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  • 正定矩阵

    2020-05-16 09:05:08
    正定矩阵和半正定矩阵的区别: 让我们考虑一下直观上的含义: 正定矩阵是正数的矩阵推广。 正半定矩阵是非负数的矩阵推广。 这意味着,如果将任何向量乘以正定矩阵,则原始向量和所得向量将沿相同方向,或更具体地说...

    正定矩阵和半正定矩阵的区别:

    在这里插入图片描述

    让我们考虑一下直观上的含义:

    正定矩阵是正数的矩阵推广。
    正半定矩阵是非负数的矩阵推广。

    这意味着,如果将任何向量乘以正定矩阵,则原始向量和所得向量将沿相同方向,或更具体地说,两者之间的角度将小于或等于2𝜋。

    重要属性:

    对于正定矩阵,其所有特征值均为正。 对于正半定矩阵,其所有特征值都是非负的。

    例子:

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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

    万次阅读 多人点赞 2018-01-24 12:21:12
    正定矩阵 在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。 定义:AA是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有xTAx>0x^TAx> 0,其中xTx^T 表示xx的转置,就称AA正定矩阵。 性质: 正定矩阵...

    正定矩阵

    在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有xTAx>0,其中xT 表示x的转置,就称A正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正
    2. 实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    等价命题:
    对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:

    1. A是正定矩阵;
    2. A的一切顺序主子式均为正;
    3. A的一切主子式均为正;
    4. A的特征值均为正
    5. 存在实可逆矩阵C使A=C'C
    6. 存在秩为n的m×n实矩阵B使A=B'B
    7. 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R使A=R'R

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法

    1. 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    2. 计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

      例: 判断矩阵是否正定

      Q=631320104

      解:对称矩阵Q的三个顺序主子式依次为
      |6|=6>0

      6332=3>0

      631320104=10>0

      矩阵Q是正定的

    半正定矩阵

    A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量xxTAx0,就称A为半正定矩阵。
    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

    等价条件:

    1. A是半正定的;
    2. A的所有主子式均为非负的;
    3. A的特征值均为非负的;
    4. 存在n阶实矩阵C使A=C'C
    5. 存在秩为r的r×n实矩阵B,使A=B'B

    直观理解正定、半正定矩阵:

    XTMX0
    XTY0  (Y=MX)
    cos(θ)=XTY||X||||Y||0
    ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

    万次阅读 多人点赞 2018-11-02 19:49:11
    1.正定矩阵和半正定矩阵 若所有特征值均大于零,则称为正定。 定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有>0,其中表示x的转置,就称A为正定矩阵。 性质: 正定矩阵的行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当...

    1.正定矩阵和半正定矩阵

    若所有特征值均大于零,则称为正定。

    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有x^{^{T}}Ax>0,其中x^{^{T}}表示x的转置,就称A为正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:

    求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

    2.半正定矩阵

    若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

    定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^{^{T}}Ax≥0,就称A为半正定矩阵。 

    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
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  • 正定矩阵定义特征及性质2. 半正定矩阵定义判定矩阵半正定 1. 正定矩阵 定义 广义定义 设MMM是nnn阶方阵,如果对任何非零向量zzz,都有zTMz>0z^TMz>0zTMz>0,就称MMM为正定矩阵。 狭义定义: 一个nnn阶的...

    1. 正定矩阵

    定义

    1. 广义定义
      MMnn阶方阵,如果对任何非零向量zz,都有zTMz>0z^TMz>0,就称MM为正定矩阵。
    2. 狭义定义:
      一个nn阶的实对称矩阵MM是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量zz,都有zTMz>0z^TMz> 0

    特征及性质

    判定定理

    1. 对称阵AA为正定的充分必要条件是:AA的特征值全为正。
    2. 对称阵AA为正定的充分必要条件是:AA的各阶顺序主子式都为正。

    性质

    1. 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
    2. AAnn阶对称正定矩阵,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵LL,使得A=LLA = LL^*。其中,LL^*LL的共轭转置,此式称为正定矩阵的Cholesky分解。
    3. AAnn阶正定矩阵,则AAnn阶可逆矩阵。

    2. 半正定矩阵

    定义

      当zTMz>0z^TMz > 0弱化为zTMz0z^TMz≥0时,称MM是半正定矩阵。

    判定矩阵半正定

    1. 对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。
    2. 半正定矩阵定义:设AA是实对称矩阵,如果对任意的实非零列向量xxxTAx0x^T A x \ge 0,就称A为半正定矩阵。
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  • 定义 ...【定义1】给定一个大小为的实对称矩阵,若对于任意长度为的非零向量,有恒成立,则矩阵是一个正定矩阵。 【例1】单位矩阵是否是正定矩阵? 解:设向量为非零向量,则 故,单位矩阵...
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  • 关于正定矩阵和非正定矩阵

    千次阅读 2018-09-02 10:14:58
    1.首先半正定矩阵定义为:    其中X 是向量,M 是变换矩阵 我们换一个思路看这个问题,矩阵变换中,代表对向量 X进行变换,我们假设变换后的向量为Y,记做。于是半正定矩阵可以写成: 这个是不是很熟悉呢? 他...
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  • 请看浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵
  • 1. 定义 2. 判定正定矩阵 3. 负定、半正定及不定矩阵
  • 基于高斯消去法和A的LU分解之间的密切关系,讨论用高 斯消去法的约化过程对正定矩阵A实现唯一的cholesky分解,具体给出一个构造性的直接计算分解的证明过程,以及将分解运用到求证正定矩阵某个特征的证明方法.
  • 正定矩阵判别方法

    2018-02-14 17:18:03
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