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  • 2021-04-18 04:43:12

    互相关函数,自相关函数计算和作图

    1.自相关和互相关的概念。

    ●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2间的相关程度。

    ●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1,t2间的相关程度。

    互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标,把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号,对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。

    -----------------------------------------------------------------------------------事实上,在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是f(t),则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t),其中*表示卷积;设两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

    2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示:

    自相关函数:

    dt=.1;

    t=[0:dt:100];x=cos(t);

    [a,b]=xcorr(x,'unbiased');

    plot(b*dt,a)

    d4c696dea7de46c349458e06b9a89f51.png

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  • 相关函数与互相关函数

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    相关函数是描述信号X(s),Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义: 称为变量 X 和 Y 的相关系数。若...

    目录

    1 概念

    2 自相关函数

    2.1 定义

    2.2 性质

    3 互相关(cross-correlation)函数

    3.1 定义

    3.2 性质

    3.3 线性互相关(linear cross-correlation)

    3.4 循环互相关(Circular Cross-Correlation)的定义和计算

    3.5 用线性互相关处理周期性信号

    3.6 相关问题QA

    3.7 参考资料


    1 概念

          相关函数是描述信号X(s)Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义:

            

            称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0,则称 X与Y 不相关。相关系数越大,相关性越大,但肯定小于或者等于1.。

            

            相关函数分为自相关互相关

    • 自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2 的取值之间的相关程度。
    • 互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻s,t的取值之间的相关程度

    自相关函数

    2.1 定义

            自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2的取值之间的相关程度。自相关函数,是对信号自身的互相关, 表示同一序列不同时刻的相关程度。是用寻找重复模式的数字工具,就如一个存在被覆盖噪声的周期信号,或识别丢失的基频。它经常被用于信号处理中的分析函数或序列,如时域信号 。定义式:

            

    或者:

            

    2.2 性质

    主要性质如下:

    自相关系数:

    3 互相关(cross-correlation)函数

    3.1 定义

            自相关是互相关的一种特殊情况.。互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻 s,t 的取值之间的相关程度,其定义为: 

               

            对于连续函数,有定义:

          

           对于离散的,有定义:

          

            从定义式中可以看到,互相关函数卷积运算类似,也是两个序列滑动相乘,但是区别在于:互相关的两个序列都不翻转,直接滑动相乘,求和;卷积的其中一个序列需要先翻转,然后滑动相乘,求和。所以,f(t)g(t) 做相关等于 f*(-t)g(t) 做卷积。

            在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是 f(t),则自相关函数定义为 R(u)=f(t)*f(-t),其中*表示卷积;设两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

    3.2 性质

    互相关函数的性质:

    互相关系数:

            正如卷积有线性卷积(linear convolution)循环卷积(circular convolution)之分;互相关也有线性互相关(linear cross-correlation)循环互相关(circular cross-correlation)。线性互相关和循环互相关的基本公式是一致的,不同之处在于如何处理边界数据。其本质的不同在于它们对原始数据的看法不同。

    3.3 线性互相关(linear cross-correlation)

            假设我们手里有两组数据,分别为个和个,表示为:长,即。序列之间的线性互相关操作表示为,其结果也是一个序列,表示为。具体的操作是用这两个序列进行的一种类似“滑动点积”的操作,如图1和图2所示。

    图1. 线性互相关的计算过程示意

    图2. 线性互相关结果序列中单个值计算示意

            得到的互相关序列总长度为,该序列的前和后个数值是无效的,有效的数据共个。线性互相关的有效数据第个分量的值为:

    注意,线性互相关并不满足交换律,即:

            

            一个简单的应证是,等式两侧操作所得结果的有效数据个数都不一致。

            线性相关的实际意义是,向量中的各个与向量等长的子向量与向量的相似程度。这样,中值最大的索引就是与向量中与最相似的子向量的起始索引。通常,为了获得有效的互相关数据,我们总是用较短的数据去滑动点积较长的数据。

            用一个实际的应用例子来验证一下吧。如图3的第一个子图表示雷达声纳发射了一个探测信号。经过一段时间之后,收到了如图3的第二个子图所示的回波(带有一定的噪声)。此时我们关注的是如何确定回波中从何时开始是对探测信号的响应,以便计算目标距雷达的距离,这就需要用到线性互相关。在第三个子图中的‘Valid’曲线即是有效互相关数据,其中清晰地呈现出两处与探测信号相似的回波的位置。

    图3. 相关计算的一个例子:雷达回波分析

            线性互相关中,还有一些概念值得注意:

    • 一是补零。由线性相关的计算式不难发现,为了计算出个完整的相关系数序列(包含那些“无效数据”在内的所有结果),需要用到一些“不存在”的点。这就需要人为地对这些值进行补充,在线性相关的计算中,对这些超出原始数据储存的区域取值为零。
    • 二是末端效应。由图1可以发现,一头一尾的个互相关数据并没有完全“嵌入”两个原始数组的全部信息,它们或多或少地受到了人为补零的影响。因此一般认为这些数据是不可用的。
    • 三是计算模式的选择。这个问题其实是由问题二衍生而来的,就Python语言中的函数而言,至少有两个可以直接计算线性相关:

    numpy.correlate(a, v, mode)scipy.signal.correlate(a, v, mode)

    它们的调用参数完全相同。在调用时有三种模式可供选择,它们计算的内容是相同的,但是返回值长度各不相同:
    mode = ‘valid’:只返回有效的那一部分相关数据,共$M-N+1$个;
    mode = ‘same’:只返回与 等长的那一部分相关数据,共$N$个;
    mode = ‘full’:返回全部相关数据,共$M+N-1$个。
    图3的第三个子图展示了这三种模式的计算结果,在那个例子中,‘valid’模式是最合适的。

    3.4 循环互相关(Circular Cross-Correlation)的定义和计算

            循环互相关是表征两组等长周期性数据之间相似性的操作,其与线性互相关的区别也正由“等长”“周期性”这个两特点产生。在循环互相关中,被处理的原始数据是等长的,即。序列之间的线性互相关操作表示为,其结果也是一个序列,表示为。其计算式与线性互相关的写法是一致的:

            

            只是得到的互相关序列长度也为。循环互相关的计算的具体过程如图4所示,注意到在计算时要用到超出原始数据索引范围的数据,其数据补充方式并不是“补零”而是“周期延拓”:即。这意味着对于循环互相关,不存在不同的计算模式之分,所有的数据都是有效数据

    图4. 循环互相关的计算过程示意

            注意,循环互相关也不满足交换律

            这里给出了一个关于循环相关的算例。两路原始数据分别由如下函数生成:

            

            

            如果视为某个线性系统的周期输入信号,而视为这个线性系统的输出信号。由于存在外接干扰,因此输出信号不完全由输入信号决定。此时,循环互相关的实际意义是,分辨输出信号中的哪一个部分(频率成分)是由该输入信号产生的。

     

    图5. 时域数据,从上到下:和他们的循环互相关

    图6. 频谱,从上到下:和他们的循环互相关

            从图5和图6可以看出,循环互相关的频谱准确地说明了那些测试信号的相关性。

            遗憾的是,在Python几大数值计算库中,并没有直接可计算循环相关的函数。但是可以采用如下代码构造出一个可用的(经过归一化的)cxcorr(a, v)函数出来:

    def cxcorr(a,v):
    nom = np.linalg.norm(a[:])*np.linalg.norm(v[:])
    return fftpack.irfft(fftpack.rfft(a)*fftpack.rfft(v[::-1]))/nom

            图4中的数据就是通过这个函数计算出来的。其中用到了傅里叶变换反变换来计算循环互相关,这是可行的。它们之间的关系在第四小节的QA中专门讨论。

    3.5 用线性互相关处理周期性信号

            实际上,线性相关也可以处理周期信号,前提是将两组信号采样成长度差异较大的序列。这样,其有效线性互相关也可以完美地反应数据之间的相关性。

            同样采用第二节中的例子。这时为了保证足够的有效线性互相关数据,两组数据的长度故意不一致(但都足够表征其特征),如图7所示。它们的频谱如图8所示,仍然完美地体现了测试数据的相关性。

    图7. 时域数据,从上到下:和他们的线性互相关

    图8. 频谱,从上到下:和他们的线性互相关

            既然线性互相关也能处理周期性数据,为什么还要专门搞一个基于等长序列和周期延拓的循环互相关呢?实际上,正如后文QA中专门讨论的,这是为了利用快速傅利叶变换加速计算。

    3.6 相关问题QA

            至此,两种常用的互相关评价方法及其计算已经总结完毕。然而其中还有一些细节尚待分辨。例如,序列之间的互相关的计算式:

            

            与卷积(convolution)的定义式:

            

    如此类似,如果再联想起傅里叶变换的卷积定理,那么,至少会产生如下的问题:

    Q.1:它们之间有更深意义上的联系吗?
    A.1:文献[1]的答复是坚决的:“不要让求卷积和互相关的数学相似性迷惑你,它们描述了不同的信号处理过程。卷积是系统输入信号、输出信号和冲激响应之间的关系互相关是一种在噪声背景下检测已知信号的方法。二者在数学上的相似仅仅是一种巧合。”实际上,只要注意到卷积操作是满足交换律的,而互相关操作并不满足交换律。仅此一点也许就能说明它们有着本质的不同吧。

    Q.2:可以利用Python中计算卷积的函数来计算互相关吗?
    A.2可以,但是只能用以计算线性互相关。Python中的numpy.convolve()函数就可以计算两个序列之间的卷积。在卷积的计算过程中也会自动进行补零(而不是周期延拓,这就是为什么只能计算线性相关的原因),这种卷积有时被称为线性卷积,同样涉及末端效应、有效数据长度等考虑。具体地,根据相关和卷积的表达式,如果希望计算序列之间的线性互相关序列。等效地,只需要计算序列之间的卷积。表示序列的“反置”,即将序列[1,2,3]反置为[3,2,1]。

    Q.3:可以根据傅立叶变换的性质中有卷积定理,利用傅立叶正/逆变换计算互相关吗?
    A.3可以,但是只能用于计算循环互相关。傅立叶变换的卷积定理中所涉及的卷积是循环卷积。与前述的线性卷积是不同的。实际上不同的并不是卷积本身,它们的计算式是一致的,而是在如何看待参与卷积计算的数据,线性卷积认为参与计算的序列之外都是零,而循环卷积认为参与计算的序列是一个无限循环的数据的一段——这导致了它们对“越界”数据的补齐方式不一样。正如线性互相关和循环互相关的区别!先将循环互相关等效为一个循环卷积,再利用快速傅里叶变换计算卷积即可。实际上本文给出的cxcorr(a, v)函数正是利用这一性质来计算循环相关的。其对计算速度的提升是相当明显的。

    Q.4:怎样进行归一化(normalization),以便于比较互相关数据?
    A.4:根据参考[4],用公式:

    3.7 参考资料

    [1] Steven W. Smith. Digital Signal Processing: A Practical Guide for Engineering and Scientists [M].
    张瑞峰, 詹敏晶 等译. 实用数字信号处理,从原理到应用[M]. 人民邮电出版社, 北京, 2010.
    [2] Mark Owen. Practical Signal Processing [M].
    丘天爽, 李丽, 赵林 译. 实用信号处理 [M]. 电子工业出版社, 北京, 2009.
    [3] 关于MATLAB中的xcorr() 的论述
    http://www.mathworks.cn/cn/help/signal/ref/xcorr.html
    [4] 关于MATLAB中的cxcorr() 的论述
    http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/4810-circular-cross-correlation
    [5] 网络论坛Stackoverflow关于此问题的讨论
    http://stackoverflow.com/questions/6991471/computing-cross-correlation-function
    http://stackoverflow.com/questions/12323959/fast-cross-correlation-method-in-python
    http://stackoverflow.com/questions/9281102/n-fold-fft-convolution-and-circular-overlap
    http://stackoverflow.com/questions/6855169/convolution-computations-in-numpy-scipy
    http://stackoverflow.com/questions/4688715/find-time-shift-between-two-similar-waveforms
    [6] 关于Cross-correlation的定义
    http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
    http://paulbourke.net/miscellaneous/correlate/
    http://en.wikipedia.org/wiki/Cross-correlation
    [7] 关于 Circular Cross-correlation的定义
    http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_convolution
    http://cnx.org/content/m22974/latest/

     

     

     

    自相关函数与互相关函数:http://www.doc88.com/p-5129647069822.html

    互相关(cross-correlation)及其在Python中的实现:https://blog.csdn.net/icameling/article/details/85238412

    第五章:自相关: https://thinkdsp-cn.readthedocs.io/zh_CN/latest/05-autocorrelation.html

    展开全文
  • 随机信号的自相关函数和互相关函数Matlab
  • 由于MATLAB本身自带的相关函数在扩频通信中并不适合,性能欠佳。本程序是我自己编写的求自相关或互相关的MATLAB函数。可直接调用该函数。已通过验证。
  • 相关函数&互相关函数

    千次阅读 2019-08-15 23:22:45
    为比较某信号与另一延时的信号之间的相似度,需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具,被广泛应用于雷达回波的识别,通信同步信号的识别等领域。相关函数 也称为相关积分,它与卷积的运算方法类似。 ...

    这个是信号分析里边的概念。为比较某信号与另一延时\tau的信号之间的相似度,需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具,被广泛应用于雷达回波的识别,通信同步信号的识别等领域。相关函数 也称为相关积分,它与卷积的运算方法类似。

    实函数f_{1}(t)f_{2}(t),如为能量有限信号,它们之间互相关函数定义为:(注:下角数字,前面的领先\tau

    R_{12}(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t)f_{2}(t-\tau )dt=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t+\tau )f_{2}(t)dt

    R_{21}(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t-\tau )f_{2}(t )dt=\int_{-\infty }^{\infty }f_{1}(t )f_{2}(t+\tau)dt

    互相关函数是两信号时间差\tau的函数。

    一般R_{12}(\tau )\neq R_{21}(\tau )

    \left\{\begin{matrix} R_{12}(\tau ) =R_{21}(-\tau )& & \\ R_{21}(\tau )=R_{12}(-\tau ) & & \end{matrix}\right.

    如果f_{1}(t)f_{2}(t)是同一信号,可记为f(t),这时,无需区分R_{12}R_{21},用R(\tau )表示,称为自相关函数。即

    R(\tau )=\int_{-\infty}^{\infty }f(t)f(t-\tau )dt=\int_{-\infty}^{\infty }f(t+\tau )f(t)dt

    容易看出,对于自相关函数:R(\tau )=R(-\tau )

    可见,实函数f(t)的自相关函数就是时移\tau的偶函数。

     

    展开全文
  • 小虎在这里介绍了相关函数的意义和工程应用,工程应用以提取受噪声干扰的周期信号为例,并用MATLAB进行仿真。

    小虎在这里介绍了相关函数的意义和工程应用,工程应用以提取受噪声干扰的周期信号为例,并用MATLAB进行仿真。

    什么是相关函数

    相关函数(correlation function)是用来衡量两个信号的相关程度。相关函数又分为自相关函数、互相关函数和协方差函数。这里仅介绍在测试技术中较常见的两种(前两种)。

    自相关函数

    自相关函数(autocorrelation function)是用来衡量统一信号在不同时刻取值的相关程度。通过这种分析,可以分析出信号中的噪声并加以去除;或者从畸变的波形中分离出基波和谐波等。可以将时移前后的信号当成两个信号分析。这是仿真理解demo
    R x ( τ ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ 0 T x ( t ) x ( t + τ ) d t R_x(\tau)=\lim \limits_{T \to \infty } \frac{1}{T} \int_0^Tx(t)x(t+\tau)dt Rx(τ)=TlimT10Tx(t)x(t+τ)dt

    互相关函数

    互相关函数(crosscorrelation function)用来衡量两个信号之间的相关程度和取值依赖程度。对于一个理想的测试系统的输入输出信号求相关函数,测试结果完美的情况下,互相关函数取最大值时的 τ \tau τ时为等于系统的滞后时间,因为这说明信号并没有损失或收到噪声干扰,给输入信号加上的延时 t a u tau tau后与输出的信号一模一样,所以相关程度为完全相同。这是仿真理解demo
    R x y ( τ ) = lim ⁡ T → ∞ 1 T ∫ 0 T x ( t ) y ( t + τ ) d t R_{xy}(\tau)=\lim \limits_{T \to \infty } \frac{1}{T} \int_0^Tx(t)y(t+\tau)dt Rxy(τ)=TlimT10Tx(t)y(t+τ)dt
    另有性质之一 R x y ( − τ ) = R y x ( τ ) R_{xy}(-\tau)=R_{yx}(\tau) Rxy(τ)=Ryx(τ),所以当 y ( t ) y(t) y(t)比较复杂时可以采用这种方法转换为对 x ( t ) x(t) x(t)时延来计算。

    相关函数提取周期信号原理

    对机器进行噪声诊断时,噪声通常由随机、大量且大小近似相等影响因素叠加而成。随机噪声的自相关函数将出现规则的周期信号,幅值一般比正常噪声的幅值要大。当将变速箱各个机轴的转速化成频率与自相关函数波动频率比较,可以确定机械轴的好坏。或者利用自相关函数分析去除噪声得到周期函数的周期。

    具体例子——MATLAB仿真示例

    提取受到噪声干扰的周期函数 x = s i n ( w 0 t ) x=sin(w_0t) x=sin(w0t)的自相关函数,分析原周期函数的周期。

    物理意义

    结果如下图。为了便于计算,将 w 0 = 2 π f 0 w_0=2\pi f_0 w0=2πf0计算。
    在这里插入图片描述

    • 可以看到,每过一个周期,原周期函数重合,相关程度最高;每过半个周期,原周期函数互为相反数,相关程度为负的最大,这里我设的函数周期正好是0.2s(即200ms),可以很好的从自相关函数-滞后时间图像中看出。
    • 横坐标0的时候,时移为零,函数图像重合,时移前后的两个函数完全相同,相关程度最大,所以出现了0时刻的正的尖峰。
    • 另外,噪声的干扰还是可以在自相关函数-滞后时间的图中看出的,可以看到曲线不是完美的曲线,而是由波动的折线拟合而成的,这是随机噪声带来的影响,但是不影响我们分析周期函数的周期。

    代码分析

    1. 参数设置
      取6000采样长度,1000采样频率,t为采样间隔, w 0 = 2 π f 0 = 10 π w_0=2\pi f_0=10\pi w0=2πf0=10π
    n=6000;
    fs=1000;
    t=(0:n-1)/fs;
    f0=5;
    
    1. 函数建立
      x为周期为 1 / f 0 1/f_0 1/f0的正弦周期函数,z为x受到随机噪声干扰后的函数。
    x=sin(2*pi*f0*t);
    z=x+randn(size(x));
    
    1. 自相关函数求解
      R是求得的自相关函数;tau时延的值,截取了包括0在内的1+600x2个点。600时时延的区间,以傅里叶复指数形式表示的频谱是双边谱,傅里叶三角函数表示形式是单边谱,这里为前者,其实是后者的一分为二,这完全是数学计算的结果,没有任何实际物理意义。'coeff’归一化求得是自相关函数,‘biased’是有偏估计,'unbiased’是无偏估计。
    [R,tau]=xcorr(z,600,'coeff');
    
    1. 作图
      用两个画板画出受噪声干扰的函数和改函数的自相关函数。
    subplot(2,1,1);
    plot(t(1:1000),z(1:1000));
    xlabel('时间/s');
    ylabel('幅值');
    subplot(2,1,2);
    plot(tau,R);
    xlabel('滞后');
    ylabel('自相关函数');
    
    1. 完整代码
    n=6000;
    fs=1000;
    t=(0:n-1)/fs;
    f0=5;
    x=sin(2*pi*f0*t);
    z=x+randn(size(x));
    [R,tau]=xcorr(z,600,'coeff');
    subplot(2,1,1);
    plot(t(1:1000),z(1:1000));
    xlabel('时间/s');
    ylabel('幅值');
    subplot(2,1,2);
    plot(tau,R);
    xlabel('滞后');
    ylabel('自相关函数');
    

    参考文献

    [1]张春华等,工程测试技术基础第二版

    更多

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    1. 首先说说自相关和互相关的概念...函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1,t2的取值之间的相关程度,自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1,t2的 取值之间的相关程度。  自相关函数
  • 相关函数的理解

    万次阅读 多人点赞 2016-12-13 14:42:08
    每个小x(t)函数(样本函数)就是实际发生的一个表达式确定的函数,对每个小x(t)的处理,都是与之前确定函数的处理方法相同的,但是由于我们没法确定某次究竟发生哪个确定表达式的小x(t),所以我们只能研究发生...
  • Numpy统计相关函数

    万次阅读 2021-08-24 22:16:38
    掌握常用的统计相关函数。 针对二维数组,需要注意轴的概念,0和1分别代表纵轴和横轴 print(data.sum(axis=1)) #对行进行求和 print(data.mean(axis=1)) #对行进行求和均值 print(data.cumsum()) #累计求和 np....
  • 相关函数R(t1,t2):为了衡量随机过程x(t)在任意两个时刻(t1,t2)上获得的随机变量之间的关联程度。 R(t1,t2) = E[ x(t1) x(t2) ] 或者写成 R(τ) = E[ x(t) x(t+τ) ] 互相关函数:是描述随机信号x(t),y(t)在...
  • 相关函数python实现的三种方法

    千次阅读 2022-01-20 18:53:47
    用三种不同方法计算信号的互相关函数,并得到了几乎一致的结果。为了更好的理解整个过程,可在CSDN免费下载源码
  • Python计算离散序列的自相关函数

    千次阅读 2019-12-02 19:41:49
    Python计算离散序列的自相关函数 离散时间序列的自相关函数其实就是若干阶自相关系数的组合,其中,自相关系数的计算公式如下: 其中 h 为阶数,μ为序列的均值,比如计算离散时间序列 : [2, 3, 4, 3, 7] 的自相关...
  • 循环自相关函数,matlab程序

    热门讨论 2010-05-07 09:33:48
    自己写的关于循环自相关函数的快速计算方法,不同的调制方式只要更改x_t表达式即可
  • 文章目录一、概述二、相关函数1. getcwd2. chdir3. mkdir4. rmdir5. opendir6. readdir7. closedir8. dup29. dup10. errno11. fcntl 一、概述 二、相关函数 1. getcwd 函数作用:获取当前目录 头文件 参数说明: ...

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