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  • 对角矩阵、对称矩阵、单位向量、正交矩阵
    千次阅读
    2021-07-14 15:16:38

    对角矩阵

    对角矩阵只在对角线上含有非0元素,其它位置都为0。我门用 d i a g ( v ) diag(v) diag(v)表示一个对角元素由向量 v v v组成的对角方阵。对角矩阵的乘法计算效率很高。我们已经见过一种特殊的对角矩阵:单位矩阵。
    不是所有的对角矩阵都是方阵,长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。

    对称矩阵

    对称矩阵是转置矩阵和自己相等的矩阵:
    A = A T A = A^T A=AT
    当某些不依赖参数顺序的双参数函数生成元素时,对称矩阵经常会出现。例如,如果 A A A是一个表示距离的矩阵, A i , j A_{i,j} Ai,j表示点 i i i到点 j j j的距离,那么 A i , j = A j , i A_{i,j}=A_{j,i} Ai,j=Aj,i

    单位向量

    单位向量是指具有单位范数的向量:
    ∥ x ∥ 2 = 1 \|x\|_2 = 1 x2=1

    如果 x T y = 0 x^Ty = 0 xTy=0,那么我们称向量 x x x和向量 y y y正交。如果2个向量都有非0范数,那么这2个向量之间的夹角是90度。在 R n R^n Rn中,最多有n个范数非0的向量正交。如果这些向量不仅正交,并且范数都为1,那么我们称他们是标准正交。

    正交矩阵

    正交矩阵是指行向量和列向量都是标准正交的方阵:
    A T A = A A T = I A^TA = AA^T = I ATA=AAT=I
    这意味着
    A − 1 = A T A^{-1} = A^T A1=AT

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    得出结论长度乘以一个向量等于一个向量(投影长度乘以单位向量等于投影向量)

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    得出结论长度乘以一个向量等于一个向量(投影长度乘以单位向量等于投影向量)
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  • 3.1 向量的模和单位向量

    千次阅读 2020-08-25 16:50:30
    向量的长度和单位向量 向量的长度(模) u=(3,4) 该向量的大小是多少? ||u|| = 5 二范数、欧拉距离 在二维空间中,可以直接根据勾股定理计算出。 u=OP=(2,3,5) 该向量的大小是多少? n维向量 求模 同理。 单位...

    向量的长度和单位向量

    向量的长度(模)

    u=(3,4) 该向量的大小是多少?
    ||u|| = 5
    二范数、欧拉距离
    二维空间中,可以直接根据勾股定理计算出。

    u=OP=(2,3,5) 该向量的大小是多少?
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    n维向量 求模 同理。
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    单位向量

    在向量上记^为单位向量。长度为1,只表示方向
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    根据向量求出该向量的单位向量,这一过程称为:归一化,规范化

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    单位向量有无数个
    但在二维空间中有两个特殊的单位向量 ——标准单位向量 e1=(1,0) e2=(0,1) 分别指向x,y轴正方向
    在这里插入图片描述

    三维空间中,有三个标准单位向量 e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) 分别指向x,y,z轴正方向

    n维空间中,有n个标准单位向量 e1=(1,0,…,0) e2=(0,1,…,0) en=(0,0,…,1)

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  • 标准化向量/单位向量

    万次阅读 2019-10-30 22:24:29
    标准化向量指的是那些长度为1的向量,标准化向量也被称为归一化的向量或者单位向量。 数学公式: V是任意非零向量。 例: 公式解析: 1.求一个向量的标准化向量,本质是让这个向量与自身的模...

    在很多情况下,我们只关心向量的方向儿不关心其大小,比如,在计算关照模型时,我们往往需要得到顶点的法线方向和光源方向,此时我们不关心这些向量有多长。在这些情况下,我们就需要计算标准化向量

    标准化向量指的是那些长度为1的向量,标准化向量也被称为归一化的向量或者单位向量。

    数学公式:

    \large _{V_{normalized}}=\frac{\mathrm{v} }{\mathrm{|V|} }

    V是任意非零向量。

    例:

    \large \left [ 2,3,5 \right ]normalized= \frac{\mathrm{[2,3,5]} }{\mathrm{|[2,3,5]|}}= \frac{\mathrm{[2,3,5]} }{\mathrm{6.164}}

     

    公式解析:

    1.求一个向量的标准化向量,本质是让这个向量与自身的模相除;

    2.向量与一个数值相除,本质是向量与一个标量相除;

    代码实现:

        /// <summary>
        /// 标准化向量.
        /// </summary>
        public Vector3 normalized
        {
            get
            {
                float temp = magnitude;//先计算得到向量的模.
                //自身向量的各分量除以自身向量的模.
                float X = this.x / temp;
                float Y = this.y / temp;
                float Z = this.z / temp;
                return new Vector3(X, Y, Z);//最终返回一个新的向量.
            }
        }

     

    注意:零向量是不可以被归一化的,这是因为做除法运算时分母不能为0

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空空如也

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