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    2015-11-18 18:34:29
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    目前对机器人动力学还没有一套标准的表示法,比如有3D向量、齐次矩阵、六维空间向量等。其中最有效的是六维空间向量( Spatial Vector Notation),本文是我看《Handbook of robotics》的笔记,其中看起来弯弯曲曲的字母 v f v f vf表示3维向量,看起来直直的v f 表示六维空间向量。

    1、运动和力

    为了区分刚体的运动(motion)和施加在刚体上的力(force),分别用运动六维向量空间 M 6 M^6 M6和力六维向量空间 F 6 F^6 F6来表示。两个空间及其各自的基向量如下图所示
    在这里插入图片描述
    两个空间共有12个基向量,6个用来描述运动,6个用来描述力。

    在运动六维空间,对于一个坐标系 O x y z O_{xyz} Oxyz,三个描述分别绕坐标轴 O x O_x Ox O y O_y Oy O z O_z Oz进行旋转的基向量 d O x d_{Ox} dOx d O y d_{Oy} dOy d O z d_{Oz} dOz;三个描述分别沿着坐标轴 O x O_x Ox O y O_y Oy O z O_z Oz进行平移的基向量 d x d_{x} dx d y d_{y} dy d z d_{z} dz

    在力六维空间,对于一个坐标系 O x y z O_{xyz} Oxyz,三个描述分别绕坐标轴 O x O_x Ox O y O_y Oy O z O_z Oz进行旋转的基向量 e O x e_{Ox} eOx e O y e_{Oy} eOy e O z e_{Oz} eOz;三个描述分别沿着坐标轴 O x O_x Ox O y O_y Oy O z O_z Oz进行平移的基向量 e x e_{x} ex e y e_{y} ey e z e_{z} ez

    2、空间速度和空间力

    任意给定一个参考点 O O O,刚体的速度可以用一对3维向量来表示:沿三个轴的线速度 v = ( v O x , v O y , v O z ) v=(v_{Ox},v_{Oy},v_{Oz}) v=(vOx,vOy,vOz)、绕三个轴旋转的角速度 w = ( w x , w y , w z ) w=(w_x,w_y,w_z) w=(wx,wy,wz)。那么该运动的六维空间表示法为
    在这里插入图片描述
    相应的其普吕克坐标表示为
    在这里插入图片描述
    关于力是相似的。刚体受到力 f f f和扭矩 n O n_O nO的作用,则该受力情况的六维空间向量表示法为
    在这里插入图片描述
    相应的其普吕克坐标表示为
    在这里插入图片描述

    3、加法运算和模乘

    如果刚体同时受到两个力f 1 _1 1和f 2 _2 2的作用,那么这两个力的合力为f 1 _1 1+f 2 _2 2

    如果刚体1的速度为v 1 _1 1,刚体2的速度为v 2 _2 2,那么刚体2相对于刚体1的运动速度为v 2 _2 2-v 1 _1 1

    如果刚体受到力f 1 _1 1的作用,其大小为1N,那个 α α αf 1 _1 1表示在该方向上大小为 α α αN的力。

    4、点积(内积)

    六维空间向量的点积定义为该物体的运动m∈M 6 ^6 6和力f∈F 6 ^6 6的点积——f·m或者m·f。

    m·m和f·f是无定义的。

    如果m和f是用同一坐标系来表示的,那么m·f=m T ^T Tf。

    5、坐标变换

    定义 A A A B B B是两个坐标系,在 A A A坐标系下的运动和力分别表示为m A _A A和f A _A A;在 B B B坐标系下的运动和力分别表示为m B _B B和f B _B B
    那么从 A A A坐标系下的运动变换到 B B B坐标系下的方程为
    在这里插入图片描述
    相应的力的变换为
    在这里插入图片描述
    其中 B X A ^BX_A BXA B X A F ^BX_A^F BXAF分别是从坐标系 A A A到坐标系 B B B的运动变换矩阵和力变换矩阵。并且二者满足如下关系,也就是从力变换矩阵到运动变换矩阵的变换(或者反过来)是先求逆再转置(求逆和转置可交换)。
    在这里插入图片描述
    假设坐标系 A A A相对于坐标系 B B B的位置向量为 B p A ^Bp_A BpA,旋转变换矩阵为 B R A ^BR_A BRA,那么 B X A ^BX_A BXA可以表示为
    在这里插入图片描述

    其逆矩阵为
    在这里插入图片描述
    其中 S ( p ) S(p) S(p) p p p的斜对称矩阵
    在这里插入图片描述

    6、叉积(向量积,外积)

    六维空间向量的叉积有两种形式,一种是运动和运动做叉积
    在这里插入图片描述
    第二种是运动和力做叉积
    在这里插入图片描述
    在此定义一个叉积算子
    在这里插入图片描述
    所以运动和运动的叉积表示为m 1 _1 1×m 2 _2 2=S(m 1 _1 1)m 2 _2 2

    但是运动和力的叉积表示为m×f= - S(m) T ^T Tf

    可见S(m)将运动向量映射为运动向量,S(m) T ^T T将力向量映射为力向量。

    7、微分

    六维空间向量的微分定义为
    在这里插入图片描述
    对于一个运动的坐标系 A A A,任意的六维空间向量s,该空间向量的微分表示为
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    8、加速度

    六维空间向量的加速度和经典的刚体的加速度是不一样的。
    在这里插入图片描述
    上式中,左式为空间向量的加速度,右式为经典的刚体加速度,两者之间存在如下关系
    在这里插入图片描述
    如果r是某一个刚体相对于任意一个固定点的位置向量,那么存在如下关系
    在这里插入图片描述
    上式中,第一个式子是刚体的速度,第二个式子是刚体的经典加速度,第三个式子是刚体在向量空间的加速度,可见式子(3.21)依然是成立的。
    如果刚体 B 1 B_1 B1和刚体 B 2 B_2 B2的速度分别是v 1 _1 1和v 2 _2 2,刚体 B 1 B_1 B1相对于刚体 B 2 B_2 B2的速度为v r e l rel rel,那么v 2 _2 2=v 1 _1 1+v r e l _{rel} rel
    他们之间的加速度满足如下关系
    在这里插入图片描述

    9、空间动量

    假设一个刚体的质量为 m m m,质心为C,绕过C的直线的转动惯量为 I c m I^{cm} Icm。如果刚体的空间速度为v c = ( w T v c T ) T _c=(w^Tv_c^T)^T c=(wTvcT)T,那么
    线动量为 h = m v c h=mv_c h=mvc
    角动量为 h C = I c m w h_C=I^{cm}w hC=Icmw
    该刚体绕着某一个点 O O O的动量为 h O = h C + c × h h_O=h_C+c×h hO=hC+c×h,其中, c = O C ⃗ c=\vec{OC} c=OC ,即存在如下关系
    在这里插入图片描述

    10、空间惯量

    刚体的空间动量是其空间惯量和速度的点积h= I v Iv Iv
    用在C处的普吕克坐标来表示为
    在这里插入图片描述
    其中,
    在这里插入图片描述
    上式是对一个质心在C处的刚体的空间惯量的一般表示方式。
    但是对于另一点O来说,该刚体的动量表示为
    在这里插入图片描述
    但是该式仍然满足h C _C C= I C v C I_Cv_C ICvC的形式,所以可得
    在这里插入图片描述
    我们继而写成如下形式
    在这里插入图片描述
    其中,
    在这里插入图片描述
    空间惯量矩阵是对称矩阵,也是正定矩阵。要表示空间惯量矩阵需要21个变量,但是刚体的惯量矩阵实际上只有10个参数:质量(1)、质心坐标(3)、 I O I_O IO或者 I c m I^{cm} Icm的六个独立参数(6)。
    对于不同的坐标系 A A A B B B,惯量矩阵之间的变换矩阵为
    在这里插入图片描述
    故而下式也成立。
    在这里插入图片描述
    如果两个刚体的惯量分别是 I 1 I_1 I1 i 2 i_2 i2,务必注意他俩相对于同一个旋转轴,那么总惯量为 I t o t = I 1 + I 2 I_{tot}=I_1+I_2 Itot=I1+I2
    其动能为
    在这里插入图片描述

    11、空间运动方程

    刚体的受力等于其动量的变化率,故而
    在这里插入图片描述
    再故而
    在这里插入图片描述

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  • 六维空间考试答案

    2011-09-15 11:52:48
    六维空间新手考试答案
  • 卡拉比的六维空间

    千次阅读 2018-05-03 13:45:00
    先来看一句《蚁人》中的台词——“到了次原子级别,时间和空间都毫无意义。”,这句话出现在电影的最后(大约100分钟-101分钟)。 在电影的末尾,男主角斯科特·朗处于一个无限缩小的状态中,他先是穿过了空气颗粒和...

    先来看一句《蚁人》中的台词——“到了次原子级别,时间和空间都毫无意义。”,这句话出现在电影的最后(大约100分钟-101分钟)。


    在电影的末尾,男主角斯科特·朗处于一个无限缩小的状态中,他先是穿过了空气颗粒和灰尘,穿过空气颗粒中的虫螨,缩小到比细菌还要小。后来画面中有几段像是奶酪或者蛋糕一样的孔状结构,那是分子。再然后中间有一个球形环绕着几个轨道样的东西,那是原子。接着,主人公缩小到比原子核还小的亚原子大小,也就是夸克电子和胶子那个级别,可以看到的是一些散乱的云一样的模糊团絮状结构,表现出的是概率云的效果。画面继续往下是一些不停变换的复杂颜色和线条,这是弦理论所说的物质的最基本结构即处于不停震动状态的弦,由于震动的频率的不同,构成不同的亚原子。


    最后的最后,男主停留在阵列的层叠状闪烁体前,那是几个蜷缩维度的卡拉比丘流形,男主是最终处在了卡拉比-丘成桐空间中,即处于六维空间中。


    关于维度空间,弦理论给出了说明。虽然目前弦理论还尚未被证实。弦理论告诉我们,我们的宇宙具有10维的空间,在超弦理论基础上发展起来的膜理论更是宣称宇宙有11维空间。而事实上我们平常只能感知到空间的三个维度即长、宽、高,也许还有时间,那么其余六个维度在哪里呢?它们是六个卷缩维,蜷曲隐藏起来,因此我们看不到也感知不到它们的存在。这些多出来的维度卷曲在一种叫做“卡拉比-丘成桐”的空间结构里,以“卡-丘”空间的形状卷蜷缩起来,蜷缩在普朗克长度的空间上。在各个方向上的振动,根据卷缩维的维度不同,弦的长度不同,形状不同,产生各种各样的缠绕能和振动能,从而形成各种性质的点状粒子与力,粒子拼合成不同的物质,在力的作用下,最后构成了恢弘的宇宙。


    男主角斯科特•朗在不停缩小的过程反映了了微观空间单位不断缩小的过程,到最后他处于卡丘空间中蜷缩在普朗克长度的空间上。而到了普朗克时间和空间的尺度,才会开始考虑空间和时间的连续性,透过不确定原理,普朗克长度与普朗克能量相关联。在这尺度下,大小与距离的概念崩解,量子不确定性变成绝对关键。因此电影里才会说,到了这个级别,“时间和空间都已经毫无意义了。”


    20世纪50年代是几何与拓扑学最辉煌的时代。一批年轻的数学家证明了一系列伟大的数学定理。“卡拉比猜想”就是在这个时期被提出的。1954年的国际数学家大会上,卡拉比提出猜想,并预言有这么一类紧缩的空间结构存在。他猜想,复杂的高维空间是由多个简单的多维空间“粘”在一起,因为简单的多维空间目前已经有成熟的数学工具进行解析,如果高维空间能够拆解,也就意味着高维空间可通过一些简单的几何模型拼装得到。这就是著名的“卡拉比猜想”——关于复几何领域高维空间的单值化的猜想。但由于这个猜想的证明十分困难,此类空间是否存在一直悬而未决。直至21年后丘成桐结合微分几何、代数几何、多复变函数、度量几何等多个数学分支的方法为他提供了强有的证明,卡比拉-丘成桐空间的概念才正式确立起来。


    那么“卡比拉-丘成桐”空间的大小如何,它又是一个怎样的空间?它的半径极小,只有质子和中子半径的亿万分之一,以至于目前我们是无法用任何办法来观测到它。其次,由于这个理论只是科学家猜测出来的一个理论,它有六个维度,因此完全无法用仪器进行测量。


    但是我们可以对它进行描述,它的大概样子像一个被揉得乱七八糟随手丢弃的废纸团。

    由于卡丘空间是一个六维微观世界的空间构造,在这种极其抽象的空间中,物质形态被极度扭曲,因此可以实现类似于自己看到自己的后脑勺或者后背一样神奇的效果。如果向着自己所看到的后背扔一个物品,一段时间后后背将被打中。这个东西被扔出后像经过洗衣机的翻滚和过山车的颠簸,途中艰难万险拐了无数个弯最终抵达后背。


    同时由于不可观测,科学家们对卡丘空间的描述完全是通过计算得出的。这个六维卷曲的空间正是采取了这种类似废纸团一样奇特而又古怪的方式紧缩起来的。它们看起来是一颗颗珠子,穿在普朗克长度的细细长长的弦上面,弦可能从它们的“孔”中穿过去,也可能绕过它们,或是包围缠绕着它们。这些细细长长的弦在不停的振动着,就组成了各种奇怪的形态。


    “卡拉比-丘成桐”空间理论的证明,为几何学和物理学的发展做出重大贡献,带来突破性进展。“卡-丘”空间对于超弦理论亦是非常重要,它的“紧缩性能”正是超弦理论物理学家要找的。目前已经测试出25种“卡-丘”空间构造符合超弦理论的“胃口”。

     

    结语:在本文中,笔者通过科幻电影的引入,对弦理论进行了阐释,并解释了“卡比拉-丘成桐”空间被发现证明的过程,分析了卡丘六维空间的具体形态和意义。


    原文发布时间为:2017-12-26
    本文作者:陶卿
    本文来源:量子趣谈,如需转载请联系原作者。

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