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  • 变限积分求导的口诀记忆法及应用①王旭坡【摘要】变限积分的计算结果为函数形式,对其求导就体现了重要的意义,同时变限积分的引入,为后续定积分的求解起到了铺垫作用,然而许多教材并没有着重讲解变限积分问题....

    变限积分求导的口诀记忆法及应用①

    王旭坡

    【摘

    要】

    变限积分的计算结果为函数形式,对其求导就体现了重要的意义,同

    时变限积分的引入,为后续定积分的求解起到了铺垫作用,然而许多教材并没

    有着重讲解变限积分问题

    .

    本文在研究三类变限积分求导过程的基础上,总结出

    相应的记忆口诀,通过形象生动地语言描述,使初学者能够快速理解并掌握变

    限积分的求导,同时举例说明了口诀的可行性与便捷性。

    【期刊名称】

    科技资讯

    【年

    (

    ),

    期】

    2018(016)012

    【总页数】

    2

    【关键词】

    变限积分

    求导

    口诀记忆法

    ①基金项目:广东理工学院质量工程项目

    (

    项目编号:

    JXTD2017001)

    ;应用型

    本科院校《高等数学》教学探究

    (

    项目编号:

    JXGG2016023)

    变限积分,又叫变限积分函数,是一种特殊形式的定积分,主要分为三种形式,

    即变上限积分变下限积分以及上下限同时变化的积分由于变限积分的计算结果

    为函数形式,对其求导就体现了重要的意义。同时变限积分作为定积分求解的

    引入环节,是大学阶段高等数学课程中比较重要的知识模块,也是硕士研究生

    入学考试的重要考点之一

    [1]

    ,然而许多教材中并没有着重讲解变限积分的性质

    以及求导思路。对于初学者而言,就很难接受教材中讲解的简略求导过程。在

    课堂教学过程中,枯燥的理论讲解很容易让学生在学习时产生抵触心理,进而

    影响到课程教学进度和课堂教学效果。对于数学课程而言,更是被很多学生冠

    以“枯燥无味的课程”的称谓。如何才能改善高等数学课程教学的效果,进而

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    类型1、下限为常数,上限为函数类型

    第一步:对于这种类型只需将62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333365666262上限函数代入到积分的原函数中去,再对上限函数进行求导。

    第二步:对下面的函数进行求导,只需将“X”替换为“t”再进求导即可。

    类型2、下限为函数,上限为常数类型

    第一步:基本类型如下图,需要添加“负号”将下限的函数转换到上限,再按第一种类型进行求导即可。

    第二步:题例如下,添加“负号”转换为变上限积分函数求导即可。

    类型3、上下限均为函数类型

    第一步:这种情况需要将其分为两个定积分来求导,因为原函数是连续可导的,所以首先通过“0”将区间[h(x),g(x)]分为[h(x),0]和[0,g(x)]两个区间来进行求导。

    第二步:然后将后面的变下限积分求导转换为变上限积分求导。

    第三步:接着对两个区间的变上限积分分别求导即可得到下面公式。

    第四步:对于这种题,可以直接套公式,也可以自己推导。

    总结

    对于变限积分求导,通常将其转换为变上限积分求导,求导时,将上限的变量代入到被积函数中去,再对变量求导即可。

    扩展资料

    众所周知,微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是函数的微小的增量,函数在某一点的导数值乘以自变量以这点为起点的增量,得到的就是函数的微分;它近似等于函数的实际增量(这里主要是针对一元函数而言)。

    而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。

    实际上,积分还可以分为两部分。第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x)的导数是f(x),那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x),也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x)。

    因为F(x)+C的导数也是f(x),C是任意的常数,所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。

    用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c

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  • 默认读者熟悉一元微积分求导的链式法则和多元微积分的求偏导的链式法则。先证明4条链式法则的应用。符号说明:与矩阵求导浅析(一)一致。1. 注意: 表达的意思是 ,而 表示的是先求出梯度 ,然后将 带入到 ,得到 ...

    导言:本文主要介绍了标量对向量/矩阵求导的链式法则,相比于矩阵求导浅析(一)的全微分算子按部就班的分析方法,本文的链式法则方法针对常见形式的求导,能够一步给出求导的结果。

    默认读者熟悉一元微积分求导的链式法则和多元微积分的求偏导的链式法则。先证明4条链式法则的应用。

    符号说明:与矩阵求导浅析(一)一致。

    1.

    注意:

    表达的意思是
    ,而
    表示的是先求出梯度
    ,然后将
    带入到
    ,得到

    证明:令

    ,则

    所以,

    2.

    证明

    其中,

    ,由链式法则

    注意到

    ,(
    表示矩阵
    行,
    表示矩阵
    列),所以当
    时,
    中才会有
    项。所以,
    .
    , 第
    列的元素是矩阵
    的第
    ,其他列的元素为0。故,

    所以,

    3.

    ,留给感兴趣的读者作为练习。

    4.

    证明:计算

    :提取出
    中跟
    有关的项。

    所以,

    总结我们上述的准则(

    是目标函数):

    例1:已知

    ,求偏导数

    ,显然
    ,应用链式法则:

    例2:求

    ,利用
    的运算,我们可以得到

    由偏导数定义不难验证

    例3:

    (作为练习)
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    变限积分的求导公式及其应用

    周少波

    ;

    雷冬霞

    ;

    程生敏

    【期刊名称】

    《学园》

    【年

    (

    ),

    期】

    2012(000)019

    【摘要】

    本文针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式,给

    出了学生易于理解和接受的一元函数的证明,并用实例展现了这一公式在微积

    分及其后继课程中的重要应用,有力说明了向学生介绍这一公式的重要意义。

    【总页数】

    2

    (51-52)

    【关键词】

    变限积分

    ;

    求导公式

    ;

    极限

    ;

    应用

    【作者】

    周少波

    ;

    雷冬霞

    ;

    程生敏

    【作者单位】

    华中科技大学数学与统计学院

    ;

    华中科技大学数学与统计学院

    ;

    华中

    科技大学数学与统计学院

    【正文语种】

    中文

    【中图分类】

    O172

    【相关文献】

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    4.

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