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  • 数项级数收敛判别
    千次阅读
    2020-03-30 22:00:12

    书上没有考虑数列的收敛,可能是太简单了。。。
    数项级数判别法知识点较多,总结如下

    柯西收敛准则

    必要条件无穷远处是0

    考虑发散可能会用到这个

    正项级数

    1.部分和数列有界,抽象数列较为常见
    2.第一比较判别法, u n < v n u_{n}<v_{n} un<vn
    3.第二比较判别法, u n n p u_{n}n^p unnp或者 q n u n q^nu_{n} qnun n n n无穷大时候的情况(与p幂法相似)
    4.第三比较判别法,两个级数相邻两项比值比较 u n + 1 u n > v n + 1 v n \frac{u_{n+1}}{u_{n}}>\frac{v_{n+1}}{v_{n}} unun+1>vnvn+1
    5.达朗贝尔判别法 u n + 1 u n < 1 \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1 unun+1<1一般这个较为常用。等于1不能确定收敛性,要用高斯判别法
    6.柯西判别法 u n n < 1 \sqrt[n]{u_{n}}<1 nun <1,n在无穷的时候。等于1不能判别。一般在n次方的时候用
    以上两个都是用等比数列作为参照的
    7.高斯判别法 u n u n + 1 = 1 + a n + O ( 1 n ) \frac{u_{n}}{u_{n+1}}=1+\frac{a}{n}+O(\frac{1}{n}) un+1un=1+na+O(n1)
    注意是倒过来比的,在达朗贝尔不能用时使用, a > 1 a>1 a>1收敛
    这是用 1 n q \frac{1}{n^q} nq1作为参照的
    8.积分判别法,收敛性等价于无穷积分,要求函数是单减的。可能需要放缩以后用。

    任意项级数

    1.阿贝尔判别法,级数有界,数列单调趋于0
    2.狄利克雷判别法,级数收敛,数列单调有界
    以上两个有三角函数时候牵扯到三角函数级数 s i n n x sinnx sinnx收敛
    3.莱布尼茨判别法,交错项级数,绝对值趋于0
    4.如果正负都收敛,则绝对收敛

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  • 数项级数

    千次阅读 2020-05-23 23:46:59
    数项级数的基本概念 1.定义:∑n=1∞un=u1+u2+...+un+...\sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+...+u_n+...n=1∑∞​un​=u1​+u2​+...+un​+... 2.部分和: Sn=∑k=1nuk=u1+u2+...+unS_n=\sum_{k=1}^nu_k=u_1+u_2+...+u...

    在这里插入图片描述

    数项级数的基本概念

    1.定义: ∑ n = 1 ∞ u n = u 1 + u 2 + . . . + u n + . . . \sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+...+u_n+... n=1un=u1+u2+...+un+...
    2.部分和:
    S n = ∑ k = 1 n u k = u 1 + u 2 + . . . + u n S_n=\sum_{k=1}^nu_k=u_1+u_2+...+u_n Sn=k=1nuk=u1+u2+...+un
    3.收敛与发散:
    ∑ n = 1 ∞ u n = lim ⁡ n → ∞ S n = lim ⁡ n → ∞ ( u 1 + u 2 + . . . + u n ) = S , \sum_{n=1}^{\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}(u_1+u_2+...+u_n)=S, n=1un=nlimSn=nlim(u1+u2+...+un)=S,如果极限S存在,则称级数 ∑ n = 1 ∞ \sum\limits_{n=1}^{\infty} n=1收敛;如果极限 S不存在,则称级数 ∑ n = 1 ∞ \sum\limits_{n=1}^{\infty} n=1发散。
    4.绝对收敛:
    ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n| n=1un收敛,则称级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1un绝对收敛。
    5.条件收敛:
    ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n| n=1un发散,而级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1un收敛,则称 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1un条件收敛。

    收敛级数的基本性质

    1.柯西准则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1un收敛 ⇔ ∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N + \Leftrightarrow \forall\epsilon>0 ,\exist N\in\mathbb N^{+} ϵ>0,NN+使得 ∣ x n + 1 + x n + 2 + ⋯ + x m ∣ = ∣ ∑ k = n + 1 m x k ∣ < ϵ |x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_m|=|\sum_{k=n+1}^m x_k|<\epsilon xn+1+xn+2++xm=k=n+1mxk<ϵ对一切 m > n > N m>n>N m>n>N成立。

    2.级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1un收敛的必要条件是 lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \lim\limits_{n\to\infty}u_n=0 nlimun=0.
    3.线性性质:
    若两个级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1un ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1vn同时收敛,则 ∑ n = 1 ∞ ( α u n ± β v n ) = α ∑ n = 1 ∞ u n ± β ∑ n = 1 ∞ v n \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha u_n\pm\beta v_n)=\alpha\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\pm\beta\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n n=1(αun±βvn)=αn=1un±βn=1vn
    4.在级数中添加或去掉有限项或改变有限项的值,不会改变级数的收敛性。
    5.若级数收敛,其和为S,则可对该级数任意加括号,不改变其收敛性,也不改变其和。

    级数敛散性的判定

    正项级数敛散的判定

    1.正项级数收敛的充要条件:
    其部分和数列有界。
    2.敛散性的判别法
    (1)比较判别法
    (2)比较判别法的极限形式
    (3)达朗贝尔判别法: lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = q < 1 , \lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=q<1, nlimunun+1=q<1,收敛。
    (4)柯西判别法 lim ⁡ n → ∞ u n n = l < 1 , \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=l<1, nlimnun =l<1,收敛。
    (5)柯西积分判别法:
    ∑ f ( n ) \sum f(n) f(n) ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)\mathrm dx 1+f(x)dx同敛。

    交错级数敛散性的判别法

    如果级数 ∑ n = 1 ∞ x n = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 u n ( u n > 0 ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n(u_n>0) n=1xn=n=1(1)n+1un(un>0),则称此级数为交错级数。
    进一步,若级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 u n ( u n > 0 ) \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n(u_n>0) n=1(1)n+1un(un>0)满足 { u n } \{u_n\} {un}单调减少且收敛于0,则称这样的交错级数为leibniz级数。
    莱布尼兹判别法:leibniz级数必定收敛。

    任意项级数的判定

    绝对收敛性:
    若级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n| n=1un收敛,则级数 ∑ n = 1 ∞ u n \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n n=1un一定收敛。

    乘积形式 ∑ n = 1 ∞ a n b n \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n n=1anbn的判定

    若下列两个条件之一满足,则级数 ∑ n = 1 ∞ a n b n \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n n=1anbn收敛:

    (1)阿贝尔判别法: { a n } \{a_n\} {an}单调有界, ∑ n = 1 ∞ b n \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n n=1bn收敛;
    (2)狄利克雷判别法: { a n } \{a_n\} {an}单调趋于零, ∑ i = 1 n b i \sum\limits_{i=1}^{n}b_i i=1nbi有界

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  • 数学分析笔记9:数项级数

    千次阅读 2020-02-13 12:53:30
    内容摘要:1.数项级数的定义和概念 2.级数审敛法

    数项级数的定义和相关概念

    所谓无穷级数就是可列个实数相加。那么,该如何定义可列个实数的和呢?我们已经有了有限个实数的和,对一个数列 { x n } \{x_n\} {xn},我们有前n个实数的和 S n = ∑ k = 1 n x k S_n = \sum_{k=1}^n{x_k} Sn=k=1nxk这就组成了部分和序列 { S n } \{S_n\} {Sn},很自然地,我们就想到用部分和序列的数列极限来作为可列个实数的和。
    定义9.1 { x n } \{x_n\} {xn}是实数列,如果极限 lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n x k \lim_{n\to \infty}{\sum_{k=1}^{n}{x_k}} nlimk=1nxk存在,那么称级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛,记为 ∑ n = 1 ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ ∑ k = 1 n x k \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^n{x_k}} n=1xn=nlimk=1nxk

    定理9.1(数项级数收敛的必要条件) { x n } \{x_n\} {xn}是实数列,如果级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛,则 lim ⁡ n → ∞ x n = 0 \lim_{n\to\infty}{x_n}=0 nlimxn=0

    证:
    x n = S n − S n − 1 ( n ≥ 2 ) x_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2) xn=SnSn1(n2)
    两边取极限就能证得结论

    同样地,由柯西准则,我们可以得到级数收敛的一个充要条件。
    定理9.2(数项级数收敛的柯西准则) { x n } \{x_n\} {xn}是实数列,则级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛的充分必要条件是对任意的正数 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在正整数 N N N,对任意的 n ≥ N n\ge N nN,对任意的正整数 p p p,都有 ∣ ∑ k = n n + p x k ∣ < ε |\sum_{k=n}^{n+p}{x_k}|<\varepsilon k=nn+pxk<ε
    类似于广义积分的绝对收敛和条件收敛,级数也有相应的条件收敛和绝对收敛。
    定义9.2 { x n } \{x_n\} {xn}是实数列,如果 ∑ n = 1 ∞ ∣ x n ∣ \sum_{n=1}^{\infty}{|x_n|} n=1xn收敛,就称级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn绝对收敛,如果级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛,但不绝对收敛,就称级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn条件收敛

    定理9.3 { x n } \{x_n\} {xn}是实数列,如果 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn绝对收敛,则级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛

    证明是类似的,这里不证。

    这样,我们判断一个级数是否收敛,首先判断通项是否趋于0,其次判断是否绝对收敛,在不绝对收敛的条件下再判断是否条件收敛。

    级数审敛法

    比较判别法

    由于绝对收敛蕴含着级数收敛,因此,我们首先考虑正项级数的敛散性的判断。同样地,如果 x n ≥ 0 ( n ≥ 1 ) x_n\ge 0(n\ge 1) xn0(n1),那么部分和序列 { S n } \{S_n\} {Sn}单调上升,这样,级数的收敛等价于部分和序列是否有界。
    定理9.5 { x n } \{x_n\} {xn}是非负实数列,则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn收敛的充分必要条件是存在正实数 M > 0 M>0 M>0,对任意的 n ≥ 1 n\ge 1 n1,部分和 ∑ k = 1 n x k ≤ M \sum_{k=1}^{n}{x_k}\le M k=1nxkM

    这样,就可以通过和基准级数的比较来判断正项级数的敛散性。
    定理9.6 { x n } \{x_n\} {xn} { y n } \{y_n\} {yn}是两个非负实数列,如果存在正整数 N N N及正实数 c 1 > 0 , c 2 > 0 c_1>0,c_2>0 c1>0,c2>0,当 n ≥ N n\ge N nN时, c 1 x n ≤ c 2 y n c_1x_n\le c_2y_n c1xnc2yn,则
    (1) ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn发散,则 ∑ n = 1 ∞ y n \sum_{n=1}^{\infty}{y_n} n=1yn发散
    (2) ∑ n = 1 ∞ y n \sum_{n=1}^{\infty}{y_n} n=1yn收敛,则 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛

    类似于广义积分,比较审敛法也有其极限形式。
    定理9.7 { x n } \{x_n\} {xn} { y n } \{y_n\} {yn}是两个非负实数列, y n > 0 ( n ≥ 1 ) y_n>0(n\ge 1) yn>0(n1),如果 lim ⁡ n → ∞ x n y n = a \lim_{n\to\infty}{\frac{x_n}{y_n}}=a nlimynxn=a(1) a = 0 a=0 a=0则,如果 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn发散, ∑ n = 1 ∞ y n \sum_{n=1}^{\infty}{y_n} n=1yn发散,如果 ∑ n = 1 ∞ y n \sum_{n=1}^{\infty}{y_n} n=1yn收敛, ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛
    (2) 0 < a < ∞ 0<a<\infty 0<a<,则 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn ∑ n = 1 ∞ y n \sum_{n=1}^{\infty}{y_n} n=1yn同敛散

    广义积分判别法

    提出广义积分判别法是为了给出一组重要的基准级数的收敛性。这组基准级数敛散性的判断可以作为正项级数敛散性的重要依据。
    定理9.7(积分审敛法) f ( x ) f(x) f(x) [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+)上非负单调下降,对任意的 x > 0 x>0 x>0 f ( x ) f(x) f(x) [ 0 , x ] [0,x] [0,x]上可积,则 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^\infty {f(n)} n=1f(n)的充要条件是无穷限积分 ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_0^{+\infty}{f(x)dx} 0+f(x)dx收敛
    在证明广义积分判别法之前,我们先看该定理的几何意义。
    在这里插入图片描述
    如图, f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) f(1)+f(2)+f(3) f(1)+f(2)+f(3)可以表为图(a)和(b)的三个矩形的面积。只不过在图(a)中三个矩形的面积小于 ∫ 0 3 f ( x ) d x \int_0^3{f(x)dx} 03f(x)dx,在图(b)中,三个矩形的面积大于 ∫ 1 4 f ( x ) d x \int_1^4{f(x)dx} 14f(x)dx。这样,就可以利用无穷限积分的收敛性,判断级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}{f(n)} n=1f(n)的敛散性。

    证:
    如果无穷限积分 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x \int_0^\infty{f(x)dx} 0f(x)dx收敛,那么,存在正实数 M > 0 M>0 M>0,对任意的 x > 0 x>0 x>0,都有 ∫ 0 x f ( t ) d t < M \int_0^x{f(t)dt}<M 0xf(t)dt<M ∑ k = 1 n f ( k ) ≤ ∫ 0 n f ( t ) d t < M \sum_{k=1}^n{f(k)}\le\int_0^n{f(t)dt}<M k=1nf(k)0nf(t)dt<M因此,正项级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^\infty{f(n)} n=1f(n)收敛。
    如果无穷限积分 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x \int_0^\infty{f(x)dx} 0f(x)dx收敛,则 lim ⁡ n → ∞ ∫ 1 n f ( t ) d t = + ∞ \lim_{n\to\infty}{\int_1^n{f(t)dt}}=+\infty nlim1nf(t)dt=+ ∑ k = 1 n f ( k ) ≥ ∫ 1 n + 1 f ( t ) d t \sum_{k=1}^n{f(k)}\ge\int_1^{n+1}{f(t)dt} k=1nf(k)1n+1f(t)dt因此, ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^\infty{f(n)} n=1f(n)发散

    现在,我们来给出两个重要的级数,后面的正项级数判别法大多都基于这两个基准进行。
    例9.1 判断级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n α \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}} n=1nα1的敛散性

    解:
    我们知道无穷限积分 ∫ 1 ∞ d x x α \int_1^\infty{\frac{dx}{x^\alpha}} 1xαdx α > 1 \alpha>1 α>1时收敛, 0 < α ≤ 1 0<\alpha\le 1 0<α1时发散。因此, ∑ n = 1 ∞ 1 n α \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}} n=1nα1 α > 1 \alpha>1 α>1时收敛, 0 < α ≤ 1 0<\alpha\le 1 0<α1时发散。

    例9.2 判断几何级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x^n} n=1xn的敛散性( x > 0 x>0 x>0)

    解:
    实际上,几何级数的部分和我们在中学时已经求出。 S n = x ( 1 − x n ) 1 − x S_n = \frac{x(1-x^n)}{1-x} Sn=1xx(1xn)因此, 0 ≤ x < 1 0\le x<1 0x<1时级数收敛。 x ≥ 1 x\ge 1 x1时级数发散。

    达朗贝尔判别法和柯西根值判别法

    现在,我们有了两个基准,将正项级数和这两个级数进行比较。就得到正项级数的达朗贝尔判别法和柯西根值判别法。实际上,如果存在正实数 0 < x < 1 0<x<1 0<x<1,存在 N N N n ≥ N n\ge N nN时, x n ≤ x n x_n \le x^n xnxn正向级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn收敛,如果存在 N N N, n ≥ N n\ge N nN x n ≥ 1 x_n\ge 1 xn1,级数一定发散,至少通项不趋于0。我们可以给出一种比值形式的比较:如果存在正实数 x < 1 x<1 x<1 n ≥ N n\ge N nN时,都有 x n + 1 x n ≤ x \frac{x_{n+1}}{x_n} \le x xnxn+1x那么, n > N n>N n>N x n = x N ∏ k = N n − 1 x k + 1 x k ≤ x N x n − N x_n = x_N\prod_{k=N}^{n-1}{\frac{x_{k+1}}{x_k}} \le x_Nx^{n-N} xn=xNk=Nn1xkxk+1xNxnN这样,由比较判别法,就可以得到达朗贝尔判别法。
    定理9.8(达朗贝尔判别法) { x n } \{x_n\} {xn}是每项都为正数的实数列。
    (1)如果存在正实数 a < 1 a<1 a<1,存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时,都有 x n + 1 x n ≤ a \frac{x_{n+1}}{x_n}\le a xnxn+1a则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛
    (2)如果存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时,都有 x n + 1 x n ≥ 1 \frac{x_{n+1}}{x_n}\ge 1 xnxn+11则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn发散

    特别地,我们可以给出达朗贝尔判别法的极限形式
    定理9.9(达朗贝尔判别法的极限形式 { x n } \{x_n\} {xn}是每项都为正数的实数列,并且极限 lim ⁡ n → ∞ x n + 1 x n = a \lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=a nlimxnxn+1=a存在,则:
    (1) a < 1 a<1 a<1,则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛
    (2) a > 1 a>1 a>1,则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn发散
    (3) a = 1 a=1 a=1,则达朗贝尔判别法无法判别该级数的敛散性

    根值判别法也是和几何级数比较,然而根值判别法是基于 n n n次方根进行的。
    定理9.10(柯西根值判别法) { x n } \{x_n\} {xn}是非负实数列
    (1)如果存在正实数 c < 1 c<1 c<1及正整数 N N N, n ≥ N n\ge N nN x n n ≤ c \sqrt[n]{x_n}\le c nxn c则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn收敛
    (2)如果存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时,都有 x n n ≥ 1 \sqrt[n]{x_n}\ge 1 nxn 1则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn发散

    同样地有其极限形式:
    定理9.11(柯西根值判别法的极限形式) { x n } \{x_n\} {xn}是非负实数列,极限 lim ⁡ n → ∞ x n n = a \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{x_n}}=a nlimnxn =a存在
    (1)如果 a < 1 a<1 a<1,则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn收敛
    (2)如果 a > 1 a>1 a>1,则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^{\infty}{x_n} n=1xn发散
    (3)如果 a = 1 a=1 a=1,则根值判别法无法判别级数的敛散性

    拉贝判别法

    如果达朗贝尔判别法和根值判别法无法判别级数的收敛性,说明级数需要一个更精细的基准级数。这时我们采用调和级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n α \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}} n=1nα1来作为基准。
    首先,如果存在 0 < p ≤ 1 , c > 0 0<p\le 1,c>0 0<p1,c>0 a n ≥ c n p ≥ c n a_n\ge \frac{c}{n^p} \ge \frac{c}{n} annpcnc所以我们只需要与 1 n \frac{1}{n} n1进行比较。其次,如果 x n > 0 x_n>0 xn>0,并且存在 N N N n ≥ N n\ge N nN时,都有 x n + 1 x n ≥ n n + 1 \frac{x_{n+1}}{x_n}\ge \frac{n}{n+1} xnxn+1n+1n或可以写成 x n x n + 1 ≤ n + 1 n \frac{x_n}{x_{n+1}} \le \frac{n+1}{n} xn+1xnnn+1时,就有 x n ≥ x N N + 1 1 n x_n\ge \frac{x_{N}}{N+1}\frac{1}{n} xnN+1xNn1这样,由比较审敛法,级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn发散,此时就有 n ( x n x n + 1 − 1 ) ≤ 1 n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\le 1 n(xn+1xn1)1反之,如果 n ( x n x n + 1 − 1 ) ≥ c > 1 n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\ge c > 1 n(xn+1xn1)c>1:我们先给出一个引理
    引理9.1 对任意的大于1的正数 c c c,对任意的 1 < c ′ < c 1<c^\prime<c 1<c<c,存在 N N N n ≥ N n\ge N nN时,都有 c n + 1 ≥ ( 1 + 1 n ) c ′ \frac{c}{n}+1 \ge (1+\frac{1}{n})^{c^\prime} nc+1(1+n1)c

    证:
    对任意的 1 < c ′ < c 1<c^\prime<c 1<c<c,由Taylor公式,有 ( 1 + 1 n ) c ′ = 1 + c n + c ′ − c n + o ( 1 n ) (1+\frac{1}{n})^{c^\prime} = 1+\frac{c}{n}+ \frac{c^\prime-c}{n}+o(\frac{1}{n}) (1+n1)c=1+nc+ncc+o(n1)因此 lim ⁡ n → ∞ n ( ( 1 + 1 n ) c ′ − 1 − c n ) = c ′ − c < 0 \lim_{n\to\infty} {n((1+\frac{1}{n})^{c^\prime}-1-\frac{c}{n})} =c^\prime-c<0 nlimn((1+n1)c1nc)=cc<0由极限的保号性,存在 N N N n ≥ N n\ge N nN时, n ( ( 1 + 1 n ) c ′ − 1 − c n ) < 0 n((1+\frac{1}{n})^{c^\prime}-1-\frac{c}{n})<0 n((1+n1)c1nc)<0这就证得了不等式

    因此,只要: n ( x n x n + 1 − 1 ) ≥ c > 1 n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\ge c > 1 n(xn+1xn1)c>1,那么,一定存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN x n x n + 1 ≥ 1 + c n ≥ ( 1 + 1 n ) c ′ \frac{x_n}{x_{n+1}}\ge 1+\frac{c}{n} \ge (1+\frac{1}{n})^{c^\prime} xn+1xn1+nc(1+n1)c这样,再由比较审敛法,就能得到拉贝判别法:
    定理9.12(拉贝判别法) x n > 0 ( n ≥ 1 ) x_n>0(n\ge 1) xn>0(n1) B n = n ( x n x n + 1 − 1 ) B_n=n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1) Bn=n(xn+1xn1),则
    (1)如果存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时, B n ≤ 1 B_n\le 1 Bn1,则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn发散
    (2)如果存在正整数 N N N及大于1的实数 c c c n ≥ N n\ge N nN时, B n ≥ c B_n\ge c Bnc,则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn收敛

    拉贝判别法还有其极限形式:
    定理9.13(拉贝判别法的极限形式) x n > 0 ( n ≥ 1 ) x_n>0(n\ge 1) xn>0(n1) B n = n ( x n x n + 1 − 1 ) B_n=n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1) Bn=n(xn+1xn1),如果 lim ⁡ n → ∞ B n = B \lim_{n\to\infty}{B_n}=B nlimBn=B存在
    (1) B < 1 B<1 B<1则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn发散
    (2) B > 1 B>1 B>1则正项级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn收敛
    (2) B = 1 B=1 B=1时拉贝判别法无法判别级数的敛散性

    库默尔判别法

    无论是达朗贝尔判别法,还是库默尔判别法,都是以某个基准级数利用比较判别法进行判别的,现在,我们把这个过程一般化。如果 { b n } \{b_n\} {bn}每项都大于0,并且 ∑ n = 1 ∞ 1 b n \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}} n=1bn1发散,那么我们可以以此为基准来判定一个级数的发散。如果正项级数 { x n } \{x_n\} {xn}满足:存在正数 c > 0 c>0 c>0及正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时,都有 x n ≥ c b n x_n\ge \frac{c}{b_n} xnbnc那么, x n x_n xn一定发散。同样地,我们考虑比值的形式:如果
    存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时,都有 x n + 1 x n ≥ b n b n + 1 \frac{x_{n+1}}{x_n}\ge \frac{b_n}{b_{n+1}} xnxn+1bn+1bn以上条件一定满足,相当于: b n x n x n + 1 − b n + 1 ≤ 0 b_{n}\frac{x_n}{x_{n+1}}-b_{n+1}\le 0 bnxn+1xnbn+10我们就令 K n = b n x n x n + 1 − b n + 1 K_n = b_{n}\frac{x_n}{x_{n+1}}-b_{n+1} Kn=bnxn+1xnbn+1也就是说,如果 K n ≤ 0 K_n \le 0 Kn0在某个时刻之后成立,那么级数一定是发散的,自然地,我们会猜想,如果存在正数 c > 0 c>0 c>0 K n ≥ c > 0 K_n \ge c >0 Knc>0在某个时刻之后成立,那么正项级数是否收敛呢?答案是肯定的。
    实际上,如果 K n ≥ c > 0 K_n\ge c>0 Knc>0,那么在某个时刻之后: b n x n − b n + 1 x n + 1 ≥ c x n + 1 b_nx_n-b_{n+1}x_{n+1}\ge c x_{n+1} bnxnbn+1xn+1cxn+1这就说明了数列 { b n x n } \{b_nx_n\} {bnxn}是单调下降的,并且由下界0,因此级数 ∑ n = 1 ∞ ( b n x n − b n + 1 x n + 1 ) \sum_{n=1}^{\infty}{(b_nx_n-b_{n+1}x_{n+1})} n=1(bnxnbn+1xn+1)收敛,就可以证得级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn收敛,我们注意到,以上过程并没有用到 ∑ n = 1 ∞ 1 b n \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}} n=1bn1的敛散性。我们将以上推理总结为以下的库默尔判别法。
    定理9.14(库默尔判别法) { x n } \{x_n\} {xn} { b n } \{b_n\} {bn}是每项都为正数的实数列,令 K n = b n x n x n + 1 − b n + 1 K_n = b_n\frac{x_n}{x_{n+1}} - b_{n+1} Kn=bnxn+1xnbn+1(1)如果 ∑ n = 1 ∞ 1 b n \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}} n=1bn1发散,并且存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时, K n ≤ 0 K_n\le 0 Kn0,则级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn发散
    (2)如果存在正数 c c c,存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时, K n ≥ c K_n\ge c Knc,则级数 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn收敛

    容易验证拉贝判别法和达朗贝尔判别法都是库默尔判别法的特例。同样地,可以给出库默尔判别法的极限形式。
    定理9.15(库默尔判别法的极限形式) { x n } \{x_n\} {xn} { b n } \{b_n\} {bn}是每项都为正数的实数列,令 K n = b n x n x n + 1 − b n + 1 K_n = b_n\frac{x_n}{x_{n+1}} - b_{n+1} Kn=bnxn+1xnbn+1 ∑ n = 1 ∞ 1 b n \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}} n=1bn1发散, { K n } \{K_n\} {Kn}收敛且极限为 K K K
    (1) K < 0 K<0 K<0 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn发散
    (2) K > 0 K>0 K>0 ∑ n = 1 ∞ x n \sum_{n=1}^\infty{x_n} n=1xn收敛

    狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

    对于一般的级数,如果不是绝对收敛,那么我们只能借助柯西准则来对级数的敛散性进行判别。类似于广义积分,级数也有相应的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。
    对任意的正整数 n n n,对任意的正整数 p p p,考虑和式: ∑ k = n n + p x k y k \sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k} k=nn+pxkyk
    由阿贝尔变换,有 ∑ k = n n + p x k y k = x n ∑ k = n n + p y k + ∑ k = n n + p − 1 ( x k − x k + 1 ) ∑ i = n k y i (3) \tag{3} \sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k} = x_n\sum_{k=n}^{n+p}{y_k} +\sum_{k=n}^{n+p-1}{(x_k-x_{k+1})\sum_{i=n}^k{y_i}} k=nn+pxkyk=xnk=nn+pyk+k=nn+p1(xkxk+1)i=nkyi(3)由等式(3) ∣ ∑ k = n n + p x k y k ∣ ≤ ∣ x n ∣ ∣ ∑ k = n n + p y k ∣ + ∑ k = n n + p − 1 ∣ x k − x k + 1 ∣ ∣ ∑ i = n k y i ∣ (4) \tag{4} |\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| \le |x_n||\sum_{k=n}^{n+p}{y_k}| + \sum_{k=n}^{n+p-1}{|x_k-x_{k+1}||\sum_{i=n}^k{y_i}|} k=nn+pxkykxnk=nn+pyk+k=nn+p1xkxk+1i=nkyi(4)
    定理9.16(狄利克雷判别法) { x n } \{x_n\} {xn} { y n } \{y_n\} {yn}是两个实数列,如果 { x n } \{x_n\} {xn}单调且极限为0, { y n } \{y_n\} {yn}的部分和序列有界,那么级数 ∑ n = 1 ∞ x n y n \sum_{n=1}^\infty{x_ny_n} n=1xnyn收敛
    定理9.17(阿贝尔判别法) { x n } \{x_n\} {xn} { y n } \{y_n\} {yn}是两个实数列,如果 { x n } \{x_n\} {xn}单调有界,级数 ∑ n = 1 ∞ y n \sum_{n=1}^\infty{y_n} n=1yn收敛,那么级数 ∑ n = 1 ∞ x n y n \sum_{n=1}^\infty{x_ny_n} n=1xnyn收敛
    我们仅证明狄利克雷判别法,阿贝尔判别法的证明是类似的。

    证:
    { y n } \{y_n\} {yn}部分和序列的界是 M > 0 M>0 M>0,那么,对任意的正整数 n n n p p p,有 ∣ ∑ k = n n + p x k y k ∣ ≤ 2 M ∣ x n ∣ + 2 M ∑ k = n n + p − 1 ∣ x k − x k + 1 ∣ ≤ 2 M ∣ x n ∣ + 2 M ∣ x n + p − x n ∣ ≤ 2 M ( 2 ∣ x n ∣ + ∣ x n + p ∣ ) (5) \tag{5} |\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| \le 2M|x_n| + 2M\sum_{k=n}^{n+p-1}{|x_k-x_{k+1}|}\\ \le 2M|x_n|+2M|x_{n+p}-x_n|\\ \le 2M(2|x_n|+|x_{n+p}|) k=nn+pxkyk2Mxn+2Mk=nn+p1xkxk+12Mxn+2Mxn+pxn2M(2xn+xn+p)(5)其中第二个不等号由单调性的得到,对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0,存在正整数 N N N n ≥ N n\ge N nN时, ∣ x n ∣ < ε 6 M |x_n|<\frac{\varepsilon}{6M} xn<6Mε,由不等式(5) ∣ ∑ k = n n + p x k y k ∣ < ε |\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| <\varepsilon k=nn+pxkyk<ε由柯西准则,级数 ∑ n = 1 ∞ x n y n \sum_{n=1}^\infty{x_ny_n} n=1xnyn收敛

    阿贝尔判别法的证明也是类似的,这里不证。

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  • (1)数项级数与部分和数列: (2)收敛与发散: (3)原级数与部分和数列的关系: 2.级数收敛的柯西准则: 定理12.1:级数(1)收敛的充要条件是:对∀ε>0,∃N∈N+∀ε>0,∃N∈N_+∀ε>0,∃N∈N+​,使得当m>Nm&...

    一.级数的敛散性
    1.相关概念
    (1)数项级数与部分和数列:
    在这里插入图片描述
    (2)收敛与发散:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    (3)原级数与部分和数列的关系:
    在这里插入图片描述
    2.级数收敛的柯西准则:

    定理12.1:级数(1)收敛的充要条件是:对 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + ∀ε>0,∃N∈N_+ ε>0,NN+,使得当 m > N m>N m>N时,对 ∀ p ∈ N + ∀p∈N_+ pN+都有 ∣ u m + 1 + . . . + u m + p ∣ < ε ( 6 ) |u_{m+1}+...+u_{m+p}|<ε\qquad(6) um+1+...+um+p<ε(6)
    相应地,级数(1)发散的充要条件是: ∃ ε 0 > 0 ∃ε_0>0 ε0>0,对 ∀ N ∈ N + ∀N∈N_+ NN+,总 ∃ N < m 0 ∈ N + ∃N<m_0∈N_+ N<m0N+ p 0 ∈ N + p_0∈N_+ p0N+,有 ∣ u m 0 + 1 + . . . + u m 0 + p 0 ∣ ≥ ε 0 ( 7 ) |u_{m_0+1}+...+u_{m_0+p_0}|≥ε_0\qquad(7) um0+1+...+um0+p0ε0(7)

    推论:若级数(1)收敛,则 lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \displaystyle\lim_{n \to \infty}u_n=0 nlimun=0
    在这里插入图片描述

    3.级数的性质:

    定理12.2:若级数 ∑ u n , ∑ v n \sum u_n,\sum v_n un,vn均收敛,则对∀常数 c , d c,d c,d,级数 ∑ ( c u n + d v n ) \sum(cu_n+dv_n) (cun+dvn)也收敛,且 ∑ ( c u n + d v n ) = c ∑ u n + d ∑ v n \sum(cu_n+dv_n)=c\sum u_n+d\sum v_n (cun+dvn)=cun+dvn

    定理12.3:去除/增加/改变级数的有限个项不改变级数的敛散性
    在这里插入图片描述

    定理12.4:在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变级数的和
    在这里插入图片描述
    注意:该性质仅适用于收敛级数,对发散级数不适用;因此,从级数加括号后的收敛,不能推断其在加括号前也收敛,如 ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + . . . + ( 1 − 1 ) + . . . = 0 + 0 + . . . + 0 + . . . = 0 (1-1)+(1-1)+...+(1-1)+...=0+0+...+0+...=0 (11)+(11)+...+(11)+...=0+0+...+0+...=0收敛,但 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . . 1-1+1-1+...+1-1+... 11+11+...+11+...却是发散的

    二.正项级数
    在这里插入图片描述
    1.一般判别原则
    (1)正项级数收敛的充要条件:

    定理12.5:正项级数 ∑ u n \sum u_n un收敛的充要条件是:部分和数列 { S n } \{S_n\} {Sn}有界,即 ∃ M > 0 ∃M>0 M>0,对 ∀ n ∈ N + ∀n∈N_+ nN+ S n < M S_n<M Sn<M
    在这里插入图片描述

    (2)正项级数收敛的比较判别法:

    定理12.6:设 ∑ u n , ∑ v n \sum u_n,\sum v_n un,vn是2个正项级数,如果 ∃ N > 0 ∃N>0 N>0,对 ∀ n > N ∀n>N n>N都有 u n ≤ v n ( 1 ) u_n≤v_n\qquad(1) unvn(1)则:①若 ∑ v n \sum v_n vn收敛,则 ∑ u n \sum u_n un也收敛
          \:\:\:\:\: ②若 ∑ u n \sum u_n un发散,则 ∑ v n \sum v_n vn也发散
    在这里插入图片描述
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    2.比值判别法与根值判别法
    (1)达朗贝尔判别法(D’Alembert Discriminance;比值判别法):

    定理12.7:设 ∑ u n \sum u_n un为正项级数,且 ∃ N 0 ∈ N + ∃N_0∈N_+ N0N+及常数 0 < q < 1 0<q<1 0<q<1,则
    ①若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 n>N0,有不等式 u n + 1 u n ≤ q ( 7 ) \frac{u_{n+1}}{u_n}≤q\qquad(7) unun+1q(7)成立,则 ∑ u n \sum u_n un收敛
    ②若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 n>N0,有不等式 u n + 1 u n ≥ 1 ( 8 ) \frac{u_{n+1}}{u_n}≥1\qquad(8) unun+11(8)成立,则 ∑ u n \sum u_n un发散
    在这里插入图片描述
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    推论1(比值判别法的极限形式):设 ∑ u n \sum u_n un为正项级数,且 lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = q ( 9 ) \displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\qquad(9) nlimunun+1=q(9)则①当 q < 1 q<1 q<1, ∑ u n \sum u_n un收敛
         \:\:\:\: ②当 q > 1 q>1 q>1 q = + ∞ q=+\infty q=+, ∑ u n \sum u_n un收敛
    在这里插入图片描述

    如果某级数的(9)式的极限不存在,则可使用上/下极限来判别
    推论2:设 ∑ u n \sum u_n un为正项级数,则
    ①若 lim ⁡ n → ∞ ‾ u n + 1 u n = q < 1 \overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q<1 nlimunun+1=q<1,则 ∑ u n \sum u_n un收敛
    ②若 lim ⁡ n → ∞ ‾ u n + 1 u n = q > 1 \underline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q>1 nlimunun+1=q>1,则 ∑ u n \sum u_n un发散

    (2)柯西判别法(Cauchy Discriminance;根值判别法):

    定理12.8:设 ∑ u n \sum u_n un为正项级数,且 ∃ N 0 > 0 ∃N_0>0 N0>0及常数 l > 0 l>0 l>0,则
    ①若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 n>N0,有不等式 u n n ≤ l < 1 ( 11 ) \sqrt[n]{u_n}≤l<1\qquad(11) nun l<1(11)成立,则 ∑ u n \sum u_n un收敛
    ②若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 n>N0,有不等式 u n n ≥ 1 ( 12 ) \sqrt[n]{u_n}≥1\qquad(12) nun 1(12)成立,则 ∑ u n \sum u_n un发散
    在这里插入图片描述

    推论1(根值判别法的极限形式):设 ∑ u n \sum u_n un为正项级数,且 lim ⁡ n → ∞ u n n = l ( 13 ) \displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n}=l\qquad(13) nlimnun =l(13)则①当 l < 1 l<1 l<1, ∑ u n \sum u_n un收敛
         \:\:\:\: ②当 l > 1 l>1 l>1, ∑ u n \sum u_n un收敛
    在这里插入图片描述

    如果某级数的(13)式的极限不存在,则可使用上极限来判别
    推论2:设 ∑ u n \sum u_n un为正项级数,且 lim ⁡ n → ∞ ‾ u n n = l \overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{u_n}=l nlimnun =l则当① l < 1 l<1 l<1, ∑ u n \sum u_n un收敛
        \quad\:\:\: l > 1 l>1 l>1, ∑ u n \sum u_n un发散

    3.积分判别法

    定理12.9:设 f f f [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [1,+)上的减函数,则级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{f(n)} n=1f(n)收敛的充要条件是:无穷积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)dx 1+f(x)dx收敛
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    4.拉贝判别法(Raabe Discriminance):
    在这里插入图片描述

    以p级数为比较标准,就得到拉贝判别法

    定理12.10:设 ∑ u n \sum u_n un为正项级数,且 ∃ N 0 ∈ N + ∃N_0∈N_+ N0N+及常数 r > 1 r>1 r>1,则
    ①若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 n>N0,有不等式 n ( 1 − u n + 1 u n ) ≥ r n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})≥r n(1unun+1)r成立,则 ∑ u n \sum u_n un收敛
    ②若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 n>N0,有不等式 n ( 1 − u n + 1 u n ) ≤ 1 n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})≤1 n(1unun+1)1成立,则 ∑ u n \sum u_n un发散
    在这里插入图片描述
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    推论(拉贝判别法的极限形式):设 ∑ u n \sum u_n un为正项级数,且极限 lim ⁡ n → ∞ n ( 1 − u n + 1 u n ) \displaystyle\lim_{n \to \infty}n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}) nlimn(1unun+1)存在,则
    ①当 r > 1 r>1 r>1时, ∑ u n \sum u_n un收敛
    ②当 r < 1 r<1 r<1时, ∑ u n \sum u_n un发散

    虽然拉贝判别法判别的范围比比值判别法或根值判别法更广泛,但当 r = 1 r=1 r=1时仍无法判别;由于没有收敛得最慢的收敛数.因此任何判别法都只能解决某类级数的收敛问题,而不能解决所有级数的收敛问题;当然,还可以建立比拉贝判别法更精细有效的判别法,但这个过程是无限的

    三.一般项级数
    1.交错级数
    (1)概念:
    在这里插入图片描述
    (2)莱布尼兹判别法(Leibnitz Discriminance):

    定理12.11:若交错级数(1)满足:
    ①数列 { u n } \{u_n\} {un}单调递减
    lim ⁡ n → ∞ u n = 0 \displaystyle\lim_{n \to \infty}u_n=0 nlimun=0
    则交错级数(1)收敛
    在这里插入图片描述

    推论:若交错级数(1)满足莱布尼兹判别法的条件,则其余项估计式为: ∣ R n ∣ ≤ u n + 1 |R_n|≤u_{n+1} Rnun+1

    2.绝对收敛级数
    (1)概念:
    在这里插入图片描述
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    关于级数(5)是否绝对收敛,可使用正项级数的判别法考察级数(6)
    若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条件收敛级数

    (2)绝对收敛级数的敛散性:

    定理12.12:绝对收敛级数一定收敛
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    (3)绝对收敛级数的性质:

    级数的重排:
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    定理12.13:设级数(5)绝对收敛,且其和等于 S S S,则任意重排后得到的级数(7)也绝对收敛,且有相同的和数
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    注意:由条件收敛级数重排后得到的新级数,即使收敛,也不一定收敛于原来的和数
    实际上,条件收敛级数适当重排后,可得到发散级数或收敛于任何指定数的级数
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    级数的乘积:
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    定理12.14(柯西定理):若级数(11),(12)都绝对收敛,则对(13)中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数 ∑ i , j u i v j = ∑ w n \displaystyle\sum_{i,j}u_iv_j=\sum w_n i,juivj=wn也绝对收敛,且其和等于 A B AB AB
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    3.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法
    (1)分部求和公式(阿贝尔变换):

    引理:设 ε i , v i   ( i = 1 , 2... n ) ε_i,v_i\,(i=1,2...n) εi,vi(i=1,2...n)为2组实数,若令 σ k = v 1 + v 2 + . . . + v k   ( k = 1 , 2... n ) σ_k=v_1+v_2+...+v_k\,(k=1,2...n) σk=v1+v2+...+vk(k=1,2...n)则有如下分布求和公式成立: ∑ i = 1 n ε i v i = ( ε 1 − ε 2 ) σ 1 + ( ε 2 − ε 3 ) σ 2 + . . . + ( ε n − 1 − ε n ) σ n − 1 + ε n σ n ( 18 ) \displaystyle\sum_{i=1}^nε_iv_i=(ε_1-ε_2)σ_1+(ε_2-ε_3)σ_2+...+(ε_{n-1}-ε_n)σ_{n-1}+ε_nσ_n\qquad(18) i=1nεivi=(ε1ε2)σ1+(ε2ε3)σ2+...+(εn1εn)σn1+εnσn(18)
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    (2)阿贝尔引理:

    推论:若
    ( i )   ε 1 , ε 2 . . . ε n (i)\:ε_1,ε_2...ε_n (i)ε1,ε2...εn是单调数组
    ( i i )   (ii)\: (ii) ∀ k ∈ N +   ( 1 ≤ k ≤ n ) ∀k∈N_+\,(1≤k≤n) kN+(1kn) ∣ σ k ∣ ≤ A   ( σ k = v 1 + . . . + v k ) |σ_k|≤A\,(σ_k=v_1+...+v_k) σkA(σk=v1+...+vk)
    则记 ε = m a x { ∣ ε k ∣ } ε=max\{|ε_k|\} ε=max{εk},有 ∣ ∑ k = 1 n ε k v k ∣ ≤ 3 ε A |\displaystyle\sum_{k=1}^nε_kv_k|≤3εA k=1nεkvk3εA
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    下面寻找用于判断级数 ∑ a n b n = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n + . . . ( 20 ) \sum a_nb_n=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n+...\qquad(20) anbn=a1b1+a2b2+...+anbn+...(20)敛散性的判别法

    (3)阿贝尔判别法(Abel Discriminance):

    定理12.15:若 { a n } \{a_n\} {an}为单调有界数列,且级数 ∑ b n \sum b_n bn收敛,则级数(20)收敛
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    由阿贝尔判别法可知:若 ∑ u n \sum u_n un收敛,则 ∑ u n n p   ( p > 0 ) , ∑ u n n + 1 \sum\frac{u_n}{n^p}\,(p>0),\sum\frac{u_n}{\sqrt{n+1}} npun(p>0),n+1 un也收敛

    (4)狄利克雷判别法(Dirichlet Discriminance):

    定理12.16:若数列 { a n } \{a_n\} {an}单调递减,且 lim ⁡ n → ∞ a n = 0 \displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0 nliman=0,右级数 ∑ b n \sum b_n bn的部分和数列有界,则级数(20)收敛

    四.一些重要级数的敛散性
    1.等比级数(也称几何级数)的敛散性:
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    2.调和级数的敛散性:
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    3.p级数的敛散性:
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