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  • 谓词逻辑

    万次阅读 2017-12-05 14:19:08
    1谓词逻辑语法 谓词逻辑是对命题逻辑的扩充,在其基础上引入了个体词、谓词、量词及函数符号。其中,个体词表示研究对象中可以独立存在的具体或抽象个体,个体的取值范围称为个体域或论域;谓词用来刻画个体的行为...

    1谓词逻辑语法

    谓词逻辑是对命题逻辑的扩充,在其基础上引入了个体词、谓词、量词及函数符号。其中,个体词表示研究对象中可以独立存在的具体或抽象个体,个体的取值范围称为个体域或论域;谓词用来刻画个体的行为属性或个体间的相互关系;量词表示个体的数量属性;数符号的引入则为命题的符号化带来方便。为了建立严格的谓词逻辑演算系统,必须要有严格的形式化语言作为支撑,因此本小节首先给出谓词逻辑形式语言的定义。

    定义 1.1 符号

    谓词逻辑的形式语言(Language) ℒ由下列基本符号组成:

    (1)个体常元:表示具体或特定的个体,1,2,3⋯;

    (2)个体变元:表示抽象或泛指的个体,1,2,3⋯ ;

    (3)函数符号:,, ⋯,若已知个体域,则元函数符号是到的任意一个映射。

    (4)谓词符号:,, ⋯,若已知个体域,元谓词符号是上的任意一个谓词,换

    而言之,是到*0,1+的一个映射。

    (5)量词符号:、;

    (6)联接词符号:、、、;

    (7)括号与逗号:(、,、);

    语言本身不具备任何意义,但可以根据需要解释成某种含义。

    【解释】函数符号:以个体域为定义域,以个体域为值域。

    举例:莎士比亚的儿子写了哈姆雷特。

    D={莎士比亚,儿子,哈姆雷特}

    {莎士比亚的儿子}clip_image002{儿子}clip_image004

    所以函数son(莎士比亚)就是符号函数,如果不用符号函数,莎士比亚的儿子这个个体表示为莎士比亚的儿子,使用符号函数可以表示son(莎士比亚)。符号化的事物,计算机更容易处理。

    【解释】谓词符号:莎士比亚的儿子写了哈姆雷特

    WRITE(son(莎士比亚),哈姆雷特)

    对于这个写这个事件进行了描述,写还是没写只有这两种可能,所以其取值为0或者1,这就是谓词函数。

    定义1.2 项

    项(Term):

    (1)个体常元和个体变元都是项;

    (2)若 ∈ ℱ 是零元函数,c 是项;

    (3)若是任意元函数, > 0,12, ⋯ 是任意个项,则 12, ⋯ 是项;

    (4)不存在其他形式的项;项的 BNF(Backus-Naur Form, BNF)范式可以表示为: : = ||(, ⋯ , ),其中,为任意个体项,为ℱ中的任意零元函数符号,f 为ℱ中任意 > 0的函数符号。

    定义1.3公式

    (1)若 ∈ 是n ≥ 1元谓词符号,12, ⋯ 是ℱ上的项,则

    (12, ⋯ )是公式,该公式也称为原子公式(Atomic Formula)。

    (2)若是公式,则()也是公式。

    (3)若和是公式,则(clip_image006)、(clip_image008)和(clip_image010)也是公式。

    (4)若是公式,为变元,则(clip_image012)和(clip_image014)也是公式。

    (5)不存在其他形式的公式。

    定义1.4 自由变元

    设是谓词逻辑中的公式,如果是的语法分析树中的一个叶结点,且不存在从结点

    到∀或的向上路径,则称在中的一次出现是自由的,否则称的出现是受约束的,公式中自由出现的变元为约束变元。例如,图 2.4 中三个叶子节点均为约束出现,变元的出现是自由的,因此为自由变元。

    clip_image016

    2.谓词逻辑语义

    谓词逻辑语言ℒ中的公式在不同的语境或论域中有不同的语义。公式的真值依赖于谓词和函数符号的具体含义以及个体变元的取值范围,并随着它们的改变而变化。若赋予公式中的谓词和函数符号以具体含义,则可以构造一个语义模型,检测在这个特定模型中公式是否为真。

    2.1模型M

    假设为函数符号集,为谓词符号集合,每个符号都有确定的变元个数。由符号对

    (ℱ,)构造的一个具体模型ℳ由如下数据项组成:

    (1)论域:论域为一个非空集合,表示个体的取值范围,也称为解释域或个体域。

    (2)常元集:常元视为零元函数符号,常元集为所有零元函数符号在论域中的具体解释。

    (3)非零元函数集:由ℱ中的任意 > 0元函数符号 ∈ ℱ在论域A上的具体解释构成的集合。表示从到的一种映射。

    (4)关系集:由中的任意 > 0元谓词符号 ∈ 在论域A上的具体关系集合构成的集合。为A 上元关系的子集,

    【解释】模型的概念比较抽象,下面看一个具体的事例

    事例:用户选择一种登录方式登录,系统对用户的登录信息进行加密,两种加密算法,分别为 SSL 加密以及TLS加密。

    加密

    ①公式P:(,) ∧ _()

    ‚论域A(个体的取值范围):{L_,_,_}

    ƒ常元集login(零元函数在论域中的具体解释,把操作具体化):= _

    „非零元函数集合secur_facility(x): _= {_,_ }

    …关系集provide(x,y)(谓词符号表示的一种集合关系):{}(_,_)},采用该方法登录,系统应该采用SSL加密。

    可以看出常元集是零元函数,模型中指定其具体操作。非零函数集是一元函数,指定对于变量的具体操作,关系集是二元函数,表明两个项之间的关系。

    函数符号:零元代表函数符号

    谓词符号:一元和二元代表谓词符号

    2.2环境ℓ

    环境指的是从变元集到模型中论域的一个映射函数ℓ:clip_image010[1],该函数将每个变元与它在模型中的具体取值ℓ()联系起来。从本质上讲,环境是模型中所有变元取值的查询表。

    ℓ[clip_image010[2]]-指的是将变元映射到具体值的一个查询表。

    【解释】给变量具体的值,判断公式的取值。

    在系统下检验需求公式

    的满足情况:

    当变元取值为_时,需求描述为:系统需要对用户登录信息进行 SSL 加密。根

    据(4),在系统中,该需求可满足。即:ℳ ⊨ℓ[clip_image010[3]_](,) ∧ _()成立。

    当变元取值为_时,由于(_,_) ∉ ,即系统对

    用户登录信息未提供 TLS 加密,该系统不满足需求。即:

    ℳ ⊨ℓ[clip_image010[4]_](,) ∧ _()不成立。

    定义2.3谓词逻辑语义

    给定关于符号对(ℱ,)的模型ℳ以及环境ℓ,对于(ℱ,)上的任一逻辑公式,通过对

    的结构递归定义一个满足关系ℳ ⊨ℓ。若ℳ ⊨ℓ成立,表明在模型ℳ中相对环境ℓ,公式为真。

    (1)若公式为原子公式,即 = (12, ⋯ ),若根据ℓ将12, ⋯ 解释为论域中的12, ⋯ ,ℳ ⊨ℓ(1,2, ⋯ )成立当且仅当(12, ⋯ ) ∈ 。

    (2)∀:关系 ℳ ⊨ℓ∀ 成立当且仅当 ℳ ⊨ℓ,- ∀ 对所有的 ∈ 成立。

    (3)∃:关系 ℳ ⊨ℓ∃ 成立当且仅当 ℳ ⊨ℓ,- ∃ 对某个 ∈ 成立。

    (4)¬:关系 ℳ ⊨ℓ¬ 成立当且仅当 ℳ ⊨ℓ不成立。

    (5)∨ :关系 ℳ ⊨ℓ1∨ 2成立当且仅当 ℳ ⊨ℓ1成立或 ℳ ⊨ℓ2。

    (6)∧ :关系 ℳ ⊨ℓ1∧ 2成立当且仅当 ℳ ⊨ℓ1和 ℳ ⊨ℓ2都成立。

    (7)→ :关系 ℳ ⊨ℓ1→ 成立当且仅当只要 ℳ ⊨ℓ1成立,则 ℳ ⊨ℓ2成立

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  • 一、 判断谓词逻辑公式真假 ( 语义 ) 、 二、 谓词逻辑 "解释" 、 三、 谓词逻辑 "解释" 示例 、 四、 谓词逻辑公式类型 、





    一、 判断谓词逻辑公式真假 ( 语义 )



    谓词逻辑 语法 与 语义 :

    语法 : 上面两节讲解的是 谓词逻辑 的公式 , 如何 根据陈述句描述写出公式 , 是 语法 范畴 ;

    语义 : 写出的公式如何 判定其真假 , 属于 语义 范畴 ;

    判定公式真假 :

    • 命题逻辑 : 命题逻辑中 , 通过给命题变元赋值 , 并且根据联结词规则计算 , 最终得到真值 , 这个过程叫做 赋值 ;
    • 一阶谓词逻辑 : 一阶谓词逻辑中 , 使用 “解释” 方法 , 判定一个公式的真假 ;




    二、 谓词逻辑 “解释”



    解释 :

    给定 谓词逻辑 公式 AA , 该公式 AA 由 个体词 , 谓词 , 量词 组成 ;

    个体域 : 指定 公式 AA个体域 为 已知 个体域 DD ;

    个体词 : 使用特定的 个体常元 取代 AA 中的 个体词 ;

    函数 : 使用 特定的函数 , 取代 AA 中的 函数变元 ;

    谓词 : 使用 特定的 谓词 , 取代 AA 中的 谓词变元 ;

    执行完上述操作后 , 即可得到 AA 公式的一个 “解释” ;



    赋值 与 解释 :

    赋值 : 赋值 是 给命题逻辑的 命题变元0,10 , 1 真假值 ;

    解释 : 解释 是 给 个体词 在个体域中 指定是哪个个体 , 给 谓词 指定具体的性质或关系 , 给 量词 指定 个体域 判定其范围 , 确定了 个体词 , 谓词 , 量词 , 就可以判定公式的真假 ;


    给定一个 谓词逻辑 公式 , 给出一个 解释 , 就可以 判定其真假 ;

    同一个 谓词逻辑 公式 , 可以有 不同的解释 ;

    • 个体 指定 不同的 个体
    • 谓词 指定 不同的 性质或关系
    • 量词 使用不同的 个体域 进行解释 ;




    三、 谓词逻辑 “解释” 示例



    给定 一阶谓词逻辑 公式 AAx(F(x)G(x))\forall x ( F(x) \to G(x) ) , 有以下多种解释 ;


    解释一 :

    个体域 : 实数集合 ;

    F(x)F(x) : xx 是有理数 ;

    G(x)G(x) : xx 是分数 ;

    此时公式 AA 可以解释成 : 有理数都能表示成分数 ;

    此时该解释对应的命题是 真命题 ;


    解释二 :

    个体域 : 全总个体域 ;

    F(x)F(x) : xx 是人 ;

    G(x)G(x) : xx 头发是黑色的 ;

    此时公式 AA 可以解释成 : 人都是黑头发的 ;

    此时该解释对应的命题是 假命题 ;






    四、 谓词逻辑公式类型



    谓词逻辑 公式 , 有了解释之后 , 就可以判断公式的类型 ;

    谓词逻辑 公式类型分为 永真式 , 永假式 , 可满足式 , 等值式 等 ;

    • 永真式 : 公式 AA任何解释下都为真 ;
    • 永假式 : 公式 AA任何解释下都为假 ;
    • 可满足式 : 公式 AA 至少存在一个成真的解释 ;
    • 等价式 : 如果 ABA \leftrightarrow B 是永真式 , 则公式 AABB 是等值的 , 记作 ABA \Leftrightarrow B , 称 ABA \Leftrightarrow B 是等值式 ;
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  • 一、 一阶谓词逻辑公式 、 二、 一阶谓词逻辑公式 示例 、



    上一篇博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )





    一、 一阶谓词逻辑公式



    命题公式 : 基本命题 ( 命题常元/变元 ) 和 若干 联结词 形成有限长度的字符串 ;

    ① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

    ② 如果 AA 是命题公式 , 则 (¬A)(\lnot A) 也是命题公式 ;

    ③ 如果 A,BA,B 是命题公式 , 则 (AB),(AB),(AB),(AB)(A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) 也是命题公式 ;

    有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )



    一阶谓词逻辑公式 : 在 命题公式 的基础上 , 加上一条条件 :

    如果 AA 是公式 , 则 xA\forall x AxA\exist x A 也是公式



    一阶谓词逻辑公式相关概念 :xA\forall x A , xA\exist x A 公式为例 ;

    指导变元 : ,\forall , \exist 量词后面的 xx 称为 指导变元

    辖域 : AA 称为 对应量词的辖域 ;

    约束出现 : x\forall x , x\exist x 辖域 AA 中 , xx 出现都是受约束的 , 称为约束出现 ;

    自由出现 : 辖域 AA 中 , 不是约束出现的变元 , 都是自由出现 ;





    二、 一阶谓词逻辑公式 示例



    一阶谓词逻辑公式 :

    x(F(x)y(G(y)H(x,y,z)))\forall x ( F(x) \to \exist y ( G(y) \land H(x,y,z) ) )

    公式解读 : 对于 所有满足 FF 性质的 xx , 都 存在满足 GG 性质的对象 yy , 使得 x,y,zx,y,z 满足关系 HH ;


    x\forall x辖域 (F(x)y(G(y)H(x,y,z)))( F(x) \to \exist y ( G(y) \land H(x,y,z) ) )

    y\exist y辖域(G(y)H(x,y,z)))( G(y) \land H(x,y,z) ) )

    x,yx , y 在量词后面 , 是 指导变元 , 是 约束出现 的变元 ;

    zz 没有在量词后面 , 是 自由出现 的变元 ;


    指导变元 类似于程序中预先定义的 变量/参数 , 自由出现 的变元 相当于程序中的 临时变量 ,

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  • 一、 前束范式 、 二、 前束范式转换方法 、 三、 前束范式示例 、 四、 谓词逻辑推理定律 、





    一、 前束范式



    公式 AA 有如下形式 :

    Q1x1Q2x2QkxkBQ_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_kx_k B

    则称 AA前束范式 ; 前束范式 AA 的相关元素 说明 :


    量词 : QiQ_i 是量词 , 全称量词 \forall , 或 存在量词 \exist ;

    指导变元 :xix_i指导变元 ;

    BB 公式 : BB 是谓词逻辑公式 , 其中不含有量词 , BB可以含有 前面的 x1,x2,,xkx_1 , x_2 , \cdots , x_k 指导变元 , 也 可以不含有 其中的某些变元 ;

    ( BB 中一定不能含有量词 )





    二、 前束范式转换方法



    求一个谓词逻辑公式的前束范式 , 使用 基本等值式 , 或 换名规则 ;

    基本等值式 : 参考博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 谓词逻辑基本等值式 | 消除量词等值式 | 量词否定等值式 | 量词辖域收缩扩张等值式 | 量词分配等值式 )

    换名规则 : 公式 AA 中 , 某个量词辖域中 , 某个约束 出现的 个体变元 对应的 指导变元 xix_i , 使用公式 AA 中没有出现过的 变元 xjx_j 进行替换 , 所得到的公式 AAA' \Leftrightarrow A ;

    如 : xF(x)x¬G(x,y)\forall x F(x) \lor \forall x \lnot G(x, y) 如果要求其前束范式 , 前后有两个 xx , 这里使用换名规则 , 将某个换成没有出现过的 指导变元 zz , 换名后为 xF(x)z¬G(z,y)\forall x F(x) \lor \forall z \lnot G(z, y) ;





    三、 前束范式示例



    xF(x)¬xG(x,y)\forall x F(x) \lor \lnot \exist x G(x, y) 的前束范式 ;


    上述公式不是前束范式 , 其 量词 x\forall x 的辖域是 F(x)F(x) , 量词 x\exist x 的辖域是 G(x,y)G(x, y) , 两个辖域都没有覆盖完整的公式 ;

    使用 等值演算换名规则 , 求前束范式 ;



    xF(x)¬xG(x,y)\forall x F(x) \lor \lnot \exist x G(x, y)

    使用 量词否定等值式 , 先把 否定联结词 移动到量词后面 , 使用的等值式为 ¬xA(x)x¬A(x)\lnot \exist x A(x) \Leftrightarrow \forall x \lnot A(x) ;

    xF(x)x¬G(x,y)\Leftrightarrow \forall x F(x) \lor \forall x \lnot G(x, y)

    使用 换名规则 , 将第二个 x¬G(x,y)\forall x \lnot G(x, y) 中的 xx 换成 zz ;

    xF(x)z¬G(z,y)\Leftrightarrow \forall x F(x) \lor \forall z \lnot G(z, y)

    使用 辖域扩张等值式 , 将 x\forall x 辖域扩张 , 使用的等值式为 x(A(x)B)xA(x)B\forall x ( A(x) \lor B ) \Leftrightarrow \forall x A(x) \lor B

    x(F(x)z¬G(z,y))\Leftrightarrow \forall x ( F(x) \lor \forall z \lnot G(z, y) )

    再次使用 辖域扩张等值式 , 将 z\forall z 辖域扩张 , 使用的等值式为 x(A(x)B)xA(x)B\forall x ( A(x) \lor B ) \Leftrightarrow \forall x A(x) \lor B

    xz(F(x)¬G(z,y))\Leftrightarrow \forall x \forall z ( F(x) \lor \lnot G(z, y) )

    此时已经是前束范式了 ;

    使用 命题逻辑 等值式 中的 蕴涵等值式

    xz(G(z,y)F(x))\Leftrightarrow \forall x \forall z ( G(z, y) \to F(x) )





    四、 谓词逻辑推理定律



    下面推理定律是单向的 , 从左边可以推理出右边 , 从右边不能推理出左边 ; ( 不是等值式 )

    xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))\rm \forall x A(x) \lor \forall x B(x) \Rightarrow \forall x ( A(x) \lor B(x) )

    对应 全称量词 分配率 , 等值式中 只适用于 合取联结词 , 就是因为上述 析取时 , 从右往左 是错误的 , 只能从左往右推理 ;

    x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)\rm \exist x ( A(x) \land B(x) ) \Rightarrow \exist x A(x) \land \exist x B(x)

    x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)\rm \forall x ( A(x) \to B(x) ) \Rightarrow \forall x A(x) \to \forall x B(x)

    x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)\rm \forall x ( A(x) \to B(x) ) \Rightarrow \exist x A(x) \to \exist x B(x)

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    千次阅读 2020-04-25 10:49:08
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    2012-10-28 21:43:13
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  • 2.1 谓词逻辑法 数理逻辑符号逻辑是用数学方法研究形式逻辑的一个分支它通过符号系统来表达客观对象以及相关的逻辑推理常用的是命题逻辑和谓词逻辑;谓词逻辑是数理逻辑的基本形式是基于谓词分析的一种形式化数学语言...
  • 谓词逻辑讲解

    2011-10-25 10:25:25
    人工智能方面的谓词逻辑详细讲解,包教包会。
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  • 离散数学 谓词逻辑

    2014-06-28 23:46:47
    离散数学 谓词逻辑 PPT 基础 有用 好好学习
  • 人工智能-谓词逻辑课件.ppt
  • 谓词逻辑中具有信念的非修订推理
  • 谓词逻辑中没有冗余的非修订推理
  • 2.3 谓词逻辑法 数理逻辑符号逻辑是用数学方法研究形式逻辑的一个分支它通过符号系统来表达客观对象以及相关的逻辑推理常用的是命题逻辑和谓词逻辑;谓词逻辑是数理逻辑的基本形式是基于谓词分析的一种形式化数学语言...

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