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  • 采用数值分析中的反幂法来求解矩阵的特征值,采用matlab实现
  • 幂法求矩阵特征值特征向量matlab程序,但是区别于matlab自带方法。
  • 特征值与特征向量练习题精选.doc
  • 通过用vba求矩阵的特征值与特征向量。可用于大多数
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  • 矩阵特征值和特征向量求解

    千次阅读 2018-05-11 13:42:27
    下面以Matlab为例进行讲解求取矩阵特征值和特征向量求解。(Python和C/C++的相应代码在博客的最后给出)当一个计算机专业的人放下手头的工作,转而写博客时。说明他的CSDN账号积分所剩无几了。。。。。。基于Matlab...

    下面以Matlab为例进行讲解求取矩阵特征值和特征向量求解。(Python和C/C++的相应代码在博客的最后给出)

    当一个计算机专业的人放下手头的工作,转而写博客时。说明他的CSDN账号积分所剩无几了。。。。。。



    基于Matlab为例进行讲解求取矩阵特征值和特征向量求解的具体步骤如下:


    步骤一:确定所求矩阵


               X = [2 1 0;1 3 1;0 1 4];


    步骤二:求解X的特征值和特征向量

              [V,D] = eig(X) 


    步骤三:运行结果



    附加:1、Python运行结果(代码链接:https://download.csdn.net/download/qq_26545269/10407656?utm_source=bbsseo


    1、C/C++运行结果(代码链接https://download.csdn.net/download/qq_26545269/10407656?utm_source=bbsseo


          

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  • 提取图像SIFT特征向量

    2014-09-09 19:38:19
    本代码用opencv实现提取图像SIFT特征向量
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    已知矩阵A,在MATLAB界面输入[x,y]=eig(A),可以得到特征值以及特征向量。其中y为对角阵,每个元素为特征值;x的每一列为特征值所对应的特征向量。

    需要进行特征向量标准化时,可以输入x(:,1)/norm(x(:,1))将特征向量进行标准化,标准化的特征向量各个元素平方之和为1。

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    一、线性代数的入门知识

    (一)矩阵

    1、矩阵的表示

    在中学的时候,我们会经常看到这样子的方程组:

    看到这样子的方程组,不由感到十分怀念。不过有没有这种感想,当年解三元一次方程组的时候,特别烦,消元后要抄一遍,代入后又抄一遍,特别麻烦。

    于是数学家发明了矩阵,把方程组中所有系数写到了一个框里面,把所有未知数写到第二个框里,把所有等式右边的值写到第三个框里。

    比如方程组 (1) 也可表示为:

    观察 (2) 式不难发现,复杂的方程组用矩阵表示后,还是很复杂,所以可以把 (2) 式更加简洁地表示成增广矩阵

    同理,比如方程组 (1) 也可表示为增广矩阵:

    特别地,当方程组的等式右边全为0,即bi=0,其中i=1,2,3…n时,方程组为齐次线性方程组,增广矩阵可直接表示成系数矩阵。比如增广矩阵 (3) 可直接表示成:

    我们称,方程组的等式右边全为0的方程组为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组

     

    2、矩阵的解方程组

    (1)齐次线性方程组

    来回顾一下这个方程组:

    等式右边全为0,所以把这个方程组写成矩阵形式:

    要解这个方程组,当然使用消元法,不同于中学的是直接在矩阵里面消元:

    看到消元后的新矩阵是不是觉得很直观,如果你你把新矩阵还原成方程组的形式,有:

    仔细观察可发现,原本有两个式子的方程组经过消元后,变成了只有一个方程组。这种情况在中学时,无论做多少题都不会遇到的,

    因为在中学里,学的初等数学方程组都是有唯一解的。而在线性代数中,我们把这种情况成为方程组系数矩阵的秩为1,记为r(A)=1

    当矩阵的秩小于未知数的个数时,方程组有无数个解;当矩阵的秩等于未知数的个数时,方程组只有零解。

    由于方程组(1)有两个未知数,而r(A)=1<2,所以方程组(1)有无数个解。设 y=2 ,则 x=1;再设 k 为任意常数,则 x=k, y=2k 为方程组(1)的解,写成矩阵的形式为:
     

     

    (2)非齐次线性方程组

    再来看一个3个未知数的方程组:

    右边等式不为0,改写成增广矩阵:

    同理,对 [ A | b] 进行初等行变换(即消元):

    这一次进行初等行变换后,对于任意的非齐次线性方程组,当 r(A)=r(A|b)=未知数的个数 时非齐次线性方程组有唯一解

    r(A)=r(A|b)<未知数的个数 时,非齐次线性方程组有无数个解当 r(A) 不等于 r(A|b) 时,非齐次线性方程组无解

    可见 r(A)=r(A|b)=3,所以[A|b]有唯一解,写回方程组形式:
     

     

    (二)向量

    (1)列向量

    可能是数学家觉得用矩阵来代表方程组还是太麻烦还废纸,所以又苦思冥想,最终想到了用向量再来继续简化矩阵,举个例子:

    (2)行向量

    有列向量,自然有行向量。同理,我们对矩阵A按行分块,并对每行元素用向量表示。

    显然,用向量组便可轻松对矩阵瘦身。

     

    3、线性相关与线性无关

    (1)线性相关

    假设有这么一个矩阵

    我们对其按行分块,则有向量:

    如果用行向量 α1, α2, α3, … , αn 来表示的矩阵A经过初等行变换后,某行(即某个向量αi)的元素全变为0,

    那么则称 α1, α2, α3, … , αn 向量组线性相关(可以理解为多个向量间或系数矩阵有线性关系)。

    如果齐次线性方程组的系数矩阵有线性关系,那么齐次线性方程组有无穷多个解。了看清楚 α1, α2, α3, … , αn 是否线性相关,对矩阵A进行初等行变换后,发现:
     

    所以, α1, α2, α3, … , αn 向量组线性相关

    (2)线性无关

    假设有这么一个矩阵

    我们对其按行分块,则有向量:

    如果用行向量 α1, α2, α3, … , αn 来表示的矩阵A经过初等行变换后,某行(即某个向量αi)的元素不全为0,那么则称 α1, α2, α3, … , αn 向量组线性无关。

    为了看清楚 α1, α2, α3, … , αn 是否线性无关,对矩阵A进行初等行变换后,发现:
     

    所以, α1, α2, α3, … , αn 向量组线性无关。

     

    4、向量空间


    向量空间是线性代数中抽象的一部分,常用于物理研究中探索多维空间的奥秘(有没有用于物理中不太清楚,感觉的)。

    在笛卡尔直角坐标体系中,向量(1,0), (0,1)分别代表了横坐标轴、纵坐标轴,对这两个向量线性组合的整体就可以表示出一个平面,即2维向量空间;

    向量(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)分别代表了x坐标轴、y坐标轴、z坐标轴,对这三个向量线性组合表示出的整体可表示出一个3维向量空间;以此类推。

    有规律的是,n 维向量空间中的 n个坐标轴向量是互相垂直的(就算是4维空间的4个坐标轴也是垂直的,只不过我们处于三维中,难以感知到四维空间,只能想象)。

    我们称向量间的垂直为正交。数学家对向量空间更是大开脑洞,认为不一定是笛卡尔体系的(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)才能是坐标轴,

    只要是线性无关的向量组中的n个向量都可以当做是n维向量空间中的坐标轴,相当于将笛卡尔坐标体系的原点固定住,

    将所有坐标轴就像陀螺一样旋转某个角度,得出的新坐标轴肯定是线性无关的。

    n个向量组成的线性无关向量组,在n维向量空间中,可充当坐标轴” 这就是线性代数的向量空间的核心思想。
     

     

    (三)行列式

    行列式作为国内各个教材书中的第一个章节的内容,证明了其在线性代数中的重要性。但是如果从教材中的行列式入手学习线性代数,

    那是要吃不少苦头的,因为只学了行列式,没有具备矩阵和向量的知识的情况下,很容易一脸懵逼。

    由于行列式涉及的概念、性质、计算众多,所以本文只简单介绍一下行列式。

    行列式的本质是什么?柯西给出了答案。假设在一个平面中有两个向量:x1=(a, c), x2=(b, d);

    x1与横坐标的角度为α,x2与横坐标的角度为β;

    x1的模为 ||x1||,x2的模为 ||x2||;  如图:

    行列式的本质(图片来自网络)

    我们要求图中的 S,即向量平移后端点相交而围成的平行四边形的面积:

    S = ||x1|| · ||x2|| · sin(β-α)

       = ||x1|| · ||x2|| · (sinβcosα - cosβsinα)

       = ad - bc

    对 x1 和 x2 向量类似行向量那样子对元素命名:

    x1=(a11, a12)

    x2=(a21, a22)

    重新得到 S = a11 · a22 - a12 · a21,

    数学家对向量 x1 和 x2 写成行列式,代表了 S 的值:
     

    行列式不过就是将矩阵的括号改成了两条竖线,用竖线包着的元素,最终可以算出一个数,这个数就是行列式,行列式就是一个数,

    这个数是不同行不同列元素乘积的代数和。而矩阵本质为表格或数组,这是两者不同之处。

    如果继续推,可以推出:在二维空间,行列式是面积;在三维空间,行列式是体积;在高维空间,行列式是一个数。

    换句话说,就是由n个向量组成的线性无关向量组,可以表示成行列式,并且算出的结果肯定不为0。

    以次可推,由n个向量组成的线性相关向量组表示成的行列式值为0。
     

    (四)特征值与特征向量

    特征值与特征向量在线性代数中是最难理解的内容,尤其在阅读国内教程时,直接一个定义拍到脸上,让人措手不及。

    特征值与特征向量是线性代数的核心,在机器学习算法中应用十分广泛。

    1、定义

    首先,讲到特征值与特征向量,必先讲到定义:设 A 是 n 阶矩阵,如果存在一个数 λ 及非零的 n 维列向量 α ,使得

    成立,则称 λ 是矩阵 A 的一个特征值,称非零向量 α 是矩阵 A 属于特征值 λ 的一个特征向量。

    观察这个定义可以发现,特征值是一个数,特征向量是一个列向量,一个矩阵乘以一个向量就等于一个数乘以一个向量。这个定义感觉太抽象了,我们来举一个具体的例子:

    设 A 是 3 阶矩阵,

    存在一个数 λ=4

    且存在一个非零的 3 维列向量 α ,

    使得 Aα = λα,即

    则称 λ=4 为矩阵A的特征值,(为了方便,简称 4 为特征值);也称 α=[ -4, 5, 17 ]T 是矩阵A属于特征值为 4 的一个特征向量。

    (为了方便,简称 [ -4, 5, 17 ]T 为特征向量)

    对于上面的(4)式,我们可以把它还原为方程组验证此式是否成立,还原过程如下:
     

    显然,每个等式两边相等, Aα = λα 成立!(如果不知道为什么可以还原成方程组的话,请翻回到上面的非齐次方程组部分,可发现在这里 α 相当于解向量, λα 相当于 b 向量)

     

    2、特征值与特征向量的个数
    如果是自学线性代数的话,很容易有这么一个误区:认为一个矩阵的特征值与特征向量只有一个。

    其实,一个矩阵的特征值可以有多个,相应地,特征向量的个数也随着特征值的数量的变化而变化。

    总的来说,一个n行n列的矩阵的特征值个数少于或等于 n 个。还是以矩阵A为例,满足 Aα = λα 的式子有:
     

    另外,一个特征值对应的特征向量的个数也不一定只有一个。 (由于这句话会引申出特别多的性质,所以本文就不举这句话的例子了)

     

    3、给定一个矩阵,求特征值与特征向量的方式

    求特征值与特征向量为这么一个过程:设A为n阶矩阵,a为非零列向量,λ是一个数,

    4、特征值与特征向量该怎么理解

    仔细看本文的童鞋就会发现,一个矩阵并非只是单纯的一张表格、数组,它还代表了某种神奇的魔力,

    与某个向量相乘后,还能变成一个数。换句话说,保存着很多个数的矩阵经过与特定的向量相乘后,塌缩成了一个数。

    对于特征值与特征向量,有许多不同的理解,我自己从网络上的观点总结了一下,大概分为三种理解:

    第一种理解:从向量的角度来看,一个列向量在左乘一个矩阵后,会经过一系列的线性变换,最终向量的长度会变成原来的 λ 倍。

    第二种理解:从矩阵的角度来看,矩阵是一种线性变化的描述,特征向量是一个不变的方向,特征值是线性变化的结果。

    第三种理解:从向量空间的角度来看,因为不同特征值对应的特征向量线性无关,把每个特征向量看做是一个坐标轴,

    特征值是对应坐标轴(即特征向量)的坐标值。简单来说,就是用特征值(坐标)与特征向量(坐标轴)来表示原矩阵。

    以上三种理解由浅入深,第三种理解才是本质的理解,但首先需要对向量空间有深刻的理解。
     

     

     

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  • 矩阵特征值和特征向量解法的研究.doc,对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法,并提高问题的解题效率.
  • 二、举个例子1、计算特征值与特征向量2、用特征向量表示任意向量三、理解其他结论1、对角化分解2、矩阵的特征值分别是原矩阵特征值的倒数3、特征值为0,意味着不可逆4、通过解Ax⃗=λx⃗A\vec{x}=\lambda \vec{x}Ax=...


    前言

    本文将探讨线性代数中及其重要的两个概念:特征值与特征向量.


    提示:(PS:下文中的矩阵A均认为是方阵) 。

    一、矩阵是什么?

    矩阵不单单是二维数组,它更重要的角色是映射: y ⃗ = A x ⃗ \vec{y}=A\vec{x} y =Ax
    y ⃗ = A x ⃗ \vec{y}=A\vec{x} y =Ax 就相当于 y ⃗ = f ( x ⃗ ) \vec{y}=f(\vec{x}) y =f(x ),矩阵A是把向量 x ⃗ \vec{x} x 映射到向量 y ⃗ \vec{y} y 的一个函数,或者说,映射,算子。

    从一般的角度看,这个映射无非就是矩阵乘向量,说得具体一点,就是n次的向量点积计算.(矩阵的一行乘上向量,并对结果向量的所有元素求和,就是一次点积)

    错!实际上,这个映射本质是一个缩放操作.

    二、举个例子

    1、计算特征值与特征向量

    提示:可以动动手指头算一算,参考这里

    举一个简单的例子,矩阵 A = ( 4 − 2 3 − 1 ) A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{array} \right) A=(4321)
    它的特征值分别是2和1,特征向量是 ( 1 1 ) \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) (11) ( 2 3 ) \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 3 \end{array} \right) (23)

    2、用特征向量表示任意向量

    我们随便设向量 x ⃗ = ( 1 2 ) \vec{x}=\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right) x =(12),显然结果 y ⃗ = A x ⃗ = ( 0 1 ) \vec{y}=A\vec{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) y =Ax =(01)


    我们使用另一种方法计算,首先我们将 x ⃗ \vec{x} x 表示成特征向量 ( 1 1 ) \left(\begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) (11) ( 2 3 ) \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 3 \end{array} \right) (23)的线性组合,即:
    x ⃗ = ( 1 2 ) = − 1 ∗ ( 1 1 ) + 1 ∗ ( 2 3 ) \vec{x}=\left( \begin{array}{ccc}1\\2\end{array} \right)=-1*\left( \begin{array}{ccc}1\\1\end{array} \right) + 1* \left( \begin{array}{ccc}2\\3\end{array} \right) x =(12)=1(11)+1(23)
    然后,我们将特征值和对应的系数相乘,得到:
    y ⃗ = − 1 ∗ 2 ∗ ( 1 1 ) + 1 ∗ 1 ∗ ( 2 3 ) = − 2 ∗ ( 1 1 ) + 1 ∗ ( 2 3 ) \vec{y}=-1*2*\left( \begin{array}{ccc}1\\1\end{array} \right) + 1*1* \left( \begin{array}{ccc}2\\3\end{array} \right)=-2*\left( \begin{array}{ccc}1\\1\end{array} \right) + 1* \left( \begin{array}{ccc}2\\3\end{array} \right) y =12(11)+11(23)=2(11)+1(23)
    显然,如果你继续计算下去,你也会得到 y ⃗ = ( 0 1 ) \vec{y}=\left( \begin{array}{ccc}0\\1\end{array} \right) y =(01)
    提示:好好领悟

    特征值和特征向量的意义就在于此!
    矩阵所充当的映射,实际上就是对特征向量的缩放,每个特征向量的缩放程度就是特征值.

    因此,我们需要将向量 x ⃗ \vec{x} x 表示成特征向量的线性组合(相当于以特征向量为基),得到相应的特征向量的权重.

    然后,每个权重与特征值相乘,就是这个映射最本质的缩放操作.

    三、理解其他结论

    基于这样的理解,我们可以很简单地解释很多结论。

    1、对角化分解

    对角化分解实际上就是我们解释特征值含义的过程。
    A = P Λ P − 1 A=P\Lambda P^{-1} A=PΛP1,其中 P P P是由特征向量组成的矩阵, Λ Λ Λ是由特征值组成的对角矩阵。


    在解释对角化分解之前,我们还要先解释矩阵的另一个含义.
    对于 z ⃗ = P y ⃗ \vec{z}=P\vec{y} z =Py , 事实上矩阵P还有其他含义,比如在这里有转换基向量的含义:

    • y ⃗ \vec{y} y 是特征向量为基所表示的向量,上文 y ⃗ = − 2 ∗ ( 1 1 ) + 1 ∗ ( 2 3 ) \vec{y}=-2*\left( \begin{array}{ccc}1\\1\end{array} \right) + 1* \left( \begin{array}{ccc}2\\3\end{array} \right) y =2(11)+1(23),那么 y ⃗ \vec{y} y 在在特征向量为基的表示是 y ⃗ = ( − 2 1 ) \vec{y}=\left( \begin{array}{ccc}-2\\1\end{array} \right) y =(21)
    • z ⃗ \vec{z} z 则是坐标轴为基所表示的向量,假如 z ⃗ \vec{z} z 的表示为 z ⃗ = ( 0 1 ) \vec{z}=\left( \begin{array}{ccc}0\\1\end{array} \right) z =(01),相当于 z ⃗ = 0 ∗ ( 1 0 ) + 1 ∗ ( 0 1 ) \vec{z}=0*\left( \begin{array}{ccc}1\\0\end{array} \right) + 1* \left( \begin{array}{ccc}0\\1\end{array} \right) z =0(10)+1(01)
    • 那么 z ⃗ = P y ⃗ \vec{z}=P\vec{y} z =Py 的含义就是把一个向量从特征向量为基的表示 y ⃗ \vec{y} y ,转变成以坐标轴为基的表示 z ⃗ \vec{z} z .
      相应, y ⃗ = P − 1 x ⃗ \vec{y}=P^{-1}\vec{x} y =P1x 的含义则相反,是把一个向量从坐标轴为基的表示 x ⃗ \vec{x} x ,转变成以特征向量为基的表示 y ⃗ \vec{y} y .

    那么 y ⃗ = A x ⃗ = P Λ P − 1 x ⃗ \vec{y}=A\vec{x}=P\Lambda P^{-1} \vec{x} y =Ax =PΛP1x ,我们就可以解释了。
    首先, P − 1 x ⃗ P^{-1}\vec{x} P1x 是将 x ⃗ \vec{x} x 转变成用特征向量表示,上文 x ⃗ = ( 1 2 ) = − 1 ∗ ( 1 1 ) + 1 ∗ ( 2 3 ) \vec{x}=\left( \begin{array}{ccc}1\\2\end{array} \right)=-1*\left( \begin{array}{ccc}1\\1\end{array} \right) + 1* \left( \begin{array}{ccc}2\\3\end{array} \right) x =(12)=1(11)+1(23),就是把 ( 1 2 ) \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right) (12)变成了 ( − 1 1 ) \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \end{array} \right) (11)
    然后 Λ P − 1 x ⃗ \Lambda P^{-1} \vec{x} ΛP1x ,就是对应的特征值与权重作乘法,得到 ( − 2 1 ) \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1\end{array} \right) (21)
    最后 y ⃗ = P Λ P − 1 x ⃗ \vec{y}=P\Lambda P^{-1} \vec{x} y =PΛP1x ,就是把 ( − 2 1 ) \left( \begin{array}{ccc} -2 \\ 1\end{array} \right) (21)重新转换成坐标轴为基的表示,得到 ( 0 1 ) \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1\end{array} \right) (01)

    2、矩阵的特征值分别是原矩阵特征值的倒数

    是因为原矩阵放大了2倍,逆矩阵就要相应地缩小到原本的1/2.

    当然,特征向量要保持对应,因此这也解释了为什么逆矩阵的特征向量和原矩阵一样

    3、特征值为0,意味着不可逆

    参考第2点,0没有倒数.

    4、通过解 A x ⃗ = λ x ⃗ A\vec{x}=\lambda \vec{x} Ax =λx 来寻找特征值

    显然,在这里λ是特征值, x ⃗ \vec{x} x 是特征向量.

    x ⃗ \vec{x} x 变成以A的特征向量为基来表示的话,那么权重肯定只有1个1,其他都为0,那个1对应的特征向量当然是 x ⃗ \vec{x} x 本身.

    这个时候进行缩放,那么只有 x ⃗ \vec{x} x 的权重被缩放了,其他特征向量的权重都是0,0乘任何数为0.

    那么,A x ⃗ \vec{x} x 的结果就相当于 λ x ⃗ \lambda\vec{x} λx 了,因为 λ x ⃗ \lambda\vec{x} λx 就是 x ⃗ \vec{x} x 作了相应的缩放,缩放因子就是特征值λ.

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空空如也

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特征向量