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  • 正定矩阵
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    2021-03-07 10:53:45

    我们需要了解的第一个概念是共轭转置定义为[1]:

    其中表示矩阵i行j列上的元素,表示标量的复共轭。

    这一定义也可以写作:

    其中是矩阵A的转置,表示对矩阵A中的元素取复共轭。

    通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置:

    或, 常用于线性代数

    , 普遍用于量子力学

    例:

    我们可以进一步分析,对于A的对角线元素,如果存在复数a+bi,取转置后不变,然后再取共轭就变成了a-bi。与原矩阵不相等。所以Hermitian matrix的对角线元素一定是实数。

    如果矩阵A的转置的共轭等于自身,而一个矩阵的转置的转置也等于自身,所以此时矩阵的共轭等于矩阵的转置,即,所以Hermitian matrix一定是共轭对称的。

    在Hermitian matrix 的基础上加上整数限制就变成了正定矩阵(正数-确定-矩阵)

    (1)一个n × n的实对称矩阵 M 是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有 zTMz > 0。其中zT 表示z的转置。

    (2)对于复数的情况,定义则为:一个n × n的埃尔米特矩阵 M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z,都有z*Mz > 0。其中z* 表示z的共轭转置。由于 M 是埃尔米特矩阵,经计算可知,对于任意的复向量z,z*Mz必然是实数,从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

    对n × n 的埃尔米特矩阵 M,下列性质与“M为正定矩阵”等价:

    1. 矩阵M的所有的特征值 λi都是正的。

    4. M的所有顺序主子式,也就是顺序主子阵的行列式都是正的(西尔维斯特准则)。明确来说,就是考察下列矩阵的行列式:

    M左上角1× 1的矩阵

    M左上角2× 2矩阵

    ...

    M自身。

    5. 存在唯一的下三角矩阵 L,其主对角线上的元素全是正的,使得:

    M = LL * .

    其中L * 是L的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

    对于实对称矩阵,只需将上述性质中的 改为 ,将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

    注:本文的绝大部分内容从wikipedia摘录

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    正定矩阵判别方法 半正定矩阵判别方法 半正定矩阵判别方法 半正定矩阵判别方法 半正定矩阵判别方法 半正定矩阵判别方法 半正定矩阵判别方法 半正定矩阵判别方法 半正定矩阵判别方法
  • 该算法避免了使用chol.m 和 inv.m(后者是内置的 M 文件),实现了对称正定矩阵求逆的目的
  • 正定矩阵 所有的二次齐次都唯一对应一个对称矩阵A,所有的齐次二次式都可以表示为矩阵的形式 例如:f=x12+2x1x2+4x22+6x2x3+4x32f=x_1^2+2x_1x_2+4x_2^2+6x_2x_3+4x_3^2f=x12​+2x1​x2​+4x22​+6x2​x3​+4x32​ ...

    正定矩阵

    定义

    所有的二次齐次都唯一对应一个对称矩阵A,所有的齐次二次式都可以表示为矩阵的形式。

    例如: f = x 1 2 + 2 x 1 x 2 + 4 x 2 2 + 6 x 2 x 3 + 4 x 3 2 f=x_1^2+2x_1x_2+4x_2^2+6x_2x_3+4x_3^2 f=x12+2x1x2+4x22+6x2x3+4x32
    [ x 1 x 2 x 3 ] [ 1 1 0 1 4 3 0 3 4 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = X T A X \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} =X^TAX [x1x2x3]110143034x1x2x3=XTAX
    上式可化为 f = ( x 1 + x 2 ) 2 + 3 ( x 2 + x 2 ) 2 + x 3 2 = y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 ≥ 0 y 1 , y 2 , y 3 ∈ R f=(x_1+x_2)^2+3(x_2+x_2)^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2\geq0\quad y_1,y_2,y_3\in \mathbb{R} f=(x1+x2)2+3(x2+x2)2+x32=y12+y22+y320y1,y2,y3R
    y 1 , y 2 , y 3 y_1,y_2,y_3 y1,y2,y3不全为0,二次型严格大于0

    正定矩阵:当 X X X不是零向量, f = X T A X > 0 f=X^TAX\gt0 f=XTAX>0,这样的二次型称为正定,对称矩阵 A A A称为正定矩阵。

    特别地,欧式度量的平方就是最简单的正定二次型,其正定矩阵是单位矩阵。

    半正定矩阵:当 X X X不是零向量, f = X T A X ≥ 0 f=X^TAX\ge0 f=XTAX0,这样的二次型称为半正定,对称矩阵 A A A称为半正定矩阵。

    直观解释

    若给定一个正定矩阵 A ∈ R n × n A\in \mathbb{R}^{n\times n} ARn×n和一个非零向量 x ∈ R n x\in \mathbb{R}^n xRn,则两者相乘得到的向量 y = A x y=Ax y=Ax与向量 x x x的夹角小于 π 2 \cfrac{\pi}{2} 2π。(等价于 x T A x ≥ 0 x^TAx\geq0 xTAx0

    例如,给定向量 x = [ 1 2 1 ] ∈ R 3 x=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 x=121R3,对于实对称矩阵 A = [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] ∈ R 3 × 3 A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 2\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3\times3} A=210121012R3×3,则 y = A x = [ 0 2 0 ] ∈ R 3 y=Ax=\begin{bmatrix} 0\\ 2\\ 0\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 y=Ax=020R3
    向量 x , y ∈ R 3 x,y\in \mathbb{R}^3 x,yR3之间的夹角为 cos ⁡ ⟨ x , y ⟩ = x T y ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ = 6 3 \cos{\langle x,y\rangle}=\cfrac{x^Ty}{\lVert x\rVert \cdot \lVert y\rVert}=\frac{\sqrt{6}}{3} cosx,y=xyxTy=36
    即两个向量的夹角小于 π 2 \cfrac{\pi}{2} 2π

    协方差矩阵是半正定矩阵

    协方差矩阵的定义为

    对于任意多元随机向量 t t t,协方差矩阵为 C = E [ ( t − t ˉ ) ( t − t ˉ ) T ] C=\mathbb{E}[(t-\bar{t})(t-\bar{t})^T] C=E[(ttˉ)(ttˉ)T]

    对于 ∀ x \forall x x,有
    x T C x = x T E [ ( t − t ˉ ) ( t − t ˉ ) T ] x = E [ x T ( t − t ˉ ) ( t − t ˉ ) T x ] = E ( s 2 ) = σ s 2 \begin{aligned} x^TCx&=x^T\mathbb{E}[(t-\bar{t})(t-\bar{t})^T]x\\ &=\mathbb{E}[x^T(t-\bar{t})(t-\bar{t})^Tx]\\ &=\mathbb{E}(s^2)\\ &=\sigma_s^2\\ \end{aligned} xTCx=xTE[(ttˉ)(ttˉ)T]x=E[xT(ttˉ)(ttˉ)Tx]=E(s2)=σs2
    其中 σ s = x T ( t − t ˉ ) = ( t − t ˉ ) x \sigma_s=x^T(t-\bar{t})=(t-\bar{t})x σs=xT(ttˉ)=(ttˉ)x
    由于 σ s 2 ≥ 0 \sigma_s^2\ge0 σs20,所以 x T C x ≥ 0 x^TCx\ge0 xTCx0,协方差矩阵 C C C是半正定的。

    The Matrix Calculus You Need For Deep Learning
    正定矩阵
    浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」

    展开全文
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    1.正定矩阵、半正定矩阵

    1.1 正定矩阵

    1.1.1 判断正定矩阵

    1.矩阵的所有特征值都为正数

    下面以对称矩阵为例,对称矩阵的特征值为正数,所以对称矩阵是正定矩阵


    λ 1 > 0 、 λ 2 > 0   { λ 1 λ 2 = d e t   S = a c − b 2 > 0 λ 1 + λ 2 = t r   S = a + c > 0 \lambda_1\gt0、\lambda_2\gt0\\ ~\\ \begin{cases} \lambda_1\lambda_2=det\ S=ac-b^2\gt0\\ \lambda_1+\lambda_2=tr\ S=a+c\gt0 \end{cases} λ1>0λ2>0 {λ1λ2=det S=acb2>0λ1+λ2=tr S=a+c>0

    2.矩阵消元后的每个主元都为正数

    3.矩阵的所有顺序主子式的行列式都是正的

    4.对于所有非零向量(不仅仅是特征向量) x \boldsymbol{x} x,都有 x T S x > 0 \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}\gt 0 xTSx>0【在许多应用中, x T S x \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x} xTSx 的结果代表系统中的能量

    S x = λ x   x T S x = x T λ x   x T S x = λ x T x   x T S x = λ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2   λ > 0   x T S x = λ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 > 0   x T S x > 0 S\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\\ ~\\ \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T\lambda\boldsymbol{x}\\ ~\\ \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}\\ ~\\ \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}=\lambda||\boldsymbol{x}||^2\\ ~\\ \lambda\gt 0\\ ~\\ \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}=\lambda||\boldsymbol{x}||^2\gt0\\ ~\\ \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}\gt 0 Sx=λx xTSx=xTλx xTSx=λxTx xTSx=λx2 λ>0 xTSx=λx2>0 xTSx>0

    5.如果矩阵A的列是线性无关的,则 S = A T A S=A^TA S=ATA是正定矩阵

    x T S x = x T ( A T A ) x = ( x T A T ) ( A x ) = ( A x ) T ( A x ) = ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 > 0 \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^T(A^TA)\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x}^TA^T)(A\boldsymbol{x})=(A\boldsymbol{x})^T(A\boldsymbol{x})=||A\boldsymbol{x}||^2\gt0 xTSx=xT(ATA)x=(xTAT)(Ax)=(Ax)T(Ax)=Ax2>0

    综上:矩阵正定的五个等价判定

    1.2 半正定矩阵

    1.2.1 判定半正定矩阵

    半正定矩阵是正定矩阵的推广,相比正定矩阵,判定条件多了一个可以等于0的条件

    1.所有矩阵特征值 ≥ 0 \geq 0 0
    2.消元后的所有主元 ≥ 0 \geq 0 0
    3.矩阵的所有顺序主子式的行列式都 ≥ 0 \geq 0 0
    4.对于所有非零向量(不仅仅是特征向量) x \boldsymbol{x} x,都有 x T S x ≥ 0 \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}\geq 0 xTSx0
    5.如果矩阵A的列是线性有关的,则 S = A T A S=A^TA S=ATA是正定矩阵

    1.3 椭圆 a x 2 + 2 b x y + c y 2 = 1 ax^2+2bxy+cy^2=1 ax2+2bxy+cy2=1


    例子:

    1.3.1 与对称矩阵 S S S有关的椭圆

    x T S x = 1   [ x y ] [ 5 4 4 5 ] [ x y ] = 1   S = [ 5 4 4 5 ] \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}=1\\ ~\\ \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 4\\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=1\\ ~\\ S=\begin{bmatrix} 5 & 4\\ 4 & 5 \end{bmatrix} xTSx=1 [xy][5445][xy]=1 S=[5445]
    求解矩阵 S S S 的特征值和特征向量
    d e t   S = λ 1 λ 2 = 9   t r   S = λ 1 + λ 2 = 10   λ 1 = 9 、 λ 2 = 1 det\ S=\lambda_1\lambda_2=9\\ ~\\ tr\ S=\lambda_1+\lambda_2=10\\ ~\\ \lambda_1=9、\lambda_2=1\\ det S=λ1λ2=9 tr S=λ1+λ2=10 λ1=9λ2=1

    S x 1 = λ 1 x 1   [ 5 4 4 5 ] [ a 1 a 2 ] = 9 [ a 1 a 2 ]   a 1 = a 2   x 1 = [ 1 1 ] S\boldsymbol{x}_1=\lambda_1\boldsymbol{x}_1\\ ~\\ \begin{bmatrix} 5 & 4\\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}=9 \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=a_2\\ ~\\ \boldsymbol{x}_1=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\\ Sx1=λ1x1 [5445][a1a2]=9[a1a2] a1=a2 x1=[11]

    S x 2 = λ 2 x 2   [ 5 4 4 5 ] [ a 1 a 2 ] = [ a 1 a 2 ]   a 1 = − a 2   x 2 = [ 1 − 1 ] S\boldsymbol{x}_2=\lambda_2\boldsymbol{x}_2\\ ~\\ \begin{bmatrix} 5 & 4\\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}\\ ~\\ a_1=-a_2\\ ~\\ \boldsymbol{x}_2=\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}\\ Sx2=λ2x2 [5445][a1a2]=[a1a2] a1=a2 x2=[11]

    q 1 = x 1 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ 、 q 2 = x 2 ∣ ∣ x 2 ∣ ∣ \boldsymbol{q}_1=\frac{\boldsymbol{x}_1}{||\boldsymbol{x}_1||}、\boldsymbol{q}_2=\frac{\boldsymbol{x}_2}{||\boldsymbol{x}_2||} q1=x1x1q2=x2x2

    Q = [ q 1 q 2 ] = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ]   Λ = [ λ 1 0 0 λ 2 ] = [ 9 0 0 1 ] Q=[\boldsymbol{q}_1\quad\boldsymbol{q}_2]=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\\ ~\\ \Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 9 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} Q=[q1q2]=2 1[1111] Λ=[λ100λ2]=[9001]

    In xy system,axes are along the eigenvectors of S S S

    1.3.2 与特征值矩阵 Λ \Lambda Λ有关的椭圆

    S = Q Λ Q T ( P r i n c i p a l   A x i s   T h e o r e m )   x T S x = ( x T Q ) Λ ( Q T x ) = X T Λ X S=Q\Lambda Q^T(Principal\ Axis\ Theorem)\\ ~\\ \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x}^TQ)\Lambda (Q^T\boldsymbol{x})=X^T\Lambda X S=QΛQTPrincipal Axis Theorem xTSx=(xTQ)Λ(QTx)=XTΛX

    x T S x = [ x y ] [ 5 4 4 5 ] [ x y ] = 1   S = Q Λ Q T = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] [ 9 0 0 1 ] 1 2 [ 1 1 1 − 1 ]   [ X Y ] = Q T [ x y ] = 1 2 [ 1 1 1 − 1 ] [ x y ] = 1 2 [ x + y x − y ]   X = x + y 2 、 Y = x − y 2 \boldsymbol{x}^TS\boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 4\\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=1\\ ~\\ S=Q\Lambda Q^T= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\\ ~\\ \begin{bmatrix} X\\ Y \end{bmatrix}=Q^T\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} x+y\\ x-y \end{bmatrix}\\ ~\\ X=\frac{x+y}{\sqrt{2}}、Y=\frac{x-y}{\sqrt{2}} xTSx=[xy][5445][xy]=1 S=QΛQT=2 1[1111][9001]2 1[1111] [XY]=QT[xy]=2 1[1111][xy]=2 1[x+yxy] X=2 x+yY=2 xy

    λ 1 X 2 + λ 2 Y 2 = 1   9 ( x + y 2 ) 2 + ( x − y 2 ) 2 = 1 \lambda_1X^2+\lambda_2 Y^2=1\\ ~\\ 9\bigg(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\bigg)^2+\bigg(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\bigg)^2=1 λ1X2+λ2Y2=1 9(2 x+y)2+(2 xy)2=1

    In XY system,axes are along the eigenvectors of Λ \Lambda Λ

    1.4 重要应用:检验最小值

    矩阵正定说明其表示的二次曲面开口朝上
    矩阵负定说明其表示的二次曲面开口朝下

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