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  • 二项分布与负二项分布卡片
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    2021-03-05 15:46:44


    二项分布容易理解,负二项分布的描述不同模型稍有区别,记录一下。

    二项分布

    离散分布的一种,固定次数的独立试验时使用,每一次试验结果分为成功和失败两类,关心的是成功或失败的次数。

    二项分布概率密度为:

    P ( X = k ) = C n k p k q n − k \large\displaystyle P(X=k)=C_n^k p^kq^{n-k} P(X=k)=Cnkpkqnk

    其中:

    • p为单次试验成功的概率,q为失败的概率;
    • n为试验次数;
    • k表示成功k次,
      C n k = n ! k ! ( n − k ) ! \displaystyle C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} Cnk=k!(nk)!n!

    性质

    期望 E ( x ) = n p \displaystyle E(x)=np E(x)=np

    方差 V a r ( x ) = n p q \displaystyle Var(x)=npq Var(x)=npq

    负二项分布

    负二项分布有不同的描述,核心是放回抽取或者掷色子试验中,固定 成功(失败)的次数,描述 抽取/投掷 失败 (成功) 的次数概率分布。

    scipy.stats描述的模型:
    nbinom takes n and p as shape parameters where n is the number of successes, p is the probability of a single success, and (1-p) is the probability of a single failure.

    负二项分布将n和p作为形状参数,其中n是成功的次数,p 是单个成功的概率,1-p 是单个失败的概率。

    scipy中:
    抽取试验,单次成功的概率为 p p p,直到抽取 n n n次成功结束,这种情况下,失败次数 k k k符合负二项分布,其概率密度为:

    P ( X = k ) = C n + k − 1 n − 1 p n ( 1 − p ) k \displaystyle P(X=k)=C_{n+k-1}^{n-1}p^n(1-p)^k P(X=k)=Cn+k1n1pn(1p)k

    陈希孺老师教材中:
    抽取试验,单次成功的概率为 p p p,抽取试验直到抽取 k k k次失败结束,这种情况下,成功次数 n n n符合负二项分布,

    P ( X = n ) = C n + k − 1 k − 1 p n ( 1 − p ) k \displaystyle P(X=n)=C_{n+k-1}^{k-1}p^n(1-p)^k P(X=n)=Cn+k1k1pn(1p)k

    性质

    以scipy.stats模型为例,
    期望 E ( X ) = n p − n = n ( 1 − p ) p \displaystyle E(X) =\frac{n}{p}-n = \frac{n(1-p)}{p} E(X)=pnn=pn(1p)
    方差 V a r ( X ) = n ( 1 − p ) p 2 \displaystyle Var(X)=\frac{n(1-p)}{p^2} Var(X)=p2n(1p)

    示例

    掷色子,掷出1点为胜利:

    • 构造投掷18次筛子,投出1点的次数符合二项分布;
    • 现在考虑掷出3次胜利,问需要掷出多少次色子,比如结果是掷出了 k+3次色子,则k的分布符合 负二项分布

    scipy 实现及可视化

    import numpy as np
    import scipy.stats as stats
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号
    
    fig, axs = plt.subplots(1,2,figsize=(10,4),dpi=100) 
    fig.subplots_adjust(wspace=0.3)
    # 单次试验成功率
    p = 1./6
    # 二项分布考虑掷色子18次,成功次数符合二项分布
    N = 18
    # 负二项分布考虑掷出成功n次,失败次数符合二项分布
    n = 3
    # 二项分布B(N,p)
    P_B= stats.binom(N,p)
    ## 成功次数0~18的概率分布
    x=np.arange(N)
    PF_B = P_B.pmf(x)
    
    # 负二项分布NB(n,p)
    P_NB = stats.nbinom(n,p)
    # 成功3次,失败次数 k 的概率分布
    k=np.arange(N)
    PF_NB = P_NB.pmf(k)
    
    axs[0].stem(x, PF_B, 'bo', label='固定总次数,成功次数: 二项分布')  
    axs[0].set_xticks(range(0,20,1)); 
    axs[0].legend(loc='upper left')  
    axs[0].set_ylim(0,0.3)
    
    ax2=axs[0].twinx() 
    ax2.plot(x,P_B.cdf(x),'r',label='累积概率')
    ax2.legend(loc='center right')
    ax2.grid()
    ax2.set_ylim(0,1.2)
    
    axs[1].stem(k, PF_NB, 'bo', label='固定成功次数,失败次数: 负二项分布')   
    axs[1].set_ylim(0,0.06)
    axs[1].set_xticks(range(0,20,1)); 
    axs[1].legend(loc='upper left')
    ax2=axs[1].twinx() 
    ax2.plot(x,P_NB.cdf(x),'r',label='累积概率')
    ax2.legend(loc=[0.02,0.8])
    ax2.grid()
    

    在这里插入图片描述

    期望与方差

    期望

    print(f'二项分布的期望: {stats.binom(18,1./6).expect():.1f}, \n
    		负二项分布的期望{stats.nbinom(3,1./6).expect():.1f}')
    

    输出为

    二项分布的期望: 3.0,
    负二项分布的期望15.0

    验算:
    二项分布 binom(18,1./6) 的期望 E ( X ) = n p = 18 ∗ 1 / 6 = 3 \displaystyle E(X) =np=18*1/6=3 E(X)=np=181/6=3
    负二项分布**nbinom(3,1./6)**的期望 E ( X ) = n p − n = 3 ∗ 6 − 3 = 15 \displaystyle E(X) =\frac{n}{p}-n = 3*6-3=15 E(X)=pnn=363=15
    方差

    print(f'二项分布的方差: {stats.binom(18,1./6).var():.1f}, \n负二项分布的方差{stats.nbinom(3,1./6).var():.1f}')
    

    二项分布**binom(18,1./6)的方差: 2.5,
    负二项分布
    nbinom(3,1./6)**的方差90.0

    验算
    二项分布 binom(18,1./6) 的方差 E ( X ) = n p q = 18 ∗ 1 / 6 ∗ 5 / 6 = 2.5 \displaystyle E(X) =npq=18*1/6*5/6=2.5 E(X)=npq=181/65/6=2.5
    负二项分布**nbinom(3,1./6)**的方差 E ( X ) = n ( 1 − p ) p 2 = 3 ∗ 5 / 6 ∗ 6 ∗ 6 = 90 \displaystyle E(X) =\frac{n(1-p)}{p^2}=3*5/6*6*6=90 E(X)=p2n(1p)=35/666=90

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    二项分布

    二项分布是伯努利分布的扩展,即重复n次试验,每次试验都只有两种结果成功/失败,所以每次试验都符合伯努利分布

    截图来源:Binomial distribution

    三个二项分布例子对应的概率质量函数和累积分布函数
    截图来源:Binomial distribution

    考察二项分布方法有两种:
    第一种:有 n n n 枚独立的硬币,并且每一枚硬币出现成功的概率都是 p p p. 同时抛掷它们,并记录正面出现的次数
    第二种:有一枚独立的硬币抛掷 n n n 次,记录正面出现的次数
    因为每次抛掷硬币都是独立的行为,所以抛掷 n n n 枚独立的硬币与抛掷一枚独立的硬币 n n n 次,这两种方法是等价的

    二项式分布的概率质量函数(PMF)如下:

    上图中二项式系数如下

    二项式分布的累积分布函数(CDF)如下:

    为确保是一个概率分布,要同时满足两个条件
    (1)所有概率都是非负的;
    (2)概率之和必须等于1

    第一个条件毋庸置疑是满足的,我们证明第二个条件是否满足
    根据二项式定理
    ( x + y ) n = ∑ k = 0 n C n k x k y n − k (x+y)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^ky^{n-k} (x+y)n=k=0nCnkxkynk
    x = p 、 y = 1 − p x=p、y=1-p x=py=1p
    ∑ k = 0 n P ( X = k ) = ∑ k = 0 n C n k p k ( 1 − p ) n − k = ( p + ( 1 − p ) ) n = 1 \sum_{k=0}^nP(X=k)=\sum_{k=0}^nC_n^kp^k(1-p)^{n-k}=(p+(1-p))^n=1 k=0nP(X=k)=k=0nCnkpk(1p)nk=(p+(1p))n=1

    计算均值、方差

    利用期望的线性性质(避免了计算二项式系数之和):和的期望等于期望的和
    一个服从 Bin ( n , p ) \text{Bin}(n,p) Bin(n,p) 的随机变量 X X X n n n 个相互独立且服从 Bern ( n , p ) \text{Bern}(n,p) Bern(n,p) 的随机变量 X i X_i Xi 之和
    X = X 1 + X 2 + X 3 + ⋯ 9 X n X=X_1+X_2+X_3+\cdots 9X_n X=X1+X2+X3+9Xn
    因为每个 X i X_i Xi 都服从 Bern ( n , p ) \text{Bern}(n,p) Bern(n,p) 所以均值为 μ X = p \mu_X=p μX=p,方差都是 σ X i 2 = p ( 1 − p ) \sigma^2_{X_i}=p(1-p) σXi2=p(1p)
    μ X = E [ X ]   μ X = E [ X 1 + X 2 + X 3 + ⋯ + X n ]   μ X = E [ X 1 ] + ⋯ + E [ X n ]   μ X = p + ⋯ + p = n p \mu_X=E[X]\\ ~\\ \mu_X=E[X_1+X_2+X_3+\cdots +X_n]\\ ~\\ \mu_X=E[X_1]+\cdots+E[X_n]\\ ~\\ \mu_X=p+\cdots +p=np μX=E[X] μX=E[X1+X2+X3++Xn] μX=E[X1]++E[Xn] μX=p++p=np

    例子:


    展开全文
  • 超几何分布于二项分布的区别与联系参照.pdf
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    二项分布 概要 二项分布是离散型数据分布 发生的结果只有“成功”,“失败”两种情况。所以被称为“二项分布”,也称“伯努利分布”。 满足二项分布的随机变量的均值、方差、标准差 n为实验的次数,p为每次实验...

    二项分布

    • 概要
      二项分布是离散型数据分布
      在这里插入图片描述
      发生的结果只有“成功”,“失败”两种情况。所以被称为“二项分布”,也称“伯努利分布”。
    • 满足二项分布的随机变量的均值、方差、标准差
      在这里插入图片描述
      n为实验的次数,p为每次实验成功的概率。
    展开全文
  • 二项分布(一种离散分布)

    千次阅读 2022-02-16 19:48:25
    二项分布二项分布是伯努利分布的推广,它模拟了在指定(非随机)失败次数(表示为r)发生之前,一系列独立且同分布的伯努利试验中的成功次数

    负二项分布

    负二项分布是伯努利分布的推广,它模拟了在指定(非随机)失败次数(表示为r)发生之前,一系列独立且同分布的伯努利试验中的成功次数

    负二项分布可以用来确定一个系列中多于1次失败的概率
    比如:计算一台机器彻底崩溃前的天数、输掉系列赛冠军需要进行多少场比赛

    截图来源:Negative binomial distribution





    方差:
    Var = E [ X 2 ] − E [ X ] 2   Var = ∑ k = 0 ∞ k 2 ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r − ( r p 1 − p ) 2 \text{Var}=E[X^2]-E[X]^2\\ ~\\ \text{Var}=\sum_{k=0}^{\infty}k^2\begin{pmatrix}k+r-1\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^r-(\frac{rp}{1-p})^2\\ Var=E[X2]E[X]2 Var=k=0k2(k+r1k)pk(1p)r(1prp)2
    通过微分恒等式来计算 E [ X 2 ] E[X^2] E[X2]
    p 2 d d p 1 = p 2 d d p ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 k ) p k ( 1 − p ) r p^2\frac{d}{dp}1=p^2\frac{d}{dp}\sum_{k=0}^{\infty}\begin{pmatrix}k+r-1\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^r p2dpd1=p2dpdk=0(k+r1k)pk(1p)r
    最后整理求得
    E [ X 2 ] = r p + r 2 p 2 ( 1 − p ) 2   Var = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = r p + r 2 p 2 ( 1 − p ) 2 − ( r p 1 − p ) 2 = r p ( 1 − p ) 2   σ X 2 = r p ( 1 − p ) 2 E[X^2]=\frac{rp+r^2p^2}{(1-p)^2}\\ ~\\ \text{Var}=E[X^2]-E[X]^2=\frac{rp+r^2p^2}{(1-p)^2}-(\frac{rp}{1-p})^2=\frac{rp}{(1-p)^2}\\ ~\\ \sigma_X^2=\frac{rp}{(1-p)^2} E[X2]=(1p)2rp+r2p2 Var=E[X2]E[X]2=(1p)2rp+r2p2(1prp)2=(1p)2rp σX2=(1p)2rp

    例子:

    展开全文
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空空如也

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二项分布

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