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  • 辗转相除

    2016-06-02 10:17:51
    //求最大公约数和最小公倍数辗转相除法基于如下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数最小公倍数等于两整数的乘积除最大公约数。  function gcd($n1, $n2){   if($n1 % $n2 ...
    //求最大公约数和最小公倍数辗转相除法基于如下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数最小公倍数等于两整数的乘积除最大公约数。
    
        function gcd($n1, $n2){        
            if($n1 % $n2 == 0){
                return $n2;
            }
            return gcd($n2, $n1 % $n2);
        }
        $n1 = 24;
        $n2 = 30;
        if($n1 < $n2){
                $temp = $n1;
                $n1 = $n2;
                $n2 = $temp;
            }
        $v1 = gcd($n1 ,$n2);
        $v2 = ($n1 * $n2) / $v1;
        echo "<br />最大公因数 = " . $v1 . " 最小公倍数 = " . $v2 . "<br />";
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  • 求最大公约数(辗转相除法)

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 16:20:50
    最大公约数(Greatest Common Divisor)指两个或多个整数共有约数中最大的...求最大公约数有多种 方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的 最小...

    最大公约数(Greatest Common Divisor)指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

    也称最大公因数、最大公因子,a, b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大 公约数记为(a,b,c),多个 整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种 方法,常见的有 质因数分解法、 短除法、 辗转相除法、 更相减损法。与最大公约数相对应的概念是 最小公倍数,a,b的 最小公倍数记为[a,b]。

    再来介绍一下辗转相除法:

    辗转相除法又叫欧几里得算法,是欧几里得最先提出来的.辗转相除法的实现,是基于下面的原理(在这里用(a,b)表示a和b的最大公因数):
      (a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都为自然数.………………①
      也就是说,两个数的最大公约数,将其中一个数加到另一个数上,得到的新数,其公约数不变,比如(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2.要证明这个原理很容易:如果p是a和ka+b的公约数,p整除a,也能整除ka+b.那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公约数,从而证明他们的最大公约数也是相等的.
      基于上面的原理,就能实现我们的迭代相减法:
      (78,14)=(64,14)=(50,14)=(36,14)=(22,14)=(8,14)=(8,6)=(2,6)=(2,4)=(2,2)=(0,2)=2
      基本上思路就是大数减去小数,一直减到能算出来为止,在作为练习的时候,往往进行到某一步就已经可以看出得值.迭代相减法简单,不过步数比较多,实际上我们可以看到,在上面的过程中,由(78,14)到(8,14)完全可以一步到位,因为(78,14)=(14×5+8,14)=(8,14),由此就诞生出我们的辗转相除法.
      用辗转相除法求(a,b).设r0=b,r1=a,反复运用除法算式,得到一系列整数qi,ri和下面的方程:
      相当于每一步都运用原理①把数字进行缩小,上面右边就是每一步对应的缩小结果,可以看出,最后的余数rn就是a和b的公约数.迭代相减法和辗转相除法在本质上是一样的,相对来说,减法比较简单(需要10步),但是除法步数少(仅需4步).

    因此可以通过这个原理来求出最大公约数: 

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    
    int fun(int m,int n){
    	int rem;			//余数,当余数为0的时候,最后的m即为最大公约数
    	//先用较小的数对较大的数取余,再用余数对较小的数求余,直到余数为零 
    	while(n > 0){
    		rem = m % n;
    		m = n;
    		n = rem;
    	}
    	return m;			//将结果返回			
    }
    int main(){
    	int n,m;
    	cin>>m>>n;
    	cout<<"m和n的最大公约数为:"<<fun(m,n)<<endl;
    	return 0; 
    } 

    因为到余数为零结束,所以还可以将程序简化一下用递归来求:

    int fun(int m,int n){
    	if(n==0) return m;
    	return fun(n,m%n);
    }

    再简化一下,用一行代码来求:

    int gcd(int m, int n) {
        return n ? gcd(n, m % n) : m;
    }

     

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  • 满意答案smrmhm2013.06.03采纳率:40%等级:12已帮助:12477人辗转相除法 百科名片 欧几里德辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯...

    满意答案

    00e27ab806e4881f8254fe7ae8741834.png

    smrmhm

    2013.06.03

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    辗转相除法 百科名片 欧几里德辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法, 其可追溯至3000年前。简单的想法   设两数为a、b(b<a),求它们最大公约数(a、b)的步骤如下:用b除a,得a=bq......r 1(0≤r)。若r1=0,则(a,b)=b;若r1≠0,则再用r1除b,得b=r1q......r2 (0≤r2).若r2=0,则(a,b)=r1,若r2≠0,则继续用r2除r1,……如此下去,直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a,b)。 原理及其详细证明   在介绍这个方法之前,先说明整除性的一些特点(下文的所有数都是正整数,不再重覆),我们可以这样给出整除性的定义:   对于二个自然数a和b,若存在正整数q,使a=bq,则a能被b整除,b为a的因子,a为b的倍数。   如果a能被c整除,并且b也能被c整除,则c为a、b的公因数(公有因数)。   由此我们可以得出以下推论:   推论1、如果a能被b整除(a=qb),若k为正整数,则ka也能被b整除(ka=kqb)   推论2、如果a能被c整除(a=hc),b也能被c整除(b=tc),则(a±b)也能被c整除   因为:将二式相加:a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减:a-b=hc-tc=(h-t)c   所以:(a±b)也能被c整除   推论3、如果a能被b整除(a=qb),b也能被a整除(b=ta),则a=b   因为:a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数,所以t=q=1   所以:a=b   辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数,在数值很大时尤其有用,而且应用在电脑程式上也十分简单。其理论如下:   如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数,即 m=nq+r,则 gcd(m,n)=gcd(n,r)。   证明是这样的: 设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)   证明:   ∵a为m,n的最大公约数,   ∴m能被a整除,且n也能被a整除,   ∴由推论1得:qn也能被a整除,   ∴ 由推论2得:m-qn也能被a整除,   又 ∵m-qn=r,   ∴r也能被a整除,即a为n和r的公约数(注意:还不是最大公约数)   ∵b为n和r的最大公约数,a为n和r的公约数   ∴a≤b,   同理   ∵b为n, r的最大公约数,   ∴n能被b整除,且r也能被b整除,   ∴由推论1得:qn也能被b整除,   ∴由推论2得:qn+r也能被b整除,   又∵m=qn+r,   ∴m也能被b整除,即b为m和n的公约数,(注意:还不是最大公约数)   ∵a为m,n的最大公约数,b为m和n的公约数,   ∴b≤a,   由以上可知:   a≤b与b≤a同时成立,   故可得   a=b,   证毕。   例如计算 gcd(546, 429)   gcd(546, 429) 546=1*429+117   =gcd(429, 117) 429=3*117+78   =gcd(117, 78) 117=1*78+39   =gcd(78, 39) 78=2*39   =39 [编辑本段]计算机算法自然语言描述   辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的:   1. 若 r 是 a ÷ b 的余数, 则   gcd(a,b) = gcd(b,r)   2. a 和其倍数之最大公因子为 a。   另一种写法是:   1. a ÷ b,令r为所得余数(0≤r<b)   若 r = 0,算法结束;b 即为答案。   2. 互换:置 a←b,b←r,并返回第一步。 流程图    流程图(当型) 伪代码   这个算法可以用递归写成如下:   function gcd(a, b) {   if b<>0   return gcd(b, a mod b);   else   return a;   } c语言实现   /* 辗转相除法(递归)*/   #include   int Gcd(int a,int b);   int main(void )   {   int m,n,t;   printf("Enter the two figures:");   scanf("%d %d",&m,&n);   printf("Gcd:%d\n",Gcd(m,n));   return 0;   }   int Gcd(int m,int n)//最大公约数   {   int t;   if(m

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  • 《高三数学教案:算法案例――辗转相除法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三数学教案:算法案例――辗转相除法(7页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、算法案例 辗转相除法育才中学潘敏一、教材分析选自苏教...

    《高三数学教案:算法案例――辗转相除法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高三数学教案:算法案例――辗转相除法(7页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、算法案例 辗转相除法育才中学潘敏一、教材分析选自苏教版普通高中课程标准实验教科书必修3 第一章第 4 节。1、地位作用:与传统教学内容相比, 算法初步为新增内容,算法是计算机科学的重要基础,从日常生活的电子邮件发送到繁忙的交通管理,从与人们生产、 生活息息相关的天气预报到没有硝烟的战争模拟等等都离不开计算机算法。算法思想已经渗透到社会的方方面面,算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。在以前的学习中, 虽然没有出现算法这个名词, 但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程,求解方程的步骤,以及将要学习的数列求和等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法思想。

    2、。本节内容是探究古代算法案例辗转相除法, 巩固算法三种描述性语言 (自然语言、流程图和伪代码) ,提高学生分析和解决问题的能力。2、教学目标:( 1)知识目标:理解辗转相除法原理;能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法;能应用迭代算法思想。( 2)能力目标:培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力;培养学生自主探索和合作学习的能力。(3)情感目标:使学生进一步了解从具体到抽象, 抽象到具体的辨证思想方法, 对学生进行辨证唯物主义教育;创设和谐融洽的教学氛围和阶梯形问题, 使学生在活动中获得成功感, 从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。3、教学重点与难点:( 1)教学重点:。

    3、理解辗转相除法原理;能用自然语言、流程图和伪代码表达辗转相除法。( 2)教学难点:理解和区分两种循环结构表达辗转相除法;能应用迭代算法思想。二、教法学法1、教法: 以问题为载体,有引导的对话,让学生经历知识的形成过程和发展过程,从而突出教学重点,并采用多媒体教学,增加课堂容量,有利于学生活动的充分展开。2、学法: 以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合,引导学生多角度、多层面认识事物,突破教学难点。第 1页共 6页三、教学过程设计:1、情景设置感知辗转相除法(发给每位学生一张长为22cm,宽为 6cm的纸条)【问 1】这张长方形的纸,先拿短边往长边上折,得到一个正。

    4、方形,从长方形上裁掉这个正方形后继续将短边往长边上折, 一直到最后剩下来的是正方形为止, 最后得到的边长是几的正方形?【师生互动解答】226 3 4;6 4 1 2;4 2 2 0 最后正方形的边长为2cm。【设计意图】通过动手操作,直观感受辗转相除法的具体做法。2、理解辗转相除法原理【问 2】 22 与 6 的最大公约数?【设计意图】把辗转相除法和情景设置联系起来,承上启下,顺利过渡。【问 3】 204 与 85 的最大公约数?【师板书】204 85 2 3485 34 21734 17 2 0 204与 85 最大公约数为 17。【师引导】总结辗转相除法具体步骤。【师讲解】辗转相除法原理:。

    5、( 204, 85)( 85, 34)( 34, 17)。【练 1】求 678 与 35 的最大公约数?【设计意图】具体动手操作,巩固新知。3、设计辗转相除法算法【问 4】写出两个正整数a,b(ab) 的最大公约数的一个算法。【师初步分析】 运用辗转相除法,产生一列数: a,b, r1 , r2 , rn 1 , rn ,0 。这列数从第三项开始,每项都是前两项相除所得的余数,余数为0 的前一项 r n ,既是 a 和 b 的最大公约数。递推关系: rnmod( rn 1 , rn 2 ) (其中 r1mod( a,b) , r2mod( b, r1 ) )【问 5】可选用什么结构书写此算法?。

    6、【生答】循环结构。【生分组讨论】 共分为两个小组,分别用直到型和当型循环结构写算法、画流程图和写伪代码,并派代表演板流程图和伪代码。【幻灯片显示】当型循环结构算法:直到型循环结构算法:S1输入两个正整数a,b(a b) ;S1输入两个正整数a, b(a b) ;S2ra b 的余数;S2若 mod( a,b)0 ,则输出最大S3ab,b r;公约数 b;若 r0,则转 S3。S3ra b 的余数;若 r0S4,则输出最大公约数a ;ab, br;若 r0,则转 S2。S4第 2页共 6页10 Read x,y20 m x30 ny40 cm-int(m/n)50 mn60 nc直到型循环结构流。

    7、程图:当型循环结构流程图:输入 a,b输入 a,brmod( a, b)brababbrrmod(a, b)NNr 0mod( a,b)0YY输出 a输出 b直到型循环结构伪代码:当型循环结构伪代码:10 Reada, bRead a, b20 rmod( a, b)30ab40br50Ifr 0 then goto 2060PrintaWhile mod(a, b)0rmod( a,b)a b b rEnd WhilePrint b【师点评结果】通过演板的流程图和伪代码的对比,梳理算法,强调选择不同的循环结构导致输出结果不同。【设计意图】多角度分析问题,加强综合运用知识能力;通过小组合作探索。

    8、,激发学生兴趣,巩固新知;渗透从具体到抽象的数学思想方法,体会迭代 n的算法思想。4、应用辗转相除法算法【练 2】右面一段伪代码的目的是:()A. 求 x,y 的最小公倍数B.求 x,y 的最大公约数C.求 x 被 y 整除的商D.求 y 被 x 整除的商70 If m/n=int(m/n) then goto 4080 Print m(练 2)【生答】B【设计意图】会“识”直到型循环语句描述的应用辗转相除法求最大公约数。第 3页共 6页【练 3】右面一段伪代码的输出结果是:()A.1B.429a 1048b 429C.190D.6While mod(a, b) 0【生答】 A【设计意图】会“。

    9、识”当型循环语句描述辗转相除法mod( a,b)并且会“算”最大公约数。rab【练 4】设计计算两个正整数bra, b(a b) 的End While最小公倍数的算法。Print b【设计意图】会“用”辗转相除法的算法语句。(练 3)【师提示】最小公倍数ab最大公约数【生演板】【师点评】易错点为:Reada, b(a b)S abReada,b(a b)Whilemod ( a, b) 0Whilemod (a,b) 0rmod(a, b)rmod( a,b)a babbrbrEnd WhileEnd WhilePrintSPrintabbb【问 6】:还有其他算法吗?Reada,b( a b。

    10、)【生答】运用案例1 穷举算法方法x1Whilemod ( x, a)0and mod (x,b)0xx1End WhilePrintx【设计意图】巩固练习辗转相除法算法;重温上节课孙子问题的穷举算法思想。第 4页共 6页5、课堂小结:【问 7】今天这节课主要学习了什么内容?在问题的解决过程中,我们运用了那些数学思想?【答】回顾从具体到抽象的研究方法;掌握运用辗转相除法求两个正整数的最大公约数;体会迭代算法思想。【设计意图】 使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识, 对本节课所用的迭代算法数学思想方法有一个明确的了解。6、布置作业:必做题:写出 3428 与 736 的最大公约数和最小公。

    11、倍数的算法;选做题:课本 P23: 4(斐波那契数列) ;拓展延伸:阅读课本 P28辗转相除与更相减损【设计意图】必做题让所有学生再次巩固本节课所学内容;选作题体现迭代算法思想,可供学生提高之用;阅读中国古代类似算法更相减损法, 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献, 增强民族自豪感。7、板书设计:辗转相除法1、分析3、流程图5、演板练习2、算法4、 伪代码四、评价分析:1、指导思想:新知识与旧知识相结合的原则;掌握知识与发展智力、能力相统一的原则;教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。2、本节课特点:教学模式打破了传统的教学模式,采用了以问题为载体, 以老师引导和小组合作探究为主要形式。教学设计符合学生的认知规律在整个教学过程中,始终体现这一思想,如:让学生动手操作,组织讨论,学生演板,辗转相除法的算法的引出从特殊到一般。强化学生的应用意识新课的导入,设计了与本课密切相关的实际问题,结束前又运用所学知识解决问题,课后的选作题是迭代算法思想的进一步应用。第 5页共 6页第 6页共 6页。

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  • Python辗转相除

    2021-05-30 12:27:26
    辗转相除
  • 辗转相除法源代码.cpp

    2020-04-22 18:22:46
    c++编写的辗转相除法代码,可输入数字进行辗转相除运算(具有详细步骤),便于对辗转相除运算问题进行验证求解。
  • 辗转相除法是整数和多项式理论中求最大公因数和最大公因式的一类重要方法,对于较大的两个整数和次数较高的两个多项式而言,利用辗转相除法手动计算它们的最大公因数和最大公因子运算量非常大,基于减少运算时间并...
  • 辗转相除法最大的用途就是用来求两个数的最大公约数。用(a,b)来表示a和b的最大公约数。有定理: 已知a,b,c为正整数,若a除以b余c,则(a,b)=(b,c)。 (证明过程请参考其它资料)例:求 15750 与27216的最大公约数。解:...
  • 辗转相除

    2020-02-06 14:17:49
    辗转相除辗转相除法相信大家大学经常接触,但初次接触到可能不是那么容易理解,那么话不多说,我跟大家分享一下我的理解。 关于辗转相除法的专业解释有很多,我在这就不再赘述,大家可以自己搜搜看,我这直接上...
  • gcd/辗转相除法的证明 此文仅供蒟蒻参考,dalao请我也不记得是左上角还是右上角了。 前言 这不是小学奥数吗? 数学上来先打表,数论只会gcd。 上面几句话一直打击我学习数论的信心。 不仅只会gcd,连gcd都...
  • 多项式辗转相除

    2019-02-28 17:29:15
    实现多项式辗转相除法,多项式的系数精确至小数点后两位,具有良好的交互界面。
  • 辗转相除法证明

    2019-10-19 07:16:16
    辗转相除法的相关证明
  • 从几何的角度描述了辗转相除法的基本原理,非常值得借鉴
  • 辗转相除法,一种求最大公约数的算法已知:A / B = C ······ R (A、B、C、R皆是整数)假设:D是A的余数,D也是B的余数,那么D就是A和B的公约数D是A和B的约数,则A和B是D的倍数,B * C也是D的倍数既然A与B*C都是...
  • 辗转相除法的原理

    万次阅读 多人点赞 2019-01-01 23:46:18
    辗转相除法是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是:用较小数除较大数,再用出现的余数(第一余数)去除除数,再用出现的余数(第二余数)去除第一余数,如此反复,直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公...

空空如也

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辗转相除