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  • 方向导数

    2019-07-13 10:28:51
    方向导数定义方向导数与偏导数方向导数与微分 定义 函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在某一点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)沿方向lll的方向导数为 ∂f∂l∣(x0,y0)=lim⁡t→0+f(x0+tcos⁡α,y0+tcos⁡β)−f(x0,y0)t \left.\...

    定义

    函数 f(x,y)f(x,y) 在某一点 (x0,y0)(x_0,y_0) 沿方向 ll 的方向导数为
    fl(x0,y0)=limt0+f(x0+tcosα,y0+tcosβ)f(x0,y0)t \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = \lim_{t\to 0^+} \frac{f(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\cos\beta) - f(x_0, y_0)}{t}
    式中,el=(cosα,cosβ)\boldsymbol{e}_l = (\cos\alpha, \cos\beta)射线 ll 的同向单位向量。

    类似地,函数 f(x,y,z)f(x,y,z) 在某一点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 沿方向 ll 的方向导数为
    fl(x0,y0,z0)=limt0+f(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)f(x0,y0,z0)t \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0,z_0)} = \lim_{t\to 0^+} \frac{f(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\cos\beta, z_0+t\cos\gamma) - f(x_0,y_0,z_0)}{t}
    式中,el=(cosα,cosβ,cosγ)\boldsymbol{e}_l = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)射线 ll 的同向单位向量。

    与其他导数的定义不同,方向导数的定义为单侧极限(右极限),分母 tt 为正数。

    方向导数与偏导数

    f(x,y)f(x,y) 的偏导数存在,则

    • el=(1,0)\boldsymbol{e}_l =(1,0) 时,fl(x0,y0)=fx(x0,y0)\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = f_x(x_0,y_0)
    • el=(0,1)\boldsymbol{e}_l = (0,1) 时,fl(x0,y0)=fy(x0,y0)\left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = f_y(x_0,y_0)

    反之,若 f(x,y)f(x,y) 沿任意方向的方向导数存在,其偏导数也不一定存在(原因在于方向导数为右极限)。

    方向导数与微分

    f(x,y)f(x,y) 在点 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 可微分,则其在该点沿任一方向的方向导数均存在,且
    fl(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = f_x(x_0,y_0)\cos\alpha + f_y(x_0,y_0)\cos\beta
    式中,cosα\cos\alphacosβ\cos\beta为方向 ll 的方向余弦。

    类似地,若三元函数若 f(x,y,z)f(x,y,z) 在点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0,y_0,z_0) 可微分,则其在该点沿任一方向的方向导数均存在,且
    fl(x0,y0,z0)=fx(x0,y0,z0)cosα+fy(x0,y0,z0)cosβ+fz(x0,y0,z0)cosγ \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0,z_0)} = f_x(x_0,y_0,z_0)\cos\alpha + f_y(x_0,y_0,z_0)\cos\beta + f_z(x_0,y_0,z_0)\cos\gamma
    式中,cosα\cos\alphacosβ\cos\betacosγ\cos\gamma为方向 ll 的方向余弦。

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  • 方向导数与梯度——学习笔记

    万次阅读 多人点赞 2018-04-27 00:43:34
    方向导数和梯度在高等数学偏导数那一部分提到,两者相互关联,可能会弄混,简单来说方向导数是一个值而梯度是一个向量。了解梯度的概念可以在以后的机器学习或者深度学习模型优化用到梯度下降时更容易理解,接下来让...

        方向导数和梯度在高等数学偏导数那一部分提到,两者相互关联,可能会弄混,简单来说方向导数是一个值而梯度是一个向量。了解梯度的概念可以在以后的机器学习或者深度学习模型优化用到梯度下降时更容易理解,接下来让我们看看一些关于方向导数和梯度的细节。

    一、方向导数

        对于多元函数,如果说偏导数表示的是多元函数在沿坐标轴的变化率,那么可以说方向导数是沿着任意一指定方向的变化率,不一定是沿着坐标轴。

        这里给出方向导数的数学表达式:

                                       

        看起来这个公式很吓人,其实其中,对于L 的单位向量是e=(cos α,cos β),而这正表示函数 f 沿着 L 方向的变化率。当我们让e=(1,0)时上述式子其实是 f 对于 x 的偏导数,即沿着 x 轴的变化率,而当让e=(0,1)时,上述式子便是 f 对于 y的偏导数,即沿着 y 轴的变化率(读者可以自行验证)。

         明白了方向导数表示的意义,那么方向导数怎么求呢?很简单的一个式子,对于二元函数,给出求方向导数的公式:

                                       

          解释一下这个式子,方向导数等于函数在 x 处的偏导数乘以单位向量的 x 部分加上在 y 处的偏导乘以单位向量的 y 部分,得到的值就是方向导数。从中也可以看出要求方向导数要先求它在 x 和 y 的偏导数,然后再求它方向的单位向量,最后做乘积加和得到结果。

     

    二、梯度

        看完方向导数之后接下来看梯度是怎么一回事。在二元函数的情形下,如果函数 f(x,y) 具有一阶连续偏导,对于函数任意一点  都有这样一个向量:,那么这个向量就称为f(x,y)在 p 这一点的梯度。记作

        可以通过公式直观地看方向导数和梯度的关系:

                                         

       当 Θ = 0 时,e 与梯度方向相同时,方向导数最大,函数增加最快

       当 Θ = pi 时,e 与梯度方向相反时,方向导数最小,函数减少最快

       当 Θ = pi/2 时,e 与梯度方向垂直时,方向导数为0, 函数变化率为零

     

    三、总结

        其实现在可以知道,方向导数是函数在各个方向的斜率,而梯度是斜率最大的那个方向,梯度的值是方向导数最大的值。因此我们沿着梯度方向能够下降(上升)的最快。

    注:博主第一次写,理解也有很多偏差,如果不能够帮助你们很好的理解,建议看这个知乎网址:

    https://www.zhihu.com/question/36301367

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  • 方向导数与梯度

    千次阅读 2019-05-09 20:26:26
    方向导数是一个值,梯度是一个向量。 方向导数 顾名思义,方向导数就是某个方向上的导数。 这里的方向什么是方向? 这个方向是在二维的xy平面上的,而不是三维空间上的方向 函数在这个方向上的图像: ...

    方向导数是一个值,梯度是一个向量。

    方向导数

    顾名思义,方向导数就是某个方向上的导数。

    这里的方向什么是方向?

     这个方向是在二维的xy平面上的,而不是三维空间上的方向

    函数f(x,y)在这个方向上的图像:

    我们知道: 

    preview

    函数f(x,y) 的A 点在这个方向上也是有切线的,其切线的斜率就是方向导数:

    梯度

     很显然,A 点不止一个方向,而是360^{\circ} 都有方向:

    每个方向都是有方向导数的:

     

    这就引出了梯度的定义:

    梯度:是一个矢量,其方向上的方向导数最大,其大小正好是此最大方向导数。

    以上转载自:https://www.matongxue.com/madocs/222.html,这个文章里面有3D可拖动的图,更便于理解。

     

    同济高等数学下册教材里面的关于方向导数与梯度的内容如下:

    关于梯度下降法参考下面的文章

    深入浅出--梯度下降法及其实现:https://www.jianshu.com/p/c7e642877b0e 

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  • 梯度 方向导数

    2018-05-05 10:46:19
    方向导数:是一个数;反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。 梯度:是一个向量;每个元素为函数对一元变量的偏导数;它既有大小(其大小为最大方向导数),也有方向。 Ref:方向导数与梯度 疑问1 (上图的...

    基本概念

    • 方向导数:是一个数;反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。
    • 梯度:是一个向量;每个元素为函数对一元变量的偏导数;它既有大小(其大小为最大方向导数),也有方向。

    Ref:方向导数与梯度

    疑问1

    这里写图片描述
    (上图的式子少了Δy)
    Ref:第七节 方向导数与梯度

    答案就是“在点P(x,y)是可微分的”。可以看看全微分的定理:
    这里写图片描述
    Ref:百度百科:全微分

    疑问2

    梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向,梯度的模为方向导数的最大值。

    这里写图片描述
    Ref:第七节 方向导数与梯度

    展开全文
  • 梯度和方向导数

    2021-04-10 10:26:29
    文章目录梯度和方向导数一、方向导数二、方向导数与偏导的关系三、梯度 一、方向导数 定义:若函数定义:若函数定义:若函数f(x,y,x)在点在点在点P(x,y,z)处沿方向处沿方向处沿方向l存在以下极限存在以下极限存在...
  • 梯度 方向导数 解析

    2019-06-20 15:37:23
    利用偏导数计算方向导数 其中梯度定义: gradf = 梯度是向量。 方向导数=梯度*单位向量 方向导数是数值, 梯度和单位向量相乘,是向量点积(参见前面的图)。 方向导数 = cos(θ) × 梯度,因此,所有...
  • 方向导数和梯度

    2020-03-11 18:17:14
    一、方向导数 1.1、方向导数的定义 1.1.1、偏导数存在,则方向导数存在;反之,则不成立(因为方向导数是单边趋于0+) 1.2、方向导数计算 ∂f∂l∣(x,y)=fx(x,y)cosα+fy(x,y)cosβ\frac {\partial f }{\partial l...
  • 场论初步课件,方向导数与梯度,系统介绍了方向导数与梯度的的概念及求法。
  • 导数,方向导数,切线、梯度是从高中就开始接触的概念,然而对这几个概念的认识不清,困惑了我很长时间,下面我将以图文并茂的形式,对这几个概念做详细的解释。1, 导数定义:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义...
  • 梯度与方向导数

    2019-10-09 22:20:08
    什么是方向导数呢?单从这个问题表面,我们可以看到两个方面: 方向导数与某个量的方向有关 方向导数和导数有关 首先确定一个向量e,在最底部,即二维平面在x轴上,三维在xOy平面上。 在二维坐标系中,e只有一个...
  • 方向导数 梯度

    2020-02-21 15:02:42
    终于理解了方向导数与梯度 </h1> <div class="clear"></div> <div class="postBody"> 本文作者Key,博客园主页:https://home.cnblogs.com/u/key1994/ 本内容为...
  • 参考资料: 从导数到方向导数和梯度,一步步理解深度学习中的梯度下降算法 转载于:https://www.cnblogs.com/shujuxiong/p/10801647.html
  • 全微分 与 方向导数

    2020-10-23 16:07:19
    在 M = f(x、y、z…)上的 p 点的方向导数在取到极限的情况下,**以直代曲(由二元情况猜想得到),**此时方向导数所代表的是在 p 点附近 M 的增长性; 而f(x、y、z…)的全微分等于f(x、y、z…)在x、y、z…各方...

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