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  • 无穷级数与连分数

    2018-11-23 13:16:52
    无穷级数与连分数》比较系统地对无穷级数在数学中所起的技术工具作用与连分数解析理论构造闵可夫斯基(Minkowski)函数及将其开拓到复数域上作了介绍。特别较为无穷发散级数的几种和性结合实际地作了论述和论证。...
  • 这个压缩包里面有《无穷级数与连分数》与《二次无理数的连分数》两本数学文献的PDF
  • 无穷级数与连分数》比较系统地对无穷级数在数学中所起的技术工具作用与连分数解析理论构造闵可夫斯基(Minkowski)函数及将其开拓到复数域上作了介绍。特别较为无穷发散级数的几种和性结合实际地作了论述和论证。...
  • 作者: 北京大学数学力学系高等数学教材编写组 出版社: 人民教育出版社 出版年: 1978-4 页数: 223 定价: 0.63 统一书号: 13012-0161
  • 南开大学场论与无穷级数(信息类)试卷,适用于信息类专业的大学一年级下的同学。
  • 无穷级数

    万次阅读 多人点赞 2019-05-25 19:15:41
    无穷级数 1. 这个证明还是蛮有意思的,将1/n与ln(1+n)进行比较,发现前者要大于后者,然后去求后者的和。发现后者的和为无穷大。所以,1/n是收敛的。 2. 这是属于比较常见的级数,所以,还是要记住的。 ...

    无穷级数

    1.在这里插入图片描述
    这个证明还是蛮有意思的,将1/n与ln(1+n)进行比较,发现前者要大于后者,然后去求后者的和。发现后者的和为无穷大。所以,1/n是收敛的。
    2.
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    这是属于比较常见的级数,所以,还是要记住的。

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    感觉这种题目却是还是蛮有意思的,因为这种题目正好是用到了高中的一些不等式的知识,而这又是非常难已看出的。
    4.
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    这里主要是记住那个公式。这样,在遇到一些题目的时候,思路会较为清晰一点。
    5.
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    这一题呢,你一定要好好研究题给的条件,因为也许他们用比较的判别法,一比就可以得出我们想要的值。
    6.
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    要注意这种放缩,在实际中的运用,并且,要尽量将未知往已知上面靠。
    7.
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    这种题目刚开始的时候,可能会没什么思路,但是,你可以尝试先把前面若干项给列出来,看一下,有没有能够消去的。如果比较幸运的话,会发现是有可以消去的。然后,运用题目之前给的条件,对上述拿到的结论进行一定的化简。最终,放大,缩小,与已知进行比较,也许就得得到想要的结果。但一定要记得,若有问到条件收敛的话,可以先考虑,加了绝对值的级数。因为只要这个是发散的,那么基本也就只能选条件收敛的。

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    这种遇到不要怕,只要按照求极限的方法,刚下去,就一般没什么问题。
    9.
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    这个东西还不是很好弄好的。因为你要提出一个2,然后,再分别搞一下。
    10.
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    暂时看到这一页。

    接下来的内容时从20-1000题上面摘抄下来的内容的

    11
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    这里的放大还是很有意思的,说了应该是尽可能小的“放大”。
    12.
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    这个题目的重点也是在不断的放缩,确实这个会是我比较薄弱的地方。特别要注意,sinx<x<tanx这种公式。
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    这一题呢!要记住的结论是只要数列收敛,那么该数列的极限一定是等于0的。毋庸置疑。
    14.
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    15.
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    这两道题目的证明还是要了解一下的,至少是应该自己会证的。

    接下来是交错级数的内容

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    这题比较妙的地方就在于,其将tanx->x了,有点66.所以,才说那个公式还是很重要的,基本不可以舍弃的。
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    不知道是不是我还没有培养其那种等价无穷小的感觉,还是,其实这种题目都还是算蛮简单的,因为都是只需要一个较为简单的无穷小等价,就可以得到你想要的结果。
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    这题出的还是蛮好的,首先,先让你判断,莱布尼茨判别法到底适不适用这种情况。然后,干脆直接就给出了an的取值范围。其实,这里an的范围也是很容易,就可以得出的,以为我们知道了f(x)的范围,只要假设,这里面的最大值是等于多少,将其相当于一个常数,然后,再带入上下限就,可以得出an的范围。
    19.
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    这个题目在1800里面也有,也许很经典把,这个题目!因为你确实要有做过这种题目的经验,你才有可能很瞬速的反应过来,哇靠,这个就是加一个npai ,再减一个npai吗?这样就可以完美的把这个Un搞成一个看起来没有那么难受的一个数列了。
    20.
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    这个题目也是超级经典了,不用说了,自己好好品味把。
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    不说假话,我感觉这道题目百分之80的人都会做错,因为他们根本无法想到,去把下面这个东西翻到上面去,然后,再进行拆分。这是根本想不到的。也许说那个f(x)你还是会有一些感觉,说可以求个导,看一下,但最难的还是第一步啊。有时候,主要还是恐惧这种题目,看到这种题目的第一眼就已经被征服了,因为害怕,害怕可能要讨论,那我们你为什么不能转换一个思维呢,我为什么不能将其消去呢!
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    哈哈,刚说到上面那道题目,就打脸了。这题就没办法用上面那种方法了,你真的只能尝试着 一个式子一个式子的将其写出来,然后找规律。第一步呢。你可以先假设(-1)^n的值,然后带入式子中,然后进行放缩,得到一个比较适合的值。第二部分的话,就只能尝试将其部分和Sn求出来吧。这样,你可以得到有关于这个部分和的一些性质,这个部分和,单调递减有下界啊,那它可不就是收敛吗?
    23.
    如果级数没有说它是正项级数,那么它所表示的收敛便有可能是条件收敛。
    24.
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    这种概念题还是要注意的,注意D选项的解释,还是很精确的,没有用直接un的大小去比较,而是用他们之间的差去比较,这样就显得比较准确一点,因为这毕竟是面向一般级数的。
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    这题呢,你就采用拉格朗日的公式对其进行,操作,只是看你有没有想到了,将其收敛于一个数,那么依据这个可以判断,其是绝对收敛的。还有一点是,你仔细研究题目,你会发现,它说了导函数有界,而且,还出现了原函数。我想,这个暗示已经足够明显了原函数+导函数。->基本就是拉格朗日了,逃不掉了,然后再运用一下f`(x)<M的这种情况,别刻意得到,级数也是收敛于某一个值的。
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    不用说,这题让我做的话,也是肯定不会的,也许,我还能够求出,第一步的范围,但第二部的那个比较可真的是找不出了。
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    这题一定要注意他的结论,说,在某一个点为绝对收敛,则在该点取绝对值的时候,为绝对收敛,而大于该点( 取绝对值)的时候为发散。
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    就暂时先看到这里吧,去刷一波题。
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    这个求收敛域的方法叫做比值审敛法,就是相比得出一个函数,该函数的收敛域就是其收敛域,但要注意两个点是否收敛。其实这就是老师所说的求收敛域的三部曲。按照这种方法一般都不会出现什么错误。
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    这就是传说中的配方法了,在原始中进行配。

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    这题肯定是先拆分,然后,按照等比级数的公式,拆成类似的样子,那样再运用公式就可以了。
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    这题就比较有意思了,直接搞是搞不懂的,还不如将这个东西积分一下,再求导就好了。那样,就很好搞了。
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    这题应该是算难题了,因为,这变换着实太恐怖了,这题第二题还没看,先跳过把!!
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    暂时先看到这一页把!有点疲倦。!*
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    总结的时候,认真看一下。
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    我又发现了一个求和函数的规律,就是在an是有分母的时候,你应该尝试着把分子塞进xn里面去,也许这样,更容易处理,对于我们来说。
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    41.

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  • 无穷级数(一)

    2021-08-18 22:28:29
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    进入无穷级数章节,我们研究的重点是级数的敛散性问题,更多的是对以前学过的求极限的知识的运用。

    第一部分只会涉及其中的数项级数,

    主要内容:

    一、初识无穷级数

    二、正项级数审敛法

    知识点1:正项级数敛散性的判定

    三、任意项级数

    知识点2:莱布尼茨判别法

    知识点3 :综合判断级数敛散性


    一、初识无穷级数

    • 何为无穷级数

            给出一个无穷序列u_{1},u_{2},...,u_{n},..., 我们把它们的和式 u_{1}+u_{2}+...+u_{n}+... 称为无穷级数,简记为\sum_{n=1}^{\infty }u_{n},其中u_{n}是通项。

    根据每一项的特征,级数又分为了数项级数和函数项级数。

    首先介绍的是数项级数。

    • 无穷级数的敛散性

    这便是级数敛散性的定义,也是我们判断级数敛散性的第一个手段——求出部分和(前n项和),判断这个部分和是否有极限。

    利用等比数列前n项和公式,但是要注意公比为1、-1的情况需要单独考虑。

    虽然计算部分和的极限来判断级数是否收敛这种方法很直接、易懂,但是很多情况下我们很难求出部分和,更不用说求出其极限了。因此,判断级数的敛散性,我们需要用更加方便的判断方法,在后面我们会陆续学到。

    • 无穷级数的性质

    1.

     2.

     收敛级数的和、差均收敛;

    收敛级数与发散级数的和、差必定发散;

    发散级数的和、差的敛散性不确定。

    3.

     这个性质启发我们,有时候我们可以忽略无穷级数的部分有限项,仅考虑剩下的项,此时敛散性不变。

    4. 收敛级数可以任意加括号(而不改变收敛性),发散级数可以任意去括号(而不改变发散性)

    如:考虑通项为u_{n} = (-1)^n的级数,发散级数不可以任意加括号,可能会改变敛散性。

    5.

     既然是级数收敛的必要条件,那么我们在判断一个级数是否收敛的时候,最开始就应该看看这个条件是否成立,一旦不成立,级数一定发散。

    首先判断n趋向于正无穷大时,极限是否为零。

    二、正项级数审敛法

    • 何为正项级数

    满足级数和式的每一项都是非负的实数的级数,是正项级数。

    这里介绍一个简单的定理,是针对正项级数而言的:

    正项级数收敛 \Leftrightarrow 正项级数的部分和数列有上界

    考虑正项级数部分和的是否有界。用到一个重要不等式 x \geqslant ln(1+x) 将分式转化为对数式,再根据对数运算法则处理。

    知识点1:正项级数敛散性的判定

    对于正项级数,我们有五种方法,是

    • 比较判别法
    • 比阶判别法
    • 比值判别法(达朗贝尔判别法)
    • 根值判别法(柯西判别法)
    • 积分判别法

    在正式介绍这三种方法之前,我们首先需要记住一下可以下面两个级数的敛散性,以此方便后面的解题。

    等比级数,

    P-级数,

    比较判别法

    解读:要想使用比较判别法,就最好将一个未知的正项级数放大为一个收敛的级数,或者缩小为一个发散的级数。这两种情况下,比较法生效。 

    使用关键:会适当地放缩

    比较法需要我们牢记等比级数、p级数这两把标尺,即它们的敛散性情况,这样我们才可以明确待求敛散性的级数该怎么操作、敛散性如何。 

    (1)形式和调和级数有点像,估计是发散的,就将其缩小,即放大分母,-1去掉即可。

    (2)向等比级数转化,估计是收敛的,就将其放大,即减小分母,1去掉即可。

    一般地,我们需要首先预判一下这个级数的敛散性,如果它可能收敛,就将它放大,反之缩小,最后的放缩结果最好是等比级数或者p级数这样的“标尺”,方便我们判断。

    解:

    注意到通项分母比分子次数更高,它有可能收敛;可以向p级数放大转化,放大分子,减小分母,将所有的常数项要么缩小为0,要么放大为n,即可得到p级数。

     

     

    当做一个结论记忆即可,有时候可以直接用。 

    比阶判别法

    解读:比阶判别法是比较判别法的极限形式,理解为同阶的级数敛散性相同。

    使用关键:可能涉及等价无穷小的知识,与极限的运算紧密关联

    由于比阶法涉及极限问题,以及同阶之类的情况,我们需要回忆极限一章学过的一些结论,包括重要极限、洛必达法则等。

    我们知道 x - \sin x \sim kx^3 (也可以当即验证)

    下面给出两个例子,是想具体地展示我们怎么选取级数来用比阶法,以及整个思考过程

    给出的待求敛散性级数的通项如果是分式,且分式仅含有n的某次幂的形式,那么比阶法很适用,因为我们要比的级数就是1/n 的某次幂(p级数),很容易判断出敛散性。

    (2) 分子为n的零次幂,分母(最高)为n的3次幂,我们就选取的p级数通项就是\frac{1}{n^3} (它是收敛的),

    \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n^2 + n^3}}{\frac{1}{n^3}} = \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^3}{n^2 + n^3} = 1 , 

    两者同阶,敛散性一致,均收敛。

    (3)分子是1/2次的,分母是1次的,我们就选取的p级数通项是\frac{1}{\sqrt{n}}(它是发散的),

    \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{\sqrt{n}}{n-1}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n - 1} = 1

    两者同阶,敛散性一致,均发散。

    比值判别法(达朗贝尔判别法)

    解读:比值判别法操作起来很直接,它不需要其他的级数作为判定标尺,使用本身即可判定。它和后面的根值法将会是判定正项级数敛散性的首选方法

    首选比值法,计算一个极限即可。 

    关于上面用到的重要极限,有一点说明:

    其实e是它的一个上限,下面这个不等关系很重要。

    (1+\frac{1}{n})^n < e

    判断下列级数的敛散性。

    直接使用比值法:

    根值判别法(柯西判别法)

    解读:当级数的通项中有n次幂时,根值判别法很适用。

    注意:对于比值判别法和根值判别法,当算出来的极限值为1时,此时比值法、根值法失灵,需要更换方法了。 

    积分判别法

    由判断级数的敛散性转化为判断一个广义积分的敛散性。

     例

     这也是一个结论性的级数,其敛散性可以记下来。

    小结:

    以上的这五种判别方法,都是针对正项级数才能使用的方法(负项级数加上负号转化为正项级数也可以使用),在不清楚级数是否是正项级数的情况下,不能贸然使用。

    判断正项级数敛散性的大致步骤:

    1. 首先判断通项在n趋向于无穷大时极限是否为0(级数收敛的必要条件)
    2. 首选比值法、根值法;
    3. 然后选用比较法、比阶法;
    4. 用定义判断(求部分和)。 

    三、任意项级数

            既有正项、又有负项的级数,称为任意项级数。为了能够将研究任意项级数的问题向研究正项级数的问题转化,我们需要对任意项级数作出一些处理。

    • 绝对收敛与条件收敛 

    我们把任意项级数中正项和负项分别抽离组成新的正向级数(负项都添加负号即可),分别称为正部级数和负部级数:

    那么有        绝对收敛 \Leftrightarrow 正部级数和负部级数都收敛

    证明方法略(用到了比较法,它们都是正项级数)

            1. 我们可以得到一个非常重要的结论:

            绝对收敛 \Rightarrow 收敛

            即一个(任意项)级数如果绝对收敛,那么它必然收敛。

            注意这是判断级数收敛的充分条件,也就是说一个级数收敛,它也可能并不绝对收敛(此时它就是我们所说的条件收敛),一般来说我们并不能这样判断:

            不绝对收敛 => 发散

            2. 同时我们也可以得到(逆否命题一定也成立)

            发散 \Rightarrow 不绝对收敛

            3. 但是也有例外情况,如果我们使用了比值法或者根值法判断出来原级数并不绝对收敛,那么它时发散的。即

            用比值法或者根值法判断出不绝对收敛 \Rightarrow 发散

    • 交错级数

    正项与负项相间的级数,为交错级数,它也是一种比较特殊的级数,形如:

    \sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^n u_{n},\ u_{n}>0

    知识点2:莱布尼茨判别法

     莱布尼茨判别法专用于判定交错级数的敛散性,注意两个使用条件

    判断下面的级数的敛散性。

             

    它是一个交错级数,并且满足两个使用条件,所以由莱布尼兹判别法,它收敛。 

    至此,我们已经学习了正项级数审敛法、任意项级数的绝对收敛和条件收敛、交错级数的莱布尼茨判别法,已经初步具备了判断任意一个级数敛散性的能力。而题目的考查往往也是比较综合性的,很多时候需要我们判断完级数收敛之后,仍需要我们判断它属于何种收敛(绝对收敛、条件收敛)。

    比如,我们首先用莱布尼茨判别法判断出来一个交错级数是收敛的(但是不知道是否是绝对收敛),这个时候我们还需要再判断通项的绝对值组成的正项级数的敛散性即可(它若收敛,即为绝对收敛,否则为条件收敛)。

    知识点3 :综合判断级数敛散性

    解析:

    首先,我们发现题目给出的级数的形式很像交错级数,但是这里并不是,因为分母的符号会变化,并不是恒大于零(或者恒小于零也可),不过好在它是一个等差数列,形如

    可以看出,一定有这样的特点:从数列的某一项开始,往后每一项的符号不会变化, 那么我们就可以忽略前面这有限项,仅考虑后面的级数(级数敛散性不变)

    满足莱布尼茨判别法:

     所以原级数收敛,现在还需要判断它是否绝对收敛:

    所以它条件收敛。 

    例 

     例

     

    展开全文
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           假期鸽了很久,今天我要分享的是无穷级数,数一的专场。

           今天的内容一共有9题,一起加油吧!

    56a1806f0a23c7f7bfe5c7843697e0c2.png

    【1】

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          本题考查无穷级数的判敛。本题用到的是通过放缩(比较判别法)直接判断敛散性,属于简单题,把后面的sin放大到1即可解决问题。

           自解: 

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    【2】

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           本题也算是一个级数敛散性相关问题。第一问的求和有1/n,有无穷多项,还不是幂级数,让人想到用定积分定义求解,第二问和第一问的式子有很大关系,初步可以判定是与p级数对比考比较判敛法

           自解(计算过程): 

    1e8f42b07a3c9f898e1604210447c48d.png

    【3】

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           本题考查级数的判敛。条件中涉及的比值暗示了本题要用做比值的比较判别法,紧扣题目条件尽可能挖掘隐藏信息是关键。和标准答案不同,我使用的是泰勒公式然后再和p级数对比,不过我觉得我的方法更容易想到e9bc04b592db0e8b605f657940f5bb13.png

           自解: 

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     【4】

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          本题考查级数求和,算是有难度的问题,难点在于对题干信息的处理,题干所给条件可以通过变形弄出与an相关的递推式,根据递推式可以求出an的解析式,最后分块求和即可,要注意n从几开始求和(0/1)

           自解: 

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     【5】

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          本题考查级数求和,这部分知识是级数部分的核心知识。前半问求收敛域则直接用先取绝对值再用比值,再定端点的求收敛域标准三步即可。后面的求和因为分母有n,所以采用先求导后积分的方法求和,最后化成两个幂级数求和的形式。

           自解: 

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    【6】

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          本题考的是幂级数展开与求和,不过本题重在求展开式。第一问考查幂级数的展开问题,是课上讲的经典类型,用先求导后用牛顿莱布尼兹公式化成展开式的方法可以解决。第二问直接用第一问的结论代值就差不多能做出来了。

           自解: 

    9f60a6b53ba2b1107fa2cd488794811b.png

    【7】

    49af54088b08cc3f30e09ee807fb8bb0.png

          本题考查级数求和,直接给出了级数的表达式。首先要把分母部分进行因式分解然后用有理函数的方法变形,拆分该分式。然后再将级数分为两个部分分别求和。拆开的部分分母都有n,所以都采用先导后积处理

           自解: 

    66e6ecd12b668da033f198d11a6145bf.png

    【8】

    171abe239457bae4103afd5cba496598.png

          本题考的也是级数求和。属于“套帽子”的级数题,求解关键在于对积分式的处理。处理好帽子(换元法解积分题)后本题就基本能直接出解了。

           自解: 

    99adcf5154a0f3fe773a1458569a1b63.png

    【9】

    f23a87977326a8a12ee0a64c548b975b.png

           本题考查傅里叶级数的和函数,直接套相关的公式(狄利克雷收敛定理)即可,傅里叶级数本身难度不是很大。

           自解: 

    7cef4f34c477613fe51f1803d31246b8.png

    【附】之前第六讲中没讲明白的内容解析(第八、九题)

    这次抽空听了下官方的闭关修炼习题讲解,想到了之前放弃的两个问,遂作以下记录。

    飞机:《考研数学闭关修炼》习题讲解(6) 中值定理、微分等式不等式

    【原第八题第二问补充思路讲解】

           首先第一步思路是要使用f(x)和导数,所以采用分部积分法。 为了凑出-6/7,而刚好遇到了x(x-3)的积分值为-6/7,所以要努力凑x(x-3)这个形式。最后结论:这一问确实难想,对灵感要求高,一时半会想不出就放弃吧。14e9ad4b9ec3c4526bb3b455cf4c9bf7.png

    【原第九题第二问补充思路讲解】

           这里看到那个等式77979d432d9b0ec853926c96fa402a27.png最好要想到把右边的6132691c6f0095c76846746cf3e1325f.png两边同除,然后两边同时积分,之后就可以得出辅助函数了,此问没想出来是我见识短浅了,对微分方程的处理手段还不熟悉。3b5aa94c27837120a22f36e72f25861d.png

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  • 多项式逼近理论得到常用三角函数的无穷级数乘积公式 问题: 求方程 sin⁡(x)=0\sin(x)=0sin(x)=0 的解。 1、首先, sin⁡(x)=0\sin(x)=0sin(x)=0 有解 {kπ,k=0,±1,±2,⋯ .}\{kπ,k=0,\pm 1,\pm 2, \cdots .\}{k...

    多项式逼近理论得到常用三角函数的无穷级数乘积公式

    问题: 求方程 sin ⁡ ( x ) = 0 \sin(x)=0 sin(x)=0 的解。

    1、首先, sin ⁡ ( x ) = 0 \sin(x)=0 sin(x)=0 有解 { k π , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯   . } \{kπ,k=0,\pm 1,\pm 2, \cdots .\} {kπk=0,±1,±2,.}

    2、假设 sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x) 是多项式函数,由多项式有根的代数基本理论 (the fundamental theorem of algebra) 即 多项式逼近理论 (polynomial approximation theorem)

    sin ⁡ ( x ) = c ∗ ∏ k = 1 ∞ ( k π − x ) ( k π + x ) x sin ⁡ ( x ) x = c ∗ ∏ k = 1 ∞ ( k π − x ) ( k π + x ) \displaystyle \sin(x) = c*\prod_{k=1}^{\infty} (kπ-x)(kπ+x)x \\[1em]\frac{\sin(x)}{x} = c*\prod_{k=1}^{\infty} (kπ-x)(kπ+x) sin(x)=ck=1(kπx)(kπ+x)xxsin(x)=ck=1(kπx)(kπ+x)

    x → 0 x \to 0 x0, 求极限得到
    c = ∏ k = 1 ∞ 1 k 2 π 2 \displaystyle c=\prod_{k=1}^{\infty} \frac {1}{k^2π^2} c=k=1k2π21

    我们得到奇函数 sin ⁡ ( x ) \sin(x) sin(x) 的无穷级数乘积公式(一):

    f s i n ( x ) = sin ⁡ ( x ) = x ∏ k = 1 ∞ ( 1 − x k π ) ( 1 + x k π ) = x ∏ k = 1 ∞ [ 1 − x 2 ( k π ) 2 ] \displaystyle \begin{aligned} \red {fsin(x)} =\sin(x) &= x {\prod_{k=1} ^{\infty} ({1- \frac{x}{kπ})} (1+ \frac{x}{kπ})} \\&= x \prod_{k=1} ^{\infty} \left[1- \frac{x^2}{(kπ)^2}\right ] \end{aligned} fsin(x)=sin(x)=xk=1(1kπx)(1+kπx)=xk=1[1(kπ)2x2]

    三角函数sin(x) 的无穷级数乘积公式GGB展示

    x = π 2 x = \frac{π}{2} x=2π, 有

    π 2 = ∏ k = 1 ∞ 2 k 2 k − 1 ⋅ 2 k 2 k + 1 = ∏ k = 1 ∞ 1 1 − 1 4 k 2 = ∏ k = 1 ∞ [ 1 + 1 4 k 2 − 1 ] = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋯ = 4 3 ⋅ 16 15 ⋅ 36 35 ⋅ 64 63 ⋯ \displaystyle \begin{aligned} \frac{π}{2} &= \prod_{k=1} ^{\infty} \frac{2k}{2k-1} \centerdot \frac{2k}{2k+1} \\&= \prod_{k=1} ^{\infty} \frac{1}{1- \frac{1}{4k^2}} \\&= \prod_{k=1} ^{\infty} \left[1+\frac{1}{4k^2-1}\right] \\&=\frac{2}{1} \centerdot \frac{2}{3} \centerdot \frac{4}{3} \centerdot \frac{4}{5} \centerdot \frac{6}{5} \centerdot \frac{6}{7} \cdots \\&=\frac{4}{3} \centerdot \frac{16}{15} \centerdot \frac{36}{35} \centerdot \frac{64}{63} \cdots \end{aligned} 2π=k=12k12k2k+12k=k=114k211=k=1[1+4k211]=123234545676=34151635366364

    参见 John Wallis’ product for π π π

    因为 sin ⁡ ( π / 2 − x ) = cos ⁡ ( x ) \sin(\pi/2-x)=\cos(x) sin(π/2x)=cos(x), 所以有偶函数 cos ⁡ ( x ) \cos(x) cos(x) 的无穷级数乘积公式(二):
    f c 1 ( x ) = cos ⁡ ( x ) = ( π 2 − x ) ∏ k = 1 ∞ ( 1 − π / 2 − x k π ) ( 1 + π / 2 − x k π ) = ( π 2 − x ) ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k + x k π ) ( 1 + 1 2 k − x k π ) \displaystyle \begin{aligned} \red{fc_1(x)}=\cos(x)&=(\frac{\pi}{2}-x) \prod_{k=1} ^{\infty} {\left(1 - \frac{\pi/2-x}{kπ}\right)} {\left(1 + \frac{\pi/2-x}{kπ}\right)}\\&=(\frac{\pi}{2}-x) \prod_{k=1} ^{\infty} {\left(1-\frac{1}{2k}+\frac{x}{k \pi}\right)}{\left(1+\frac{1}{2k}-\frac{x}{k \pi}\right)} \end{aligned} fc1(x)=cos(x)=(2πx)k=1(1kππ/2x)(1+kππ/2x)=(2πx)k=1(12k1+kπx)(1+2k1kπx)

    同理可得

    f c o s ( x ) = cos ⁡ ( x ) = ( 1 − 2 x π ) ∏ k = 1 ∞ ( 1 + 2 x ( 2 k − 1 ) π ) ( 1 − 2 x ( 2 k + 1 ) π ) = ( 1 − 2 x π ) ∏ k = 1 ∞ ( 1 + x / π k − 1 / 2 ) ( 1 − x / π k + 1 / 2 ) \displaystyle \begin{aligned} \red{fcos(x)}=\cos(x)&=\left(1-\frac{2x}{\pi}\right) \prod_{k=1} ^{\infty} {\left(1 + \frac{2x}{(2k-1)π}\right)} {\left(1 - \frac{2x}{(2k+1)π}\right)}\\&=\left(1-\frac{2x}{\pi}\right) \prod_{k=1} ^{\infty} {\left(1+\frac{x/\pi}{k-1/2}\right)}{\left(1-\frac{x/\pi}{k+1/2}\right)} \end{aligned} fcos(x)=cos(x)=(1π2x)k=1(1+(2k1)π2x)(1(2k+1)π2x)=(1π2x)k=1(1+k1/2x/π)(1k+1/2x/π)

    f t a n ( x ) = tan ⁡ ( x ) = 4 x π ⋅ ∏ k = 1 ∞ 1 − x k π 1 − 1 4 k ⋅ 1 + x k π 1 + 1 4 k \displaystyle \begin{aligned} \red{ftan(x)}= \tan(x)&=\frac{4x}{\pi} \centerdot \prod_{k=1} ^{\infty} \frac{1 - \frac{x}{kπ}}{1-\frac{1}{4k}} \centerdot \frac{1 + \frac{x}{kπ}}{1+\frac{1}{4k}}\end{aligned} ftan(x)=tan(x)=π4xk=114k11kπx1+4k11+kπx

    三角函数cos(x) 的无穷级数乘积公式GGB展示

    三角函数tan(x) 的无穷级数乘积公式GGB展示

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  • 本篇内容在知识地图的位置:数字:上图参考文本: ... 无穷大数 希尔伯特酒店 无穷大数有大小(3层) 数字 线段,平面,空间的点数 连接两点的线段数 有可能部分等于整体 无穷小 15:无穷小(一):如何说服“杠精”...
  • matlab无穷级数

    千次阅读 2021-03-19 16:42:09
    clc clear; syms x k; f = k*x^k; s1 = symsum(f,k,1,inf); s2 = symsum(x^2,x,1,100); 这是一篇防遗忘文章 详情请打开matlab输入help symsum进行学习
  • 第十章____无穷级数

    2021-04-13 08:50:35
    第一节 常数项级数 10.1 级数的概念与性质 10.2 级数的审敛准则 10.3 常考题型与典型例题 第二节 幂级数 第三章 傅里叶级数
  • 无穷级数(2)

    2021-08-20 06:42:31
    注意介绍的是函数项级数部分,涉及收敛域的求法、幂级数展开式的求法
  • 1.1.1 清代无穷级数的发展概况 第14-16页 1.1.2 18 -19世纪西方无穷级数的发展概况 第16-17页 1.2 文献综述 第17-23页 1.2.1 个案研究综述 第17-21页 1.2.2 整体研究综述 第21-23页 1.3 研究方法、内容及创新...
  • 仅以x^6项的系数相等为例,我们便得到 经计算,得到又一有关π的无穷级数公式: 挖掘π的无穷级数表示、无穷乘积表示,是一件很有趣的事情。有兴趣的数学爱好者可在我公众号历史消息中搜索“圆周率”,即可找到这...
  • matlab与无穷级数

    2010-07-11 21:37:27
    主要介绍了MATLAB实现无穷级数的功能,以及相关曲线的拟合问题
  • 无穷级数
  • 什么是常数项无穷级数?2. 级数的收敛性与和两个特别的级数级数的判别方法①常数项级数判别法②正项级数的审敛准则③变号级数的审敛准则④绝对收敛二.函数项级数概念1. 什么是函数项级数?2. 函数项级数处处收敛与...
  • 考研数学:无穷级数

    2021-06-13 21:33:56
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  • 无穷级数的理解

    2020-06-22 10:18:20
    要了解无穷级数,建议我先把之前的内容比较生动地阐述一下。前面在函数的极限部分大家已经有所了解了,而“极限的语言”这样的本质上就是一个自变量和因变量的无限逼近。我们发现所谓的极限就是一个比较抽象但是又是...

空空如也

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