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  • 二阶导数

    2019-12-23 13:59:00
    一般的,函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍然是x的函数,则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上,它主要表现函数的凹凸性。 代数记法 几何意义 对于反函数 性质 (1)如果一个...

    本文引用与百度百科。

    简介

    二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。一般的,函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍然是x的函数,则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。在图形上,它主要表现函数的凹凸性。

    代数记法

    几何意义

    对于反函数

    性质

    (1)如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有:

    f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。

    几何的直观解释:如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。

    (2)判断函数极大值以及极小值。

    结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。

    (3)函数凹凸性。

    设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,

    (1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是的;

    (2)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是的。

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  • 基于一阶和二阶导数的图像自适应通用变分模型
  • 数值计算中,采用三点法求函数的二阶导数,计算结果较为精确
  • 32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333431353433二阶导数就是一阶导数的导数,一阶导数可以判断函数的增,减性,二阶导数可以判断函数增、减性的快慢。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数...

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    x'=1/y',x"=(-y"*x')/(y')^2=-y"/(y')^3。32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333431353433

    二阶导数就是一阶导数的导数,一阶导数可以判断函数的增,减性,二阶导数可以判断函数增、减性的快慢。

    结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。

    由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:

    1、求导的线性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

    2、两个函数的乘积的导函数:一导乘二+一乘二导(即②式)。

    3、两个函数的商的导函数也是一个分式:(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

    4、如果有复合函数,则用链式法则求导。

    扩展资料

    二阶导的用法:

    判断的单调性则需判断的正负,假设的正负无法判断,则把或者中不能判断正负的部分(通常为分子部分)设为新函数,如果通过对进行求导继而求最值,若或则可判断出的正负继而判断的单调性,流程如下图所示:

    但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零,或一阶导数最大值大于等于零的时候,则单纯的二阶导数将失灵,此时采用的是零点尝试法,即确定一阶导数的零点的大致位置。

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    前面我们介绍过了图像的二阶导数,并且指出,二阶导数比一阶导数有更好的细节增强表现。那么,其原理是什么呢? 我们仍然简化问题,考虑下x方向,选取某个像素,如下图所示: 可以看出,在图中标红色框框的像素...

    前面我们介绍过了图像的二阶导数,并且指出,二阶导数比一阶导数有更好的细节增强表现。那么,其原理是什么呢?

    我们仍然简化问题,考虑下x方向,选取某个像素,如下图所示:
    这里写图片描述

    可以看出,在图中标红色框框的像素附近是一个明显的分界线,上面是一片平坦的灰度区域,下面是灰度缓慢变化的区域。而且有着明显的灰度突变:从100突变到50。我们可以把这个看作图像中物体的轮廓边缘。

    根据前几篇文章的介绍,图像在x方向的一阶导数和二阶导数分别是:

    fx=f(x+1)f(x)

    2fx2=f(x+1,y)+f(x1,y)2f(x,y)

    我们根据上面的式子计算下这个像素x方向上的一阶导数和二阶导数,如下图所示:
    这里写图片描述

    我们注意到:对于一阶导数,除了灰度突变的地方,其它灰度缓慢变化的地方数值相同,而且符号也相同。而二阶导数在灰度缓慢变化的地方数值为0,而在灰度突变的地方有符号相反的2个数值。也即二阶导数产生了一个像素宽双边缘

    前面提到,求一阶导数时,用的是绝对值,而二阶导数并没有用绝对值,因为在边缘处,有符号相反的二阶导数值,可以强化这个边缘的对比度。如下图所示:

    这里写图片描述

    我们看到,原图像与二阶导数图像合并后,在灰度均匀或灰度缓慢变化的地方,图像并没有任何改变;但在灰度突变的边缘处,原来是100和50的灰度差别,现在是150和10的灰度差别,对比度增强了很多。

    因为二阶导数产生了一个像素宽的双边缘,且2个边缘的二阶导数值符号相反,因此在合并图像时,就要考虑符号的问题,不然就适得其反。如果像一阶导数那样,使用了绝对值,那么这种双边缘的对比反差就没有了,所以二阶导数也就没有使用绝对值。

    一般来说,二阶导数比一阶导数获得的物体边界更加细致。但是,显而易见的,二阶导数对噪声点也更加敏感,会放大噪声的影响。看看下图就明白了:

    这里写图片描述

    在一片灰度均匀的区域,有一个噪声点,经过二阶导数处理后,噪声点更加孤立明显了,尤其在这些灰度平滑区域更加的显眼,噪声被放大了。

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