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  • 当采用不同的坐标系或称基底时,坐标的变换公式,以及将它们联系起来的过渡矩阵
  • 过渡矩阵

    千次阅读 2018-01-29 16:36:39
    过渡矩阵 对于任意一个数域为 P" role="presentation" style="position: relative;">PPP 的线性空间 V" role="presentation" style="position: relative;">VVV 和 V" role="presentation" style="position: ...

    过渡矩阵

    对于任意一个数域为 P P 的线性空间 V V V 上的任意一组基 ξ=(ξ1,,ξn),
    定义 ξ ξ 的过渡矩阵为:
    A=(ξi,ξj)n×n A = ( ⟨ ξ i , ξ j ⟩ ) n × n

    性质

    1. 对于 V V 上的任意两个向量 α=ξX,β=ξY,
      α,β=XAY ⟨ α , β ⟩ = X ⊺ A Y
      证明
      α,β ⟨ α , β ⟩
      =ξX,ξY = ⟨ ξ X , ξ Y ⟩
      =i=1nxiξi,j=1nyjξj = ⟨ ∑ i = 1 n x i ξ i , ∑ j = 1 n y j ξ j ⟩
      =i=1nj=1nxiyjξi,ξj = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i y j ⟨ ξ i , ξ j ⟩
      =XAY = X ⊺ A Y
    2. 对于 V V 上的任意另外一组基 η=ξP, η η 的过渡矩阵 B=PAP B = P ⊺ A P
      证明
      ηi,ηj ⟨ η i , η j ⟩
      =ξPi,ξPj = ⟨ ξ P i , ξ P j ⟩
      =PiAPj = P i ⊺ A P j
      B=PAP ⇒ B = P ⊺ A P
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  • 【矩阵论笔记】过渡矩阵

    万次阅读 多人点赞 2020-05-23 10:54:39
    定义 过渡矩阵性质 证明 例子

    定义

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    过渡矩阵性质

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    证明

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    例子

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  • 相似矩阵、过渡矩阵

    万次阅读 多人点赞 2018-02-26 11:21:42
    一、相似矩阵 P−1AP=BP−1AP=B{P}^{-1}AP=B P−1APx⃗ =Bx⃗ P−1APx→=Bx→{P}^{-1}AP\vec{x}=B\vec{x} x⃗ x→\vec{x}是新空间的一个向量,Px⃗ Px→P\vec{x}表示将新...

    申明: 仅个人小记

    一、相似矩阵

    P − 1 A P = B {P}^{-1}AP=B P1AP=B

    P − 1 A P x ⃗ = B x ⃗ {P}^{-1}AP\vec{x}=B\vec{x} P1APx =Bx

    x ⃗ \vec{x} x 是新空间的一个向量, P x ⃗ P\vec{x} Px 表示将新空间向量 x ⃗ \vec{x} x 变换为原空间向量, A P x ⃗ AP\vec{x} APx 是在原空间下做A变换, P − 1 A P x ⃗ {P}^{-1}AP\vec{x} P1APx 是将变换结果反变回新空间, B x ⃗ B\vec{x} Bx 是在新空间下对向量 x ⃗ \vec{x} x 做B变换

    对上式进行变形,得 A = P B P − 1 A=PB{P}^{-1} A=PBP1

    A y ⃗ = P B P − 1 y ⃗ A\vec{y}=PB{P}^{-1}\vec{y} Ay =PBP1y
    此时, y ⃗ \vec{y} y 是原空间的一个向量, P − 1 y ⃗ {P}^{-1}\vec{y} P1y 是将原空间向量 y ⃗ \vec{y} y 变换到新空间, B P − 1 y ⃗ B{P}^{-1}\vec{y} BP1y 则是在新空间中对向量 P − 1 y ⃗ {P}^{-1}\vec{y} P1y 做B变换, P B P − 1 y ⃗ PB{P}^{-1}\vec{y} PBP1y 便是将变换结果 P − 1 y ⃗ {P}^{-1}\vec{y} P1y 变换到原空间。

    ####二、过渡矩阵
    R 3 {R}^{3} R3空间的一个基 A = ( α ⃗ 1 , α ⃗ 2 , α ⃗ 3 ) A=(\vec \alpha _1,\vec \alpha_2,\vec \alpha _3) A=(α 1,α 2,α 3),在取一个新基 B = ( β ⃗ 1 , β ⃗ 2 , β ⃗ 3 ) B=(\vec \beta_1,\vec \beta_2,\vec\beta_3) B=(β 1,β 2,β 3),把矩阵 P = A − 1 B P={A}^{-1}B P=A1B称为旧基A到新基B的过渡矩阵。
    为什么这样称呼,看下式: B = A P B=AP B=AP
    即对基A做变换P就可以得到基B。(为什么这样,我暂时不清楚,只当是选出一种作为规定吧)。

    具体用处, x ⃗ = A − 1 B y ⃗ , 其 中 x ⃗ 是 基 A 下 的 坐 标 , y ⃗ 是 基 B 下 的 坐 标 \vec{x}={A}^{-1}B\vec{y}, 其中\vec{x}是基A下的坐标,\vec{y} 是基B下的坐标 x =A1By ,x Ay B

    B y ⃗ B\vec{y} By 是将B基下的向量 y ⃗ \vec y y 变换到原空间, A − 1 B y ⃗ {A}^{-1}B\vec{y} A1By 表示将原空间的向量 B y ⃗ B\vec{y} By 变换到A基下的向量。

    谢谢支持!
    邮箱: officeforcsdn@163.com
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  • 关于过渡矩阵和坐标变换公式的思考

    千次阅读 多人点赞 2020-03-21 13:59:41
    关于过渡矩阵和坐标变换公式的思考 前言 ​学习线性代数的时候一直很难理解过渡矩阵和坐标变换公式的概念,看到题目里求某向量在A基和B基下的坐标,除了蒙个公式上去几乎是无法思考。到了新学期,这些概念兜兜转转又...

    关于过渡矩阵和坐标变换公式的思考

    前言

    ​学习线性代数的时候一直很难理解过渡矩阵和坐标变换公式的概念,看到题目里求某向量在A基和B基下的坐标,除了蒙个公式上去几乎是无法思考。到了新学期,这些概念兜兜转转又回来了,是时候了结它们了。其实我思考的过程就是教科书上论述的过程,只是自己表述一遍会理解得更深刻一些

    过渡矩阵与坐标变换公式(数字的问题要用数字的方式解决)

    ​(一点废话)之前有尝试用矩阵变换的方式理解过渡矩阵和坐标变换,一度陷入误区,后来发现是缘木求鱼了。其实这类抽象数字之间的关系还是用式子来理解最直接,可能等认识再深入才能体会这背后的几何关系吧


    过渡矩阵

    假设B基和A基是同一线性空间下两组不同的基向量(注意,是不同的两组向量),下示公式表示了A和B之间的关系
    B = A P B=AP B=AP
    其中,P被称为过渡矩阵。这个式子的含义实际上是用A基来表示B基,我们试图通过某种方式来找到A基和B基之间的联系,联系的推导过程如下:
    B = E B = A A − 1 B = A P P = A − 1 B B=EB=AA^{-1}B=AP\\P=A^{-1}B B=EB=AA1B=APP=A1B
    通过单位阵变换我们可以很轻易的找到从A到B的表示方法,并把其中 A − 1 B A^{-1}B A1B 的积矩阵定义为过渡矩阵 P P P。其中没有什么复杂的变换,就是一个等式递推而已

    坐标变换公式

    为什么过渡矩阵能和坐标变换公式扯上关系,这曾一度让我很费解

    v ⃗ \vec v v 是该线性空间(A基和B基所在的线性空间,假设为n维)中的一个向量,把A基记为 ( a ⃗ 1 , a ⃗ 2 , … , a ⃗ n ) (\vec a_1,\vec a_2,\dots,\vec a_n) (a 1,a 2,,a n),B基记为 ( b ⃗ 1 , b ⃗ 2 , … , b ⃗ n ) (\vec b_1,\vec b_2,\dots,\vec b_n) (b 1,b 2,,b n),这种记法有助于理解坐标和线性组合的关系

    v ⃗ \vec v v 在A基下的坐标,也就是用A基(向量组)来线性表示 v ⃗ \vec v v 时的系数们,用向量表示为 x ⃗ = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \vec x= \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right) x =x1x2xn

    v ⃗ \vec v v 在B基下的坐标,也就是用B基(向量组)来线性表示 v ⃗ \vec v v 时的系数们,用向量表示为 y ⃗ = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) \vec y= \left( \begin{matrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{matrix} \right) y =y1y2yn

    通过 v ⃗ \vec v v 我们可以建立起 x ⃗ \vec x x y ⃗ \vec y y 之间的关系,注意向量不同的横纵表示方法,这涉及矩阵乘法运算时的先后顺序
    ∵ v ⃗ = A x ⃗ a n d v ⃗ = B y ⃗ ∴ A x ⃗ = B y ⃗ \because \vec v=A\vec x\quad and \quad \vec v=B\vec y \\ \therefore A\vec x=B\vec y v =Ax andv =By Ax =By

    ∵ B = A P   ( 用 A 表 示 B , 过 渡 矩 阵 在 这 里 派 上 了 用 场 ) ∴ A x ⃗ = A P y ⃗ ∴ x ⃗ = P y ⃗ ∴ y ⃗ = P − 1 x ⃗ \because B=AP\,(用A表示B,过渡矩阵在这里派上了用场)\\ \therefore A\vec x=AP\vec y\\ \therefore \vec x=P\vec y\\ \therefore \vec y=P^{-1}\vec x B=AP(AB)Ax =APy x =Py y =P1x

    这也就推导出了不同基下的坐标变换公式。

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  • 矩阵Jordan标准型过渡矩阵的求解

    千次阅读 2020-09-20 11:51:41
    引用自: 程云鹏 《矩阵论》 第三版
  • 1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_nϵ1​,ϵ2​,…,ϵn​到 η1,η2,⋯ ,ηn\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_nη1​,η2​,⋯,ηn​的过渡矩阵是 C\mathbf{C}C,则 C\mathbf{C}C是可逆矩阵.如果向量 α\mathbf{\alpha}α在这...
  • 过渡矩阵与坐标变换

    万次阅读 多人点赞 2016-10-15 08:39:52
    过度矩阵与坐标变换
  • 过渡矩阵+

    2021-08-06 09:55:37
  • 本讲义是自己上课所用幻灯片,里面没有详细的推导过程(笔者板书推导)只以大纲的方式来展示课上的内容,以方便大家下来复习。...若一个向量不在矩阵的列空间当中,即这个向量不能由一组向量线性表示
  • 介绍了矩阵 A的广义特征向量及利用 A的特征向量ζ通过方程(A-λE)x=ζ逐次由秩数低的广义特 征向量求出 A的秩数高的广义特征向量;...并给出了用这些广义特征向量为列来构造过渡矩阵 P,使 P-1AP为 A的约当标准形的方法。
  • 基变换与过渡矩阵

    千次阅读 2017-05-03 07:33:00
    取定线性空间的一组基,任何一组向量可以表示为基向量的线性组合,且是同构...表示的矩阵的系数矩阵的转置为过渡矩阵(表示向量到被表示变量的过渡矩阵) 形式行向量(α1,…αn)---加法,数乘(矩阵的列分快) ...
  • 文章目录A 线性表示B 基与维数C 向量的坐标D 过渡矩阵 A 线性表示 <1> 定义1(线性表示) <2> 定义2(线性相关) <3> 定义3(线性无关) 注: {α1,α2...αn}\{\alpha_1,\alpha_2...\alpha_...
  • 基变换和过渡矩阵

    2017-03-12 14:43:00
    http://www.doc88.com/p-9867334199526.html 转载于:https://www.cnblogs.com/sys-coder/p/6537875.html
  • python 矩阵初等行变换,解线性方程,numpy矩阵运算,sympy矩阵运算,求过渡矩阵,求具体某一基组下的坐标,解析几何 1.python实现 注意:用 python 对矩阵做初等行变换时,numpy 是没有现成的方法类似于rref()这样...
  • 任何一个矩阵A总是相似一个与其相应的若当(Jordan)标准型,就若当标准型的过渡矩阵T的求法进行了探讨,得出一种常用方法。
  • 我使用eigen 矩阵来计算过渡矩阵P , P = Av 的逆 * Bv,那么任意坐标 b = P * a;但检查发现 Av和 Bv3个 点可以互相转换,但其他点转出来为异常值。 比较急,求指教。因为代码暂不方便上传,有能解决该问题的请留下...
  • 过渡矩阵的方法 求-个由基a, a,., a,到B, .,… β.的过渡矩阵P, 一般采用下列方法: (1)定义法.将βi,i=1,2…,n, 在基ai下的坐标逐个求出,按列写成一一个n阶矩阵,即为过渡矩阵P: 函数R[x]_5旧基为B1={1,x, x2, ...
  • (2)过渡矩阵传递性运算 【例】过渡矩阵的求解 - 3 本例子讲述怎么借用过渡矩阵的性质进行过渡矩阵的求解,从而简化计算量 法一:按照前文的思路,根据过渡矩阵的定义框架,将向量组展开书写,针对向量组的每一个...
  • 3线性变换及其矩阵

    2019-12-05 23:37:36
    线性变换及其矩阵1.定义及例子1.1定义1.2例子1.2.1例一1.2.1例二1.3性质1.4线性变换运算的一些定义2.线性变换的矩阵表示2.1定义2.2定理2.3相似矩阵3.矩阵的值域和核3.1定义3.2定理 1.定义及例子 1.1定义 V是数域K上...
  • 欧几里得空间——正交矩阵

    千次阅读 2019-06-10 22:47:29
    设与是欧氏空间V在的两组标准正交基,它们之间的过渡矩阵是即因为是标准正交基,所以矩阵A的各项就是在标准正交基下的坐标,可以表示为相当于一个矩阵的等式A'A=E,或者 定义7 n级实数矩阵A称为正交矩阵,如果A'A=E...
  • 协方差矩阵计算实例

    2021-10-28 17:03:27
    协方差矩阵计算实例 突然发现给一组数据去实际计算对应得协方差矩阵,让人有点懵,并未找到太清楚的讲解,这里举一个实例记录一下。 1、别把样本数和维度数搞混了 具体进行计算容易懵的原因就是很容易把样本数和...
  • 矩阵基变换和坐标变换 基变换 设三维线性空间两组基{α1,α2,α3},{β1,β2,β3}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\},\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}{α1​,α2​,α3​},{β1​,β2​,β3​}(基向量均为列向量),不妨称...
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  • 一.正定二次型 1.概念: 2.判定: 定理1:nnn元实二次型x′Axx'Axx′Ax是正定的,当且仅当其正惯性指数等于nnn 推论1:nnn元实二次型x′Axx'Axx′...定理2:nnn级实对称矩阵AAA是正定的 ⇔A\quad⇔A⇔A的正惯性指数等于n.
  • 欧几里得空间——度量矩阵

    万次阅读 2019-06-07 11:09:46
    设是空间V的另外一组基,而由到的过渡矩阵为C,即于是不难看出,基的度量矩阵 度量矩阵是正定的 对于非零向量即即 反之,给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基可以规定V上内积,使它...
  • 1.1 过渡矩阵 1.2 旋转矩阵的表示关系 一、旋转矩阵(方向余弦矩阵) 要搞清楚什么是旋转矩阵,就要先明白什么是过渡矩阵。 1.1 过渡矩阵 假设载体坐标系(b系)下单位矢量为,惯性坐标系(i系)下单位矢量为...
  • 1.矩阵性质概念 1.1 符号 R—实数集,C—复数集 1.2 矩阵类型 1.3 矩阵运算 1.4 矩阵的多项式分解 方法为:->>>>>
  • 矩阵论笔记(二)——线性变换

    千次阅读 2017-03-16 11:07:40
    分为如下六个部分: - 线性变换及其运算 - 线性变换的矩阵表示 - 特征值与特征向量 - 对角矩阵 - 不变子空间 - Jordan 标准形
  • 仔细观察一下这个表达式,我们不难得出向量内积与矩阵乘法之间的联系: 回顾了向量内积之后,我们就比较容易理解正交向量的定义了:若,则称与正交。 也就是说,与正交。 从这个定义出发,我们很容易得出:零...

空空如也

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