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  • 正余弦变换、和差、倍角公式
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    2020-04-09 21:54:08

    变换:

    	π/2-α的变换:
    		sin(π/2-α)=cosα
    		cos(π/2-α)=sinα
    		tan(π/2-α)=cotα
    		cot(π/2-α)=tanα
    	π/2+α的变换:
    		sin(π/2+α)=cosα
    		cos(π/2+α)=-sinα
    		tan(π/2+α)=-cotα
    		cot(π/2+α)=-tanα
    	π-α的变换:
    		sin(π-α)=sinα
    		cos(π-α)=-cosα
    		tan(π-α)=-tanα
    		cot(π-α)=-cotα
    	π+α的变换:
    		sin(π+α)=-sinα
    		cos(π+α)=-cosα
    		tan(π+α)=tanα
    		cot(π+α)=cotα
    	2π-α的变换:
    	sin(2π-α)=-sinα
    	cos(2π-α)=cosα
    	tan(2π-α)=-tanα
    	cot(2π-α)=-cotα
    
    	周期变换:
    	sin(2kπ+α)=sinα
    	cos(2kπ+α)=cosα
    	tan(2kπ+α)=tanα
    	cot(2kπ+α)=cotα
    

    两角和差公式:

    sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
    sin(α-βe68a847a686964616f31333431336233)=sinαcosβ-cosαsinβ
    cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
    cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
    tan(α+β)=( tanα+tanβ )/( 1-tanα ·tanβ )
    tan (α+β)   =( tanα-tanβ ) / (1+tanα ·tanβ )
    
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    两角和公式

    sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

    sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 

    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

    cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

    tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

    cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 

    cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

    倍角公式

    tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

    cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

    sin2A=2sinA*cosA

    三倍角公式

    sin3a=3sina-4(sina)^3

    cos3a=4(cosa)^3-3cosa

    tan3a=tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)

    半角公式

    sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

    cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

    tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

    cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 

    tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

    和差化积

    sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)

    sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

    cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)

    cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

    积化和差公式

    sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

    cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

    sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

    诱导公式

    sin(-a)=-sin(a)

    cos(-a)=cos(a)

    sin(pi/2-a)=cos(a)

    cos(pi/2-a)=sin(a)

    sin(pi/2+a)=cos(a)

    cos(pi/2+a)=-sin(a)

    sin(pi-a)=sin(a)

    cos(pi-a)=-cos(a)

    sin(pi+a)=-sin(a)

    cos(pi+a)=-cos(a)

    tgA=tanA=sinA/cosA

    万能公式

    sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))

    cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))

    tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

    其它公式

    a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]

    a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]

    1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2

    1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2

    其他非重点三角函数

    csc(a)=1/sin(a)

    sec(a)=1/cos(a)

    双曲函数

    sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2

    cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2

    tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

    公式一:

    设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

    sin(2kπ+α)=sinα

    cos(2kπ+α)=cosα

    tan(2kπ+α)=tanα

    cot(2kπ+α)=cotα

    公式二:

    设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π+α)=-sinα

    cos(π+α)=-cosα

    tan(π+α)=tanα

    cot(π+α)=cotα

    公式三:

    任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

    sin(-α)=-sinα

    cos(-α)=cosα

    tan(-α)=-tanα

    cot(-α)=-cotα

    公式四:

    利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π-α)=sinα

    cos(π-α)=-cosα

    tan(π-α)=-tanα

    cot(π-α)=-cotα

    公式五:

    利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(2π-α)=-sinα

    cos(2π-α)=cosα

    tan(2π-α)=-tanα

    cot(2π-α)=-cotα

    公式六:

    π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π/2+α)=cosα

    cos(π/2+α)=-sinα

    tan(π/2+α)=-cotα

    cot(π/2+α)=-tanα

    sin(π/2-α)=cosα

    cos(π/2-α)=sinα

    tan(π/2-α)=cotα

    cot(π/2-α)=tanα

    sin(3π/2+α)=-cosα

    cos(3π/2+α)=sinα

    tan(3π/2+α)=-cotα

    cot(3π/2+α)=-tanα

    sin(3π/2-α)=-cosα

    cos(3π/2-α)=-sinα

    tan(3π/2-α)=cotα

    cot(3π/2-α)=tanα

    (以上k∈Z)

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    2017-09-17

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  • 和与差公式: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓...

    两角和与差公式:

    sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
    cos ⁡ ( α ± β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β ∓ sin ⁡ α sin ⁡ β \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ
    tan ⁡ ( α ± β ) = tan ⁡ α ± tan ⁡ β 1 ∓ tan ⁡ α tan ⁡ β \tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} tan(α±β)=1tanαtanβtanα±tanβ

    证: sin ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆,在单位圆中作以下线段

    image-20210121203701907

    如图中所示,容易看出: sin ⁡ ( α + β ) = C F ; sin ⁡ α = A B ; cos ⁡ α = O B ; sin ⁡ β = C D ; cos ⁡ β = O D \sin (\alpha+\beta)=C F ; \quad \sin \alpha=A B ; \quad \cos \alpha=OB ; \quad \sin \beta=C D ; \cos \beta=OD sin(α+β)=CF;sinα=AB;cosα=OB;sinβ=CD;cosβ=OD

    则: S Δ O C A = 1 2 × 1 × C F = 1 2 × 1 × sin ⁡ ( α + β ) S_{\Delta O C A}=\frac{1}{2} \times 1 \times C F=\frac{1}{2} \times 1 \times \sin (\alpha+\beta) SΔOCA=21×1×CF=21×1×sin(α+β)
    S Δ O C E = S Δ O C B − S Δ C E B S_{\Delta O C E}=S_{\Delta O C B}-S_{\Delta C E B} SΔOCE=SΔOCBSΔCEB
    = 1 2 × O B × C D − S Δ C E B =\frac{1}{2} \times O B \times C D-S_{\Delta C E B} =21×OB×CDSΔCEB
    = 1 2 × cos ⁡ α × sin ⁡ β − S Δ C E B \quad=\frac{1}{2} \times \cos \alpha \times \sin \beta-S_{\Delta C E B} =21×cosα×sinβSΔCEB
    S Δ O A E = S Δ O A D + S △ A E D S_{\Delta O A E}=S_{\Delta O A D}+S_{\triangle A E D} SΔOAE=SΔOAD+SAED
    = 1 2 × O D × A B + S △ A E D =\frac{1}{2} \times O D \times A B+S_{\triangle A E D} =21×OD×AB+SAED
    = 1 2 × cos ⁡ β × sin ⁡ α + S △ A E D =\frac{1}{2} \times \cos \beta \times \sin \alpha+S_{\triangle A E D} =21×cosβ×sinα+SAED

    S Δ O C A = 1 2 × 1 × sin ⁡ ( α + β ) = S Δ O C E + S Δ O A E = ( 1 2 × cos ⁡ α × sin ⁡ β − S Δ C E B ) + ( 1 2 × cos ⁡ β × sin ⁡ α + S △ A E D ) S_{\Delta O C A}=\frac{1}{2} \times 1 \times \sin (\alpha+\beta)= S_{\Delta O C E}+S_{\Delta O A E}=\left(\frac{1}{2} \times \cos \alpha \times \sin \beta-S_{\Delta C E B})+\left(\frac{1}{2} \times \cos \beta \times \sin \alpha+S_{\triangle A E D}\right)\right. SΔOCA=21×1×sin(α+β)=SΔOCE+SΔOAE=(21×cosα×sinβSΔCEB)+(21×cosβ×sinα+SAED)

    容易看出, S △ A B D = S Δ A B C = 1 2 × A B × B D S_{\triangle A B D}=S_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} \times A B \times B D SABD=SΔABC=21×AB×BD ,而 S △ A B E S_{\triangle A B E} SABE 是公共三角形, ∴ S △ A E D = S △ C E B , \quad \therefore S_{\triangle{AED}}=S_{\triangle{CEB}}, SAED=SCEB,

    可得到: sin ⁡ ( α + β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β + cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

    对于 sin ⁡ ( α − β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β − cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ,只要将 sin ⁡ ( α + β ) \sin (\alpha+\beta) sin(α+β) 中的 β \beta β 唤成 ( − β ) (-\beta) (β) 即可。

    **二倍角公式:**由和公式,当 α = β \alpha = \beta α=β,得到:

    sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha sin2α=2sinαcosα
    cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha cos2α=cos2αsin2α
    tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} tan2α=1tan2α2tanα

    由于 sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α = 1 \sin^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 sin2α+cos2α=1,故 cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α = 1 − 2 sin ⁡ 2 α = 2 cos ⁡ 2 α − 1 \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 cos2α=cos2αsin2α=12sin2α=2cos2α1

    降幂公式: 由二倍角公式得到

    sin ⁡ 2 α = 1 − cos ⁡ 2 α 2 \sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} sin2α=21cos2α
    cos ⁡ 2 α = 1 + cos ⁡ 2 α 2 \cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} cos2α=21+cos2α

    半角公式:由降幂公式令 α \alpha α α 2 \frac{\alpha}{2} 2α

    sin ⁡ 2 α 2 = 1 − cos ⁡ α 2 , cos ⁡ 2 α 2 = 1 + cos ⁡ α 2 \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} , \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2} sin22α=21cosαcos22α=21+cosα tan ⁡ 2 α 2 = sin ⁡ 2 α 2 cos ⁡ 2 α 2 = 1 − cos ⁡ α 1 + cos ⁡ α \tan ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{ \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} tan22α=cos22αsin22α=1+cosα1cosα

    tan ⁡ α 2 = sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 = sin ⁡ 2 α 2 sin ⁡ α 2 ⋅ cos ⁡ α 2 = 1 2 ( 1 − cos ⁡ α ) 1 2 sin ⁡ α = 1 − cos ⁡ α sin ⁡ α \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1}{2}(1-\cos \alpha)}{\frac{1}{2} \sin \alpha}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha} tan2α=cos2αsin2α=sin2αcos2αsin22α=21sinα21(1cosα)=sinα1cosα

    tan ⁡ α 2 = sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 = sin ⁡ α 2 ⋅ cos ⁡ α 2 cos ⁡ 2 α 2 = sin ⁡ α 1 + cos ⁡ α \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} tan2α=cos2αsin2α=cos22αsin2αcos2α=1+cosαsinα

    万能公式:利用二倍角证明,

    sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α cos ⁡ 2 α + sin ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 + tan ⁡ 2 α \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha} sin2α=2sinαcosα=cos2α+sin2α2sinαcosα=1+tan2α2tanα

    cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α cos ⁡ 2 α + sin ⁡ 2 α = 1 − tan ⁡ 2 α 1 + tan ⁡ 2 α \cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha} cos2α=cos2α+sin2αcos2αsin2α=1+tan2α1tan2α

    tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha} tan2α=1tan2α2tanα

    积化和差公式:由两角和与差公式, sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ,将 sin ⁡ ( α + β ) \sin (\alpha + \beta) sin(α+β) sin ⁡ ( α − β ) \sin (\alpha - \beta) sin(αβ)相加,得到 sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) ] \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(αβ)]

    sin ⁡ ( α + β ) \sin (\alpha + \beta) sin(α+β) sin ⁡ ( α − β ) \sin (\alpha - \beta) sin(αβ)相减,得到 cos ⁡ α sin ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) ] \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)] cosαsinβ=21[sin(α+β)sin(αβ)]

    cos ⁡ ( α ± β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β ∓ sin ⁡ α sin ⁡ β \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ,将 cos ⁡ ( α + β ) \cos (\alpha + \beta) cos(α+β) cos ⁡ ( α − β ) \cos (\alpha - \beta) cos(αβ)相加,得到 cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) ] \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)] cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(αβ)]

    cos ⁡ ( α + β ) \cos(\alpha + \beta) cos(α+β) cos ⁡ ( α − β ) \cos(\alpha - \beta) cos(αβ)相减,得到 sin ⁡ α sin ⁡ β = − 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) − cos ⁡ ( α − β ) ] \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)] sinαsinβ=21[cos(α+β)cos(αβ)]

    和差化积公式:由积化和差公式 sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) ] \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)] sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(αβ)],令 x = α + β x=\alpha+\beta x=α+β y = α − β y=\alpha-\beta y=αβ,代入替换 α \alpha α β \beta β, 可得到:

    sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 \sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} sinα+sinβ=2sin2α+βcos2αβ
    sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} sinαsinβ=2cos2α+βsin2αβ
    cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 \cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} cosα+cosβ=2cos2α+βcos2αβ
    cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} cosαcosβ=2sin2α+βsin2αβ

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空空如也

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倍角公式

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