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  • 区间估计

    2020-10-07 20:49:47
    区间估计 百科定义:在点估计的基础上,给出总体参数估计的一个范围,通常由样本统计量加减估计误差。 区间估计中,可以根据样本统计量的抽样分布,对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 个人理解:给...

    区间估计

    百科定义:在点估计的基础上,给出总体参数估计的一个范围,通常由样本统计量加减估计误差。

    区间估计中,可以根据样本统计量的抽样分布,对样本统计量总体参数接近程度给出一个概率度量


    个人理解:给出总体参数在当前给定区间的概率

    解释:

    点估计未知参数θ的估计量θ^是一个随机变量,随着样本选取的不同,得到的值也不同的,所以在此基础上,我们就希望能够找到一个区间,使得总体参数落到这个区间上的概率尽可能大(这个概率其实也就是可信度(置信水平)),而这个区间就是区间估计的解。

    目标:区间越小越好,概率越大越好(其实两者在一定程度上是矛盾的)

    公式定义

    P{θ1^θθ2^}=1αθ:θ^1θ^2:1α: P\{\hat{\theta_1}\le\theta\le\hat{\theta_2}\}=1-\alpha\\ \theta:总体未知参数\\ \hat\theta_1、\hat\theta_2:置信下限和置信上限\\ 1-\alpha:置信水平

    转化:
    P{g(θ1)^T(x)g(θ2)^}=1αT(x):()tF P\{\hat{g(\theta_1)}\le{T(x)}\le{\hat{g(\theta_2)}}\}=1-\alpha\\ T(x):(关键)需要构造的统计量,通常是正态、卡方、t、F分布,这样才能写成分位数形式


    单个正态总体参数的区间估计

    例:总体服从X~N(μ,σ2),现有样本统计量(X1、X2、X3…Xn)求μ和σ2的置信度为1-α的区间

    估计μ

    • 情况一:σ2已知,(正态分布求解)

    XˉN(μ,σ2n)(Xˉμ)σnN(0,1)P{μ(1α2)(Xˉμ)σnμ(1α2)}=1αp{Xˉσnμ(1α2)μXˉ+σnμ(1α2)}[Xˉσnμ(1α2),Xˉ+σnμ(1α2)]μ(1α2)σXˉ 根据总体分布可得到样本分布:\bar{X}-N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\\ 构造统计量:\frac{(\bar{X}-\mu)}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}-N(0,1)\\ P\{-\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\le\frac{(\bar{X}-\mu)}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\le\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\}=1-\alpha\\ p\{\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\le\mu\le\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}\}\\ 于是估计区间为:[\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})},\bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}]\\ 注:其中\mu_{(1-\frac{\alpha}{2})}需查表,\sigma、\bar{X}为已知值

    • 情况二:σ2未知,(t分布求解)

    XˉμSn1t(n1)      P25P{t(1α2)(n1)(Xˉμ)Sn1t(1α2)(n1)}=1α[XˉSn1t(1α2)(n1),Xˉ+Sn1t(1α2)(n1)] \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n-1}}}-t(n-1)~~~~~~详情可见P_{25}页\\ P\{-t_{(1-\frac{\alpha}{2})}(n-1)\le\frac{(\bar{X}-\mu)}{\frac{S}{\sqrt{n-1}}}\le{t}_{(1-\frac{\alpha}{2})}(n-1)\}=1-\alpha\\ 于是估计区间为:[\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n-1}}t_{(1-\frac{\alpha}{2})}(n-1),\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n-1}}t_{(1-\frac{\alpha}{2})}(n-1)]

    估计σ2

    • 此时只有一种情况,(卡方分布求解)

    nS2σ2χ2(n1)(n1)S2σ2χ2(n1)p{χσ22(n1)nS2σ2χ1σ22(n1)}=1αp{nS2χ1σ22(n1)σ2nS2χσ22(n1)}=1α[nS2χ1σ22(n1),nS2χσ22(n1)],[(n1)S2χ1σ22(n1),(n1)S2χσ22(n1)] \frac{nS^2}{\sigma^2}-\chi^2(n-1)\\ 或:\frac{(n-1)S_*^2}{\sigma^2}-\chi^2(n-1)\\ p\{\chi^2_{\frac{\sigma}{2}}(n-1)\le\frac{nS^2}{\sigma^2}\le\chi^2_{1-\frac{\sigma}{2}}(n-1)\}=1-\alpha\\ p\{\frac{nS^2}{\chi^2_{1-\frac{\sigma}{2}}(n-1)}\le{\sigma^2}\le\frac{nS^2}{\chi^2_{\frac{\sigma}{2}}(n-1)}\}=1-\alpha\\ 于是,估计区间为:[\frac{nS^2}{\chi^2_{1-\frac{\sigma}{2}}(n-1)},\frac{nS^2}{\chi^2_{\frac{\sigma}{2}}(n-1)}],或[\frac{(n-1)S_*^2}{\chi^2_{1-\frac{\sigma}{2}}(n-1)},\frac{(n-1)S_*^2}{\chi^2_{\frac{\sigma}{2}}(n-1)}]\\ 注:当求标准差的估计区间时,只需要对应的开方即可

    双正态总体参数的区间估计

    注:需要先求σ~1~^2^/σ~2~^2^的估计区间,如果其包含1,则认为σ~1~^2^=σ~2~^2^(方差齐性),在利用t分布求解μ~1~-μ~2~的估计区间

    估计σ1222的区间
    n1(n21)S12/σ12n2(n11)S22/σ22F(n11,n21)p{Fσ2(n11,n21)n1(n21)S12/σ12n2(n11)S22/σ22F1σ2(n11,n21)}=1αp{n1(n21)S12n2(n11)S22Fσ2(n21,n11)σ12σ22n1(n21)S12n2(n11)S22F1σ2(n21,n11)}=1α[n1(n21)S12n2(n11)S22Fσ2(n21,n11),n1(n21)S12n2(n11)S22F1σ2(n21,n11)][S12S22Fσ2(n21,n11),S12S22F1σ2(n21,n11)] \frac{n_1(n_2-1)S_1^2/\sigma_1^2}{n_2(n_1-1)S_2^2/\sigma_2^2}-F(n_1-1,n_2-1)\\ p\{F_{\frac{\sigma}{2}}(n_1-1,n_2-1)\le\frac{n_1(n_2-1)S_1^2/\sigma_1^2}{n_2(n_1-1)S_2^2/\sigma_2^2}\le F_{1-\frac{\sigma}{2}}(n_1-1,n_2-1)\}=1-\alpha\\ p\{\frac{n_1(n_2-1)S_1^2}{n_2(n_1-1)S_2^2}F_{\frac{\sigma}{2}}(n_2-1,n_1-1)\le\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\le\frac{n_1(n_2-1)S_1^2}{n_2(n_1-1)S_2^2} F_{1-\frac{\sigma}{2}}(n_2-1,n_1-1)\}=1-\alpha\\ 于是估计区间为:[\frac{n_1(n_2-1)S_1^2}{n_2(n_1-1)S_2^2}F_{\frac{\sigma}{2}}(n_2-1,n_1-1),\frac{n_1(n_2-1)S_1^2}{n_2(n_1-1)S_2^2} F_{1-\frac{\sigma}{2}}(n_2-1,n_1-1)]\\ 或者[\frac{S_{*1}^2}{S_{*2}^2}F_{\frac{\sigma}{2}}(n_2-1,n_1-1),\frac{S_{*1}^2}{S_{*2}^2} F_{1-\frac{\sigma}{2}}(n_2-1,n_1-1)]
    估计μ12的区间

    • 情况一:σ12和σ22已知,(正态分布求解)

    (XˉYˉ)N(μ1μ2,σ12n1+σ22n2)(XˉYˉ)(μ1μ2)σ12n1+σ22n2N(0,1)P{μ1α2(XˉYˉ)(μ1μ2)σ12n1+σ22n2μ1α2}=1α[(XˉYˉ)μ1α2σ12n1+σ22n2,(XˉYˉ)+μ1α2σ12n1+σ22n2] (\bar{X}-\bar{Y})-N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})\\ \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}-N(0,1)\\ P\{-\mu_{1-\frac{\alpha}{2}}\le\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\le\mu_{1-\frac{\alpha}{2}}\}=1-\alpha\\ 于是估计区间为:[(\bar{X}-\bar{Y})-\mu_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}},(\bar{X}-\bar{Y})+\mu_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}]

    • 情况二:σ12和σ22未知,(t分布求解)

    M(XˉYˉ)(μ1μ2)n1n2(n1+n22)n1+n2t(n1+n22)M=n1n2(n1+n22)n1+n2:[XˉYˉt1α2(n1+n22)Mn1S12+n2S22,XˉYˉ+t1α2(n1+n22)Mn1S12+n2S22] M\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2-2)}{n_1+n_2}}}-t(n_1+n_2-2)\\ 其中:M=\sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2-2)}{n_1+n_2}}\\ 可得估计区间为:[\bar{X}-\bar{Y}-\frac{t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)}{M}\sqrt{n_1S_1^2+n_2S_2^2},\bar{X}-\bar{Y}+\frac{t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1+n_2-2)}{M}\sqrt{n_1S_1^2+n_2S_2^2}]


    以上为个人总结,难免有疏漏之处,请见谅,若任有疑问可加QQ:1372931501

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  • 8.4 用MATLAB进行区间估计与线性回归分析 如果已经知道了一组数据来自正态分布总体但是不知道正态分布总体的参数 我们可以利用normfit)命令来完成对总体参数的点估计和区间估计格式为 [mu,sig,muci,sigci]=normfit(x...
  • 置信区间估计 预测区间估计Estimation implies finding the optimal parameter using historical data whereas prediction uses the data to compute the random value of the unseen data. 估计意味着使用历史数据...

    置信区间估计 预测区间估计

    Estimation implies finding the optimal parameter using historical data whereas prediction uses the data to compute the random value of the unseen data.

    估计意味着使用历史数据找到最佳参数,而预测则使用该数据来计算未见数据的随机值

    The highlighted words in the above statement need some context setting before we proceed further:

    在继续进行之前,上述语句中突出显示的词需要进行一些上下文设置:

    We need lot of historical data to learn dependencies for machine learning and modelling. The data typically involves multiple observations, where each observation consists of multiple variables. This multivariate observation x belongs to random variable X whose distribution lies in the realm of a finite set of possible distributions called as ‘the states of nature’.

    我们需要大量的历史数据来学习机器学习和建模的依赖关系。 数据通常包含多个观察值,其中每个观察值都包含多个变量。 该多元观测值x属于随机变量X,其分布位于称为“自然状态”的有限分布的可能范围内。

    Estimation is the process of optimizing the true state of nature. Loosely speaking, estimation is related to model building i.e. finding the most appropriate parameter that best describes the multivariate distribution of historical data, for e.g. if we have five independent variables, X1, X2….X5 and Y as the target variable. Then, estimation involves the process of finding f(x) which is the closest approximation of the true state of nature denoted by g(θ).

    估计是优化自然真实状态的过程 。 宽松地说,估计与模型构建有关,即找到最能描述历史数据多元分布的最合适参数,例如,如果我们有五个独立变量X1,X2….X5和Y作为目标变量。 然后,估计涉及寻找f(x)的过程,f(x)是由g(θ)表示的真实自然状态的最近似值。

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    Parameter estimation on training data
    训练数据的参数估计

    Whereas, prediction leverages the already built model to compute the out of sample values. It is a process of calculating the value of another random variable Z whose distribution is related to the true state of the nature (this property plays a pivotal role in any machine learning algorithm). Predictions are considered good when they agree over all the possible values of Z, on an average.

    而预测则利用已经建立的模型来计算样本外值。 这是计算另一个随机变量Z的值的过程,该变量的分布与自然的真实状态有关(此属性在任何机器学习算法中都起着关键作用)。 平均而言,当预测与Z的所有可能值一致时,这些预测就被认为是好的。

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    Prediction on unseen data
    对看不见的数据进行预测

    There are multiple ways to interpret the difference between the two, let’s also explore the Bayesian intuition:

    解释两者之间差异的方法有多种,让我们还探讨贝叶斯直觉

    Estimation is after the occurrence of the event i.e. posterior probability. Prediction is a kind of estimation before the occurrence of the event i.e. apriori probability.

    估计是在事件发生之后,即后验概率。 预测是在事件发生之前进行的一种估计,即先验概率。

    Let’s summarize our understanding on estimation and prediction: To make predictions on unseen data, we fit a model on training dataset that learns an estimator f(x), which is used to make predictions on new data.

    让我们总结一下对估计和预测的理解:为了对看不见的数据进行预测,我们在训练数据集上拟合了一个模型,该模型学习了估计器f(x),该函数用于对新数据进行预测。

    Now, that we understand what the prediction is, let’s see how it is different from forecasting.

    现在,我们了解了预测是什么,让我们看看它与预测有何不同。

    Forecasting problems are a subset of prediction problems wherein both use the historical data and talk about the future events. The only difference between forecasting and prediction is the explicit addition of temporal dimension in forecasting.

    预测问题是预测问题的子集,其中既使用历史数据,又谈论未来事件。 预测与预测之间的唯一区别是在预测中显式增加了时间维度。

    Forecast is a time-based prediction i.e. it is more appropriate while dealing with time series data. Prediction, on the other hand, need not be time based only, it can be based on multiple causal factors that influence the target variable.

    预测是基于时间的预测,即在处理时间序列数据时更合适。 另一方面,预测不必仅基于时间,它可以基于影响目标变量的多个因果因素。

    I stumbled across a very fresh perspective of explaining the difference between the prediction and forecast using the analogy of the origin of the words themselves.

    我偶然发现了一个非常新颖的观点,即使用单词本身的起源来解释预测与预测之间的差异。

    I will brief on this innovative illustration in this post, but you can read more about it at the original post here.

    我将在这篇文章中简要介绍这个创新的插图,但是您可以在此处的原始文章中了解更多有关它的信息。

    Forecast is more process-oriented and follows a certain methodology of doing something. In a way, it assumes that the past behavior is a good enough indicator of what is going to happen in the future.

    预测更注重过程,并遵循某种方法进行工作。 在某种程度上,它假设过去的行为足以说明将来会发生什么。

    Prediction considers all historical processes, influencing variables and interactions to reveal the future.

    预测考虑了所有历史过程,影响变量和相互作用以揭示未来。

    In summary, all forecasts are predictions but not all predictions are forecasts.

    总之,所有预测都是预测,但并非所有预测都是预测。

    Hope you now have clarity on the difference between estimation and prediction. The post also highlights the distinction between prediction vs forecast.

    希望您现在对估计和预测之间的区别有所了解。 该帖子还强调了预测与预测之间的区别。

    Happy Reading!!!

    阅读愉快!

    References: https://stats.stackexchange.com/questions/17773/what-is-the-difference-between-estimation-and-prediction/17789#17789

    参考: https : //stats.stackexchange.com/questions/17773/what-is-the-difference-between-estimation-and-prediction/17789#17789

    翻译自: https://towardsdatascience.com/estimation-prediction-and-forecasting-40c56a5be0c9

    置信区间估计 预测区间估计

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  • 021 区间估计(对u的区间估计、对a^2的区间估计

    本概率论视频由汤家凤教授全程讲授,在此致谢汤家凤老师 的辛勤付出!也预祝各位同学考研成功!
    至此,(2017.9.18-2017.12.6)已复习汤家凤老师的数学系列课程:
    1,106讲 高等数学上册
    2,线性代数基础班
    3,概率论基础班
    数学功底好的同学的也可以一起来学习大数据!开启大数据人工智能之旅!

    机器学习和人工智能入门的数学基础知识:

    概率论:
    1.离散和连续的随机变量(Discrete and continuous random variables)
    2.重要的分布(伯努利,分类,二项式,正态,指数,泊松,贝塔,伽马)
    3.贝叶斯统计(Bayes statistics)
    4.相关和协方差(correlation and covariance)

    线性代数:
    1.向量和矩阵(Vectors and matrics)
    2.矩阵的决定因素(determinant of a matrix)
    3.特征向量和特征值(eigenvectors and eigenvalues)
    4.矩阵分解(像SVD)(Matrix factorization)

    微积分:
    1.函数
    2.积分

    我的努力求学没有得到别的好处,只不过是愈来愈发觉自己的无知。——笛卡儿
    学者用功,须是渐进而不已,日计不足,岁计则有余,若一曝十寒,进锐退速,皆非学也。——朱舜水
    只要愿意学习,就一定能够学会。——列宁


    021 区间估计(对u的区间估计、对a^2的区间估计)



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  • 1. 区间估计 1.1 区间估计 总体参数估计的一个区间,确信该区间将参数值纳入其中。 区间估计的形式:点估计±边际误差 1.2 置信区间 区间估计中,由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间。 ...

    可参考上一篇博文

     抽样与抽样分布——中心极限定理、点估计

    1. 区间估计

    1.1 区间估计

    总体参数估计的一个区间,确信该区间将参数值纳入其中。

    区间估计的形式:点估计±边际误差

    1.2 置信区间

    区间估计中,由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间。

    区间的最小值是置信下限,区间的最大值是置信上限。

    1.3 置信水平/置信度/置信系数

    假定抽取100个样本,构造100个置信区间,这100个置信区间中有95%的区间包含了总体参数的真值,5%没包含,95%被称为置信水平。

    如果将构造置信区间的步骤重复多次,置信区间中包含总体参数真值的次数所占比例称为置信水平。


    2.总体均值的区间估计

    2.1总体均值的区间估计:σ已知

     

    对置信区间的理解,要注意:

    (1)总体参数的真值是固定的,样本构造的区间是不固定的,置信区间是一个随机区间,会因样本的不同而变化,而且不是所有的区间都包含总体参数。

    一个特定的区间总是“包含”和“绝对不包含”参数的真值,不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题。

    置信水平知识告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值,而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言的。

    (2)使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间,而使用一个较大的样本则会得到一个较准确的区间,

    2.2总体均值的区间估计:σ未知

    2.3样本容量确定

    σ已知,直接用上面的式子计算。

    σ未知,可以根据以下任一方法确定:

    (1)根据以前研究中的数据计算总体标准差的估计值作为σ的计划值

    (2)利用实验研究,选取一个初始样本,以初始样本的标准差作为σ的计划值。

    2.4 总结

    在绝大部分应用中n≥30已经够大。如果总体服从或者近似服从正态分布,可以利用更小的样本容量。

    对于σ未知,如果总体的分布严重偏斜或者包含异常点,将样本容量增加到n≥50。


    3.总体比率的区间估计

    3.1总体比率的区间估计

    3.2样本容量的确定

    令E代表希望达到的边际误差

    得到下面的结论

    总体比率区间估计中的样本容量

    可选择如下方法确定计划值p*

    (1)用以前相同或类似样本的样本比率代替

    (2)利用实验性研究,选取一个初始样本,以该样本的样本比率作为计划值

    (3)使用判断或最优猜测作为计划值

    (4)如果上述方法均不适用,则去计划值p*=0.5

    参考

    统计学

    商务与经济统计

     

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  • 三、区间估计 给出参数的取值范围 1. 区间估计的一般概念 2. 单个正太总体参数的置信区间 3. 两个正态总体参数的置信区间
  • 区间估计Excel案例

    2014-10-12 15:39:28
    区间估计Excel案例
  • 【R参数估计】区间估计

    千次阅读 2020-01-20 21:36:42
    【R参数估计】区间估计区间估计(interval estimation) 区间估计(interval estimation) 区间估计是用两个统计量所构成的区间来估计一个未知的参数,并同时指明此区间可以覆盖住这个参数的可靠程度(置信度) 缺点...
  • 参数的区间估计.

    2014-04-26 12:51:46
    参数的区间估计.参数的区间估计.参数的区间估计
  • FRM 17.1 区间估计

    2021-01-03 22:56:20
    二、区间估计的基本概念 区间估计是指估计未知参数的区间范围。如给定概率水平,估计出来的置信区间以的概率覆盖未知总体参数,其中称为显著性水平,称为置信区间。 置信区间的宽度与置信水平正相关,与显著性水平...
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  • 参数估计:点估计和区间估计

    千次阅读 2020-02-28 10:49:49
    根据参数估计的性质不同,可以分成两种类型:点估计和区间估计。 点估计 点估计就是用样本统计量的某一具体数值直接推断未知的总体参数。例如,在进行有关小学生身高的研究中,随机抽取1000名小学生并计算出他们的...
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