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  • 图像处理中的一阶偏导和二阶偏导

    千次阅读 2015-02-11 15:40:20
    2. 二阶偏导数的推导和近似: 3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,j)为中心的二阶偏导数则有: 4. 同理: 5. 进而可推导: 6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义,...

    1. 一阶差分:

    2. 二阶偏导数的推导和近似:

    3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,j)为中心的二阶偏导数则有:

    4. 同理:

    5. 进而可推导:

    6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义,如SIFT特征OpenCV实现版本中的一阶以及二阶偏导:

    1. /*
    2. Computes the partial derivatives in x, y, and scale of a pixel in the DoG
    3. scale space pyramid.
    4. @param dog_pyr DoG scale space pyramid
    5. @param octv pixel's octave in dog_pyr
    6. @param intvl pixel's interval in octv
    7. @param r pixel's image row
    8. @param c pixel's image col
    9. @return Returns the vector of partial derivatives for pixel I
    10.     { dI/dx, dI/dy, dI/ds }^T as a CvMat*
    11. */ 
    12. static CvMat* deriv_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c ) 
    13.     CvMat* dI; 
    14.     double dx, dy, ds; 
    15.  
    16.     dx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) - 
    17.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) ) / 2.0; 
    18.     dy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) - 
    19.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) ) / 2.0; 
    20.     ds = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) - 
    21.         pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) ) / 2.0; 
    22.  
    23.     dI = cvCreateMat( 3, 1, CV_64FC1 ); 
    24.     cvmSet( dI, 0, 0, dx ); 
    25.     cvmSet( dI, 1, 0, dy ); 
    26.     cvmSet( dI, 2, 0, ds ); 
    27.  
    28.     return dI; 
    29.  
    30.  
    31.  
    32. /*
    33. Computes the 3D Hessian matrix for a pixel in the DoG scale space pyramid.
    34. @param dog_pyr DoG scale space pyramid
    35. @param octv pixel's octave in dog_pyr
    36. @param intvl pixel's interval in octv
    37. @param r pixel's image row
    38. @param c pixel's image col
    39. @return Returns the Hessian matrix (below) for pixel I as a CvMat*
    40.     / Ixx  Ixy  Ixs / <BR>
    41.     | Ixy  Iyy  Iys | <BR>
    42.     / Ixs  Iys  Iss /
    43. */ 
    44. static CvMat* hessian_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c ) 
    45.     CvMat* H; 
    46.     double v, dxx, dyy, dss, dxy, dxs, dys; 
    47.  
    48.     v = pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c ); 
    49.     dxx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) +  
    50.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) - 2 * v ); 
    51.     dyy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) + 
    52.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) - 2 * v ); 
    53.     dss = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) + 
    54.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) - 2 * v ); 
    55.     dxy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c+1 ) - 
    56.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c-1 ) - 
    57.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c+1 ) + 
    58.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c-1 ) ) / 4.0; 
    59.     dxs = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c+1 ) - 
    60.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c-1 ) - 
    61.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c+1 ) + 
    62.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c-1 ) ) / 4.0; 
    63.     dys = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r+1, c ) - 
    64.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r-1, c ) - 
    65.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r+1, c ) + 
    66.             pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r-1, c ) ) / 4.0; 
    67.  
    68.     H = cvCreateMat( 3, 3, CV_64FC1 ); 
    69.     cvmSet( H, 0, 0, dxx ); 
    70.     cvmSet( H, 0, 1, dxy ); 
    71.     cvmSet( H, 0, 2, dxs ); 
    72.     cvmSet( H, 1, 0, dxy ); 
    73.     cvmSet( H, 1, 1, dyy ); 
    74.     cvmSet( H, 1, 2, dys ); 
    75.     cvmSet( H, 2, 0, dxs ); 
    76.     cvmSet( H, 2, 1, dys ); 
    77.     cvmSet( H, 2, 2, dss ); 
    78.  
    79.     return H; 

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  • 二阶偏导数的推导和近似: 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,j)为中心的二阶偏导数则有: 同理: 进而可推导: 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义,如SIFT特征OpenCV实现版本中的一阶...
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  • 二元复合函数求二阶偏导

    千次阅读 2021-04-11 20:43:52
    二元复合函数求二阶偏导 设z=F(x+f(2x−y),y),其中F,f二阶连续偏导数,求∂2z∂y2. 设z = F(x+f(2x-y),y),其中F,f二阶连续偏导数,求\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}. 设z=F(x+f(2x−y),y),其中F,f二阶连续偏导...

    二元复合函数求二阶偏导

    设 z = F ( x + f ( 2 x − y ) , y ) , 其 中 F , f 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 ∂ 2 z ∂ y 2 . 设z = F(x+f(2x-y),y),其中F,f二阶连续偏导数,求\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2}. z=F(x+f(2xy),y),F,fy22z.

    解:
    ∂ z ∂ y = F 1 ′ f ′ ⋅ ( − 1 ) + F 2 ′ \frac{\partial z}{\partial y} = F'_1f'·(-1)+F'_2 yz=F1f(1)+F2
    ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ F 1 ′ f ′ ⋅ ( − 1 ) ∂ y + ∂ F 2 ′ ∂ y \frac{\partial ^2z}{\partial y^2} = \frac{\partial F'_1f'·(-1)}{\partial y} + \frac{\partial F'_2}{\partial y} y22z=yF1f(1)+yF2
    其中:
    ∂ F 1 ′ f ′ ⋅ ( − 1 ) ∂ y = f ′ ( F 11 ′ ′ f ′ − F 12 ′ ′ ) + F 1 ′ f ′ ′ \frac{\partial F'_1f'·(-1)}{\partial y} = f'(F''_{11}f'-F''_{12}) + F'_1f'' yF1f(1)=f(F11fF12)+F1f
    ∂ F 2 ′ ∂ y = F 21 ′ ′ f ′ ⋅ ( − 1 ) + F 22 ′ ′ \frac{\partial F'_2}{\partial y} = F''_{21}f'·(-1) + F''_{22} yF2=F21f(1)+F22
    综上:
    ∂ 2 z ∂ y 2 = F 11 ′ ′ ( f ′ ) 2 − 2 F 12 ′ ′ f ′ + F 1 ′ f ′ ′ + F 22 ′ ′ \frac{\partial ^2z}{\partial y^2} = F''_{11}(f')^2-2F''_{12}f' + F'_1f'' + F''_{22} y22z=F11(f)22F12f+F1f+F22

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  • Opencv--图像处理之一阶和二阶偏导

    千次阅读 2019-04-02 09:28:40
    3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,j)为中心的二阶偏导数则有:   4. 同理:   5. 进而可推导:   6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义,如SIFT特征...

     1. 一阶差分:

    2. 二阶偏导数的推导和近似:

    3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,j)为中心的二阶偏导数则有:

    4. 同理:

    5. 进而可推导:

    6. 这样我们就可以很好的运用其他的一阶偏导的定义,如SIFT特征OpenCV实现版本中的一阶以及二阶偏导:

    /*
    Computes the partial derivatives in x, y, and scale of a pixel in the DoG
    scale space pyramid.
    @param dog_pyr DoG scale space pyramid
    @param octv pixel's octave in dog_pyr
    @param intvl pixel's interval in octv
    @param r pixel's image row
    @param c pixel's image col
    @return Returns the vector of partial derivatives for pixel I
    	{ dI/dx, dI/dy, dI/ds }^T as a CvMat*
    */
    static CvMat* deriv_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )
    {
    	CvMat* dI;
    	double dx, dy, ds;
    	dx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) -
    		pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) ) / 2.0;
    	dy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) -
    		pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) ) / 2.0;
    	ds = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) -
    		pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) ) / 2.0;
    	dI = cvCreateMat( 3, 1, CV_64FC1 );
    	cvmSet( dI, 0, 0, dx );
    	cvmSet( dI, 1, 0, dy );
    	cvmSet( dI, 2, 0, ds );
    	return dI;
    }
    /*
    Computes the 3D Hessian matrix for a pixel in the DoG scale space pyramid.
    @param dog_pyr DoG scale space pyramid
    @param octv pixel's octave in dog_pyr
    @param intvl pixel's interval in octv
    @param r pixel's image row
    @param c pixel's image col
    @return Returns the Hessian matrix (below) for pixel I as a CvMat*
    	/ Ixx  Ixy  Ixs / &lt;BR&gt;
    	| Ixy  Iyy  Iys | &lt;BR&gt;
    	/ Ixs  Iys  Iss /
    */
    static CvMat* hessian_3D( IplImage*** dog_pyr, int octv, int intvl, int r, int c )
    {
    	CvMat* H;
    	double v, dxx, dyy, dss, dxy, dxs, dys;
    	v = pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c );
    	dxx = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c+1 ) + 
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r, c-1 ) - 2 * v );
    	dyy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c ) +
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c ) - 2 * v );
    	dss = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c ) +
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c ) - 2 * v );
    	dxy = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c+1 ) -
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r+1, c-1 ) -
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c+1 ) +
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl], r-1, c-1 ) ) / 4.0;
    	dxs = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c+1 ) -
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r, c-1 ) -
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c+1 ) +
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r, c-1 ) ) / 4.0;
    	dys = ( pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r+1, c ) -
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl+1], r-1, c ) -
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r+1, c ) +
    			pixval32f( dog_pyr[octv][intvl-1], r-1, c ) ) / 4.0;
    	H = cvCreateMat( 3, 3, CV_64FC1 );
    	cvmSet( H, 0, 0, dxx );
    	cvmSet( H, 0, 1, dxy );
    	cvmSet( H, 0, 2, dxs );
    	cvmSet( H, 1, 0, dxy );
    	cvmSet( H, 1, 1, dyy );
    	cvmSet( H, 1, 2, dys );
    	cvmSet( H, 2, 0, dxs );
    	cvmSet( H, 2, 1, dys );
    	cvmSet( H, 2, 2, dss );
    	return H;
    }
    

    转载自:https://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/6023368

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