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  • 2021-09-07 20:39:55

    严格定义

    设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某个去心邻域内有定义,即存在 ρ > 0 \rho>0 ρ>0,使

    O ( x 0 , ρ ) \ { x 0 } ⊂ D f \mathbf{O} (x_0,\rho)\backslash\{x_0\}\subset D_f O(x0,ρ)\{x0}Df

    如果存在实数 A A A,对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0 ,可以找到 δ > 0 \delta>0 δ>0,使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0<|x-x_0|<\delta 0<xx0<δ 时,成立

    ∣ f ( x ) − A ∣ < ε , |f(x)-A|<\varepsilon, f(x)A<ε,

    则称 A A A 时函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的极限,记为

    lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A , 或 , f ( x ) → A ( x → x 0 ) \lim_{x\to x_0}f(x)=A,\text{或},f(x)\to A(x\to x_0) xx0limf(x)=A,,f(x)A(xx0)

    如果不存在具有上述性质的实数 A A A ,则称函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的极限不存在。

    充分必要条件

    函数 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0 极限存在的充分必要条件是 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0 的左极限与右极限存在且相等


    2021年9月7日20:44:12

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  • 函数极限

    万次阅读 2020-08-27 22:47:03
    一、函数极限 定义:在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在一变化过程中的函数极限 1. 自变量趋于有限值时函数极限 自变量变化的过程:x→x0,f(x)→...

    一、函数的极限

    定义:在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在一变化过程中的函数的极限

    1. 自变量趋于有限值时函数的极限

    自变量变化的过程: x → x 0 , f ( x ) → A x\rightarrow x_{0},f\left ( x \right )\rightarrow A xx0f(x)A,称 A A A f ( x ) f\left ( x \right ) f(x) x → x 0 x\rightarrow x_{0} xx0时的极限。

    如果对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε (不论他有多小),总存在着正数 δ \delta δ,使得对于合适的不等式 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 < | x -x_{0}| < \delta 0<xx0<δ的一切 x x x,所对应的函数值 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)都满足不等式 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f\left ( x \right ) - A | < \varepsilon f(x)A<ε,那么常数 A A A就叫做函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x) x → x 0 x\rightarrow x_{0} xx0时的极限,记作 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x \to x_{0}}f\left ( x \right ) = A limxx0f(x)=A f ( x ) → A ( 当 x → x 0 ) f\left ( x \right )\rightarrow A (当x \rightarrow x_{0}) f(x)A(xx0)
    在这里插入图片描述

    注意:

    1. 函数极限与 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x) x 0 x_{0} x0是否定义无关。
    2. δ \delta δ 与任意给定的正数 ε \varepsilon ε相关。
    3. 找到一个 δ \delta δ后, δ \delta δ越小越好,它体现了 x x x接近$x_{0}的程度。
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    2. 单侧极限

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3. 自变量趋近于无穷大时函数的极限

    如果对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε (不论他有多小),总存在着正数 X X X,使得对于适合不等式 ∣ x ∣ > X |x|>X x>X的一切 x x x,所对应的的函数值 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)都满足不等式 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε | f\left ( x \right ) - A| < \varepsilon f(x)A<ε,那么常数 A A A 就叫做函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x) x → ∞ x\rightarrow \infty x时的极限,记作 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → ∞ ) \lim_{x \to\infty }f\left ( x \right ) = A 或 f\left ( x \right )\rightarrow A(x \rightarrow \infty ) limxf(x)=Af(x)A(x)

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    4. 函数极限的性质

    • 唯一性
      定理:如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{x\to x_{0}}f\left ( x \right ) limxx0f(x)存在,那么此极限唯一。

    • 局部有界性
      定理:如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \lim_{x\to x_{0}}f\left ( x \right ) limxx0f(x)那么常数 M > 0 M >0 M>0 δ > 0 \delta > 0 δ>0,使得当 0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 < |x - x_{0}| < \delta 0<xx0<δ时,有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f\left ( x \right )| \leq M f(x)M

    • 局部保号性
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    • 函数极限与数列极限的关系
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    5. 小结

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    展开全文
  • 函数极限给出了一般形式的Stolz定理,对数列极限的Stolz定理也作了进一步推广.
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    2018-11-29 15:59:59
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    极限

    数列极限

    n n + 1 {n\over n+1} n+1n ——>1

    1、定义:

    对于数列an,如果它的极限是a,那么,不管给出多小的正数ε,总能找到正整数N,只要数列的下标n>N,就能保证|an-a|<ε。

    用定义证明数列极限

    例 { n n + 1 {n\over n+1} n+1n}极限是1

    证明:任给ε>0 |Xn - a| = | n n + 1 {n\over n+1} n+1n - 1| = 1 n + 1 {1\over n+1} n+11 < ε

    1 ε \frac 1ε ε1 < n + 1 n > 1 ε \frac 1ε ε1 - 1注意:一定是大于 N = [| 1 ε \frac 1ε ε1 - 1|] + 1

    n > N时 | n n + 1 {n\over n+1} n+1n - 1| < ε

    性质

    ① 数列收敛 极限是唯一的

    ② 数列收敛 数列一定是有界的

    ※ 有界是收敛的必要不充分条件

    ※ 单调有界则一定有极限

    ③ 如果Xn 的极限为a 且 a > 0或a < 0 一定存在N 使得n > N时 Xn > 0

    ④ 如果数列收敛于a 子数列收敛于a

    子数列:某个序列的子序列是从最初序列通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置(在前或在后)而形成的新序列。注意:子数列的次序必须和主数列的次序一样。

    函数极限

    定义:
    设函数在点的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数(无论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式:
    在这里插入图片描述
    那么常数A就叫做函数当时的极限,记作
    在这里插入图片描述

    性质1:如果limf(x)存在,它一定是唯一的

    性质2:limf(x)存在 (f(x)有界),存在X0的去心邻域

    性质3:如果limf(x)=a, 则a>0, 一定存在一个去心邻域, f(x)>0

    性质4: lim ⁡ x → x o f ( x ) = a \lim\limits_{x\rightarrow xo} f(x)=a xxolimf(x)=a <==> x --> x0 对于任意数列{xn}

    lim ⁡ x → ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty} xlim xn --> x0

    lim ⁡ x → ∞ \lim\limits_{x\rightarrow\infty} xlim f(xn) --> a

    ①找一个数列 {xn} 证明极限不存在 则函数极限就不存在
    ②找两个数列{xn} 证明两极限不相等 则函数极限就不存在

    展开全文
  • 常见函数极限

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    lim⁡x→0sin⁡x=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin}{x}=1x→0lim​xsin​=1 lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=ex→∞lim​(1+x1​)x=e lim⁡α→0(1+α)1α=e\lim_{\alpha\to 0}(1+\alpha)^\frac{1}...

    lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x = 1 \lim_{x\to 0}\frac{\sin}{x}=1 x0limxsin=1
    lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e xlim(1+x1)x=e
    lim ⁡ α → 0 ( 1 + α ) 1 α = e \lim_{\alpha\to 0}(1+\alpha)^\frac{1}{\alpha}=e α0lim(1+α)α1=e
    lim ⁡ x → 0 1 − cos ⁡ x sin ⁡ x = lim ⁡ x → 0 tan ⁡ x 2 = 0 \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}=\lim_{x\to 0}\tan{\frac{x}{2}}=0 x0limsinx1cosx=x0limtan2x=0
    lim ⁡ x → 0 1 − cos ⁡ x x 2 = 1 2 \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2} x0limx21cosx=21
    lim ⁡ x → 0 arctan ⁡ x x = 1 \lim_{x\to 0}\frac{\arctan{x}}{x}=1 x0limxarctanx=1

    展开全文
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