比较,因此引入关联度,即下式,

          此外要注意的是,关联度的计算要求量纲相同。所以在此之前需要数据变换,以无量纲化。

    数据变换

           设有序列,存在映射

           以下是几种基本的数据变换方式

    • 初值化变换

    • 均值化变换

    • 百分比变换

    • 倍数变换

    • 归一化变换

           其中X0为大于零的某个值。

    • 极差最大值化变换

    • 区间值变换

          以下是关联分析的Matlab程序:

    clc,clear
    load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件 x.txt 中
    for i=1:17
    x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据
    end
    data=x;
    n=size(data,1);
    ck=data(1,:);m1=size(ck,1);
    bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1);
    for i=1:m1
        for j=1:m2
            t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:);
        end
    jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t')));
    rho=0.5; %分辨系数ρ
    ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2);
    rt=sum(ksi')/size(ksi,2);
    r(i,:)=rt;
    end
    

    灰色预测

         灰色系统理论把一切随机量都看作灰色数—即在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰色数的处理不是找概率分布或求统计规律,而是利用数据处理的办法去寻找数据间的规律。通过对原始数列中的数据进行处理,产生新的随机性被显著减弱的数列,建立微分方程形式的模型。数的生成方式有多种:累加生成、累减生成以及加权累加等。

    序列生成算子

    • 累加生成算子(AGO)

           设原始数据数列为,经AGO算子可生成序列,其中累加生成算子为

           对于原始数列,可以累加r次,记为r-AGO,但是实际中1-AGO最常用。注意这里的原始数列必须非负,否则会正负抵消,损失信息。

    • 累减生成算子(IAGO)

           IAGO即是累加的逆过程,其r-IAGO算子为

    • 均值生成算子

           设原始数据数列为,对于常数α∈[0,1],则称

    为由原始数列在生成系数α下的邻值生成数。当α=0.5时,此时的生成数为紧邻均值生成数

    检验指标

          由序列生成算子新生成的序列,弱化了原先的随机性,建立了以下指标,能初步定性分析规律。

    • 光滑比

           若,则称生成序列为准光滑序列。

    • 级比

          

          

           当满足指数规律时,即满足一阶线性微分方程。

     

          由于数列的离散性




           同时有以下结论:为非负准光滑序列,则的一次累加生成序列具有准指数规律

    GM(1,1)

    模型建立

           灰色系统理论的微分方程称为GM模型,GM(1,1)表示1阶的、1个变量的微分方程模型。设原始数据数列为

    ,经过1-AGO算子作用生成数据序列,再令的紧邻均值生成序列,即,则称

           为GM(1,1)模型的基本形式,-a称为发展系数,b称为灰色作用量。


           *注意

           1.为了保证模型的可行性,先要对数据进行检验处理,这里要使用到上面提到的级比。如果所有的级比都在范围内,则可以使用GM(1,1)模型。否则必须对原始数列进行处理,可去适当的常数c,使

    ,处理后的数列满足上述条件。也有其他预处理方法如数据开n方、数据取对数、数据平滑和运用序列算子弱化或强化原始数据数列。

          2.实际应用中:

          1) 当-a ≤ 0.3 时,GM(1,1)模型可用于中长期预测;

          2) 当0.3 ≤ -a≤ 0.5时,GM(1,1)模型可用于短期预测,中长期慎用;

          3) 当0.5 ≤ -a ≤ 0.8时,GM(1,1)模型短期预测应谨慎;

          4) 当0.8 ≤-a≤ 1时,应采用残差修正GM(1,1)模型;

          5) 当1 ≤-a时,不宜采用GM(1,1)模型;


    模型求解

    • 求解a,b
          a,b参数需要通过求解。若为参数列,且

           参数的最小二乘估计满足,

    • 解微分方程

           上式为GM(1,1)的白化方程。求解此方程的解为:


           由此可还原值



    X0=[3941 3941 3941 3941 3941 3744 3567 3621 3621 3621 3621 3621 3621 3441 3613 3614 3614 3614 3614 3458 3438];
    for i=1:21
    X1(i)=sum(X0(1:i));
    end
    for k=2:21
    Z(k)=0.5*X1(k)+0.5*X1(k-1);
    end
    for i=1:20
    b(i,1)=-Z(i+1);
    y(i)=X0(i+1);
    end
    b(:,2)=1;
    y=y';
    au=b\y;
    yc1(1)=X0(1);
    for k=1:21
    c=X0(1)-au(2)/au(1);
    yc1(k+1)=c*exp(-au(1)*k)+au(2)/au(1);
    end
    yc0(1)=X0(21);
    for k=1:21
    yc0(k+1)=yc1(k+1)-yc1(k);
    end
    disp(uint16(yc0(2:1:22)));
    yco=uint16(yc0(1:1:21));
    for i=1:21
    e0(i)=X0(i)-yco(i);
    end
    maxl=max(abs(e0));
    r=1;
     for k=2:21
    r=r+0.5*maxl/(abs(e0(k))+0.5*maxl);
    end


          除了GM(1,1)模型之外,还有GM(1,N)模型、GM(2,1)模型、Verhulst 模型等等。具体可以查看灰色系统理论及其应用


    参考资料:

           数学建模(第二版),陈光亭,裘哲勇

           灰色预测GM(1,1)模型的改进及应用,杨华龙


    知识共享许可协议
    本作品采用知识共享署名-非商业性使用-相同方式共享 3.0 中国大陆许可协议进行许可。

    展开全文
  • 灰色系统预测模型GM(1,1),GM(1,n)及Matlab实现

    万次阅读 多人点赞 2017-08-24 19:10:59
    1.灰色系统的定义: 灰色系统指既含有已知信息又含有未知信息的系统。 2.灰色预测模型的定义: 对灰色系统进行预测的模型。 灰色模型(Grey Model,简称GM模型)一般表达方式为GM(n,x)模型,其含义是:用n阶...

    1.灰色系统的定义:
    灰色系统指既含有已知信息又含有未知信息的系统。
    2.灰色预测模型的定义:
    对灰色系统进行预测的模型。
    灰色模型(Grey Model,简称GM模型)一般表达方式为GM(n,x)模型,其含义是:用n阶微分方程对x个变量建立模型。
    3.灰色预测模型的目的:
    通过把分散在时间轴上的离散数据看成一组连续变化的序列,采用累加和累减的方式,将灰色系统中的未知因素弱化,强化已知因素的影响程度,最后构建一个以时间为变量的连续微分方程,通过数学方法确定方程中的参数,从而实现预测目的。
    4.灰色系统预测模型的特点:
    无需大量数据样本,短期预测效果好,运算过程简单。
    5.灰色系统预测模型的不足:
    对非线性数据样本预测效果差。

    常用的灰色系统预测模型主要有GM(1,1)和GM(1,n),以下分别对这两种模型展开。
    【1】.GM(1,1)模型及其matlab实现

    1. GM(1,1)模型的预测原理是:对某一数据序列用累加的方式生成一组趋势明显的新数据序列,按照新的数据序列的增长趋势建立模型进行预测,然后再用累减的方法进行逆向计算,恢复原始数据序列,进而得到预测结果。
    2. GM(1,1)建模过程:
      (1) 设一组原始数据为这里写图片描述,n为数据个数。对这里写图片描述累加以便弱化随机序列的波动性和随机性,得到新的数列为:这里写图片描述其中,这里写图片描述
      (2) 生成这里写图片描述的邻均值等权数列这里写图片描述 其中,这里写图片描述
      (3) 根据灰色理论对这里写图片描述 建立关于t的白化形式的一阶一元微分方程GM(1,1):
      这里写图片描述
      其中,a,u为待解系数,分别称为发展系数和灰色作用量,a的有效区间是(-2,2),并记a,u构成的矩阵为灰参数这里写图片描述 ,只要求出参数a,u,就能求出这里写图片描述,进而求出这里写图片描述的预测值。
      (4) 对累加生成数据做均值生成B与常数项向量这里写图片描述 :
      这里写图片描述
      (5) 用最小二乘法求解灰参数这里写图片描述,则 这里写图片描述
      (6) 将灰参数这里写图片描述代入这里写图片描述,并对这里写图片描述 进行求解,得
      这里写图片描述
      (7) 将上述结果累减还原,即可得到预测值这里写图片描述
      (8) 利用模型进行预测: 这里写图片描述
      (9) 对建立的灰色模型进行精度检验,
      (9.1)残差检验:
      残差:这里写图片描述
      相对误差:这里写图片描述
      (9.2)后验差检验:
      均值:这里写图片描述
      方差:这里写图片描述
      残差的均值:这里写图片描述
      残差的方差:这里写图片描述
      后验差比值:这里写图片描述
      小误差概率:小误差概率:
      (9.3) 预测精度等级对照如下:
      预测精度等级
      好 P>0.95 C<0.35
      合格 P>0.80 C<0.45
      勉强合格 P>0.70 C<0.50
      不合格 P<=0.70 C>=0.65

    基于Matlab实现GM(1,1)模型程序:

    clear
    syms a u;
    c=[a,u]';%构成矩阵
    A=[15 16.1 17.3 18.4 18.7 19.6 19.9 21.3 22.5];%输入数据,可以修改
    Ago=cumsum(A);%原始数据一次累加,得到1-AGO序列xi(1)。
    n=length(A);%原始数据个数
    for k=1:(n-1)
        Z(k)=(Ago(k)+Ago(k+1))/2; %Z(i)为xi(1)的紧邻均值生成序列
    end
    Yn =A;%Yn为常数项向量
    Yn(1)=[]; %从第二个数开始,即x(2),x(3)...
    Yn=Yn';
    E=[-Z;ones(1,n-1)]';%累加生成数据做均值
    c=(E'*E)\(E'*Yn);%利用公式求出a,u
    c= c';
    a=c(1);%得到a的值
    u=c(2);%得到u的值
    F=[];
    F(1)=A(1);
    for k=2:(n)
        F(k)=(A(1)-u/a)/exp(a*(k-1))+u/a;%求出GM(1,1)模型公式
    end
    G=[];
    G(1)=A(1);
    for k=2:(n)
        G(k)=F(k)-F(k-1);%两者做差还原原序列,得到预测数据
    end
    t1=1:n;
    t2=1:n;
    plot(t1,A,'bo--');
    hold on;
    plot(t2,G,'r*-'); 
    title('预测结果');
    legend('真实值','预测值');
    %后验差检验
    e=A-G;
    q=e/A;%相对误差
    s1=var(A);
    s2=var(e);
    c=s2/s1;%方差比
    len=length(e);
    p=0;  %小误差概率
    for i=1:len
        if(abs(e(i))<0.6745*s1)
            p=p+1;
        end
    end
    p=p/len;
    
    

    运行结果如下:
    这里写图片描述
    p=1;c=0.0148;预测等级为:好
    从运行结果看,对于线性的数据使用GM(1,1)预测,其拟合效果还是不错。

    【2】GM(1,n)模型及Matlab实现
    1.GM(1,n)模型的预测原理:与GM(1,1)类似,不同在于输入数据变量是n个。
    2. GM(1,n)模型的建模过程:
    设系统有特征数据序列:这里写图片描述
    相关因素序列:
    这里写图片描述
    (1) 令这里写图片描述的1-AGO序列为这里写图片描述,其中
    这里写图片描述
    (2) 生成这里写图片描述紧邻均值序列这里写图片描述,其中
    这里写图片描述
    这里写图片描述为GM(1,n)模型。
    在GM(1,n)模型中,a被称为发展系数,称这里写图片描述为驱动系数,被称为驱动项。
    这里写图片描述这里写图片描述
    再令这里写图片描述,由最小二乘参数估计可得这里写图片描述,当这里写图片描述近似时间相应式为:这里写图片描述
    累减还原式为这里写图片描述
    差分模拟式为这里写图片描述

    基于Matlab实现GM(1,n)预测模型的程序:

    A=[560823,542386,604834,591248,583031,640636,575688,689637,570790,519574,614677];
    x0=[104,101.8,105.8,111.5,115.97,120.03,113.3,116.4,105.1,83.4,73.3;
        135.6,140.2,140.1,146.9,144,143,133.3,135.7,125.8,98.5,99.8;
        131.6,135.5,142.6,143.2,142.2,138.4,138.4,135,122.5,87.2,96.5;
        54.2,54.9,54.8,56.3,54.5,54.6,54.9,54.8,49.3,41.5,48.9];
    [n,m]=size(x0);
    AGO=cumsum(A);
    T=1;
    x1=zeros(n,m+T);
     
    for k=1:(m-1)
        Z(k)=(AGO(k)+AGO(k+1))/2; %Z(i)为xi(1)的紧邻均值生成序列
    end
    for i=1:n
        for j=1:m
            for k=1:j
                x1(i,j)=x1(i,j)+x0(i,k);%原始数据一次累加,得到xi(1)
            end
        end
    end
    x11=x1(:,1:m);
    X=x1(:,2:m)';%截取矩阵
    Yn =A;%Yn为常数项向量
    Yn(1)=[]; %从第二个数开始,即x(2),x(3)...
    Yn=Yn';
    %Yn=A(:,2:m)';
    B=[-Z',X];
    C=((B'*B)\(B'*Yn))';%由公式建立GM(1,n)模型
    a=C(1);
    b=C(:,2:n+1);
    F=[];
    F(1)=A(1);
    u=zeros(1,m);
    for i=1:m
        for j=1:n
            u(i)=u(i)+(b(j)*x11(j,i));
        end
    end
    for k=2:m
        F(k)=(A(1)-u(k-1)/a)/exp(a*(k-1))+u(k-1)/a;
    end
    G=[];
    G(1)=A(1);
    for k=2:m
        G(k)=F(k)-F(k-1);%两者做差还原原序列,得到预测数据
    end
    t1=1:m;
    t2=1:m;
    plot(t1,A,'bo--');
    hold on;
    plot(t2,G,'r*-'); 
    title('销售预测结果');
    legend('真实值','预测值');
    

    转载请标明出处,谢谢!。

    如果感觉本文对您有帮助,请留下您的赞,您的支持是我坚持写作最大的动力,谢谢!

    展开全文
  • 灰色系统的生成及灰预测 社会、经济、农业、工业、生态等许多系统,是根据研究对象所属的领域和范围命名的。在控制理论中,人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度,如用“黑”表示未知信息,用“白”表示信息完全...

    灰色系统的定义

    社会、经济、农业、工业、生态等许多系统,是根据研究对象所属的领域和范围命名的。在控制理论中,人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度,如用“黑”表示未知信息,用“白”表示信息完全明确,用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地,信息完全明确的系统称为白色系统;信息完全不明确的系统称为黑色系统;部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。

    对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等,人们无法建立客观的物理原型,其作用原理亦不明确,内部因素难以辨识或之间关系隐蔽,人们很难准确了解这类系统的行为特征,因此对其定量描述难度较大,带来建立模型的困难。这类系统内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。

    一个系统的内部特性全部未知,则称之为黑色系统。

    灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“贫信息”不确定系统,它通过部分己知信息的生成、开发,实现对现实世界的确切描述和认识。


    灰色系统在实际问题中的体现

    作为实际问题,灰色系统在大千世界中是大量存在的,绝对的白色或黑色系统是很少的。随着人类认识的进步及对掌握现实世界的要求的升级,人们对社会、经济等问题的研究往往已不满足于定性分析。尽管当代科技日新月异,发展迅速,但人们对自然界的认识仍然是肤浅的。

    粮食作物的生产是一个实际的关系到人们吃饭的大问题,但同时,它又是一个抽象的灰色系统。肥料、种子、农药、气象、土壤、劳力、水利、耕作及政策等皆是影响生产的因素,但又难以确定影响生产的确定因素,更难确定这些因素与粮食产量的定量关系。人们只能在一定的假设条件(往往是一些经验及常识)下按照某种逻辑推理演绎而得到模型。这种模型并非是粮食作物生产问题在理论认识上的“翻版”,而只能看作是人们在认识上对实际问题的一种“反映”或“逼近”。


    数据噪声对传统系统分析的影响

    社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”(即随机干扰)。现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测,对事物的处置进行决策。现有的系统分析的量化方法,大都是数理统计法如回归分析、方差分析、主成分分析等,回归分析是应用最广泛的一种办法。但回归分析要求大样本,只有通过大量的数据才能得到量化的规律,这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。回归分析还要求样本有较好的分布规律,而很多实际情形并非如此。例如,我国建国以来经济方面有几次大起大落,难以满足样本有较规律的分布要求。因此,有了大量的数据也不一定能得到统计规律,甚至即使得到了统计规律,也并非任何情况都可以分析。另外,回归分析不能分析因素间动态的关联程度,即使是静态,其精度也不高,且常常出现反常现象。


    灰色系统理论基本内容

    灰色系统内容主要包括灰色朦胧集为基础的理论体系,以灰色关联空间为依托的分析体系,以灰过程及其生成空间为基础与内涵的方法体系,以失色模型为核心的模型体系,以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系,并展开了灰数学的研究。即以下八个方面的内容:

    1. 灰色系统的数学问题
    2. 灰色因素的会关联分析
    3. 灰色建模理论
    4. 灰色预测
    5. 灰色决策和规划
    6. 灰色系统分析
    7. 灰色系统控制和优化
    8. 灰色聚类与失色统计评估
    灰色系统分为本征灰色系统和非本征灰色系统。
    • 没有物理原形的灰系统,比如,社会、经济、生态等系统叫本征灰色系统。本征灰色系统不可能有实在的反应运行机制的模型,只可能通过分析、推到、构思等方法获得同构模型。
    • 据有物理原形的系统,在信息不完全、不确定时是非本征灰色系统,比如人体。

    灰色系统克服概率统计的弱点,从杂乱无章、有限的、离散的数据中找出规律,建立灰色系统模型,然后用它来作相应的分析、预测、决策和规划。其基本思路是:认为客观系统无论怎样复杂,终究是相互关联的、有序的、有整体功能的,作为系统行为特征的数据总是隐含着某种规律性。

    在某些领域中,如生命科学、经济学、生物学工程等领域,微分方程的系统描述了系统内部的物理、化学过程的本质。建立微分方程模型是在信息不足的情况下建立有效模型的良好方法,是充分发挥已知信息(白信息)作用的途径。灰色系统理论正是利用已知信息建立微分方程,用己知信息去计算未知数据,处理实际问题。这种建模方法为本征性灰色系统的实体化、物理化找到了途径,把自然科学的实验手段和方法遗植到抽象系统;同时把工程技术系统的微分、积分、惯性等概念用于社会经济系统,从而在社会科学与自然科学之间架起桥梁。


    Reference:http://gb.oversea.cnki.net/KCMS/detail/detail.aspx?filename=2008029195.nh&dbcode=CMFD&dbname=CMFDREF

    展开全文
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...

    灰色系统理论及其应用系列博文:

    灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较

    灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析

    灰色系统理论及其应用 (三) :生成数

    灰色系统理论及其应用 (四) :灰色模型 GM

    灰色系统理论及其应用 (五) :灰色预测

    灰色系统理论及其应用 (六) :SARS 疫情对某些经济指标影响问题

    灰色系统理论及其应用 (七) :道路交通事故灰色 Verhulst 预测模型

    灰色系统理论及其应用 (八) :GM(2,1)和 DGM 模型

    灰色系统理论及其应用 (九) : GM(1, N) 和GM(0, N) 模型


    目录

    1   灰色系统概论

    2 关联分析

    2.1 关联系数的定义                                  2.2 关联度的定义

    3  总结:灰色预测法与传统统计方法的比较


    1   灰色系统概论

    客观世界的很多实际问题,其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解, 人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚,只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统,我们称之为灰色系统。本章 介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发,研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下,如何 对实际问题进行分析和解决。

    客观世界在不断发展变化的同时,往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互 联系而构成一个整体,我们称之为系统。按事物内涵的不同,人们已建立了工程技术、 社会系统、经济系统等。人们试图对各种系统所外露出的一些特征进行分析,从而弄清 楚系统内部的运行机理。从信息的完备性与模型的构建上看,工程技术等系统具有较充 足的信息量,其发展变化规律明显,定量描述较方便,结构与参数较具体,人们称之为 白色系统;对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等,人们无法建立客观的 物理原型,其作用原理亦不明确,内部因素难以辨识或之间关系隐蔽,人们很难准确了 解这类系统的行为特征,因此对其定量描述难度较大,带来建立模型的困难。这类系统 内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。一个系统的内部特性全部未知,则称之为黑 色系统。

    区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。 运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关,其关系可用牛顿定律以明确 的定量来阐明,因此,物体的运动便是一个白色系统。

    当然,白、灰、黑是相对于一定的认识层次而言的,因而具有相对性。某人有一 天去他朋友家做客,发现当外面的汽车开过来时,他朋友家的狗就躲到屋角里瑟瑟发抖。 他对此莫名其妙。但对他朋友来讲,狗的这种行为是可以理解的,因为他知道,狗在前 不久曾被汽车撞伤过。显然,同样对于“狗的惧怕行为”,客人因不知内情而面临一个 黑箱,而主人则面临一个灰箱。

    作为实际问题,灰色系统在大千世界中是大量存在的,绝对的白色或黑色系统是 很少的。随着人类认识的进步及对掌握现实世界的要求的升级,人们对社会、经济等问 题的研究往往已不满足于定性分析。尽管当代科技日新月异,发展迅速,但人们对自然 界的认识仍然是肤浅的。粮食作物的生产是一个实际的关系到人们吃饭的大问题,但同 时,它又是一个抽象的灰色系统。肥料、种子、农药、气象、土壤、劳力、水利、耕作 及政策等皆是影响生产的因素,但又难以确定影响生产的确定因素,更难确定这些因素 与粮食产量的定量关系。人们只能在一定的假设条件(往往是一些经验及常识)下按照 某种逻辑推理演绎而得到模型。这种模型并非是粮食作物生产问题在理论认识上的“翻 版”,而只能看作是人们在认识上对实际问题的一种“反映” 或 “逼近”。

    社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”(即随机干扰)。 现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通 过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测,对事物的处置进行决策。现有的系统分析的量化方法,大都是数理统计法如回归分析、方差分析、主成分分析等,回归分析是 应用最广泛的一种办法。但回归分析要求大样本,只有通过大量的数据才能得到量化的 规律,这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。回归分析还要求 样本有较好的分布规律,而很多实际情形并非如此。例如,我国建国以来经济方面有几 次大起大落,难以满足样本有较规律的分布要求。因此,有了大量的数据也不一定能得 到统计规律,甚至即使得到了统计规律,也并非任何情况都可以分析。另外,回归分析 不能分析因素间动态的关联程度,即使是静态,其精度也不高,且常常出现反常现象

    灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法,即根据因素之间发展 态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度,它揭示了事物动态关联的特征与程 度。由于以发展态势为立足点,因此对样本量的多少没有过分的要求,也不需要典型的 分布规律,计算量少到甚至可用手算,且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致 的情况。这种方法已应用到农业经济、水利、宏观经济等各方面,都取得了较好的效果。

    灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据,充分开发并 利用不多的数据中的显信息和隐信息,寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法 是采用离散模型,建立一个按时间作逐段分析的模型。但是,离散模型只能对客观系统 的发展做短期分析,适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续 系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的,但在某些研究领域中,人们却常常 希望使用微分方程模型。事实上,微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的 物理或化学过程的本质。

    灰色系统理论首先基于对客观系统的新的认识。尽管某些系统的信息不够充分, 但作为系统必然是有特定功能和有序的,只是其内在规律并未充分外露。有些随机量、 无规则的干扰成分以及杂乱无章的数据列,从灰色系统的观点看,并不认为是不可捉摸 的。相反地,灰色系统理论将随机量看作是在一定范围内变化的灰色量,按适当的办法 将原始数据进行处理,将灰色数变换为生成数,从生成数进而得到规律性较强的生成函 数。例如,某些系统的数据经处理后呈现出指数规律,这是由于大多数系统都是广义的 能量系统,而指数规律是能量变化的一种规律。灰色系统理论的量化基础是生成数,从 而突破了概率统计的局限性,使其结果不再是过去依据大量数据得到的经验性的统计规 律,而是现实性的生成律。这种使灰色系统变得尽量清晰明了的过程被称为白化

    目前,灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系 统及复杂多变的农业系统中,并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济 等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制,它有可能成为人们认识客观系统改造 客观系统的一个新型的理论工具。

    2 关联分析

    大千世界里的客观事物往往现象复杂,因素繁多。我们往往需要对系统进行因素 分析,这些因素中哪些对系统来讲是主要的,哪些是次要的,哪些需要发展,哪些需要 抑制,哪些是潜在的,哪些是明显的。一般来讲,这些都是我们极为关心的问题。事实 上,因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。 因素分析的基本方法过去主要采取回归分析等办法。正如前一节指出的,回归分析的办法有很多欠缺,如要求大量数据、计算量大及可能出现反常情况等。为克服以上 弊病,本节采用关联度分析的办法来做系统分析。

    作为一个发展变化的系统,关联分析实际上是动态过程发展态势的量化比较分析。 所谓发展态势比较,也就是系统各时期有关统计数据的几何关系的比较

     

    例如,某地区 1977~1983 年总收入与养猪、养兔收入资料见表 1。

     

                                          表1:收入数据  
      1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983
    总收入 18 20 22 40 44 48 60
    养猪 13 15 16 24 38 40 50
    养兔 3 2 12 10 22 18 20

    根据表 1,做曲线图 1。

    由上图易看出,曲线 A 与曲线 B 发展趋势比较接近,而与曲线 C 相差较大,因此 可以判断,该地区对总收入影响较直接的是养猪业,而不是养兔业。 很显然,几何形状越接近,关联程度也就越大。当然,直观分析对于稍微复杂些 的问题则显得难于进行。因此,需要给出一种计算方法来衡量因素间关联程度的大小。

    2.1 关联系数的定义

    定义2   选取参考数列   x_{0} =\left \{ x_{0} \left ( k \right ) \, | \, k= 1,2,...,n \right \} = \left ( x_{0} \left ( 1 \right ),\: x_{0} \left (2\right ),\:..., \: x_{0} \left ( n \right )\: \right )

      其中k表示时刻。假设有  m 个比较数列 x_{i} =\left \{ x_{i} \left ( k \right ) \, | \, k= 1,2,...,n \right \} = \left ( x_{i} \left ( 1 \right ),\: x_{i} \left (2\right ),\:..., \: x_{i} \left ( n \right )\: \right ) ;\:\: i= 1,2,...,m

    则称   \xi _{i}\left ( k \right ) = \frac{\min_{s}min_{t} \left | x_{0}(t)\, - x_{s}(t) \right | \, +\rho \, \max_{s}max_{t} \left | x_{0}(t)\, - x_{s}(t) \right | }{\left | x_{0}(k)\, - x_{i}(k) \right | \, + \rho \, \max_{s}max_{t} \left | x_{0}(t)\, - x_{s}(t) \right | } \cdots \left ( 1 \right )

    为比较数列x_{i} 对参考数列x_{0} 在k时刻的关联系数,  其中 \rho \in \left [ 0,\: 1 \right ] 为分辨系数;

    称(1)式中  \min_{s}min_{t} \left | x_{0}(t)\, - x_{s}(t) \right | \, ; \: \, \max_{s}max_{t} \left | x_{0}(t)\, - x_{s}(t) \right |  分别为两级最小差,、两级最大差。

     

    一般来讲,分辨系数 ρ 越大,分辨率越大; ρ 越小,分辨率越小。

    公式(1)中的\left | x_{0}(k)\, - x_{i}(k) \right | \,不能区别因素关联是正关联还是负关联,可采取下述办法解决这个问题。记

    \sigma _{i}=\, \sum_{k=1}^{n} k x_{i} \left ( k \right ) - \, \sum_{k=1}^{n} x_{i} \left ( k \right )\, \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n},\: i=1,2,...,n

    则:

           【1】 当sign(\sigma _{i}) = sign(\sigma _{j}), 则x_{i}x_{j},为正关联;

           【2】 当sign(\sigma _{i}) = - sign(\sigma _{j}), 则x_{i}x_{j},为负关联;

    (1)式定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指 标,由于各个时刻都有一个关联数,因此信息显得过于分散,不便于比较,为此我们给 出

    2.2 关联度的定义

    由(2)易看出,关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值,亦即把过于 分散的信息集中处理。利用关联度这个概念,我们可以对各种问题进行因素分析。考虑下面的问题。

    例 1 通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查,获得其 1982 年至 1986 年每年 最好成绩及 16 项专项素质和身体素质的时间序列资料,见表 2,试对此铅球运动员的专项成绩进行因素分析。

    在利用(1)式及(2)式计算关联度之前,我们需对表 2 的各个数列做初始化处 理。一般来讲,实际问题中的不同数列往往具有不同的量纲,而我们在计算关联系数时, 要求量纲要相同。因此,需首先对各种数据进行无量纲化。另外,为了易于比较,要求 所有数列有公共的交点。为了解决上述两个问题,我们对给定数列进行变换。【参考 数据变换技术

    为原始数列 X 的初始化数列

    这样,我们可对表 2 中的 17 个数列进行初始化处理。注意,对于前 15 个数列, 随着时间的增加,数值的增加意味着运动水平的进步,而对后 2 个数列来讲,随着时间 的增加,数值(秒数)的减少却意味着运动水平的进步。因此,在对数列 15 x 及 16 x 进 行初始化处理时,采取以下公式

    依照问题的要求,我们自然选取铅球运动员专项成绩作为参考数列,将表 2 中的 各个数列的初始化数列代入(1)及(2)式,易算出各数列的关联度如下表(这里 ρ = 0.5 )。

    计算的 MATLAB 程序如下:

    clc,clear
    load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件 x.txt 中
    for i=1:15
     x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据
    end
    for i=16:17
     x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据
    end
    data=x;
    n=size(data,1);
    ck=data(1,:);m1=size(ck,1);
    bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1);
    for i=1:m1
        for j=1:m2
            t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:); 
            end
        jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t')));
        rho=0.5;
        ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2);
        rt=sum(ksi')/size(ksi,2);
        r(i,:)=rt;
    end
    r
    [rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度进行排序

    由表 3 易看出,影响铅球专项成绩的前八项主要因素依次为全蹲、3kg 滑步、高翻、 4kg 原地、挺举、立定跳远、30 米起跳、100 米成绩。因此,在训练中应着重考虑安排 这八项指标的练习。这样可减少训练的盲目性,提高训练效果。

    3  总结:灰色预测法与传统统计方法的比较


    灰色系统理论及其应用系列博文:

    灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较

    灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析

    灰色系统理论及其应用 (三) :生成数

    灰色系统理论及其应用 (四) :灰色模型 GM

    灰色系统理论及其应用 (五) :灰色预测

    灰色系统理论及其应用 (六) :SARS 疫情对某些经济指标影响问题

    灰色系统理论及其应用 (七) :道路交通事故灰色 Verhulst 预测模型

    灰色系统理论及其应用 (八) :GM(2,1)和 DGM 模型

    灰色系统理论及其应用 (九) : GM(1, N) 和GM(0, N) 模型


     

    展开全文
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...
  • 灰色系统预测GM(1,1)模型

    万次阅读 多人点赞 2017-01-12 17:18:50
    灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统,灰色系统其内部一部分信息已知,另一部分信息未知或不确定。 (2)灰色预测 灰色预测,是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测,对既含有已知信息又含有不...
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...
  • 所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统,灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统,通过对已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。 重点:我们可以用灰色系统理论来解决...
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...
  • 灰色系统理论

    千次阅读 2011-07-28 10:19:42
    grey system 华中科技大学控制科学与工程系教授,博士生导师邓聚龙于1982年提出的。灰色系统理论,利用少量信息,预测未知信息。clear clc%x为原始数据 x=[161.07 154.07 149.95 147.15 146.11]; x0 = zeros(5,1)
  • 什么是灰色系统,这个概念比较奇怪,是用颜色来衡量一个系统的特性,那么是不是还有其他颜色系统如红色系统、蓝色系统等,其实还真有其他颜色的系统,只不过不是前面说的漂亮颜色而是黑色系统和白色系统。...
  • 灰色系统模型和matlab

    千次阅读 2018-08-11 16:23:25
    灰色系统模型理论及其应用 1.关联分析 因素分析的一种,关联分析实际上就是动态过程发展态势的量化比较分析。 1.粗糙式:对于关联分析,一般用excel画出图表,几何形状越接近,关联程度就越大。 2.计算式:...
  • 灰色系统最后计算出的结果代表什么,最后的预测值是怎么体现的?为什输入数据最后的出的误差大的离谱,为什么最后结果是负值?
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...
  • 灰色系统理论概论(个人总结)

    万次阅读 多人点赞 2017-01-12 19:59:50
    对这类部分信息已知而部分信息未知的系统,我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发,研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下,如何对实际问题进行分析和解决。 1.关联分析大千世界里的客观事物...
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...
  • 灰色系统 原理:采用累加和累减的方式,将灰色系统中的未知因素弱化,强化已知因素,通过数学方法确定方程中的参数,从而实现预测目的。 clear clc syms a u; c=[a,u]';%构成矩阵 A1=xlsread('wen1');%输入数据,...
  • 机器学习应用中,比较常用的趋势预测探索方法有自回归平均移动模型(ARIMA)、灰色系统预测模型(GM)等。其中ARIMA模型多用于时间序列数量较多的趋势预测应用中,通常的数据量级为数十、数百、至数千;而GM模型多用于...
  • 灰色系统理论及应用》(第七版)刘思峰,杨英杰,吴利丰第8章 离散灰色预测模型 例8.1.1 设有数据序列 X(0)={2.28,8.29,25.96,84.88,271.83}X^{(0)}=\{2.28,8.29,25.96,84.88,271.83\} 试建立灰色系统离散...
  • 灰色系统理论及其应用系列博文: 灰色系统理论及其应用 (一) :灰色系统概论、关联分析、与传统统计方法的比较 灰色系统理论及其应用 (二) :优势分析 灰色系统理论及其应用 (三) :生成数 灰色系统理论及其应用...
  • 引用格式为:刘思峰, 杨英杰, 吴利丰,等 灰色系统理论及其应用[M]. 北京:科学出版社, 2014 目录: 序一 序二 序二(中译文) 前言 第1章 灰色系统的概念与基本原理 1.1 灰色系统理论的产生与发展 ...
  • matlab 灰色系统预测 GM(1,1) 数学建模

    千次阅读 2016-01-26 17:01:23
    本文代码主要是基于邓聚龙教授在20实际80年代提出的灰色系统理论。 GM0.m %该函数为GM(1,1)模型返回还原值 function f=GM0(x0,t) %数据数列 [M,N]=size(x0); %算出数据数列的大小 x1(1)=x0(1); %累加生成...
  • %《灰色系统理论及其应用》第7版 刘思峰 P193 9.3基于Captuo模型分数阶导数的灰色模型 %实现 ,采用例9.2.1的数据完成分析clear all,clc,close all %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %求X0的p阶差分,...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 82,805
精华内容 33,122
关键字:

灰色系统