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  • 二重积分

    2020-11-04 11:57:31
    二重积分1. 定义附录附录1. 二重积分 1. 定义 z=f(x,y)vol=∬Rf(x,y)dAvol=∫xminxmaxS(x)dxFor given x, S(x)=∫ymin(x)ymax(x)f(x,y)dy⇒vol=∫xminxmax∫ymin(x)ymax(x)f(x,y)dydx z=f(x,y) \quad...

    1. 定义

    z=f(x,y)vol=Rf(x,y)dAvol=xminxmaxS(x)dxFor given x, S(x)=ymin(x)ymax(x)f(x,y)dyvol=xminxmaxymin(x)ymax(x)f(x,y)dydx z=f(x,y) \quad \text{vol}=\iint_{R}{f(x,y)}\mathrm{d}{A} \\ \text{vol}=\int_{x_{min}}^{x_{max}}{S(x)}{\mathrm{d}x} \\ \text{For given x, } S(x)=\int_{y_{min}(x)}^{y_{max}(x)} {f(x,y)}\mathrm{d}y \\ \Rightarrow \text{vol} = \int_{x_{min}}^{x_{max}} {\int_{y_{min}(x)}^{y_{max}(x)} {f(x,y)}\mathrm{d}y} \mathrm{d}x
    计算二重积分时,利用切面,将二重积分转化为两个单变量积分

    附录

    附录1. 二重积分

    z=x2y2+10101x2(x2y2+1)dydx=π8 z=-x^2-y^2+1 \\ \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}}(-x^2-y^2+1)\mathrm{d}y \mathrm{d}x = \frac{\pi}{8}

    在这里插入图片描述

    clear
    clc
    clf
    
    inte = 0.05;
    X = 0:inte:1-inte;
    j = 1;
    for i=X
        disp(i);
        
        subplot(1,2,1);
    
        f = @(x,y,z) x.^2 + y.^2 + z - 1;
        interval = [-5 5 -5 5 0 5];
        fimplicit3(f,interval,'FaceAlpha',.8);
    
        hold on
        
        % 画切面
        f = @(x,y,z) x - i;
        interval = [0 1 0 1 0 2];
        fimplicit3(f,interval);
        
        axis([-2 2 -2 2 0 4]);
        axis vis3d
        xlabel('x轴');
        ylabel('y轴');
        zlabel('z轴');
        
        j = j + 1;
    %     if (j ~= length(X))
            hold off
    %     end
        
        subplot(1,2,2);
        % -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 0 的积分
        XA = i:0.01:i+inte;
        YA = 0:0.01:1;
        [XAA, YAA] = meshgrid(XA, YA);
        ZAA = - XAA.^2 - YAA.^2 + 1;
        ZAA(1,1) = 0;
        meshz(XAA,YAA,ZAA);
        
        hold on
    
        axis([-2 2 -2 2 0 4]);
        axis vis3d
        xlabel('x轴');
        ylabel('y轴');
        zlabel('z轴');
        
        M(j) = getframe;
    
    end
    
    % movie2gif(M, 'iint.gif', 'LoopCount', 0, 'DelayTime', 0);
    
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  • 二重积分、三重积分

    万次阅读 多人点赞 2018-06-10 00:02:44
    二重积分二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值; 举例说明:二重积分的现实(物理)含义: 二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高...

    二重积分:

    二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值;
    举例说明:二重积分的现实(物理)含义:

    1. 二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积
    2. 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高 = 立体体积
    3. 二重积分计算平面薄皮质量,即:面积 × 面密度 = 平面薄皮质量

    二重积分的定义式:
    Df(x,y)dσ\iint_Df(x,y)d\sigma其中
    xxyy叫做积分变量,f(x,y)f(x,y)叫做被积函数,dσd\sigma叫做面积元素,DD叫做积分区域

    二重积分的表达形式:
    1、直角坐标形式:Df(x,y)dxdy\iint_Df(x,y)dxdy其中dxdydxdy叫做直角坐标系中的面积元素
    2、极坐标系形式:Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ\iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta其中ρdρdθ\rho d\rho d\theta叫做极坐标系中的面积元素

    二重积分的计算法:将二重积分转化为二次积分计算
    1、在直角坐标系下,f(x,y)x[x0,x1]y[g(x0),g(x1)]f(x,y)中x的取值区间为[x_0,x_1],则可推到出y的取值区间为[g(x_0),g(x_1)],则有Df(x,y)dxdy=x0x1dxg(x0)g(x1)f(x,y)dy\iint_Df(x,y)dxdy = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{g(x_0)}^{g(x_1)}f(x,y)dy
    反之,若f(x,y)f(x,y)中y的取值区间为[y_0,y_1],则可推到出x的取值区间为[g(y0),g(y1)][g(y_0),g(y_1)],则有Df(x,y)dxdy=y0y1dyg(y0)g(y1)f(x,y)dx\iint_Df(x,y)dxdy = \int_{y_0}^{y_1}dy\int_{g(y_0)}^{g(y_1)}f(x,y)dx

    2、在极坐标系下,f(ρcosθ,ρsinθ)f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)θ\theta的取值范围为[θ0,θ1][\theta_0,\theta_1],ρ\rho的取值范围为[ρ0,ρ1][\rho_0, \rho_1],则有Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=θ0θ1dθρ0ρ1f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ\iint_Df(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho d\theta = \int_{\theta_0}^{\theta_1}d\theta\int_{\rho_0}^{\rho_1}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho

    三重积分:

    三重积分的现实(物理)含义:体积 × 物理量 = 三重积分值;
    举例说明:

    1. 三重积分计算立体体积,即:体积 × 1 = 立体体积
    2. 三重积分计算立体质量,即:体积 × 体密度 = 立体质量

    三重积分的定义式:
    Ωf(x,y,z)dv\iiint_\Omega f(x,y,z)dv其中f(x,y,z)f(x,y,z)叫做被积函数,dvdv叫做体积元素,Ω\Omega 叫做积分区域

    三重积分的表达形式:
    1、直角坐标形式:
    Ωf(x,y,z)dxdydz\iiint_\Omega f(x,y,z)dxdydz其中dxdydzdxdydz叫做直角坐标系的体积元素
    2、柱面坐标系形式:
    Ωf(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz\iiint_\Omega f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\rho d\rho d\theta dz与定义式的关系为{x=ρcosθy=ρsinθz=zdv=ρdρdθdz \left\{ \begin{array}{c}x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \\dv = \rho d\rho d\theta dz\end{array}\right.
    3、球面坐标系形式:
    Ωf(rsinψcosθ,rsinψsinθ,rcosψ)r2sinψdrdψdθ\iiint_\Omega f(r\sin\psi\cos\theta,r\sin\psi\sin\theta,r\cos\psi)r^2\sin\psi dr d\psi d\theta与定义式的关系为{x=rsinψcosθy=rsinψsinθz=rcosψdv=r2sinψdrdψdθ\left\{ \begin{array}{c}x = r\sin\psi\cos\theta \\ y = r\sin\psi\sin\theta \\ z = r\cos\psi \\dv = r^2\sin\psi dr d\psi d\theta\end{array}\right. 其中

    • r是图形到原点的距离
    • ψ\psi是图形与z轴的角度,原点为顶点
    • θ\theta是图形与xoyxoy面投影的夹角,原点为顶点

    三重积分的计算法:
    1、将三重积分转化为三次积分计算:
    在直角坐标系下:f(x,y,z)f(x,y,z)中的z的取值范围可以被xxyy表示为[z0(x,y),z1(x,y)][z_0(x,y),z_1(x,y)],在xxyy平面上,yy的取值范围可以被xx表示为[y0(x),y1(x)][y_0(x), y_1(x)]xx的取值范围可以表示为[x0,x1][x_0, x_1],则有Ωf(x,y,z)dv=x0x1dxy0(x)y1(x)dyz0(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_{x_0}^{x_1}dx\int_{y_0(x)}^{y_1(x)}dy\int_{z_0(x,y)}^{z_1(x,y)}f(x,y,z)dz

    2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积分
    在直角坐标系下:f(x,y,z)f(x,y,z)中的zz的取值范围为[z0,z1][z_0,z_1]xxyy所组成的区域可以表示为区域DD,则有:Ωf(x,y,z)dv=z0z1dzf(x,y,z)dxdy\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_{z_0}^{z_1}dz\iint f(x,y,z)dxdy

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    第六章 二重积分

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    1. 内容要点

    1.2. 二重积分的概念和几何意义

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    3. 性质

    在这里插入图片描述
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    4. 计算

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    2. 重点题型

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  • 第六章用MATLAB计算二重积分由于二重积分可以化成二次积分来进行计算,因此只要确定出几分区域,就可以反复使用int命令来计算二重积分。例6.4.1计算二重积分22yDIxedxdyD是由直线x=0,y=1,y=x所围区域解该...

    第六章

    MATLAB

    计算二重积分

    由于二重积分可以化成二次积分来进行计算,因此只要确定出几分区域,就可以反复

    使用

    int

    命令来计算二重积分。

    6.4.1

    计算二重积分

    2

    2

    y

    D

    I

    x

    e

    dxdy

    

    D

    是由直线

    x=0,y=1,y=x

    所围区域

    该积分可以写成

    2

    1

    2

    0

    0

    y

    y

    I

    dy

    x

    e

    dx

    2

    1

    2

    0

    0

    y

    y

    I

    dx

    x

    e

    dy

    按第一种形式的求解步骤为

    syms

    x

    y

    I1=int(x^2*exp(-y^2),x,0,y)

    I1=

    1/3*y^3*exp(-y^2)

    I=int(I1,y,0,1)

    I=

    -1/3*exp(-1)+1/6

    有意思的是,如果采用第二种形式,手工无法计算,而用

    MATLAB

    却照样可以算出结

    果:

    syms

    x

    y

    I1=int(x^2*exp(-y^2),y,x,1)

    I1=

    1/2*erf(1)*pi*(1/2)*x^2-1/2*erf(x)*pi^(1/2)*x^2

    I=int(I1,x,0,1)

    I=

    -1/3*exp(-1)+1/6

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