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  • NSGA2优化算法Matlab求解多目标优化问题,遗传算法优化+帕累托排序,有效地解决了多目标优化问题,算例可行有效。
  • 最优化学习 约束优化问题

    万次阅读 2021-06-02 00:01:47
    约束优化问题约束优化问题约束优化最优解的特征 约束优化问题 (P)min⁡f(x)(P) \min f(x)(P)minf(x)s.t. gi(x)⩽0,i=1,…ms.t. \text{ }g_{i}(x) \leqslant 0, i=1, \ldots \mathrm{m}s.t. gi​(x)⩽0,i=1...

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    约束优化问题

    ( P ) min ⁡ f ( x ) (P) \min f(x) (P)minf(x) s . t .   g i ( x ) ⩽ 0 , i = 1 , … m s.t. \text{ }g_{i}(x) \leqslant 0, i=1, \ldots \mathrm{m} s.t. gi(x)0,i=1,m h i ( x ) = 0 , i = 1 , … . p h_{i}(x)=0, i=1, \ldots . p hi(x)=0,i=1,.p

    非光滑无约束优化问题有时可重构成光滑的约束问题
    在这里插入图片描述

    约束优化最优解的特征

    min ⁡ f ( x ) , x ∈ R 2 \min f(x),x\in R^{2} minf(x),xR2 s . t .   g 1 ( x ) ⩽ 0 s.t. \text{ } g_{1}(x)\leqslant 0 s.t. g1(x)0 g 2 ( x ) ⩽ 0 g_{2}(x)\leqslant 0 g2(x)0 g 3 ( x ) ⩽ 0 g_{3}(x)\leqslant 0 g3(x)0

    已知 x ∗ x^{*} x是局部最优解
    实际起作用的约束函数 g 1 ( x ) , g 2 ( x ) g_{1}(x),g_{2}(x) g1(x),g2(x)
    g 1 ( x ∗ ) = g 2 ( x ∗ ) = 0 g_{1}\left(x^{*}\right)=g_{2}\left(x^{*}\right)=0 g1(x)=g2(x)=0
    不起作用的约束函数 g 3 ( x ) g_{3}(x) g3(x)
    g 3 ( x ) < 0 g_{3}(x) < 0 g3(x)<0

    我们观察 x ∗ x^{*} x有以下特点
    { − ∇ f ( x ∗ ) = λ 1 ∇ g 1 ( x ∗ ) + λ 2 ∇ g 2 ( x ∗ ) λ 1 , λ 2 ⩾ 0 \left\{\begin{array}{l}-\nabla f\left(x^{*}\right)=\lambda_{1} \nabla g_{1}\left(x^{*}\right)+\lambda_{2} \nabla g_{2}\left(x^{*}\right) \\ \lambda_{1}, \lambda_{2} \geqslant 0\end{array}\right. {f(x)=λ1g1(x)+λ2g2(x)λ1,λ20
    在这里插入图片描述

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    接下来会介绍最优解的一阶必要条件 KKT条件

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  • 优化问题(OPT)的定义为: 即要求目标函数是凸函数,变量所属集合是凸集合的优化问题。或者目标函数是凸函数,变量的约束函数是凸函数(不等式约束时),或者是仿射函数(等式约束时)。 对于凸优化问题来说,...

    一、凸集的定义为:

      

      其几何意义表示为:如果集合C中任意2个元素连线上的点也在集合C中,则C为凸集。其示意图如下所示:

      

      常见的凸集有:

      n维实数空间;一些范数约束形式的集合;仿射子空间;凸集的交集;n维半正定矩阵集;这些都可以通过凸集的定义去证明。

    二、凸函数的定义为:

      

      其几何意义表示为函数任意两点连线上的值大于对应自变量处的函数值,示意图如下:

      

      凸函数的一阶充要条件为:

      

      其中要求f一阶可微。

      二阶充要条件为:

      

      其中要求f二阶可微,表示二阶导数需大于0才是凸函数。

         按照上面的两个定义,如果f(x)=x^2肯定是凸函数,而g(x) = -x^2是非凸函数。也就是说开口向下的函数是非凸函数,但是对于这种情况可以通过添加负号变成凸函数,从而求解。

       常见的凸函数有:指数函数族;非负对数函数;仿射函数;二次函数;常见的范数函数;凸函数非负加权的和等。这些可以采用上面2个充要条件或者定义去证明。

      凸优化问题(OPT)的定义为:

      

      即要求目标函数是凸函数,变量所属集合是凸集合的优化问题。或者目标函数是凸函数,变量的约束函数是凸函数(不等式约束时),或者是仿射函数(等式约束时)。

      对于凸优化问题来说,局部最优解就是全局最优解。

    三、常见的凸优化问题包括:

      线性规划(LP):该问题是优化下面的式子:

       

      其中那个不常见的奇怪符号表示按元素小于等于,后面出现类似符号可以类似理解。

      二次规划(QP):该问题是优化下面的式子:

       

      二次约束的二次规划(QCQP):该问题是优化下面的式子:

       

      半正定规划(SDP):该问题是优化下面的式子:

      

      按照文章说SDP在机器学习领域应用很广,最近很流行,不过我好像没太接触到过。

      参考资料:

         http://cs229.stanford.edu/section/cs229-cvxopt.pdf

    四、有约束凸问题分析

    首先,介绍一下log barrier方法:

    这是一个惩罚的思想,见过很多次了。具体来说就是,根本无法得到最优解,就好像有一个“栅栏”一样,阻止趋近于0,让它只能小于0。

     

    这里要分类讨论,即KKT条件是线性方程组或者是非线性方程组两种。
    当KKT条件是线性方程组时,按照解线性方程组的方法解就行了,属于比较简单的类别,这里就不赘述了,我们主要研究怎么在KKT条件非线性方程组时算出最优解。

    牛顿法(Newton’s Method)
    直接解一个非线性方程组往往是比较棘手的问题,牛顿法的思路就是将解一个非线性的KKT条件转换为解许多线性的方程组,具体就是将求解分为很多步,每一步都有一个当前的KKT条件,用一个泰勒展开去构造一个近似问题,而这个近似问题的KKT条件是线性的。这样,通过不断迭代,我们最终能得到最优解。

    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_40917612/article/details/105329952

    五、带约束凸优化最优解的存在条件——KKT条件

    在优化目标函数的时候,有时候我们会考虑其对偶问题。这里有两种考虑:1)对偶问题比原问题容易求解;2)对偶问题能提供一种新的解释。比如对支持向量机的对偶问题分析,我们最后得出分界面只由少量“支持向量”决定。这篇文章将给出对于带约束凸优化问题的最优解的存在条件

    更多系列见:https://zhuanlan.zhihu.com/p/50230049

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  • 考虑无约束优化问题: min⁡f(x) s.t. x∈X⊆Rn\begin{aligned} \min & f(x) \\ \text { s.t. } & x \in X \subseteq R^{n} \end{aligned}min s.t. ​f(x)x∈X⊆Rn​ 若f(x)为凸函数 ...

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    无约束问题的最优条件

    考虑无约束优化问题:
    min ⁡ f ( x )  s.t.  x ∈ X ⊆ R n \begin{aligned} \min & f(x) \\ \text { s.t. } & x \in X \subseteq R^{n} \end{aligned} min s.t. f(x)xXRn
    在这里插入图片描述

    • 若f(x)为凸函数 则 x ∗ x^* x是最优解 ⇔ \Leftrightarrow ∇ f ( x ∗ ) = 0 ∘ \nabla f\left(x^{*}\right)=0_{\circ} f(x)=0
    • 若f(x)为一般函数
      • 一阶必要条件(First-Order Necessary Conditions)
        假设 f ( x ) f(x) f(x) x ∗ x^* x处是可微的,如果 x ∗ x^* x是局部最小值,那么 ∇ f ( x ∗ ) = 0 \nabla f\left(x^{*}\right)=0 f(x)=0
      • 二阶必要条件(Second-Order Necessary Conditions)
        假设 f ( x ) f(x) f(x) x ∗ x^* x处是二阶可微的,如果 x ∗ x^* x是局部最小值,那么 ∇ f ( x ∗ ) = 0 \nabla f\left(x^{*}\right)=0 f(x)=0 ∇ 2 f ( x ∗ ) \nabla^{2} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) 2f(x)是半正定矩阵
      • 二阶充分条件(Second-Order Sufficient Conditions)
        假设 f ( x ) f(x) f(x) x ∗ x^* x处是二阶可微的,如果 x ∗ x^* x是局部最小值,那么 ∇ f ( x ∗ ) = 0 \nabla f\left(x^{*}\right)=0 f(x)=0 ∇ 2 f ( x ∗ ) \nabla^{2} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) 2f(x)是正定矩阵
        在这里插入图片描述

    回顾泰勒定理(Taylor’s Theorem)

    为了证明,我们回顾一下泰勒定理
    如果f在R上连续可微,则
    f ( x + p ) = f ( x ) + ∇ f ( x + t p ) ⊤ p f(x+p)=f(x)+\nabla f(x+t p)^{\top} p f(x+p)=f(x)+f(x+tp)p t ∈ ( 0 , 1 ) t \in(0,1) t(0,1)

    如果f在R上二次连续可微,则可以得到
    f ( x + p ) = f ( x ) + ∇ f ( x ) ⊤ p + 1 2 p ⊤ ∇ 2 f ( x + t p ) p f(x+p)=f(x)+\nabla f(x)^{\top} p+\frac{1}{2} p^{\top} \nabla^{2} f(x+t p) p f(x+p)=f(x)+f(x)p+21p2f(x+tp)p
    具体推导如下
    在这里插入图片描述

    一阶必要条件(First-Order Necessary Conditions)

    假设 f ( x ) f(x) f(x) x ∗ x^* x处是可微的,如果 x ∗ x^* x是局部最小值,那么 ∇ f ( x ∗ ) = 0 \nabla f\left(x^{*}\right)=0 f(x)=0

    p r o o f proof proof如下:
    在这里插入图片描述

    二阶必要条件(Second-Order Necessary Conditions)

    假设 f ( x ) f(x) f(x) x ∗ x^* x处是二阶可微的,如果 x ∗ x^* x是局部最小值,那么 ∇ f ( x ∗ ) = 0 \nabla f\left(x^{*}\right)=0 f(x)=0 ∇ 2 f ( x ∗ ) \nabla^{2} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) 2f(x)是半正定矩阵

    p r o o f proof proof如下:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    二阶充分条件(Second-Order Sufficient Conditions)

    假设 f ( x ) f(x) f(x) x ∗ x^* x处是二阶可微的,如果 x ∗ x^* x是局部最小值,那么 ∇ f ( x ∗ ) = 0 \nabla f\left(x^{*}\right)=0 f(x)=0 ∇ 2 f ( x ∗ ) \nabla^{2} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) 2f(x)是正定矩阵

    p r o o f proof proof如下:
    在这里插入图片描述
    参考

    • Nocedal, Jorge, & Wright, Stephen J. (0). Numerical optimization. 2nd ed… Springer.
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  • 最小二乘优化问题

    千次阅读 2019-04-10 22:44:25
    这里给大家介绍一下最小二乘优化问题,然后举例里程计校准odometry calibration加深印象。 问题描述 假设现有系统由nnn个观测函数描述 {fi(x)}i=1..n\lbrace f_{i}(x) \rbrace_{i=1..n}{fi​(x)}i=1..n​,其中xxx...

    这里给大家介绍一下最小二乘优化问题,然后举例里程计校准odometry calibration加深印象。

    问题描述

      假设现有系统由 n n n个观测函数描述 { f i ( x ) } i = 1.. n \lbrace f_{i}(x) \rbrace_{i=1..n} {fi(x)}i=1..n,其中 x x x是状态向量, z i z_i zi是状态 x x x的测量,函数 z i ′ = f i ( x ) z'_i=f_i(x) zi=fi(x)是预测量,它将状态变量 x x x映射到预测测量 z i ′ z'_i zi
      此外,我们已知关于状态 x x x的每个测量 z 1 : n z_{1:n} z1:n都是有噪声的。
      我们现在要求状态 x x x的最佳估计,使得观测函数能最好的表达测量 z 1 : n z_{1:n} z1:n
      通俗解释, x x x就是要求的参数, z z z就是已知的测量值,我们希望通过最小二乘法使得观测函数能够最好的拟合测量值。状态量和观测量可以是多维变量,状态变量之间不独立
      比如 x x x可以是空间中3d特征的位置, z i z_i zi是这些3d特征在2d图像平面上投影的坐标,通过最小二乘法,给定图像上的2d坐标,最优估计空间中3d特征的位置。【其实这就是Direct Linear Transform算法,这里不扩展】
    图形表达

    问题求解

      定义 e i e_i ei为预测量与实际观测量(不是ground truth)的差分 e i ( x ) = z i − f i ( x ) e_i(x)=z_i-f_i(x) ei(x)=zifi(x)  我们假设差分函数满足均值为0的正态高斯分布, Ω i \Omega_i Ωi是gaussian error的信息矩阵,这里的公式中 Ω i \Omega_i Ωi仅对应一个约束, 反映的是残差的方差。这样观测函数的平方误差 e i ( x ) e_i(x) ei(x)仅依赖于状态量,且它是标量(不是李代数)。 e i ( x ) = e i ( x ) T Ω i e i ( x ) e_i(x)=\bm{e_i}(x)^T\Omega_i\bm{e_i}(x) ei(x)=ei(x)TΩiei(x)我们的目标是寻找状态变量 x ∗ x^* x使得所有观测量的误差最小,如下图所示:
    优化目标
      对于线性优化问题,直接求误差函数的一阶导数空域就可以得到问题的唯一解。但是对于非线性优化问题,我们采用一阶泰勒展开构造近似的线性函数,就是在当前状态变量(current initial guess)附近构造局部线性区域,求解该线性问题,得到迭代步长,希望估计的状态变量使得误差函数距离最小值更近一点。关于误差函数的一阶泰勒展开:
    误差函数泰勒展开
      那么均方误差的泰勒展开如下,由于所有变量都是标量,因此可以无视转置符号。
    均方误差泰勒展开
      定义新的变量,简化公式表达:
    简化表达
      全局误差是所有测量函数均方误差的和,我们用下式近似表达在当前状态解 x x x下的全局误差
    全局误差
      其中, b T = ∑ i e i T Ω i J i b^T=\sum_{i}e_i^T\Omega_iJ_i bT=ieiTΩiJi H = ∑ i J i T Ω J i H=\sum_{i}J_i^T\Omega J_i H=iJiTΩJi H H H为information matrix或precision matrix,它表达了观测的不确定性(观测的可信度),它是协方差的逆矩阵。信息矩阵本身是对称的稀疏矩阵,非零部分代表变量之间存在约束,因此非零元素的个数是约束数量的两倍。 H H H反映的是求解的方差,当你的观测越确信,观测误差越小(我觉得协方差越小),那么信息矩阵的值越大。
      “In its physical meaning, information matrix represents how reliable this measurement is. Therefore, the more precisely the measurement is made or the more you trust in this measurement, the larger values in the information matrix you can set.
      对近似的全局误差函数(此处认为是线性函数了)在当前状态解 x x x上求一阶导数得到, ∂ F ( x + Δ x ) ∂ Δ x ≈ 2 b + 2 H Δ x \frac{\partial F(x+\Delta x)}{\partial \Delta x}\approx 2b+2H\Delta x ΔxF(x+Δx)2b+2HΔx 因此迭代步长的解 Δ x ∗ \Delta x^* Δx Δ x ∗ = − H − 1 b \Delta x^*=-H^{-1}b Δx=H1b
    最小二乘法不断迭代如下步骤:

    • 围绕当前猜测的状态变量 x x x来线性化系统,并且计算每个观测值的差分 e i ( x + Δ x ) ≈ e i ( x ) + J i Δ x e_i(x+\Delta x) \approx e_i(x)+J_i\Delta x ei(x+Δx)ei(x)+JiΔx
    • 计算线性系统中间项, b T = ∑ i e i T Ω i J i b^T=\sum_{i}e_i^T\Omega_iJ_i bT=ieiTΩiJi H = ∑ i J i T Ω i J i H=\sum_iJ_i^T\Omega_iJ_i H=iJiTΩiJi
    • 计算新的最优迭代步长 Δ x ∗ = − H − 1 Δ x \Delta x^*=-H^{-1}\Delta x Δx=H1Δx
    • 更新之前的状态估计, x ← x + Δ x ∗ x\leftarrow x+\Delta x^* xx+Δx

    应用举例:Odometry Calibration

      假设我们有机器人在环境中移动且可以获取里程测量值 u i u_i ui。但是由于里程计受系统误差systematic error影响,使得测量值不准确。我们想通过最小二乘法去除系统误差的影响(这个过程叫做calibration)。要想校准,对于每个观测变量 u i u_i ui,必须有对应的ground truth u i ∗ u^*_i ui,这个基准可以来自scan matching的近似计算或其他slam 过程。
      定义函数 f i ( x ) f_i(x) fi(x)来纠偏带噪声的里程计读数 u i u_i ui,给定一些偏置参数 x x x,输入 u i u_i ui,返回无偏 u i ‘ u_i‘ ui,如下所示,我们的目标是求参数 x x x
    里程计纠偏函数
    按照之前最小二乘法,状态向量为 x = ⟨ x 11   x 12   x 13   x 21   x 22   x 23   x 31   x 32   x 33 ⟩ T x=\langle x_{11}\ x_{12}\ x_{13}\ x_{21}\ x_{22}\ x_{23}\ x_{31}\ x_{32}\ x_{33}\rangle ^T x=x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33T
    误差函数为 e i ( x ) = u i ∗ − ( x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 ) u i e_i(x)=u_i^*-\left(\begin{matrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\\x_{31}&x_{32}&x_{33} \end{matrix}\right)u_i ei(x)=uix11x21x31x12x22x32x13x23x33ui,

    偏导数为 J i = ∂ e i ( x ) ∂ x = − ( u i , x u i , j u i , θ u i , x u i , y u i , θ u i , x u i , y u i , θ ) J_i=\frac{\partial e_i(x)}{\partial x}=-\left(\begin{matrix}u_{i,x}&u_{i,j}&u_{i,\theta}&&&&&&\\&&&u_{i,x}&u_{i,y}&u_{i,\theta}&&&\\&&&&&&u_{i,x}&u_{i,y}&u_{i,\theta}\end{matrix}\right) Ji=xei(x)=ui,xui,jui,θui,xui,yui,θui,xui,yui,θ。从结果看,偏导函数并不依赖于偏置参数。
      代码是用octave写的,接近matlab,已上传github地址
      数据文件z.dat格式:每行是单个里程计的测量值包括, u x ′   u y ′   u t ′   u x   u y   u t u'_x\ u'_y\ u'_t\ u_x\ u_y\ u_t ux uy ut ux uy ut,前三个是里程计ground truth,后三个里程计测量值,它们代表机器人前后两帧的运动。具体代码见github。

    more off;
    #load the calibration matrix
    disp('loading the matrix');
    Z=load('data/calib.dat');
    
    #compute the ground truth trajectory
    TrueTrajectory=compute_odometry_trajectory(Z(:,1:3));
    disp('ground truth');
    plot(TrueTrajectory(:,1),TrueTrajectory(:,2));
    pause(1);
    
    #compute the uncalibrated odometry
    OdomTrajectory=compute_odometry_trajectory(Z(:,4:6));
    disp('odometry');
    plot(OdomTrajectory(:,1),OdomTrajectory(:,2));
    pause(1);
    
    disp('computing calibration parameters');
    #compute the calibration parameters
    X=ls_calibrate_odometry(Z);
    disp(X);
    pause(1);
    
    disp('computing calibrated odometry');
    COdom=apply_odometry_correction(X,Z(:,4:6));
    CalTrajectory=compute_odometry_trajectory(COdom);
    plot(CalTrajectory(:,1),CalTrajectory(:,2));
    

    结果:
    odometry calibration
      此处的里程计校正是标量问题(欧式空间),变量本身没有约束。如果是求相机位姿之类的问题,由于旋转矩阵 R R R(非欧式空间),是正交矩阵并且行列式值为1,因此变成了有约束的优化问题。我们需要将这些李群转换成李代数,通过转换求解空间得到无约束优化问题,可以继续用牛顿高斯、LM算法在李代数上求导等等。

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    matlab求解最优化问题(数学建模) 1.线性规划 matlab中线性规划优化计算方法和实例 在matlab中用于线性规划优化计算的是linprog()函数。 公式:[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0); ...
  • 优化问题求解及Lingo教程

    千次阅读 2020-09-15 11:08:13
    Lingo是一款求解最优化问题的软件,可以用于求解非线性规划,也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等,功能十分强大,是求解优化模型的最佳选择。 最优化问题 首先介绍一下什么是最优化问题。 最优化问题,即在...
  • MATLAB 求解最优化问题

    万次阅读 多人点赞 2017-08-17 20:49:03
    MATLAB 求解最优化问题 MATLAB 优化工具箱解线性规划 模型1 minz=cXs.t.AX≤b \text{min} \quad z=cX \\ s.t.\quad AX\leq b 命令:x=linprog(c,A,b)x=\text{linprog}(c,A,b) 模型2 minz=cXs.t.AX≤...
  • 如何用Python解决最优化问题

    千次阅读 2019-05-29 08:00:00
    看书的时候刚好发现一个案例——要求优化投放广告渠道的资源,以最大化产品咨询量。现有5个广告投放渠道,分别是日间电视、夜间电视、网络媒体、平面媒体、户外广告,每个渠道的效果...
  • 多目标优化问题MOP

    千次阅读 2020-11-22 23:32:55
    多目标优化问题( multi-objective optimization problem,MOP)也称为向量优化问题或多准则优化问题。多目标优化问题可以描述为:在可行域中确定由决策变量组成的向量,它满足所有约束,并且使得由多个目标函数组成的...
  • 更多专业的人工智能相关文章,微信搜索 : ...喜欢最优化问题的读者不妨先关注一下这个公众号,因为后面我们会用一个系列来讨论最优化问题。 今天我们简单的讨论一下,约束最优化问题中常常预见的几个名词关系,...
  • 优化问题的求解分类

    千次阅读 2019-02-09 10:10:19
    通常需要求解的最优化问题有如下几类: 无约束优化问题,可以写为: 有等式约束的优化问题,可以写为:   有不等式约束的优化问题,可以写为:额 对于第1类的优化问题,使用的方法为费马大定理(Fermat) ...
  • 求解组合优化问题可以通过利用各种数学方法,寻找离散事件的最优编排、分组、次 序或筛选等。目前常用的优化算法可以分为以下四类: (1)精确算法。 精确算法是指能够求出问题最优解的算法。当问题的规模较小时,...
  • 优化问题广泛的存在于社会生产活动当中,我们一直努力寻求更高效、更准确的解决方式来应对这类问题。通常,最优化问题可以表述为一种数学规划的形式,对于变量在可行域中的不同组合进行搜索,以得到目标函数的最优...
  • 优化问题及其Lagrange对偶问题

    千次阅读 2017-08-24 01:08:55
    优化和凸优化形式。Lagrange对偶问题。强弱对偶性。互补松弛性和KKT条件。
  • 优化问题

    千次阅读 2018-07-14 16:03:09
    ~~~~~~~最优化问题目前在机器学习,数据挖掘等领域应用非常广泛,因为机器学习简单来说,主要做的就是优化问题,先初始化一下权重参数,然后利用优化方法来优化这个权重,直到准确率不再是上升,迭代停止。...

空空如也

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