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  • 特征向量

    千次阅读 2018-08-19 13:39:04
    矩阵(这里特指方阵)是什么,从特征向量的角度来讲,矩阵其实是一个函数,一个作用在向量x的函数。 这些向量中我们感兴趣是那些向量呢,是那些经过变换前后方向一致的向量。这些向量是比较特殊的,对于多数的向量...

    矩阵(这里特指方阵)是什么,从特征向量的角度来讲,矩阵其实是一个函数,一个作用在向量x的函数。

    这些向量中我们感兴趣是那些向量呢,是那些经过变换前后方向一致的向量。这些向量是比较特殊的,对于多数的向量,经过变换之后的向量Ax 与 x 是不同方向的。那些特定的向量能使得Ax 平行于x。这些特定的向量就是特征向量。用表达式表示就是Ax = \lambda x。同方向指的的是方向相同或者是方向相反,所以\lambda允许取负值或者零。

    如果A是奇异矩阵,那么\lambda = 0 是一个特征值。

    问题是怎么样求出这样的x 以及对应的\lambda

    对于二阶方阵来说,有特殊的性质:

    特征值的和 == 矩阵的迹。

    特征值的积 == 矩阵对应行列式的值。

     

    对称矩阵的特征值是实数。

     

    上三角矩阵的特征值就是对角线元素上的值。

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  • 使用python求解特征值与特征向量

    万次阅读 多人点赞 2016-10-25 19:04:05
    使用python求解特征值与特征向量 实例介绍

    #使用python求解特征值与特征向量
    问题描述:
    求解矩阵[[1.25,0.375,0],[0.375,1.25,-0.5],[0,-0.5,0.875]]的特征值与特征向量

    参考链接1:
    百度经验:python线性代数—求方阵的特征值特征向量

    利用python求解方阵特征值与特征向量的方法及代码实现

    >>>import numpy as np      ##引入numpy模块
    >>>x=numpy.diag((1,2,3))   ##写入对角阵x
    >>>x                       ##输出对角阵x
    array([[1,0,0],
    [0,2,0],
    [0,0,3]])
    >>>a,b=numpy.linalg.elg(x) ##特征值赋值给a,对应特征向量赋值给b 
    >>>a                       ##特征值 1 2 3
    array([1.,2.,3.])
    >>>b                       ##特征向量
    array([1.,0.,0.],
    [0.,1.,0.],
    [0.,0.,1.])  
    

    局限性:使用函数numpy.diag( )产生的是对角阵,实际情况都是要处理一般方阵。关于numpy.diag( )的用法可以参考numpy.diag 使用说明

    参考链接2:
    科学计算python VS matlab
    介绍python进行矩阵运算的各种函数

    a2=np.array([[1,2,3],[2,3,4]])   #建立一个二维数组
    b2=np.array([[1,2,3],[2,3,4]],dtype=int)  #可以输出指定数据类型
    np.linalg.eig(a2)                #返回矩阵a2的特征值与特征向量
    

    针对开头的问题,求解代码如下图所示:
    问题求解代码

    参考链接3:
    特征值与特征向量的雅克比算法C++实现

    没有比较就不知道,使用python求解特征值问题多么简单!
    链接3是使用C++求解特征值的方法,虽然有点复杂,代码多,个人感觉,有必要看一看,以认识具体的实现过程。

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  • 矩阵特征值和特征向量详细计算过程

    万次阅读 多人点赞 2018-05-07 12:22:13
    1.矩阵特征值和特征向量定义 A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0,并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征...

    1.矩阵特征值和特征向量定义

            A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0,并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候,称为A的特征方程,特征方程是一个齐次线性方程组,求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。

     

    计算:A的特征值和特征向量。

    计算行列式得

    化简得:

    得到特征值:

    化简得:

     

    得到特征矩阵:

    同理,当得:

    得到特征矩阵:






       

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  • 特征向量其实反应的是矩阵A本身固有的一些特征,本来一个矩阵就是一个线性变换,当把这个矩阵作用于一个向量的时候,通常情况绝大部分向量都会被这个矩阵A变换得“面目全非”,但是偏偏刚好存在这么一些向量,被矩阵...

    目录

    特征值和特征向量的由来

    特征值和特征向量定义:

    特征值和特征向量的几何意义

    特征值和特征向量的应用


    其实反应的是矩阵A本身固有的一些特征,本来一个矩阵就是一个线性变换,当把这个矩阵作用于一个向量的时候,通常情况绝大部分向量都会被这个矩阵A变换得“面目全非”,但是偏偏刚好存在这么一些向量,被矩阵A变换之后居然还能保持原来的样子,于是这些向量就可以作为矩阵的核心代表了。于是我们可以说:一个变换(即一个矩阵)可以由其特征值和特征向量完全表述,这是因为从数学上看,这个矩阵所有的特征向量组成了这个向量空间的一组基底而矩阵作为变换的本质其实不就把一个基底下的东西变换到另一个基底表示的空间中么

    看几张图:

                         

    如果我们单独看某一个维度的话,比如看x1这个维度

                          

     

    通过一个变换(即一个矩阵)把基坐标系换掉,使最终呈现的图形在x-y中是正的。

    为什么会有0特征值?不同特征之对应的不同特征向量是垂直的。画图自己看看

     

    特征值和特征向量的由来

    谈到线性代数课本里面的一些概念,比如行列式、矩阵乘积、线性变换、二次型等,或许很少人知道它们是谁发现的,这不像高数/数分课本上那么明显:柯西收敛准则、拉格朗日中值定理、魏尔斯特拉斯判别法。

    秦少游

    大概地说,水面附近的任一点水珠在原处上下振动(实际上在做近似圆周运动),并没有随着波浪向外圈移动,同时这些上下振动的水珠的幅度在渐渐变小,直至趋于平静。在由某块有着特定质量和形状的石头被以某种角度和速度投入某个面积和深度特定的水池中所决定的某个矩阵中,

    纹波荡漾中水珠的渐变过程中其特征值起着决定性的作用,它决定着水珠振动的频率和幅度减弱的衰退率。

    特征值   :Ax=Cx    (C就是特征值)这个式子我们很熟知,意义是:,用Cx来形容Ax,但是这是在X为基的坐标系下 ,C就是形容这个基坐标系的大小(这和大小可能是长度,面积,体积,主要看的维度了)。

    补充:一维坐标系(描述长度),二维坐标系(描述面积),三维坐标系(描述体积),四维坐标系(描述超立方体);都是单位基系。 我们常用的是笛卡尔坐标系,也就是x轴y轴。

     

    特征值和特征向量定义:

    花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义

    对于给定矩阵A,寻找一个常数λ(可以为复数)和非零向量x,使得向量x被矩阵A作用后所得的向量Ax与原向量x平行,并且满足Ax=λx。

    特征值和特征向量的几何意义

     

    花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义

    下面的一个类比可以帮助我们更好的理解特征值和特征向量:

    如果把矩阵看作是运动,那么特征值就是运动的速度,特征向量就是运动的方向。

    特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动,伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1,所有属于此特征值的特征向量变长;特征值大于0小于1,特征向量缩短;特征值小于0,特征向量缩过了界,反方向到原点那边去了

    为了让模友们看清楚它们的变化,超模君做了几个动图,我们来感受一下吧:

    (1)首先,我们通过改变向量v的位置,看看向量Av有什么变化(矩阵A不动噢)

    花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义

    (2)然后,我们不要动向量v,改变矩阵A每一列(通过移动a1和a2),再看看向量Av有什么变化

    花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义

    (3)接下来是见证奇迹的时刻!看看超模君的金手指怎么移动向量v使它变成特征向量吧!

     

    花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义

    (4)最后,我们改变矩阵A(通过移动a1和a2),重点看看特征空间(S1和S2)是怎么变化(特征值也会发生变化哟)

    花了10分钟,终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义

     

    特征值和特征向量的应用

    其实,特征值和特征向量在我们的生活中都是非常普遍的。

    (1)可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中。例如,在力学中,惯量的特征向量定义了刚体的主轴。惯量是决定刚体围绕质心转动的关键数据

    (2)数学生态学家用来预测原始森林遭到何种程度的砍伐,会造成猫头鹰的种群灭亡;

    (3)著名的图像处理中的PCA方法,选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵,从而达到降维分析+特征显示的方法,还有图像压缩的K-L变换。再比如很多人脸识别,数据流模式挖掘分析等方面。

    (4)在谱系图论中,一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值,或者(更多的是)图的拉普拉斯算子矩阵,Google的PageRank算法就是一个例子。

    有一句话说得好:“只要有振动就有特征值,即振动的自然频率”。如果你曾经弹过吉他,你已经求解了一个特征值问题。

     

     

     

     

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  • 矩阵特征值和特征向量详细计算过程(转载)

    万次阅读 多人点赞 2018-09-02 09:43:47
    1.矩阵特征值和特征向量定义        A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特...
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  • 讲道理 | 特征值和特征向量意义

    万次阅读 多人点赞 2018-06-10 13:26:02
    在刚开始学的特征值和特征向量的时候只是知道了定义和式子,并没有理解其内在的含义和应用,这段时间整理了相关的内容,跟大家分享一下; 首先我们先把特征值和特征向量的定义复习一下: 定义:设A是n阶矩阵,如果...
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  • 关于矩阵的特征向量和特征值的含义

    万次阅读 多人点赞 2017-12-25 14:31:20
    知乎上看到一篇讲解矩阵的特征值和特征向量的文章,感觉写的很有意思,参考链接:https://www.zhihu.com/question/21874816 ...当然变换前,这些特征向量需要正交,所以需要先使用SVD奇异值分解;
  • 所谓的特征值和特征向量

    万次阅读 多人点赞 2017-07-31 20:36:36
    在线性代数的最后,我们都会学矩阵的特征值分解,我们知道一个方阵A特征值分解后就得到特征向量和特征值了。那么,这个所谓的特征值和特征向量到底是什么东西呢? 首先给出概念上的一种解释。所谓的特征值和特征...
  • 特征值与特征向量特征值特征向量 特征值 特征向量
  • 特征值与特征向量

    2019-08-14 21:52:41
    文章目录特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的几何意义存在没有特征向量的矩阵嘛:复数的特征值与特征向量特征值与特征向量的性质 特征值与特征向量的概念 一般而言,对于方阵 AAA,存在向量 p⃗\vec{p}p​...
  • 特征值和特征向量(三)

    万次阅读 多人点赞 2018-12-05 10:27:00
    特征值和特征向量(三) 一、先看一下教科书上的定义:设A是n阶方阵,如果存在常数及非零n向量x,使得,则称是矩阵A的特征值,x是A属于特征值的特征向量。给定n阶矩阵A,行列式 的结果是关于的一个...
  • 特征值 特征向量

    2018-10-16 15:40:21
    最近在学LSC,想搜集一些特征值和特征向量的知识 1、特征值和特征向量 矩阵的基   定义:一个m*n的矩阵可以看成是n个列向量组成,这n个列向量的线性组合构成一个列空间,而通常这n个列向量不是线性无关的,那么求...
  • 特征值和特征向量

    万次阅读 多人点赞 2016-05-07 20:38:11
    在刚开始学的特征值和特征向量的时候只是知道了定义和式子,并没有理解其内在的含义和应用,这段时间整理了相关的内容,跟大家分享一下; 首先我们先把特征值和特征向量的定义复习一下: 定义: 设A是n阶矩阵,...
  • 1.特征向量与特征值的定义:A为n阶方阵,x为非零向量,Ax=λx,则λ为A的特征值,x为A的属于特征值的特征向量。 2.特征值与特征向量的求解过程(重点) 写出f(λ)=det(A-λI) 特征值:计算f(λ)的全部根 特征...
  • 特征值、特征向量

    2019-11-01 17:08:28
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空空如也

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