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  • 样本空间
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    2019-11-19 14:24:40

    样本空间 随机事件

    样本空间 随机事件

    自然界与社会生活中的两类现象

    { 确 定 性 现 象 随 机 现 象 \begin{cases} 确定性现象 \\ 随机现象 \end{cases} {

    确定性现象:

    • 在一定条件下必然发生的现象。

    例如:在一个标准大气压下,水加热到 100 。 C ^。C C 一定会沸腾。

    随机现象

    • 在一定条件下具有多重可能结果,且实验时无法预知出现哪个结果的现象。

    例: 掷骰子可能出现的点数,可能是 6 点,也可能是其他情况;
    例: 检验产品可能是合格的,也可能是不合格的。

    对随机现象的观察、记录、实验统称为随机实验。它具有以下特性:

    • 可以在相同条件下重复进行;
    • 事先知道所有可能出现的结果;
    • 进行实验前并不知道哪个实验结果会发生。

    例:

    • 抛一枚硬币,观察实验结果;

    样本空间

    定义:随机实验的所有可能构成的集合成为样本空间,记为 S={e},

    S 中的元素 e 称为样本点

    例 1:

    • 一枚硬币抛一次; S = {正面,反面};
    • 记录一座城市发生交通事故次数; S={0,1,2…};
    • 记录一批产品的寿命 x;S ={x:x $ \geq $ 0};
    • 记录某地一昼夜最高温度 x,最低温度 y;S = {(x,y):a $ \leq $ y $ \leq $ x $ \leq $ b}。

    随机事件

    样本空间 S 的子集 A 成为 随机事件 A,简称 事件 A。当且仅当 A 种的某个样本点发生称 事件 A 发生

    事件 A 表示可用集合,也可用语言来表示。

    例 2:

    • 观察某公交站的候车人数,样本空间 S = ?

    • 事件 A 表示 “至少有 5 人候车”,A = ?

    • 事件 B 表示 “候车人数不多于 2 人”, B = ?

    解:
    S = {0, 1, 2, …};
    A = {5, 6, 7, …};
    B = {0, 1, 2}.

    • 如果把 S 看作事件,则每次试验 S 总是发生,所以 S 成为 必然事件
    • 如果事件只包含一个样本点,称其为基本事件
    • 如果事件是空寂,里面不包含任何样本点,记为 ∅ \emptyset ,则每次试验 ∅ \emptyset 都不发生,称 ∅ \emptyset 不可能事件

    接例 2:

    观察某公交车站的候车人数
    解:样本空间 S = {0,1,2,…};

    事件 C 表示“恰好有 3 人候车”
    解:C = {3} 是基本事件;

    事件 D 表示“候车人数既少于 3 个又多于 3”
    解:D = ∅ \emptyset ,是不可能事件。

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  • 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为 S 。 样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为样本点。 实例: 掷出色子点数的6种情况的集合是掷色子这个随机试验的样本空间。每种情况都是一个...
  • 本文介绍了概率统计包括随机试验、样本空间、事件、概率公理定理以及条件概率和贝叶斯法则在内的一些基础知识,都是概率统计的入门知识,要理解起来还是比较容易的,但是熟练掌握应用还需要多应用。

    随机试验

    我们都非常熟悉在科学研究和工程中试验的重要性。试验对我们是有用的,因为我们可以假定,在非常接近的确定条件下进行固定的试验,基本上会得到相同的结果。在这样的环境中,我们可以控制那些对试验结果有影响的变量的值。

    然而在某些试验中,我们不可能断定或控制一些变量的值,虽然大多数的条件都是相同的,但每一次试验的结果会不同。这样的试验称为随机的。

    样本空间

    由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合S,称为样本空间。其中的每一个结果称为一个样本点

    经常会有多个样本空间能够用于描述同一个试验,但是通常只有一个会提供最多的信息

    如果一个样本空间仅有有限个数的点,则称为有限样本空间。如果有如自然数1,2,3,…那样多的点,则称为可数的无限样本空间。如果有数轴上的一个区间那样多的点,比如0≤x≤1,则称为非可数的无限样本空间

    当一个样本空间是有限的或可数的无限空间时,一般称为离散样本空间,一个非可数的无限空间称为非离散样本空间

    事件

    一个事件就是样本空间S的一个子集A,也就是一些可能结果的一个集合。当一个试验的结果是A的一个元素时,则称事件A出现了。当一个事件仅包含S的一个单一点时,常称该事件是简单的或基本的。

    S自身可看作一个特殊的事件,它是一个必然的或确定的事件,因为必定会出现S的一个元素。同时空集
    (∅)称为不可能事件,因为∅中没有元素会出现。

    对S中的事件进行集合运算,可以获得S中的其他事件。例如,如果A和B是事件,则:

    1. A ∪B是“A或B或者两者同时出现”的事件,AUB称为A与B的并或A与B的
    2. A∩B是“A,B同时出现”的事件,A∩B称为A与B的交或A与B的
    3. A’是“A不出现”的事件,A’称为A的补或非
    4. A-B=A∩B’是“A出现但B不出现”的事件,特别A’=S-A。

    如果事件A 和B是分离的,也就是A∩B=∅,则称事件是互斥的。这意味着两者不能同时出现。如果一个事件组A1,A2,·…,An,A中的任一对都是互斥的,则称为一个互斥事件组

    概率的概念

    在一个随机试验中总是存在不确定性,即一个特殊的事件可能出现也可能不出现。作为我们所能期望的该事件出现的机会或概率的度量,通常约定为0和1之间的一个数值。

    如果我们肯定该事件一定出现,则它的概率是100%或1,如果我们肯定该事件不会出现,则它的概率是0。
    又比如,当概率是1/4时,我们认为它出现的机会是25%,不出现的机会是75%。等价地,我们可以说相对它的实现反映出的优势比为75%:25%,或3:1。

    存在两种重要的方法,这时一个事件的概率可以用这些方法估计出来。

    1. 古典方法。如果总共n种可能的状态,每一种状态都是完全相似的,而一个事件在h个不同的状态中会出现,则这个事件的概率是h/n。
      例1.10 假定我们想知道一次投掷硬币中掷出正面的概率。由于在投掷一枚硬币时有两个完全相似的状态,也就是正面和反面(假定不仔在滚动或边缘站立),这两个状态仅有一个出现正面,我们有理由认为这个所求的概率是1/2。这里,当然要假定硬币是均匀的,也就是不偏向任何一个状态。
    2. 频率方法。将一个试验进行n次,当”相当大时,其中有h 次出现某一事件,则该事件的概率是h/n。这也称为该事件的经验概率
      例1.11 投掷一枚硬币1000次,发现正面出现532次,则我们估计正面出现的概率为532/1000=0.532。

    占典方法和频率方法两者都有较严重的缺陷。第一种中,词“完全相似”是含糊不清的,而第二种中的“相当大”也是含糊不清的。因此数学家导出了概率的公理化方法。

    概率的公理

    假定我们有一个样本空间S。如果S是离散的,则其全部子集均视为事件,反之如果S是非离散的,则仅有一些特殊子集(称为可测的)视为事件

    对事件类C中的一个事件A,我们给以一个实数P(A)。如果下列公理能够满足,则称P是概率函数P(A)称为事件 A 的概率

    1. 公理1 对类C中的每一个事件A, P(A)≥0 ;
    2. 公理2 对类C中的确定事件S,P(S)=1;
    3. 公理3 对类C中的一些互斥事件A1,A2,…,P(A1 ∪ A2 ∪ ···)=P(A1)+P(A2)+···。特别地,对两个互斥事件A1,A2,P(A1∪ A2)=P(A1)+P(A2)。

    概率的一些重要定理

    从概率公理能够证明许多关于概率的定理,在今后的工作中它们是重要的。

    1. 定理1-1 如果A1⊂A2,则P(A1)≤P(A2),同时 P(A2-A1)=P(A2)-P(A1);
    2. 定理1-2 对任一事件A,0≤P(A)≤1,也就是一个概率在0和1之间;
    3. 定理1-3 P(∅)=0,也就是不可能事件的概率为0;
    4. 定理1-4 如果A’是A的补,则 P(A’)=1-P(A);
    5. 定理1-5 如果A=A1∪A2∪···∪An,其中A1,A2,…,An是互斥事件,则
      P(A)=P(A1)+P(A2)+.·+P(An)
      特别,如果 A=S 为样本空间,则 P(A1)+P(A2)十···+P(An)=1
    6. 定理1-6 如果A和B是两个事件,则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
      更一般地,如果 A1,A2,A3是三个事件,则
      P(A1 ∪ A2 ∪ A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1∩A2)-P(A2∩A3)-P(A3∩A1)+P(A1∩A2∩A3)
      也可以推广到n个事件。
    7. 定理1-7 对任意事件A和B,P(A)=P(A∩B)+P(A∩B’)
    8. 定理1-8 如果一个事件A必定出现在一组互斥事件A1,A2,…,An的某个中,则
      P(A)=P(A∩A1)+P(A∩A2)+···+P(A∩An)

    概率的确定

    如果一个样本空间S包含有限个结果a1,a2,…,an,则由定理1-5,P(A1)+P(A2)+···+P(An)=1

    其中A1,A2,…,An,是由Ai={ai}给出的基本事件。

    从而,我们可以选择一些非负数作为这些简单事件的概率,只要它们满足上式。特别地假定全部简单事件有相等概率,则
    P(Ak)=1/n,k=1,2,…,n
    如果A是一个如此的h个简单事件叠加的事件,则我们有 P(A)=h/n

    这与前面给出的古典概率方法是等价的,我们也可使用其他方法确定概率,比如前面给出的频率方法。

    确定概率是提出一种数学模型,这一模型是否成功必须按同样的方式作多次试验来进行检验,采用的方式在物理或其他科学中的理论也须经试验检验。

    条件概率

    设A和B是两个事件(如图1-3),其中P(A)>0:
    在这里插入图片描述
    用P(B|A)记给定A 出现时B的概率,由于A已经出现是已知事实,它就成了新的样本空间,代替了原来的 S,这就引出定义:P(BIA)=P(A∩B)/P(A)
    或: P(A∩B) = P(A)P(BIA)
    上式说明事件A和B同时出现的概率等于A出现的概率乘以A已发生时B出现的概率,称P(B|A)为 A 发生时B的条件概率,也就是给定A已经发生时B将出现的概率,很容易看出条件慨率满足前面给出的公理。

    条件概率的定理
    1. 定理1-9 对任意三个事件A1,A2,A3,有 P(A1∩ A2∩A3) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)
      该定理说明,A1,A2和A3,同时出现的概率等于 A1 出现的概率乘已知A1出现时A2出现的概率再乘上已知A1和A2都出现时 A3出现的概率。
      这一结果可推广到n个事件。
    2. 定理1-10 如果事件A必定出现在互斥事件组A1,A2,…,An的某一事件中,则
      P(A)=P(A1)P(A|A1)+P(A2)P(A|A2)+…+P(An)P(A|An)
      老猿注:事件A必定出现在互斥事件组A1,A2,…,An的某一事件中,意味着A中的元素必须被A1,A2,…,An全包含,也可以在A1,A2,…,An中的多个中出现。

    独立事件

    • 如果P(B|A)=P(B),也就是B出现的概率不受A出现或不出现的影响,则称A和B是独立事件。从条件概率公式可看出这等价于
      P(A∩B)=P(A)P(B),反之,如果有该式,则A和B是独立的

    • 对于三个事件A1,A2,A3 ,若它们每一对是独立的 P(Aj∩Ak)=P(Aj)P(Ak),j≠k,这里j,k=1,2,3
      而且同时有
      P(A1∩ A2∩ A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
      则称这三个事件是独立的。

    注意,上面两个定义单独自身一个是不够的。多于3个事件的独立性也容易定义。

    贝叶斯(Bayes)定理

    设A1,A2,…,An是一组互斥事件,它们的并是样本空间 S,也就是这些事件必有一个出现。则对任一个事件A,有下列重要定理:

    定理1-11(贝叶斯法则)
    在这里插入图片描述
    老猿注:
    才开始理解时,以为A必须是A1,A2,…,An中的一个,当样本空间只有A和B两个互斥事件时,则对应的贝公式为:P(A|B)=(P(B|A)P(A))/(P(A)P(A|A)+P(B)P(A|B)=P(A∩B)/(P(A)+P(A∩B))=0/P(A)=0,这样算没问题,但这样的公式没有实际意义,因为当Ak是A1,A2,…,An中的一个时,从上述公式可以得到:

    1. P(Ak|A) = P(A),当Ak=A时;
    2. P(Ak|A) = 0,当A不等于A时。
      所以上面公式中的A是任意事件。

    同时由条件概率引出定义可以知道:P(Ak|A)P(A)=P(A|Ak)P(Ak)= P(A∩Ak),则有:
    P(Ak|A) = P(A|Ak)P(Ak)/ P(A)
    而由定理1-10可知:P(A)==P(A1)P(A|A1)+P(A2)P(A|A2)+…+P(An)P(A|An),因此贝叶斯法则成立。

    这一公式使我们能找出可以导致A出现的各种事件A1,A2,…,An的概率。这就使贝叶斯定理经常被认为是一条关于因果概率的定理。

    小结

    本文介绍了概率统计包括随机试验、样本空间、事件、概率公理定理以及条件概率和贝叶斯法则在内的一些基础知识,都是概率统计的入门知识,要理解起来还是比较容易的,但是熟练掌握应用还需要多应用。

    说明:

    本文内容是老猿学习美版M.R.斯皮格尔等著作的《概率与统计》的总结,有需要高数原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。
    在这里插入图片描述

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  • 1.2 样本空间和事件

    千次阅读 2020-01-18 20:50:11
    从本节开始,我们将逐步引入概率论的基本概念。样本空间和事件是最基本的两个概念。

    §2 样本空间和事件

    定义1.2.1(样本点,样本空间)

    随机试验可能出现的结果称为样本点,一般用 ω \omega ω 表示。全体样本点构成样本空间,用 Ω \Omega Ω 表示。


    定义1.2.2(事件)

    我们将事件定义为样本点的某个集合,称某事件发生当且仅当它所包含的某个样本点出现。

    注:

    1. 将样本空间 Ω \Omega Ω 自身也视为一个事件,因为在每次试验中 Ω \Omega Ω 必然发生,故常称它为必然事件。
    2. 类似地,可将 ∅ \emptyset 视为不可能事件。

    在研究中,视必然事件和不可能事件为随机事件的两个极端情形统一处理。


    下面研究事件间的关系和事件的运算:

    两个事件 A A A B B B 的关系:

    1. 包含关系

      A A A 中每个样本点都包含于 B B B 中,则记为 A ⊂ B A \subset B AB B ⊃ A B \supset A BA,并称 A 被 包 含 于 B A被包含于B AB,亦称事件 B B B 包含了事件 A A A

    2. 等价关系

      A ⊂ B A \subset B AB B ⊂ A B \subset A BA 同时成立,则称 A A A B B B 等价。

    3. 对立关系

      对于事件 A A A,由所有不包含在 A A A 中的样本点所组成的事件称为 A A A 的逆事件,或称为 A A A 的对立事件。


    对于事件 A A A 和事件 B B B ,定义以下的两个新事件:

    1. A A A B B B的交

      A ∩ B A\cap B AB A B AB AB 表示所有同时属于 A A A B B B 的样本点的集合,称其为 A A A B B B的交。

    2. A A A B B B的并

      A ∪ B A\cup B AB表示至少属于 A A A B B B 的样本点的集合,称其为 A A A B B B的并。


    A B = ∅ AB= \emptyset AB= ,称 A , B A,B AB 是互不相容的。对于互不相容事件 A A A B B B,称它们的并为和,记作 A + B A+B A+B

    A − B A-B AB 表示包含在 A A A 中而不包含在 B B B 中的样本点全体,称其为 A A A B B B 的差。


    定理1.2.1(De Morgan,对偶原理)

    ⋃ i = 1 n A i ‾ = ⋂ i = 1 n A ‾ i \overline{\bigcup^{n}_{i=1} A_{i}} = \bigcap^{n}_{i=1}\overline{A}_{i} i=1nAi=i=1nAi

    ⋂ i = 1 n A i ‾ = ⋃ i = 1 n A ‾ i \overline{\bigcap^{n}_{i=1} A_{i}} = \bigcup^{n}_{i=1}\overline{A}_{i} i=1nAi=i=1nAi

    对偶原理具有明显的概率意义:

    至少发生一个事件的对立面是一个事件也不发生;所有的事件全部发生的对立面是至少有一个事件不会发生。


    事件的运算成立交换律、结合律与分配律。
    **定义1.2.3**(有限样本空间)

    只有有限个样本点的样本空间称为有限样本空间。

    Ω \Omega Ω 是有限样本空间,其样本点为 ω 1 , ω 2 , ⋯   , ω n \omega_{1},\omega_{2},\dotsb, \omega_{n} ω1,ω2,,ωn,在这种情形下可将 Ω \Omega Ω 的任何子集都当作事件。在这样的样本空间中引入概率,只要对每个样本点 ω i \omega_{i} ωi 都给定一个数与之对应,此数即称为 ω i \omega_{i} ωi 的概率,记为 P ( ω i ) P(\omega_{i}) P(ωi),他是非负的,且满足:
    P ( ω 1 ) + P ( ω 1 ) + ⋯ + P ( ω n ) = 1. P(\omega_{1}) + P(\omega_{1}) + \dotsb + P(\omega_{n}) = 1. P(ω1)+P(ω1)++P(ωn)=1.

    展开全文
  • 概率论:样本空间与事件

    千次阅读 2021-02-27 17:39:36
    推断统计(inferential statistics) 是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。通过对统计数据的整理和描述,可以使我们对客观事物的概貌有一个了解。然而,简单的描述方法只能实现对统计数据粗浅的利用,它...

    统计数据分析所用的方法可分为描述统计方法和推断统计方法。描述统计(descriptive statistics) 研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。推断统计(inferential statistics) 是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。通过对统计数据的整理和描述,可以使我们对客观事物的概貌有一个了解。然而,简单的描述方法只能实现对统计数据粗浅的利用,它与从统计数据挖掘出规律相去甚远。统计数据中隐含着非常丰富的重要信息,要想有效地充分利用统计数据,需要运用推断统计的方法。推断统计就是在搜集、整理观测样本数据的基础上,对有关总体作出推断,其特点是根据随机性的观测样本数据以及问题的条件和假定,对未知事物作出的以概率形式表述的推断。

    随机现象

    在自然界和人类社会中出现的现象,大致可分为两类:一类是在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象。例如:向上抛一石子必然下落,同性电荷必然相斥,“旭日东升”,“夕阳西下”等。

    而另一类则是在一定条件下无法事先准确预知其结果的现象,称为随机现象,例如

    1. 抛掷一枚硬币,有可能正面朝上,也有可能反面朝上;
    2. 掷一颗骰子,出现的点数;
    3. 将来某日某种股票的价格;
    4. 某型号电池的寿命;
    5. 未来某天进入某超市的顾客数。

    随机现象到处可见。由于随机现象的结果事先不能预知,初看起来似乎毫无规律。然而,人们发现同一随机现象在大量重复出现时,其每种可能结果的频率却具有稳定性,从而表明随机现象也具有其固有的量的规律性,人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性。例如,一名优秀的射手,一两次射击不足以反映其真实水平,只有多次重复射击才能反映其真正水平。再例如,抛掷一枚“均匀的”硬币,尽管掷一次时,有可能正面朝上,也有可能反面朝上,但是重复掷多次时,将会发现正面与反面朝上的次数大致相等,约各占总次数的1/2.

    为了对随机现象的统计规律进行研究,就需要对随机现象进行大量的重复观察,对随机现象的观察称为随机试验,简称试验

    • 例 1:抛掷一枚硬币,观察朝上的是哪个面。
    • 例 2:同时抛掷两枚硬币,观察两枚分别朝上的是哪个面。
    • 例 3:掷一颗骰子,观察出现的点数。
    • 例 4:考察某地12月份的最低气温(设范围为t_1\sim t_2).
    • 例 5:从一批灯泡中任取一只,预测灯泡的寿命。

    以上都是随机试验的例子。一般地,随机试验具有如下三个特点:

    1. 可重复性:试验在相同的条件下可重复进行;
    2. 随机性:每次试验的结果是不确定的,事先无法准确预知;
    3. 可观察性:试验结果是可观察的,所有可能的结果是明确的。

    样本空间和事件

    假设某次试验的结果是不可预知、不确定的。当然,尽管在试验之前无法得知结果,但是假设所有可能结果的集合是已知的,则这些所有可能结果构成的集合,称为该试验的样本空间(sample space), 并记为 S. 样本空间 S 的任一子集 E 称为事件(event), 事件就是由试验的某些可能结果组成的一个集合。如果一次试验的结果包含在 E 里面,那么就称 E 发生了。以下是一些样本空间和相关事件的例子:

    • 掷两枚硬币,考察哪一面朝上,那么样本空间一共包含如下四种结果:S=\{\text{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}\},其中 \text{H} (head) 代表正面朝上,\text{T} (tail) 代表反面朝上。所以\text{(H,H)}表示两枚硬币都是正面朝上;\text{(H,T)}表示第一枚硬币正面朝上,第二枚硬币反面朝上;\text{(T,H)}表示第一枚硬币反面朝上,第二枚硬币正面朝上;\text{(T,T)}表示两枚硬币都是反面朝上。如果E=\{\text{(H,H),(H,T)}\}, 那么 E 就表示“第一枚硬币正面朝上”。
    • 掷两枚骰子,考察两枚骰子的点数,那么样本空间包含 36 个结果:

    \begin{array}{cccccc} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6)\\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6)\\ (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6)\\ (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6)\\ (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6)\\ (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \end{array}

    S=\{(i,j): i,j=1,2,3,4,5,6\},其中 (i,j) 表示第一个骰子的点数是 i, 第二个骰子的点数是 j. 假设 36 种结果都是等可能发生的,因此每种结果发生的概率为 1/36. 进一步假设已知第一枚骰子点数为 3, 在这些条件下两枚骰子的点数之和为 8 的概率是多大?为了计算这个概率,解释如下:既然第一枚骰子点数为 3, 那么掷两枚骰子一共有 6 种可能结果:(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6). 因为每个结果发生的概率都一样,那么这 6 种结果是等可能的,即在给定第一个骰子的点数为 3 的情况下,下面 6 种结果(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) ,每一个结果发生的(条件)概率应该是 1/6, 而样本空间中其他 30 个点的(条件)概率应该是 0. 这样,在第一个骰子的点数为 3 的情况下,两枚骰子的点数之和为 8 的概率应该是 1/6.

    如果令 EF 分别表示“两枚骰子点数之和为 8” 和 “第一个骰子点数为 3”,利用上述方法,计算得到的概率为称为假定 F 发生的情况下 E 发生的条件概率,记为 P(E|F).

     

     

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    千次阅读 2020-08-21 02:43:15
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  • 样本空间:把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记作S,样本空间中的元素,即E的每一个结果,称为样本点。 一般,我们称试验E的样本空间的S的子集为E的随机事件,简称事件,在每次试验中,当且晋档...
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    千次阅读 2021-11-06 11:40:17
    本篇主要讲概率论与数理统计常用到的样本空间、时间、随机变量、概率空间、多维随机变量、多元随机变量、样本、总体、统计量等基本概念。

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