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  • 线性代数-矩阵方程应用:配平化学方程式

    线性代数-矩阵方程应用:配平化学方程式

     

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  • 一、Lyapunov方程的计算求解1、连续Lyapunov方程连续Lyapunov方程可以表示为:AX + XA* = -C % 其中A*是A的转置1Lyapunov方程源于微分方程稳定性理论,其中要求-C为对称正定的nxn矩阵,从而可以证明解X亦为nxn对称...

    一、Lyapunov方程的计算求解

    1、连续Lyapunov方程

    连续Lyapunov方程可以表示为:

    AX + XA* = -C % 其中A*是A的转置

    1

    Lyapunov方程源于微分方程稳定性理论,其中要求-C为对称正定的nxn矩阵,从而可以证明解X亦为nxn对称矩阵。Lyapunov类的方程求解是很困难的,可以利用Matlab控制系统工具箱中提供的lyap函数求解,调用格式为

    X = lyap(A, C)

    1

    matlab代码:

    A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0]; C = -[10 5 4;5 6 7;4 7 9];

    X = lyap(A, C)

    norm(A*X + X*A‘ + C) % 验证解的情况

    % 结果:

    >> Matrix_equation

    X =

    -3.9444 3.8889 0.3889

    3.8889 -2.7778 0.2222

    0.3889 0.2222 -0.1111

    ans =

    2.3211e-14

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

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    2、Lyapunov方程的解析解

    3、离散 Lyapunov方程

    离散Lyapunov方程可以表示为:

    AXA* - X + Q = 0 % 其中A*是A的转置矩阵

    1

    该方程可以由MATLAB控制系统工具箱的dlyap函数直接求解。该函数的调用格式为:

    X = dlyap(A, Q)

    1

    matlab代码为:

    A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0]; Q = -[10 5 4;5 6 7;4 7 9];

    X = dlyap(A, Q)

    norm(A*X*A‘- X + Q) % 精度验证

    % 结果:

    X =

    -2.8439 3.2500 -3.0501

    3.2500 -3.3780 2.8107

    -3.0501 2.8107 -0.5462

    ans =

    7.6172e-14

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

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    二、Sylvester方程的计算求解

    Sylvester方程的一般形式为:

    AX + XB = -C

    1

    其中,A为nxn矩阵,B为mxm矩阵,C和X均为nxm矩阵。该方程又称为广义的Lyapunov方程。仍然可以用Matlab中控制系统工具箱中的lyap函数直接求解该方程。函数的一般调用格式为:

    X = lyap(A,B,C)

    1

    该函数采用的是Schur分解的数值解法求解方程。

    matlab代码:

    A = [1 2 3;2 4 1;4 6 1];

    B = [2 3 5;2 7 5;5 4 3];

    C = -[3 4 2;3 2 4;2 0 9];

    X = lyap(A, B, C)

    norm(A*X + X*B + C )

    % 结果:

    X =

    -9.5651 10.3207 -4.3218

    1.4515 -1.7102 1.3843

    9.9199 -9.7210 4.2467

    ans =

    3.9005e-14

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

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    三、Riccati方程的计算求解

    Riccati方程是一类很著名的二次型矩阵方程式,其一般形式为:

    A*X + XA - XBX + C = 0 % A*是A的转置矩阵

    1

    由于含有未知矩阵X的二次项, 所以Riccati方程的求解数学上要比Lyapunov方程更难。Matlab的控制系统工具箱提供了现成函数are,调用形式如下:

    X = are(A, B, C)

    1

    matlab代码:

    A = [1 2 3;2 4 1;4 6 1];

    B = [-2 3 5;2 7 5;5 4 3];

    C = [3 4 2;3 2 4;2 0 9];

    X = are(A, B, C)

    norm(A‘*X + X*A - X*B*X + C)

    % 结果:

    X =

    -0.1180 1.4662 -0.6059

    0.4316 1.4014 0.0150

    0.9982 -0.4684 2.0600

    ans =

    3.2899e-14

    ————————————————

    版权声明:本文为CSDN博主「Alicewhale」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。

    原文链接:https://blog.csdn.net/yuanchengzhizuishuai/java/article/details/99547923

    原文:https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/13039453.html

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    想求解含有未知数x2 x3 x4 x6 l5 l6的矩阵方程,代码如下:

    syms x2 x3 x4 x6 l5 l6

    a=[cosd(-90) sind(-90) 0 -100;-sind(-90)*cosd(90) cosd(-90)*sind(90) sind(90) -60*sind(90);sind(-90)*sind(90) -cosd(-90)*sind(90) cosd(90) -60*cosd(90);0 0 0 1]

    b=[cos(x2) sin(x2) 0 -70;-sin(x2)*cosd(-120) cos(x2)*sind(-120) sind(-120) 40*sind(-120);sin(x2)*sind(-120) -cos(x2)*sind(-120) cosd(-120) 40*cosd(-120);0 0 0 1]

    c=[cos(x3) sin(x3) 0 60;-sin(x3)*cosd(90) cos(x3)*sind(90) sind(90) -140*sind(90);sin(x3)*sind(90) -cos(x3)*sind(90) cosd(90) -140*cosd(90);0 0 0 1]

    d=[cos(x4) sin(x4) 0 -50;-sin(x4)*cosd(-90) cos(x4)*sind(-90) sind(-90) -15*sind(-90);sin(x4)*sind(-90) -cos(x4)*sind(-90) cosd(-90) -15*cosd(-90);0 0 0 1]

    e=[cosd(30) sind(30) 0 -110;-sind(30)*cosd(145) cosd(30)*sind(145) sind(145) -l5*sin(145);sind(30)*sind(145) -cosd(30)*sind(145) cosd(145) -l5*cosd(145);0 0 0 1]

    f=[cos(x6) sin(x6) 0 -130;-sin(x6)*cosd(90) cos(x6)*sind(90) sind(90) -l6*sind(90);sin(x6)*sind(90) -cos(x6)*sind(90) cosd(90) -l6*cosd(90);0 0 0 1]

    g=a*b*c*d*e*f

    i=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]

    h=g'-i';%h=0

    k=solve('h(1,1)','h(1,2)','h(1,3)','h(1,4)','h(2,1)','h(2,2)','h(2,3)','h(2,4)','h(3,1)','h(3,2)','h(3,3)','h(3,4)',x2,x3,x4,x6,l5,l6);

    x2=eval(k.x2)

    x3=eval(k.x3)

    x4=eval(k.x4)

    x6=eval(k.x6)

    l5=eval(k.l5)

    l6=eval(k.l6)

    求解后matlab显示:

    Warning: 12 equations in 6 variables.

    > In solve at 113

    In sym.solve at 49

    Warning: Explicit solution could not be found.

    > In solve at 140

    In sym.solve at 49

    ??? Access to an object's fields is only permitted within its methods.

    请好心高手帮帮忙!多谢!

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  • 耦合矩阵方程的新迭代算法
  • 矩阵方程求解

    千次阅读 2019-12-06 14:07:10
    9、稀疏矩阵方程求解:优化算法 9.1、正交匹配追踪法 贪婪算法 不求整体最优解,而是试图尽快找到在某种意义上的局部最优解。 典型的贪婪算法有以下匹配追踪算法: (1)匹配追踪(matching pursuit,MP)法   ...

    9、稀疏矩阵方程求解:优化算法

    9.1、正交匹配追踪法

    贪婪算法 不求整体最优解,而是试图尽快找到在某种意义上的局部最优解。
    典型的贪婪算法有以下匹配追踪算法:
    (1)匹配追踪(matching pursuit,MP)法
      基本思想是,不是针对某个代价函数进行最小化,而是考虑迭代地构造一个稀疏解 x : x: x:只使用字典矩阵 Φ \Phi Φ的少数列向量的线性组合对观测向量 x x x实现稀疏逼近 Φ x = y \Phi x=y Φx=y,其中字典矩阵 Φ \Phi Φ被选择的列向量所组成的作用集是以逐列的的方式建立的。在每一步迭代,字典矩阵中同当前残差向量 r = Φ x − y r=\Phi x-y r=Φxy最相似的列向量被选择作为作用集的新的一列。如果残差随着迭代的进行递减,则可以保证算法收敛。
    (2)正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit,OMP)法
      匹配追踪只能保证残差向量与每一步迭代所选择的字典矩阵列向量正交,但与以前选择的列向量一般不正交。正交匹配追踪则能够保证每步迭代后残差向量与以前选择的所有列向量正交,以保证迭代的最优性,从而减少了迭代次数,性能也更稳健。正交匹配追踪算法复杂度为O(mn),可以得到稀疏度 K ⩽ m / ( 2 log ⁡ n ) K \leqslant m/(2\log n) Km/(2logn)的系数向量。
    (3)正则正交匹配追踪(ROMP)法
      在OMP算法基础上,加入正则化过程。首先根据相关原子挑选多个原子作为候选集,然后从候选集中按照正则化原则挑选出部分原子,最后将其并入最终的支撑集,实现原子的快速、有效选择。

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矩阵方程