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  • 二项分布

    千次阅读 2019-07-06 20:22:59
    二项分布的四个特点: 1. 做某件事的次数是固定的,用n表示 2. 每件事都有两种可能的结果(正面或反面,成功或失败等) 3. 每一次成功的概率都是相等的,用概率p表示 4. 你感兴趣的是成功x次的概率是多少 ...

    二项分布的四个特点:

    1. 做某件事的次数是固定的,用n表示

    2. 每件事都有两种可能的结果(正面或反面,成功或失败等)

    3. 每一次成功的概率都是相等的,用概率p表示

    4. 你感兴趣的是成功x次的概率是多少

     

    二项分布的公式

    p(x)=C_{n}^{x} p^x(1-p)^{n-x}     (成功x次的概率)

     

    二项分布的期望和方差

    期望:E(x)=np(表示某事情发生n次,预期成功了多少次)

    方差:\sigma ^2(x)=np(1-p)

     

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  • 二项分布
  • 目录二项分布性质负二项分布性质示例期望与方差 二项分布容易理解,负二项分布的描述不同模型稍有区别,记录一下。 二项分布 离散分布的一种,固定次数的独立试验时使用,每一次试验结果分为成功和失败两类,关心的...


    二项分布容易理解,负二项分布的描述不同模型稍有区别,记录一下。

    二项分布

    离散分布的一种,固定次数的独立试验时使用,每一次试验结果分为成功和失败两类,关心的是成功或失败的次数。

    二项分布概率密度为:

    P ( X = k ) = C n k p k q n − k \large\displaystyle P(X=k)=C_n^k p^kq^{n-k} P(X=k)=Cnkpkqnk

    其中:

    • p为单次试验成功的概率,q为失败的概率;
    • n为试验次数;
    • k表示成功k次,
      C n k = n ! k ! ( n − k ) ! \displaystyle C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} Cnk=k!(nk)!n!

    性质

    期望 E ( x ) = n p \displaystyle E(x)=np E(x)=np

    方差 V a r ( x ) = n p q \displaystyle Var(x)=npq Var(x)=npq

    负二项分布

    负二项分布有不同的描述,核心是放回抽取或者掷色子试验中,固定 成功(失败)的次数,描述 抽取/投掷 失败 (成功) 的次数概率分布。

    scipy.stats描述的模型:
    nbinom takes n and p as shape parameters where n is the number of successes, p is the probability of a single success, and (1-p) is the probability of a single failure.

    负二项分布将n和p作为形状参数,其中n是成功的次数,p 是单个成功的概率,1-p 是单个失败的概率。

    scipy中:
    抽取试验,单次成功的概率为 p p p,抽取试验知道抽取 n n n次成功结束,这种情况下,失败次数 k k k符合负二项分布,其概率密度为:

    P ( X = k ) = C n + k − 1 n − 1 p n ( 1 − p ) k \displaystyle P(X=k)=C_{n+k-1}^{n-1}p^n(1-p)^k P(X=k)=Cn+k1n1pn(1p)k

    陈希孺老师教材中:
    抽取试验,单次成功的概率为 p p p,抽取试验直到抽取 k k k次失败结束,这种情况下,成功次数 n n n符合负二项分布,

    P ( X = n ) = C n + k − 1 k − 1 p n ( 1 − p ) k \displaystyle P(X=n)=C_{n+k-1}^{k-1}p^n(1-p)^k P(X=n)=Cn+k1k1pn(1p)k

    性质

    以scipy.stats模型为例,
    期望 E ( X ) = n p − n = n ( 1 − p ) p \displaystyle E(X) =\frac{n}{p}-n = \frac{n(1-p)}{p} E(X)=pnn=pn(1p)
    方差 V a r ( X ) = n ( 1 − p ) p 2 \displaystyle Var(X)=\frac{n(1-p)}{p^2} Var(X)=p2n(1p)

    示例

    掷色子,掷出1点为胜利:

    • 构造投掷18次筛子,投出1点的次数符合二项分布;
    • 现在考虑掷出3次胜利,问需要掷出多少次色子,比如结果是掷出了 k+3次色子,则k的分布符合 负二项分布

    scipy 实现及可视化

    import numpy as np
    import scipy.stats as stats
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 用来正常显示负号
    
    fig, axs = plt.subplots(1,2,figsize=(10,4),dpi=100) 
    fig.subplots_adjust(wspace=0.3)
    # 单次试验成功率
    p = 1./6
    # 二项分布考虑掷色子18次,成功次数符合二项分布
    N = 18
    # 负二项分布考虑掷出成功n次,失败次数符合二项分布
    n = 3
    # 二项分布B(N,p)
    P_B= stats.binom(N,p)
    ## 成功次数0~18的概率分布
    x=np.arange(N)
    PF_B = P_B.pmf(x)
    
    # 负二项分布NB(n,p)
    P_NB = stats.nbinom(n,p)
    # 成功3次,失败次数 k 的概率分布
    k=np.arange(N)
    PF_NB = P_NB.pmf(k)
    
    axs[0].stem(x, PF_B, 'bo', label='固定总次数,成功次数: 二项分布')  
    axs[0].set_xticks(range(0,20,1)); 
    axs[0].legend(loc='upper left')  
    axs[0].set_ylim(0,0.3)
    
    ax2=axs[0].twinx() 
    ax2.plot(x,P_B.cdf(x),'r',label='累积概率')
    ax2.legend(loc='center right')
    ax2.grid()
    ax2.set_ylim(0,1.2)
    
    axs[1].stem(k, PF_NB, 'bo', label='固定成功次数,失败次数: 负二项分布')   
    axs[1].set_ylim(0,0.06)
    axs[1].set_xticks(range(0,20,1)); 
    axs[1].legend(loc='upper left')
    ax2=axs[1].twinx() 
    ax2.plot(x,P_NB.cdf(x),'r',label='累积概率')
    ax2.legend(loc=[0.02,0.8])
    ax2.grid()
    

    在这里插入图片描述

    期望与方差

    期望

    print(f'二项分布的期望: {stats.binom(18,1./6).expect():.1f}, \n
    		负二项分布的期望{stats.nbinom(3,1./6).expect():.1f}')
    

    输出为

    二项分布的期望: 3.0,
    负二项分布的期望15.0

    验算:
    二项分布 binom(18,1./6) 的期望 E ( X ) = n p = 18 ∗ 1 / 6 = 3 \displaystyle E(X) =np=18*1/6=3 E(X)=np=181/6=3
    负二项分布**nbinom(3,1./6)**的期望 E ( X ) = n p − n = 3 ∗ 6 − 3 = 15 \displaystyle E(X) =\frac{n}{p}-n = 3*6-3=15 E(X)=pnn=363=15
    方差

    print(f'二项分布的方差: {stats.binom(18,1./6).var():.1f}, \n负二项分布的方差{stats.nbinom(3,1./6).var():.1f}')
    

    二项分布**binom(18,1./6)的方差: 2.5,
    负二项分布
    nbinom(3,1./6)**的方差90.0

    验算
    二项分布 binom(18,1./6) 的方差 E ( X ) = n p q = 18 ∗ 1 / 6 ∗ 5 / 6 = 2.5 \displaystyle E(X) =npq=18*1/6*5/6=2.5 E(X)=npq=181/65/6=2.5
    负二项分布**nbinom(3,1./6)**的方差 E ( X ) = n ( 1 − p ) p 2 = 3 ∗ 5 / 6 ∗ 6 ∗ 6 = 90 \displaystyle E(X) =\frac{n(1-p)}{p^2}=3*5/6*6*6=90 E(X)=p2n(1p)=35/666=90

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  • 二项分布的期望方差证明

    万次阅读 多人点赞 2016-11-18 10:36:57
    二项分布的期望方差证明

    二项分布的期望方差证明

    P ( X = k ) = ( n k ) p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . , n , q = 1 − p E X = ∑ k = 0 n k ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k n ! k ! ( n − k ) ! p k q n − k = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! p k − 1 q ( n − 1 ) − ( k − 1 ) = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 k − 1 ) p k − 1 q ( n − 1 ) − ( k − 1 ) = n p [ ( n − 1 0 ) p 0 q n − 1 + ( n − 1 1 ) p 1 q n − 2 + . . . + ( n − 1 n − 1 ) p n − 1 q 0 ] = n p P(X=k) = {n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ EX = \sum_{k=0}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^n k {n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^n k {\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^kq^{n-k} \\ = np\sum_{k=1}^n {\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)} \\ = np\sum_{k=1}^n{n-1\choose k-1}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}\\ = np[{n-1\choose 0}p^0q^{n-1}+{n-1\choose 1}p^1q^{n-2}+...+{n-1\choose n-1}p^{n-1}q^0] \\ = np P(X=k)=(kn)pkqnk,k=0,1,2,..,n,q=1pEX=k=0nk(kn)pkqnk=k=1nk(kn)pkqnk=k=1nkk!(nk)!n!pkqnk=npk=1n(k1)!(nk)!(n1)!pk1q(n1)(k1)=npk=1n(k1n1)pk1q(n1)(k1)=np[(0n1)p0qn1+(1n1)p1qn2+...+(n1n1)pn1q0]=np

    因为: D X = E X 2 − ( E X ) 2 DX = EX^2-(EX)^2 DX=EX2(EX)2

    且,
    E X 2 = ∑ k = 1 n k 2 ( n k ) p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . , n , q = 1 − p = ∑ k = 1 n [ k ( k − 1 ) + k ] ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) ( n k ) p k q n − k + ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k 其 中 , ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k = E X = n p ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) ( n k ) p k q n − k = ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) n ! k ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q n − k = ∑ k = 2 n k ( k − 1 ) n ! k ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q n − k 注 : 特 别 注 意 这 里 k = 1 时 项 为 0 , 所 以 可 以 从 k = 2 开 始 计 算 。 = ∑ k = 1 n n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ! ( k − 2 ) ! ( n − k ) ! p 2 p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 ∑ k = 2 n ( n − 2 ) ! ( k − 2 ) ! ( n − k ) ! p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 ∑ k = 2 n ( n − 2 k − 2 ) p k − 2 q [ ( n − 2 ) − ( k − 2 ) ] = n ( n − 1 ) p 2 → E X 2 = n ( n − 1 ) p 2 + n p → D X = E X 2 − ( E X ) 2 = n p − n p 2 = n p ( 1 − p ) EX^2 = \sum_{k=1}^nk^2{n\choose k}p^kq^{n-k}, k = 0,1,2,..,n,q = 1-p\\ = \sum_{k=1}^n[k(k-1)+k]{n\choose k}p^kq^{n-k}\\ = \sum_{k=1}^nk(k-1){n\choose k}p^kq^{n-k} + \sum_{k=1}^nk{n\choose k}p^kq^{n-k}\\ 其中, \sum_{k=1}^nk{n\choose k}p^kq^{n-k} = EX = np\\ \sum_{k=1}^nk(k-1){n\choose k}p^kq^{n-k} \\ = \sum_{k=1}^nk(k-1){\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{n-k} \\ = \sum_{k=2}^nk(k-1){\frac{n!}{k!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{n-k} \\ 注:特别注意这里k=1时项为0,所以可以从k=2开始计算。\\ = \sum_{k=1}^n{\frac{n(n-1)(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^2p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]} \\ = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n{\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}}p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]}\\ = n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n{n-2\choose k-2}p^{k-2}q^{[(n-2)-(k-2)]}\\ = n(n-1)p^2 \\ \rightarrow EX^2 = n(n-1)p^2+np \\ \rightarrow DX = EX^2-(EX)^2 = np-np^2 = np(1-p) EX2=k=1nk2(kn)pkqnk,k=0,1,2,..,n,q=1p=k=1n[k(k1)+k](kn)pkqnk=k=1nk(k1)(kn)pkqnk+k=1nk(kn)pkqnkk=1nk(kn)pkqnk=EX=npk=1nk(k1)(kn)pkqnk=k=1nk(k1)k!(nk)!n!p2pk2qnk=k=2nk(k1)k!(nk)!n!p2pk2qnkk=10k=2=k=1n(k2)!(nk)!n(n1)(n2)!p2pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2k=2n(k2)!(nk)!(n2)!pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2k=2n(k2n2)pk2q[(n2)(k2)]=n(n1)p2EX2=n(n1)p2+npDX=EX2(EX)2=npnp2=np(1p)

    核心思想是转化为更小规模的组合数,这里没法直接用幂级数的和函数求解思路。

    END.

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  • 二项分布可以由泊松分布近似:
  • 二项分布和多项分布

    千次阅读 2019-10-12 10:38:34
    二项分布和多项分布 二项分布(binomial distribution):nnn重伯努利随机实验,假设X∈{0,1,⋯ ,n}X \in \{ 0, 1, \cdots, n \}X∈{0,1,⋯,n}表示事件111发生的次数。若事件111的发生的概率为θ\thetaθ,则XXX...

    二项分布(binomial distribution) n n n重伯努利随机实验,假设 X ∈ { 0 , 1 , ⋯   , n } X \in \{ 0, 1, \cdots, n \} X{0,1,,n}表示事件 1 1 1发生的次数。若事件 1 1 1的发生的概率为 θ \theta θ,则 X X X服从二项分布,记为 X ∼ Bin ( n , θ ) X \sim \text{Bin} (n, \theta) XBin(n,θ),其概率累积函数(probability mass function,pmf)定义为:

    Bin ( k ; n , θ ) = ( n k ) θ k ( 1 − θ ) n − k \text{Bin} (k ; n, \theta) = \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \theta^{k} (1 - \theta)^{n - k} Bin(k;n,θ)=(nk)θk(1θ)nk

    多项分布(multinomial distribution) n n n重多项伯努利随机实验,假设 x = ( x 1 , ⋯   , x K ) \mathbf{x} = (x_{1}, \cdots, x_{K}) x=(x1,,xK)为随机向量(random vector),其中 x j x_{j} xj表示事件 j j j发生的次数。若事件 j j j的发生的概率为 θ j \theta_{j} θj,则 x \mathbf{x} x服从多项分布,其概率累积函数(probability mass function,pmf)定义为:

    Mu ( x ; n , θ ) = ( n x 1 ⋯ x K ) ∏ j = 1 K θ x j = n ! x 1 ! x 2 ! ⋯ x K ! ∏ j = 1 K θ x j , ∑ j = 1 K x j = n \text{Mu} (\mathbf{x} ; n, \mathbf{\theta}) = \begin{pmatrix} n \\ x_{1} \cdots x_{K} \\ \end{pmatrix} \prod_{j = 1}^{K} \theta^{x_{j}} = \frac{n!}{x_{1}! x_{2}! \cdots x_{K}!} \prod_{j = 1}^{K} \theta^{x_{j}}, \quad \sum_{j = 1}^{K} x_{j} = n Mu(x;n,θ)=(nx1xK)j=1Kθxj=x1!x2!xK!n!j=1Kθxj,j=1Kxj=n

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  • 正态分布及二项分布

    2014-07-31 13:58:26
    主要是应用MATLAB写出的正态分布及二项分布的算法,仅供大家参考
  • https://blog.csdn.net/michael_r_chang/article/details/39188321https://www.cnblogs.com/wybang/p/3206719.htmlhttps://blog.csdn.net/jteng/article/details/603346281. 伯努利分布伯努利分布(Bernoulli ...
  • 二项分布代码

    2013-12-29 23:01:58
    二项分布matlab代码 仅供参考 手动输入
  • 二项分布 前提要求: 求解: 多项式分布 前提要求: 求解: Beta分布 beta分布可以看作一个概率的概率分布(哪个概率?----二项分布的概率) 参考:https://blog.csdn.net/a358463121/article/details/52562940 ...
  • 二项分布与泊松分布

    千次阅读 2018-10-24 20:22:10
    二项分布(Binomial distribution) 要介绍二项分布,先要介绍伯努利实验,然后自然而然就想到了抛硬币问题,正面朝上的概率为p,反面朝上的概率为q (q = 1 - p),假设正面朝上标记为1,反面朝上为0,则一次伯努利...
  • 二项分布与多项分布

    千次阅读 2009-07-06 21:50:00
    二项分布(Binomial distribution)即重复n次独立的伯努利试验,而多项分布(Multinomial distribution)则是二项分布的的推广。它们都是重要的离散型概率分布模型,而且在很多机器学习模型的推导中亦都有应用
  • 二项分布计算

    2013-10-25 12:20:37
    统计学课上,为方便二项分布计算而编写的小程序。用法很简单,首先输入二项分布的N和p,然后输入计算范围,就可求出相应范围内的概率。 采用C语言编写。压缩包中有源代码和exe文件。
  • N7 Ch2—2.1 0-1分布和二项分布.pdf
  • 几何分布和二项分布有什么区别?

    万次阅读 多人点赞 2018-09-16 13:19:07
    各种常见的分布中,二项分布和几何分布经常同时出现,在前面讲泊松分布的时候也简单提到了二项分布。那么,几何分布是什么分布?和二项分布又有什么区别? 几何分布 讲泊松分布的时候提到,二项分布的概率公式如下...
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  • 二项分布的期望和方差

    万次阅读 2019-05-09 17:03:00
    二项分布的期望和方差 .

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