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  • 有限群的线性表示

    2019-02-02 13:44:08
    《有限群的线性表示》是一部非常经典的介绍有限群线性表示的教程,原版曾多次修订重印,作者是当今法国最突出的数学家之一,他对理论数学有全面的了解,尤以著述清晰、明了闻名。《有限群的线性表示》是他写的...
  • 线性代数之线性相关线性表示的求法 线性相关 向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 使得 则 是线性相关的,反之线性无关。 线性无关即等价于以下命题: 线性不相关 找不到一组不全0...

    线性代数之线性相关线性表示的求法

    线性相关

    向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 

      使得 是线性相关的,反之线性无关。 

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的   使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    1. 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    2. 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    3. 一个零向量必线性相关
    4. 一个非零向量必然线性无关
    5. 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。 

    特别的:

    1. 线性表示时系数可以全是0
    2. 0向量可有任意向量组表示。

    任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    线性相关例子汇总

    判断线性相关(不含参数)

    该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

    #Sample1(示例一),判断如下向量组是否线性相关:

    1:

    2:

    :针对第一题:

    Step1:首先我们先立方程

    针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关(无解)。

    Step2:于是我们得到下式:

    Step3: 我们对k的行列式化简得到如下行列式:

    该行列式不为0,所以当前关于k的方程组有唯一解,即

    所以当前向量组里的向量 线性无关。

    针对第二题:同样的思路

    Step1:设

    Step2:于是我们得到

    Step3:针对k化简得到如下行列式,易得其为0,所以k有非零解。

    Step4:因为关于k的解有无穷个,所有这里取

    换言之存在不全为0的数使得 线性相关。

    判断线性相关(含参数)

    针对这种类型的问题,一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵,对矩阵做行(列)变换,使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行(列)为零行来判断向量组的线性相关性。(参数所在行全为0则行列式为0,线性无关,否则相关)。

    #Sample2(示例二):已知向量组

    判断其相关性。

    Step1:因这里向量组的向量个数和向量的维数相同,所以可以按照列组成行列式。

    Step2:第1行的-1倍加到第2行上去,第1行的-5倍加到第3行上去,则得:

    即行列式等于2(t-1)

    Step3:针对Step2里的t进行讨论,如果t=1,则行列式等于0(即方程有无穷非非零解),则线性相关,如果t≠1则行列式不等于0(即方程只有零解),则线性无关。

    线性表示例子汇总

    阶梯法判断线性表示

    利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。

    #Sample3(示例三)

    向量β=(4,4,1,2)是否可由如下向量组线性表示,如果可以,写出表达式。

    1:

    2:

    针对第一题:

    Step1:用 作为列向量构成矩阵A,则A为

     

    Step2:交换第1和第2行,则化为:

    Step3:第1行的2倍加到第2行上去,第1行的5倍加到第4行上去,第1行乘-1,则最终化为:

    Step4:在对step3里的矩阵化简,第3行的3倍加到第2、4行上去,则得:

    Step5:在对step4里的矩阵化简,第2行的-3倍加到第3行上去,第2行的1倍加到第3行上去,则得:

    Step6:在对step5里的矩阵化简,第3行的1倍加到第4行上去,第3行除以-5,则得:

    Step7:由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩(阶梯型里非零行的行数)是4,所以该向量组的秩必定包含β,即β不能由 线性表示。

    针对第二题

    类似第一题,可将构成的矩阵

    化简为:

    则可见即β可由 线性表示,即

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  • 线性代数 线性相关与线性表示的理解 https://www.zhihu.com/question/39326459/answer/452801233 首先,向量是仅有一行或者一列的特殊矩阵,我们将其每一个元素视为一个维度,n维向量就存在于n维空间内。 我们可以把...

    线性代数 线性相关与线性表示的理解

    https://www.zhihu.com/question/39326459/answer/452801233

    首先,向量是仅有一行或者一列的特殊矩阵,我们将其每一个元素视为一个维度,n维向量就存在于n维空间内。

    我们可以把各个维度视为描述某个向量的各个方面,那么某些向量之间就有可能有一些替代关系。这个向量,像知乎答主的例子,可以被视为一个人的各个能力方面。

    比如某个维度,两个向量在这个维度上的值分别为2和4,那我们就可以说在这个维度上,向量2可以由2个向量1表示。

    那么进一步,假如每个维度上,向量2都可以由2个向量1表示,那么向量2就可以由向量1完全替代,这就是线性表示

    a = k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + … + k_m * a_m

    其中k_i为任意数(不一定是整数),则a由各个a_i线性表示

    进一步,所谓线性无关,就是一组独一无二的向量,它们之间不存在任何可以互相完全替代的向量。

    0 = k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + … + k_m * a_m

    其中k_i为任意数(不一定是整数),它们不全为0,则各个a_i线性无关

    从几何上理解(当然这里几何由于现实世界的限制,只有三维),线性表示,就是某个向量可以由平行四边形相加法则由其它向量得到。某个向量由一个向量线性表示,两向量共线;某个向量由两个向量线性表示,三向量共面;某个向量由三个个个向量线性表示,四向量共空间

    从这里可以看出,线性无关的一组向量,每个向量都扩张了该向量组(向量空间)的某个维度(所谓不可替代性)。

    n+1个n维向量一定是线性相关的

    几何理解,n维向量张成了一个<=n维的空间,这个空间显然不存在n+1个不同的维度,也就是n+1个线性无关的向量。

    部分组线性相关,整体组线性相关

    整体组线性无关,部分组线性无关

    从几何角度,理解很直观。从替代关系角度,部分组已经有人可以互相替代了,那这些可以互相替代的人肯定还在整体组里面,整体组也有人可以互相替代,他们不是独一无二的;整体组独一无二,那从里面随便选几个人肯定也是独一无二的。

    线性无关组的延长组线性无关

    线性相关组的缩短组线性相关

    几何上似乎有点难以理解,我们从替代关系的角度理解。线性无关组,每个向量至少有一个维度是独一无二的,延长这个组,仍然有一个维度是独一无二的;线性相关组,至少存在一个向量,它的每一个维度都可以用其它向量一起替代,那么缩短这个组,刚才那个向量的每个维度仍然是可以用其它向量一起替代的

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  • 线性表示是一个向量与一个向量组的关系。线性相关性是向量组内部向量之间的关系。线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示 线性表示 定义 指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的...
    • 线性表示是一个向量与一个向量组的关系。线性相关性是向量组内部向量之间的关系。线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示

    线性表示

    定义

    • 指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。零向量可由任一组向量线性表示。
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    等价向量组

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    性质

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    线性相关

    • 如果向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表示,那么向量组称为线性相关的。

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    理解

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    性质

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    线性无关

    判定

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    本文思想来自:时间序列数据的分段线性表示 PLR算法以拟合误差为阈值,会出现两类问题: 采用累积误差进行分段的算法对短时间内大波动数据不敏感,分段效果差; 采用平均误差的分段算法在遇到长时间小波动数据后,...

    本文思想来自:时间序列数据的分段线性表示

    PLR算法以拟合误差为阈值,会出现两类问题:

    • 采用累积误差进行分段的算法对短时间内大波动数据不敏感,分段效果差;
    • 采用平均误差的分段算法在遇到长时间小波动数据后,对明显状态变化处理不敏感,各个子序列的开始与结束时间不精确。

    即,由于采用累积误差或平均误差,对一些状态变化的拐点不敏感。

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    伪代码:

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    python代码:

    def Select_Important_Points(T, R):
        X = []
        for i in range(0, len(T)):
            X.append((i, T[i]))
        vital_point = []
        vital_point.insert(0, X[0])
        index = 0
        for i in range(1, len(T) - 1):
            if T[i] > T[i - 1] and T[i] > T[i + 1]:
                if T[i] / T[index] > R:
                    index += 1
                    vital_point.insert(index, X[i])
            if T[i] < T[i - 1] and T[i] < T[i + 1]:
                if T[i] == 0 or T[index] / T[i] > R:
                    index += 1
                    vital_point.insert(index, X[i])
        
        index += 1
        vital_point.insert(index, X[len(T) - 1])
        return vital_point
    

    然后直接对相邻特征点间的点进行直线拟合。

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  • 1、向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示的充要条件是: 矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩=矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。 2、向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的...
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    千次阅读 多人点赞 2019-12-19 12:03:07
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  • 分段线性函数的拐点检测

    千次阅读 2020-05-04 09:48:22
    import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline N = 100 s = [10 * i for i in range(1,10)] delta = [0.1, 0,0,0,-5,0,0,11,5] km = np.array([1,10]) t = np.linspace(0, 1, N) ...
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    万次阅读 多人点赞 2019-09-18 09:55:53
    一、线性回归基本命令 regress y x1 x2 (红色表示该命令可简写为红色部分) 以 Nerlove 数据为例(数据附后文) regress lntc lnq lnpf lnpk lnpl 表上半部分为方差分析表,包括回归平方和,残差平方和,...

空空如也

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