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  • 三角矩阵

    2019-12-16 21:59:49
    给定一个三角矩阵, 计算从三角矩阵顶部到底部的最小路径和, 每一步都可以移动到下面一行相邻的数字 比如, 给定下面的三角矩阵 [2] [3] [4] [6] [5] [7] [4] [1] [8] [3] 最小的从顶部到底部的路径和层为2 + 3 + 5 + ...

    问题描述
    给定一个三角矩阵, 计算从三角矩阵顶部到底部的最小路径和, 每一步都可以移动到下面一行相邻的数字
    比如, 给定下面的三角矩阵
    [2]
    [3] [4]
    [6] [5] [7]
    [4] [1] [8] [3]
    最小的从顶部到底部的路径和层为2 + 3 + 5 + 1 = 11

    思路1

    class Solution {
    public:
        int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
            vector<vector<int>> v(triangle);
            int row = triangle.size();
            int minPath;
            for (int i = 1; i < row; ++i)
            {
                for (int j = 0; j <= i; ++j)
                {
                    if (j == 0)
                    {
                        v[i][j] += v[i - 1][j]; 
                    }
                    else if (j == i)
                    {
                        v[i][j] += v[i - 1][j - 1];
                    }
                    else
                    {
                        v[i][j] += min(v[i - 1][j], v[i - 1][j - 1]);
                    }
                    //v[i][j] += triangle[i][j];
                }
            }
            minPath = v[row - 1][0];
            for (int i = 0; i < row; ++i)
            {
                minPath = min(minPath, v[row - 1][i]);
            }
            return minPath;
        }
    };
    

    思路2

    class Solution {
    public:
        int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
            vector<vector<int>> v(triangle);
            int len = triangle.size();
            for (int i = len - 2; i >=0; --i)
            {
                for (int j = 0; j <= i; ++j)
                {
                    v[i][j] = min(v[i + 1][j], v[i + 1][j + 1]) + v[i][j];
                }
            }
            return v[0][0];
        }
    };
    
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  • 例如: 可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即: 对角矩阵对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,例如: 三角矩阵三角矩阵(Triangular Matrix)分为上三角矩阵和下三角矩阵。...

    对称矩阵

    对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如:

    可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即:

    对角矩阵

    对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,例如:

    三角矩阵

    三角矩阵(Triangular Matrix)分为上三角矩阵和下三角矩阵。

    上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)是指主对角线以下元素全为0的矩阵,如:

    下三角矩阵(Lower Triangular Matrix)是指主对角线以上元素全为0的矩阵,如:

    可以看到,对角矩阵一定是三角矩阵。

    对称矩阵对角化

    是实对称矩阵(元素都是实数),则一定存在正交矩阵
    ,对角矩阵
    ,使得下式成立:

    例子:

    证明暂且参考:为什么实对称矩阵一定能对角化?

    两边同时左乘

    ,右乘
    ,得:

    又因为

    是正交矩阵,所以:

    这就叫做对称矩阵的对角化

    对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积,所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解(Eigendecomposition)、谱分解(Spectral Decomposition),在上面的例子中,矩阵

    的特征值为4、1、-2,对应的特征向量为

    总结

    可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵,所以都是方阵

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  • 定义 性质 求逆 ...主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。...上(下)三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上(下)三角矩阵。 求逆 三阶 上三角、下三角 矩阵的求逆公式 一般化的上下三角矩阵求逆 ...

    定义

    • 主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵。
    • 主对角线以上都是零的方阵称为下三角矩阵。

    性质

    • 行列式为对角线元素相乘
    • 上(下)三角矩阵乘以系数后也是上(下)三角矩阵
    • 上(下)三角矩阵间的加减法和乘法运算的结果仍是上(下)三角矩阵。

    求逆

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  • 三角矩阵压缩

    千次阅读 2018-03-16 13:10:32
    关于三角矩阵的描述是,其非0元素呈三角状排列,三角矩阵又分上三角矩阵和下三角矩阵,如果我们用二维数组来储存三角矩阵的话,0元素会浪费很多的空间,因此我们可以用一维数组把矩阵进行压缩,下面给出一个java压缩...

    三角矩阵压缩

    关于三角矩阵的描述是,其非0元素呈三角状排列,三角矩阵又分上三角矩阵和下三角矩阵,如果我们用二维数组来储存三角矩阵的话,0元素会浪费很多的空间,因此我们可以用一维数组把矩阵进行压缩,下面给出一个java压缩下三角矩阵的例子:

    package com.bikeqx.main;
    
    public class Main {
        public static void main(String[] args) {
            Matrix matrix = new Matrix();
            matrix.compressMatrix();
            matrix.traverseCompressMatrix();
        }
    }
    
    class Matrix{
        //初始下三角矩阵 5阶矩阵
        int[][] triangularMatrix = {
                {1,0,0,0,0},
                {4,7,0,0,0},
                {6,9,5,0,0},
                {1,8,4,1,0},
                {2,3,0,9,6}
        };
    
        //压缩后的一维数组
        int[] matrix = new int[16];
    
        //遍历矩阵
        void traverse(){
            for(int row = 0;row < this.triangularMatrix.length;row++) {
                for(int column = 0;column < this.triangularMatrix[row].length;column++) {
                    System.out.print(this.triangularMatrix[row][column] + " ");
                }
                System.out.println();
            }
        }
    
        //遍历压缩后的矩阵
        void traverseCompressMatrix() {
            for(int item : this.matrix) {
                System.out.println(item + " ");
            }
        }
    
        //压缩的矩阵
        void compressMatrix() {
            //一维数组的下标
            int index;
            for(int row = 0;row < this.triangularMatrix.length;row++) {
                for(int column = 0;column < this.triangularMatrix[row].length;column++) {
                    //行号>列号
                    if(row >= column) {
                        index = row * (row + 1)/2 + column;
                        this.matrix[index] = this.triangularMatrix[row][column];
                    }
                    else {
                        matrix[this.triangularMatrix.length - 1] = 0;
                    }
                }
            }
        }
    }
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  • 上下三角矩阵

    千次阅读 2018-09-23 15:45:43
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  • 三角矩阵

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    三角矩阵指主对角线以下的元素都为0的矩阵;主对角线为从矩阵的左上角至右下角的连线。 本题要求编写程序,判断一个给定的方阵是否上三角矩阵。 输入格式: 输入第一行给出一个正整数T,为待测矩阵的个数。接下来...
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    python-取矩阵的上下三角形矩阵
  • 三角矩阵判定

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    KiKi想知道一个n阶方矩是否为上三角矩阵,请帮他编程判定。上三角矩阵即主对角线以下的元素都为0的矩阵,主对角线为从矩阵的左上角至右下角的连线。 输入描述: 第一行包含一个整数n,表示一个方阵包含n行n列,用空格...

空空如也

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