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  • 分形维数MATLAB程序

    2019-07-10 08:51:38
    经常碰到求一维分形维数的大小,分形维数MATLAB程序如上
  • 分形维数

    千次阅读 2011-07-07 09:14:57
    分形维数在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广,认为点是零维的,还可以引入高维空间,但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数,这类...
     

    分形维数

    在欧氏空间中,人们习惯把空间看成三维的,平面或球面看成二维,而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广,认为点是零维的,还可以引入高维空间,但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数,这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度,1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
    分维的概念我们可以从两方面建立起来:一方面,我们首先画一个线段、正方形和立方体,它们的边长都是1。将它们的边长二等分,此时,原图的线度缩小为原来的1/2,而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形,其中的指数1、2、3,正好等于与图形相应的经验维数。一般说来,如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成,有:
    a^d=b, d=logb/loga
    的关系成立,则指数d称为相似性维数,d可以是整数,也可以是分数。另一方面,当我们画一根直线,如果我们用0维的点来量它,其结果为无穷大,因为直线中包含无穷多个点;如果我们用一块平面来量它,其结果是0,因为直线中不包含平面。那么,用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪?看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值,而这里直线的维数为1(大于0、小于2)。与此类似,如果我们画一个koch曲线,其整体是一条无限长的线折叠而成,显然,用小直线段量,其结果是无穷大,而用平面量,其结果是0(此曲线中不包含平面),那么只有找一个与koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值,而这个维数显然大于1、小于2,那么只能是小数(即分数)了,所以存在分维。其实,koch曲线的维数是1.2618……。
    fractal(分形)一词的由来
    据曼德勃罗教授自己说,fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚,他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时,突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus,对应的拉丁文动词是frangere(“破碎”、“产生无规碎片”)。此外与英文的fraction(“碎片”、“分数”)及fragment(“碎片”)具有相同的词根。在70年代中期以前,曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此,取拉丁词之头,撷英文之尾的fractal,本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如,弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉,粗糙不堪的断面,变幻无常的浮云,九曲回肠的河流,纵横交错的血管,令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是,极不规则或极不光滑。直观而粗略地说,这些对象都是分形。
    分形的定义
    曼德勃罗曾经为分形下过两个定义:
    (1)满足下式条件
    dim(a)>dim(a)
    的集合a,称为分形集。其中,dim(a)为集合a的hausdoff维数(或分维数),dim(a)为其拓扑维数。一般说来,dim(a)不是整数,而是分数。
    (2)部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。
    然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上,对于什么是分形,到目前为止还不能给出一个确切的定义,正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样,人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
    (i)分形集都具有任意小尺度下的比例细节,或者说它具有精细的结构。
    (ii)分形集不能用传统的几何语言来描述,它既不是满足某些条件的点的轨迹,也不是某些简单方程的解集。
    (iii)分形集具有某种自相似形式,可能是近似的自相似或者统计的自相似。
    (iv)一般,分形集的“分形维数”,严格大于它相应的拓扑维数。
    (v)在大多数令人感兴趣的情形下,分形集由非常简单的方法定义,可能以变换的迭代产生。

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