空间曲线

空间曲线，通常由两个空间曲面的交线得来

参数方程

空间直线有参数方程，通过方向向量和一点来构建
同样，空间曲线也要有参数方程，引入参数t，将坐标用t表示，即是空间曲线的参数方程
x=x(t); y=y(t); z=z(t)
通常用三角函数构建
给出螺旋线参数方程的建立

投影到坐标面

由于投影的过程中会产生一个柱面，因此存在准线、母线，而称这个柱面为投影柱面。
真正的投影是这个柱面与坐标面的交线，称投影曲线，简称投影。
当投影到一个坐标面时，消去未涉及的坐标并令其等于0，即得到投影的方程
例如投影到xOy平面，则先消去z，再令z=0

求方程

1. 求已知两平面交线的投影方程： 联立方程，消去未涉及坐标，令其为0，判断是否包括内部。
2. 将一般方程化为参数方程：联立方程消去一个未知数，剩下两个构造成平方和等于1的形式，用三角函数代换。（有点抽象，给两个例子）
   

一、空间曲线的曲率计算方法

  方法一，参考张学东的论文《空间曲线的曲率计算方法》：

  方法二，参考博文：空间曲线的弧长与曲率

二、空间曲线的曲率计算matlab代码

%{
Function: calculate_curvature_of_spatial_curve
Description: 计算空间曲线的曲率
Input: 速度向量v,加速度向量a
Output: 空间曲线的曲率k,求解结果状态sta(sta = 0表示求解失败，sta = 1表示求解成功)
Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
%}
function [k, sta] = calculate_curvature_of_spatial_curve(v, a)

normV = norm(v, 2);
normA = norm(a, 2);
dotVA = dot(v, a);
temp = (normA * normV - dotVA) * (normA * normV + dotVA);
if temp >= 0.0 && normV > eps
    k = sqrt(temp) / normV / normV / normV;
    sta = 1;
else
    k = 0.0;
    sta = 0;
end
end

%{
Function: calculate_curvature_of_spatial_curve2
Description: 计算空间曲线的曲率
Input: 速度向量v,加速度向量a
Output: 空间曲线的曲率k,求解结果状态sta(sta = 0表示求解失败，sta = 1表示求解成功)
Author: Marc Pony(marc_pony@163.com)
%}
function [k, sta] = calculate_curvature_of_spatial_curve2(v, a)

normV = norm(v, 2);
if normV > eps
    k = norm(cross(v, a), 2) / normV / normV / normV;
    sta = 1;
else
    k = 0.0;
    sta = 0;
end

end

clc
clear
close all

%三次Bezier曲线C(u) = (1-u)^3 * P0 + 3*u*(1-u)^2*P1 + 3*u^2*(1-u)*P2 + u^3*P3
%                  = (3*P1 - P0 - 3*P2 + P3)*u^3 + (3*P0 - 6*P1 + 3*P2)*u^2 + (3*P1 - 3*P0)*u + P0

syms P0 P1 P2 P3 u
collect(expand((1-u)^3 * P0 + 3*u*(1-u)^2*P1 + 3*u^2*(1-u)*P2 + u^3*P3 ))

P0 = [0, 0, 0];
P1 = [10, 30, 0];
P2 = [20, 5, 0];
P3 = [30, 30, 0];

n = 300;
u = linspace(0, 1, n);
k = zeros(n, 1);
k2 = zeros(n, 1);
sta = zeros(n, 1);
sta2 = zeros(n, 1);
p = zeros(n, 3);
v = zeros(n, 3);
a = zeros(n, 3);
for i = 1 : n
    p(i, :) = (3*P1 - P0 - 3*P2 + P3)*u(i)^3 + (3*P0 - 6*P1 + 3*P2)*u(i)^2 + (3*P1 - 3*P0)*u(i) + P0;
    v(i, :) = 3 * (3*P1 - P0 - 3*P2 + P3)*u(i)^2 + 2*(3*P0 - 6*P1 + 3*P2)*u(i) + (3*P1 - 3*P0);
    a(i, :) = 6 * (3*P1 - P0 - 3*P2 + P3)*u(i) + 2*(3*P0 - 6*P1 + 3*P2);
    [k(i), sta(i)] = calculate_curvature_of_spatial_curve(v(i, :), a(i, :));
    [k2(i), sta2(i)] = calculate_curvature_of_spatial_curve2(v(i, :), a(i, :));
end
error = sum(abs(k-k2))

R = 1./ k;  %曲率半径

figure
subplot(3, 1, 1)
plot3(p(:, 1), p(:, 2), p(:, 3), '-')
hold on
plot3([P0(1), P1(1), P2(1), P3(1)],[P0(2), P1(2), P2(2), P3(2)],[P0(3), P1(3), P2(3), P3(3)], 'o-')
ylabel('Bezier曲线')
view([0 0 1])
subplot(3, 1, 2)
plot(u, k, '-')
ylabel('曲率')
subplot(3, 1, 3)
plot(u, R, '-')
ylabel('曲率半径')

一、多平行平面跨接绘制


在右视图绘制一条样条曲线，利用样条曲线上的点（两个最接近的点）对齐和穿透：

3、可以曲面放样得到我们想要的曲面

二、在空间体上绘制
1、首先绘制一个立方体

2、利用快速草图绘制三条曲线

3、删除实体得到空间曲线


4、形成空间曲面

三、实体转化
1、在前视图上绘制一个半圆，然后旋转成为圆球

2、在顶视图上绘制一个矩形

3、曲线投影

4、转化为实体

5、应用空间曲线（曲面扫描）

四、实体相交
1、绘制两个实体

2、利用相交转化


3、应用效果

五、投影
1、如图，在前视图绘制一条样条曲线：

2、然后在顶视图绘制一条

3、最后，进行投影，即可得到一条空间曲线



4、完成投影，空间曲线形成。后面我们就可以通过边界扫描或者平面填充形成实体面了。

六、3D草图
如先在顶视图上绘制一个五边形，然后再进入3D绘制草图模式，绘制一条空间直线，保持它与两边夹角均为120°。

多画几面

如此，我们就可以画出一个五边形的多面体