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  • 方向导数

    2019-07-13 10:28:51
    方向导数定义方向导数与偏导数方向导数与微分 定义 函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在某一点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​)沿方向lll的方向导数为 ∂f∂l∣(x0,y0)=lim⁡t→0+f(x0+tcos⁡α,y0+tcos⁡β)−f(x0,y0)t \left.\...

    定义

    函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在某一点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 沿方向 l l l 的方向导数为
    ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ t → 0 + f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β ) − f ( x 0 , y 0 ) t \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = \lim_{t\to 0^+} \frac{f(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\cos\beta) - f(x_0, y_0)}{t} lf(x0,y0)=t0+limtf(x0+tcosα,y0+tcosβ)f(x0,y0)
    式中, e l = ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) \boldsymbol{e}_l = (\cos\alpha, \cos\beta) el=(cosα,cosβ)射线 l l l 的同向单位向量。

    类似地,函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 在某一点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0) 沿方向 l l l 的方向导数为
    ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = lim ⁡ t → 0 + f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β , z 0 + t cos ⁡ γ ) − f ( x 0 , y 0 , z 0 ) t \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0,z_0)} = \lim_{t\to 0^+} \frac{f(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\cos\beta, z_0+t\cos\gamma) - f(x_0,y_0,z_0)}{t} lf(x0,y0,z0)=t0+limtf(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)f(x0,y0,z0)
    式中, e l = ( cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ ) \boldsymbol{e}_l = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) el=(cosα,cosβ,cosγ)射线 l l l 的同向单位向量。

    与其他导数的定义不同,方向导数的定义为单侧极限(右极限),分母 t t t 为正数。

    方向导数与偏导数

    f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 的偏导数存在,则

    • e l = ( 1 , 0 ) \boldsymbol{e}_l =(1,0) el=(1,0) 时, ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) \left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = f_x(x_0,y_0) lf(x0,y0)=fx(x0,y0)
    • e l = ( 0 , 1 ) \boldsymbol{e}_l = (0,1) el=(0,1) 时, ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) \left.\dfrac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = f_y(x_0,y_0) lf(x0,y0)=fy(x0,y0)

    反之,若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 沿任意方向的方向导数存在,其偏导数也不一定存在(原因在于方向导数为右极限)。

    方向导数与微分

    f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0) 可微分,则其在该点沿任一方向的方向导数均存在,且
    ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} = f_x(x_0,y_0)\cos\alpha + f_y(x_0,y_0)\cos\beta lf(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ
    式中, cos ⁡ α \cos\alpha cosα cos ⁡ β \cos\beta cosβ为方向 l l l 的方向余弦。

    类似地,若三元函数若 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z) 在点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0) 可微分,则其在该点沿任一方向的方向导数均存在,且
    ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos ⁡ β + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos ⁡ γ \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0,z_0)} = f_x(x_0,y_0,z_0)\cos\alpha + f_y(x_0,y_0,z_0)\cos\beta + f_z(x_0,y_0,z_0)\cos\gamma lf(x0,y0,z0)=fx(x0,y0,z0)cosα+fy(x0,y0,z0)cosβ+fz(x0,y0,z0)cosγ
    式中, cos ⁡ α \cos\alpha cosα cos ⁡ β \cos\beta cosβ cos ⁡ γ \cos\gamma cosγ为方向 l l l 的方向余弦。

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  • 在E凸集上, 引进E凸函数, 定义了广义实值函数的方向导数即沿给定方向的变化率.得到了E凸函数方向导数的特征定理;利用特征定理.得到了E凸函数方向导数的性质.
  • 方向导数与梯度

    2020-12-18 20:53:56
    沿不同方向的变化率就是方向导数问题,而下降的最快方向就是梯度问题。 顾名思义,方向导数就是某个方向上的导数。 什么是方向? 我们知道: 函数f(x,y)的A点在这个方向上也是有切线的,其切线的斜率就是方向导

    一、由具体问题引出方向导数和梯度的概念

    问题:一块长方形的金属板,受热产生如图温度分布场。设一个小虫在板中逃生至某处,问该虫应沿什么方向爬行,才能最快到达凉快的地点?
    在这里插入图片描述

    问题答案:应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行。
    这就需要我们计算温度分布场中各点沿不同方向的温度变化率,从而确定出温度下降的最快方向。沿不同方向的变化率就是方向导数问题,而下降的最快方向就是梯度问题

    顾名思义,方向导数就是某个方向上的导数。什么是方向
    在这里插入图片描述
    我们知道:
    在这里插入图片描述
    下图看出,函数f(x,y)的A点在这个方向上也是有切线的,其切线的斜率就是方向导数。
    在这里插入图片描述
    下面正式讨论方向导数。

    二、方向导数

    设函数z= f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域U内有定义,自点P引射线l。设x轴正向到射线l的转角为φ ,并设P’(x +△x,y + △y)为l上的另一点P’∈U。
    在这里插入图片描述
    |PP’I= ρ=√(△x)^2 +(△y)^2,且△z= f(x+△x,y +△y)- f(x,y),考虑△z/p,当P’沿着l趋于P时,
    在这里插入图片描述

    上述极限是否存在?如果存在,则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数。

    定义:函数的增量f(x + △x,y+ △y)- f(x,y)与PP’两点间的距离ρ=√(△x)2+(△y)2之比值,当P’沿着l趋于P时,如果此比的极限存在,则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数。
    记为:
    在这里插入图片描述
    方向导数计算公式:
    在这里插入图片描述
    其中φ为x轴到方向l的转角。

    三、梯度

    定义:设函数f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对每一点P(x^0,y0)∈ D,都可以定出一个向量fx(x0, y0)i十fy(x0, y0)j称为f(x, y)在点P处的梯度,记作gradf(x0, y0)。
    梯度是一个矢量,其方向上的方向导数最大,其大小正好是此最大方向导数。
    在这里插入图片描述

    四、例题解析

    在这里插入图片描述
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  • 方向导数和梯度概念辨析

    千次阅读 2021-03-29 23:42:29
    方向导数和梯度概念辨析 我们在学习多元函数的时候,经常会困惑于方向导数和梯度的区别以及他们的几何意义,今天让我们来一起辨析一下。 一、什么是方向导数? 定义:函数的增量 f(x+△x,y+△y)−f(x,y)f(x+\...

    方向导数和梯度概念辨析

    我们在学习多元函数的时候,经常会困惑于方向导数和梯度的区别以及他们的几何意义,今天让我们来一起辨析一下。

    一、什么是方向导数?

    定义:函数的增量
    f ( x + △ x , y + △ y ) − f ( x , y ) f(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)-f(x,y) f(x+x,y+y)f(x,y) P P ′ PP^{'} PP两点间的距离 ρ = ( △ x ) 2 + ( △ y ) 2 \rho =\sqrt{(\bigtriangleup x)^{2}+(\bigtriangleup y)^{2} } ρ=(x)2+(y)2 的比值,当 P ′ P^{'} P 沿l趋近于P时,如果此比的极限存在,则称这极限为函数在P 点沿l的方向导数。记作 ∂ f ∂ l \frac{\partial f}{\partial l} lf,也就是 lim ⁡ ρ → 0 △ l z ρ = lim ⁡ ρ → 0 f ( x + △ x , y + △ y ) − f ( x , y ) ρ \lim_{ \rho \to 0} \frac{\bigtriangleup l^{z} }{\rho } =\lim_{\rho \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)-f(x,y)}{\rho } limρ0ρlz=limρ0ρf(x+x,y+y)f(x,y)

    定义永远是晦涩的,如果我们来形象的类比一下,之前学到的偏导数是指当一个变量变化(例如:x、y),然后函数随着另一个固定变量的方向进行变化,偏导数就是变化的趋势。那么到这里的方向导数就是将编导数的范围扩大化,从一个变量变化到两个变量甚至多个变量同时变化,但是这个变化同样是沿着空间中的一条线l。

    我们来看方向导数的几何解释就会更直观的理解:

    在这里插入图片描述

    如图所示,图a指xoy平面内,曲线l的投影,我们所求的 ∂ f ∂ l \frac{\partial f}{\partial l} lf方向向量图b中就是p点上方z=f(x,y)曲线沿着曲线l切线的斜率,可以这么说:方向向量是你用一把名为切线的尺子在这个曲面上来回的摩擦,而这个方向向量就是你在各个l方向各个位置,这把切线尺子的斜率。

    让我们在对照着图a,引出线面的定理: ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x cos ⁡ α + ∂ f ∂ x β \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial x}\beta xf=xfcosα+xfβ,其中 cos ⁡ α , cos ⁡ β \cos \alpha,\cos \beta cosα,cosβ是方向l的方向余弦。

    不难理解,其实方向向量可以用x和y两个方向的偏导数进行组合来表示,证明如下:

    函数可微,那么等量可以表示为: f ( x + △ x , y + △ y ) − f ( x , y ) = ∂ f ∂ x △ x + ∂ f ∂ y △ y + o ( ρ ) f(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)-f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x} \bigtriangleup x+\frac{\partial f}{\partial y}\bigtriangleup y+o(\rho ) f(x+x,y+y)f(x,y)=xfx+yfy+o(ρ)

    我们两边同时除以 ρ \rho ρ,得 f ( x + △ x , y + △ y ) − f ( x , y ) ρ = ∂ f ∂ x △ x ρ + ∂ f ∂ y △ y ρ + o ( ρ ) ρ \frac{f(x+\bigtriangleup x,y+\bigtriangleup y)-f(x,y)}{\rho }=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\bigtriangleup x}{\rho }+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\bigtriangleup y}{\rho } +\frac{o(\rho )}{\rho } ρf(x+x,y+y)f(x,y)=xfρx+yfρy+ρo(ρ)

    那么 △ x ρ \frac{\bigtriangleup x}{\rho } ρx △ y ρ \frac{\bigtriangleup y}{\rho } ρy就是 cos ⁡ α , cos ⁡ β \cos \alpha,\cos \beta cosα,cosβ所以有 ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x cos ⁡ α + ∂ f ∂ x β \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial x}\beta xf=xfcosα+xfβ

    warning:

    1、在这里我们要继续对偏导数和沿x、y轴的方向导数进行辨析:偏导存在是比沿x、y轴的方向导数存在更高级的概念,偏导存在能推出沿x、y轴的方向导数存在,反之不行。

    2、以上概念都能推到多元函数。

    二、什么是梯度?

    定义:设函数z = f (x, y)在平面区域 D 内具有阶连续偏导数,则对于每一点 p ( x , y ) ∈ D p(x,y)\in D p(x,y)D,都可以定出一个向量 ∂ f ∂ x i ⃗ + ∂ f ∂ y j ⃗ \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} +\frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} xfi +yfj ,这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作 g r a d f ( x , y ) = ∂ f ∂ x i ⃗ + ∂ f ∂ y j ⃗ gradf(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} +\frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} gradfxy=xfi +yfj

    我们和方向向量进行比较,我们可以发现方向导数就是梯度乘以l方向上的单位向量。

    可以这么说在梯度的方向上是方向向量取最大值的时刻,是函数值增加最快的时刻,如果用更形象的方法来比喻,
    函数梯度方向和函数在这点等高线的发现的方向相同,且是从低等高线指向高等高线,而且模就是这个函数在这个法线方向的方向导数。

    总结:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
    方向导数的最大值.梯度的模为 ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^{2}+(\frac{\partial f}{\partial y})^{2} } (xf)2+(yf)2

    总结:

    1、方向导数是数

    2、梯度是向量

    3、梯度的方向就是函数在这点增长最快的方向,以此类推,降低最快的就是梯度的反方向,变化最慢的就和梯度垂直。

    最后,感谢你阅读完以上内容,你的赞是我继续记录的最大鼓励。

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  • 方向导数 1 )定理 若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微,沿任意方向l的方向导数 ∂f∂l=∂f∂xcosα+∂f∂ycosβ+∂f∂zcosγ\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\...

    方向导数

    定理

    • 若函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微,沿任意方向l的方向导数
    • ∂ f ∂ l = ∂ f ∂ x c o s α + ∂ f ∂ y c o s β + ∂ f ∂ z c o s γ \frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma lf=xfcosα+yfcosβ+zfcosγ
    • 其中 α , β , γ \alpha, \beta, \gamma α,β,γ 为l的方向角
    • 证明
      • 由函数 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)在点P可微
      • △ f = ∂ f ∂ x △ x + ∂ f ∂ y △ y + ∂ f ∂ z △ z + o ( ρ ) \triangle f = \frac{\partial f}{\partial x} \triangle x + \frac{\partial f}{\partial y} \triangle y + \frac{\partial f}{\partial z} \triangle z + o(\rho) f=xfx+yfy+zfz+o(ρ)
      • = ρ ( ∂ f ∂ x c o s α + ∂ f ∂ y c o s β + ∂ f ∂ z c o s γ ) + o ( ρ ) = \rho(\frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma) + o(\rho) =ρ(xfcosα+yfcosβ+zfcosγ)+o(ρ)
      • ∂ f ∂ l = lim ⁡ ρ → 0 △ f ρ = ∂ f ∂ x c o s α + ∂ f ∂ y c o s β + ∂ f ∂ z c o s γ \frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\triangle f}{\rho} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma lf=limρ0ρf=xfcosα+yfcosβ+zfcosγ

    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    • 对于二元函数f(x,y)在点P(x,y)处沿着方向l(方向角为 α , β \alpha, \beta α,β)的方向导数为
    • ∂ f ∂ l = lim ⁡ ρ → 0 f ( x + △ x , y + △ y ) − f ( x , y ) ρ = f x ′ ( x , y ) c o s α + f y ′ ( x , y ) c o s β \frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x+\triangle x, y + \triangle y) - f(x,y)}{\rho} = f_x'(x,y)cos \alpha + f_y'(x,y) cos \beta lf=limρ0ρf(x+x,y+y)f(x,y)=fx(x,y)cosα+fy(x,y)cosβ
      • ρ = ( △ x ) 2 + ( △ y ) 2 \rho = \sqrt{(\triangle x)^2 + (\triangle y)^2} ρ=(x)2+(y)2
      • △ x = ρ c o s α \triangle x = \rho cos \alpha x=ρcosα
      • △ y = ρ c o s β \triangle y = \rho cos \beta y=ρcosβ
    • 特别地
      • l与x轴同向( α = 0 , β = π 2 \alpha = 0, \beta = \frac{\pi}{2} α=0,β=2π)时,有 ∂ f ∂ l = ∂ f ∂ x \frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} lf=xf
      • l与x轴反向( α = π , β = π 2 \alpha = \pi, \beta = \frac{\pi}{2} α=π,β=2π)时,有 ∂ f ∂ l = − ∂ f ∂ x \frac{\partial f}{\partial l} = -\frac{\partial f}{\partial x} lf=xf

    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    方向导数

    • 方向导数(directional derivative): 有时不仅仅需要知道函数在坐标轴上的变化率(即偏导数),还需要设法求得函数在其他特定方向上的变化率;
    • 而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
    • 如果函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的,那么,函数在该点沿着任意方向L的方向导数都存在
    • 且计算公式为: ∂ f ∂ l = ∂ f ∂ x c o s α + ∂ f ∂ y c o s β \frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta lf=xfcosα+yfcosβ

    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    例1

    • 求函数 u = x 2 y z u = x^2yz u=x2yz 在点P(1,1,1)沿向量 l ⃗ = ( 2 , − 1 , 3 ) \vec{l} = (2, -1, 3) l =(2,1,3)的方向导数.
    • ∂ u ∂ l = ∂ u ∂ x c o s α + ∂ u ∂ y c o s β + ∂ u ∂ z c o s γ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z} cos \gamma lu=xucosα+yucosβ+zucosγ
      • 向量 l ⃗ \vec{l} l 的方向余弦为: c o s α = 2 14 , cos ⁡ β = − 1 14 , c o s γ = 3 14 cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{14}}, \cos \beta = \frac{-1}{\sqrt{14}}, cos \gamma = \frac{3}{\sqrt{14}} cosα=14 2,cosβ=14 1,cosγ=14 3
      • ∂ u ∂ l ∣ P = ( 2 x y z ∗ 2 14 ) − x 2 z ∗ 1 14 + x 2 y ∗ 3 14 ∣ ( 1 , 1 , 1 ) = 6 14 \left. \frac{\partial u}{\partial l} \right|_P = \left. (2xyz * \frac{2}{\sqrt{14}}) - x^2z * \frac{1}{\sqrt{14}} + x^2y * \frac{3}{\sqrt{14}} \right|_{(1,1,1)} = \frac{6}{\sqrt{14}} luP=(2xyz14 2)x2z14 1+x2y14 3(1,1,1)=14 6

    例2

    • 求函数 z = x e 2 y z=xe^{2y} z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2, -1)的方向的方向导数
      • 方向l即向量 P Q = ( 1 , − 1 ) PQ = (1, -1) PQ=(1,1)的方向,与l同方向的单位向量 e l = ( 1 2 , − 1 2 ) . = ( c o s α , c o s β ) e_l = (\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}). = (cos \alpha, cos \beta) el=(2 1,2 1).=(cosα,cosβ)
      • 因函数可微,且 ∂ z ∂ x ∣ ( 1 , 0 ) = e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) = 1 , ∂ z ∂ y ∣ ( 1 , 0 ) = 2 x e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) = 2 \left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,0)} = \left. e^{2y} \right|_{(1,0)} = 1, \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,0)} = \left. 2xe^{2y} \right|_{(1,0)} = 2 xz(1,0)=e2y(1,0)=1,yz(1,0)=2xe2y(1,0)=2
      • 所以,所求方向导数为: ∂ z ∂ l ∣ ( 1 , 0 ) = 1 ∗ 1 2 + 2 ∗ ( − 1 2 ) = − 2 2 \left. \frac{\partial z}{\partial l} \right|_{(1,0)} = 1 * \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 * (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} lz(1,0)=12 1+2(2 1)=22

    例3

    • f ( x , y , z ) = x y + y z + z x f(x,y,z) = xy + yz + zx f(x,y,z)=xy+yz+zx 在点(1,1,2)沿方向l的方向导数,其中l的方向角分别为:60°, 45°, 60°
    • 解:
      • 与l同方向的单位向量 e l = ( c o s 60 ° , c o s 45 ° , c o s 60 ° ) = ( 1 2 , 2 2 , 1 2 ) e_l = (cos 60°, cos 45°, cos 60°) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) el=(cos60°,cos45°,cos60°)=(21,22 ,21)
      • 因函数可微,且
        • f x ′ ( 1 , 1 , 2 ) = ( y + z ) ∣ ( 1 , 1 , 2 ) = 3 f_x'(1,1,2) = (y + z)|_{(1,1,2)} = 3 fx(1,1,2)=(y+z)(1,1,2)=3
        • f y ′ ( 1 , 1 , 2 ) = ( x + z ) ∣ ( 1 , 1 , 2 ) = 3 f_y'(1,1,2) = (x + z)|_{(1,1,2)} = 3 fy(1,1,2)=(x+z)(1,1,2)=3
        • f z ′ ( 1 , 1 , 2 ) = ( y + x ) ∣ ( 1 , 1 , 2 ) = 2 f_z'(1,1,2) = (y + x)|_{(1,1,2)} = 2 fz(1,1,2)=(y+x)(1,1,2)=2
      • 所以 ∂ f ∂ l ∣ ( 1 , 1 , 2 ) = 3 ∗ 1 2 + 3 ∗ 2 2 + 2 ∗ 1 2 = 1 2 ( 5 + 3 2 ) \frac{\partial f}{\partial l} |_{(1,1,2)} = 3*\frac{1}{2} + 3*\frac{\sqrt{2}}{2} + 2*\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(5 + 3\sqrt{2}) lf(1,1,2)=321+322 +221=21(5+32 )

    梯度

    1 ) 概念

    • 在空间的每一个点都可以确定无限多个方向,因此,一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数.
    • 在这无限多个方向导数中,最大的一个(它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少? 它是沿什么方向达到的?
    • 描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量,就是我们所讨论的梯度.
    • 梯度是场论里的一个基本概念.所谓"场", 它表示空间区域上某种物理量的一种分布
    • 从数学上看,这种分布常常表示为 Ω \Omega Ω 上的一种数值函数或向量函数
    • 能表示为数值函数u=u(x,y,z)的场,称为数量场,如温度场、密度场等

    2 ) 方向导数公式

    • ∂ f ∂ l = ∂ f ∂ x c o s α + ∂ f ∂ y c o s β + ∂ f ∂ z c o s γ \frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma lf=xfcosα+yfcosβ+zfcosγ
      • 令向量 G ⃗ = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) \vec{G} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) G =(xf,yf,zf)
      • l ° ⃗ = ( c o s α , c o s β , c o s γ ) \vec{l°} = (cos \alpha, cos \beta, cos \gamma) l° =(cosα,cosβ,cosγ)
    • ∂ f ∂ l = G ⃗ ⋅ l ° ⃗ = ∣ G ⃗ ∣ c o s ( G ⃗ , l ° ⃗ )     ( ∣ l ° ⃗ ∣ = 1 ) \frac{\partial f}{\partial l} = \vec{G}·\vec{l°} = |\vec{G}|cos(\vec{G}, \vec{l°}) \ \ \ (|\vec{l°}| = 1) lf=G l° =G cos(G ,l° )   (l° =1)
    • l ° ⃗ \vec{l°} l° G ⃗ \vec{G} G 方向一致时,方向导数取最大值: m a x ( ∂ f ∂ l ) = ∣ G ⃗ ∣ max(\frac{\partial f}{\partial l}) = |\vec{G}| max(lf)=G
    • 可见: G ⃗ \vec{G} G
      • 方向:f 变化率最大的方向
      • 模:f 的最大变化率之值

    3 ) 梯度定义

    • 向量 G ⃗ \vec{G} G :称为函数 f ( P ) f(P) f(P)在点P处的梯度(gradient), 记做:grad f
    • g r a d   f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) = ∂ f ∂ x i ⃗ + ∂ f ∂ y j ⃗ + ∂ f ∂ z k ⃗ grad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k} grad f=(xf,yf,zf)=xfi +yfj +zfk
    • 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 g r a d   f = ∂ f ∂ x i ⃗ + ∂ f ∂ y j ⃗ = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) grad \ f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) grad f=xfi +yfj =(xf,yf)
    • 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影
    • ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y ) \nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) =(x,y), 引用记号,称为奈布拉(Nebla)算符,或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton)算子
    • 则梯度可记为: g r a d   f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) ∇ f grad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \nabla f grad f=(xf,yf)f
      • 函数f沿梯度grad f方向,增加最快(上升)
      • 函数f沿负梯度 -grad f方向,减小最快(下降)
    • g r a d   f ( x 0 , y 0 ) = f x ′ ( x 0 , y 0 ) i + f y ′ ( x 0 , y 0 ) j ) grad \ f(x_0, y_0) = f_x'(x_0, y_0)i + f_y'(x_0, y_0)j) grad f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j)
      • ∇ f ( x 0 , y 0 ) = f x ′ ( x 0 , y 0 ) i + f y ′ ( x 0 , y 0 ) j = f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) \nabla f(x_0, y_0) = f_x'(x_0, y_0)i + f_y'(x_0, y_0) j = {f_x'(x_0, y_0), f_y'(x_0, y_0)} f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j=fx(x0,y0),fy(x0,y0)
    • g r a d   f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) = ∂ f ∂ x i ⃗ + ∂ f ∂ y j ⃗ + ∂ f ∂ z k ⃗ grad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k} grad f=(xf,yf,zf)=xfi +yfj +zfk
      • ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) = { f x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) , f z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) } = f x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) i + f y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) j + f z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) k \nabla f(x_0, y_0, z_0) = \{f_x'(x_0, y_0, z_0), f_y'(x_0, y_0, z_0), f_z'(x_0, y_0, z_0)\} = f_x'(x_0, y_0, z_0)i + f_y'(x_0, y_0, z_0)j + f_z'(x_0, y_0, z_0)k f(x0,y0,z0)={fx(x0,y0,z0),fy(x0,y0,z0),fz(x0,y0,z0)}=fx(x0,y0,z0)i+fy(x0,y0,z0)j+fz(x0,y0,z0)k

    说明

    • 以三元函数为例,设 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微分,则函数在该点的梯度为 g r a d   f = ∇ f = ∂ f ∂ x i ⃗ + ∂ f ∂ y j ⃗ + ∂ f ∂ z k ⃗ = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) = ( ∂ ( f ) ∂ ( x , y , z ) ) grad \ f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = (\frac{\partial (f)}{\partial(x,y,z)}) grad f=f=xfi +yfj +zfk =(xf,yf,zf)=((x,y,z)(f))
    • 梯度是函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点P处取得的最大方向导数的方向,最大方向导数为: ∣ g r a d   f ∣ = ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + ( ∂ f ∂ z ) 2 |grad \ f| = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2 + (\frac{\partial f}{\partial z})^2} grad f=(xf)2+(yf)2+(zf)2
    • 函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点P处沿方向 l ⃗ \vec{l} l 的方向导数: ∂ f ∂ l ⃗ = g r a d   f ⋅ l ° ⃗ = ∇ f ⋅ l ° ⃗ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = grad \ f·\vec{l°} = \nabla f · \vec{l °} l f=grad fl° =fl°

    例1

    • g r a d   1 x 2 + y 2 grad \ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} grad x2+y2 1
    • 解:
      • 这里 f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 f(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2} f(x,y)=x2+y21
      • ∂ f ∂ x = − 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 , ∂ f ∂ y = − 2 y ( x 2 + y 2 ) 2 \frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} xf=(x2+y2)22x,yf=(x2+y2)22y
      • 所以, g r a d   1 x 2 + y 2 = − 2 x ( x 2 + y 2 ) 2 i ⃗ − 2 y ( x 2 + y 2 ) 2 j ⃗ grad \ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = - \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2} \vec{i} - \frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} \vec{j} grad x2+y2 1=(x2+y2)22xi (x2+y2)22yj

    例2

    • f ( x , y , z ) = x 3 − x y 2 − z f(x,y,z) = x^3 - xy^2 - z f(x,y,z)=x3xy2z, p ( 1 , 1 , 0 ) p(1,1,0) p(1,1,0).
    • 问f(x,y,z)在p处沿什么方向变化最快,在这方向的变化率是多少?
      • ∇ f = f x ′ i + f y ′ j + f z ′ k = ( 3 x 2 − y 2 ) i − 2 x y j − k \nabla f = f_x'i + f_y'j + f_z'k = (3x^2 - y^2)i - 2xyj - k f=fxi+fyj+fzk=(3x2y2)i2xyjk
      • ∇ f ( 1 , 1 , 0 ) = 2 i − 2 j − k \nabla f(1,1,0) = 2i - 2j - k f(1,1,0)=2i2jk
      • 沿 ∇ f ( 1 , 1 , 0 ) \nabla f(1,1,0) f(1,1,0) 方向,增加最快(上升)
      • 沿 − ∇ f ( 1 , 1 , 0 ) - \nabla f(1,1,0) f(1,1,0) 方向,增加最快(下降)
      • m a x { ∂ f ∂ l ∣ p } = ∣ g r a d   f ∣ = ∣ ∇ f ( 1 , 1 , 0 ) ∣ = 3 max\{\frac{\partial f}{\partial l} |_p\} = |grad \ f| = |\nabla f(1,1,0)| = 3 max{lfp}=grad f=f(1,1,0)=3
      • m i n { ∂ f ∂ l ∣ p } = − ∣ g r a d   f ∣ = − ∣ ∇ f ( 1 , 1 , 0 ) ∣ = − 3 min\{\frac{\partial f}{\partial l} |_p\} = -|grad \ f| = -|\nabla f(1,1,0)| = -3 min{lfp}=grad f=f(1,1,0)=3
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方向导数