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  • 多元函数

    2020-06-13 10:19:11
    5.28 多元函数 聚点:去心邻域(四面八方趋近 值相等 -> 极限才存在) 二阶偏导在连续条件下与求导次序无关 二元函数的极值 必要条件:一阶偏导求驻点 充分条件:二阶偏导判存在 条件极值 拉格朗日乘数法 局限:...

    5.28 多元函数

    聚点:去心邻域(四面八方趋近 值相等 -> 极限才存在)

    二阶偏导在连续条件下与求导次序无关

    二元函数的极值

    必要条件:一阶偏导求驻点

    充分条件:二阶偏导判存在

    条件极值

    拉格朗日乘数法

    • 局限:
    1. 方程组求解困难
    2. 只是必要条件,而非充要条件
    3. 多变量情况下,需根据二阶偏导数构成的海森矩阵的正定性判断是否属于极值点

    二元函数的全微分

    切平面近似表示

    方向导数 & 梯度

    偏导数 --任意方向变化率–> 方向导数(用于搜索函数极值,找最陡的【局部最优解】)

    射线的方向方程:

    单位方向向量

    梯度:grad f(x0, y0) 是一个向量

    指示了函数变化率最大的方向

    如何按梯度方向移动?

    next_x = x0 + t * fx(x0, y0)

    next_y = y0 + t * fy(x0, y0)

    梯度下降算法

    迭代关系式:

    极大值迭代式:

    极小值迭代式:

    step 1: 初始化

    m: 迭代步长 / 学习率 (选取和函数特性有关,参数)

    • case: gradient_descent
    # 用梯度下降算法求函数最小值:L = x1 ^ 2 + 2 * x2 ^ 2
    
    # 作图
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    m = 0.1
    x1 = 10
    x2 = 3
    L = x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2 # grad L = (2 * x1, 4 * x2)
    times = 0
    err = 1
    threshold = 0.0000001
    value = []
    
    while (err > threshold and times < 10000):
        x1 = x1 - m * (2 * x1)
        x2 = x2 - m * (4 * x2)
        err = abs(x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2 - L)    # 易出错:计算前后两次迭代后函数差值的绝对值
        value.append(err)
        L = x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
        times += 1
    
    print(x1, x2, L, times)
    # 作图
    plt.plot(value)
    plt.show()
    

    当有不同极值点时,可能收敛到不同值

    • 局限性:

    初值敏感,变量越多越敏感,不同初值可能收敛到不同极值点

    学习率敏感,可动态改变学习率

    无法完全保证取得全局最值

    展开全文
  • 1.一元函数与多元函数复合的情形 定理1:如果函数u=φ(t)u=\varphi (t)u=φ(t)及v=ψ(t)v=\psi(t)v=ψ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z=f[φ(t),...

    多元复合函数不同的复合形式,分三种情形讨论。

    1.一元函数与多元函数复合的情形

    定理1:如果函数u=φ(t)u=\varphi (t)v=ψ(t)v=\psi(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]z=f[\varphi(t),\psi(t)]在点t可导,且有
    dzdt=zududt+zvdvdt(1) \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} \tag{1}
    用同样的方法,可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。

    例如,设
    z=f(u,v,w),u=φ(t),v=ψ(t),w=w(t) z=f(u,v,w),u=\varphi(t),v=\psi(t),w=w(t)
    复合而得复合函数
    z=f[φ(t),ψ(t),w(t)] z=f[\varphi(t),\psi(t),w(t)]
    则在与定理相类似的条件下,这复合函数在点t可导,且其导数可用下列公式计算:
    dzdt=zududt+zvdvdt+zwdwdt(2) \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{dw}{dt} \tag{2}
    在公式(1)及公式(2)中的导数dzdt\frac{dz}{dt}称为全导数。

    2. 多元函数与多元函数复合的情形

    定理2:如果函数u=φ(x,y)u=\varphi(x,y)v=ψ(x,y)v=\psi(x,y)都在点(x,y)(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]z=f[\varphi(x,y),\psi(x,y)]在点(x,y)(x,y)的两个偏导数都存在,且有
    zx=zuux+zvvxzy=zuuy+zvvy \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}
    类似地,设u=φ(x,y)v=ψ(x,y)u=\varphi(x,y)、v=\psi(x,y)w=ω(x,y)w=\omega(x,y)都在点(x,y)(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z=f(u,v,m)z=f(u,v,m)在对应点(u,v,w)(u,v,w)具有连续偏导数,则复合函数
    z=f([φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)]) z=f([\varphi(x,y),\psi(x,y),\omega(x,y)])
    在点(x,y)(x,y)的两个偏导数都存在,且可用下列公式计算:
    zx=zuux+zvvx+zwwxzy=zuuy+zvvy+zwwy \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial y}

    3.其他情形

    定理3:如果函数u=φ(x,y)u=\varphi(x,y)在点(x,y)(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数v=ψ(y)v=\psi(y)在点y可导,函数z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z=f[φ(x,y),ψ(y)]z=f[\varphi(x,y),\psi(y)]在点(x,y)(x,y)的两个偏导数都存在,且有
    zx=zuuxzy=zuuy+zvdvdy \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy}
    上述情形实际上是情形2的一种特例,即在情形2中,如变量v与x无关,从而vx=0\frac{\partial v}{\partial x}=0;在v对y求导时,由于v=ψ(y)v=\psi(y)是一元函数,故vy\frac{\partial v}{\partial y}换成了dvdy\frac{dv}{dy},这就得上述结果。

    在情形3中,还会遇到这样的情形:复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量。

    例如,设z=f(u,x,y)z=f(u,x,y)具有连续偏导数,而u=φ(x,y)u=\varphi(x,y)具有偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),x,y]z=f[\varphi(x,y),x,y]可看做情形2中当v=x,w=yv=x,w=y的特殊情形。

    因此
    vx=1,wx=0vy=0,wy=1 \frac{\partial v}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial w}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial v}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial w}{\partial y}=1
    从而复合函数z=f[φ(x,y),x,y]z=f[\varphi(x,y),x,y]具有对自变量x及y的偏导数,且有情形2的定理知
    zx=fuux+fxzy=fuuy+fy \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y}
    注意:这里zx\frac{\partial z}{\partial x}fx\frac{\partial f}{\partial x}是不同的,zx\frac{\partial z}{\partial x}是把复合函数z=f[φ(x,y),x,y]z=f[\varphi(x,y),x,y]中的y看做不变而对x的偏导数,fx\frac{\partial f}{\partial x}是把f(u,x,y)f(u,x,y)中的u及y看做不变而对x的偏导数。zy\frac{\partial z}{\partial y}fy\frac{\partial f}{\partial y}也有类似的区别。

    展开全文
  • 多元函数微分学_

    2021-05-21 23:18:57
    多元函数微分学
  • 多元函数的泰勒(Taylor)展开式

    万次阅读 多人点赞 2017-04-20 15:17:22
    多元函数的泰勒展开式实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 一元函数在点xkx_k处的泰勒展开式为: f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12...

    红色石头的个人网站:redstonewill.com

    实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化,通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。

    • 一元函数在点xk处的泰勒展开式为:

      f(x)=f(xk)+(xxk)f(xk)+12!(xxk)2f(xk)+on

    • 二元函数在点(xk,yk)处的泰勒展开式为:

      f(x,y)=f(xk,yk)+(xxk)fx(xk,yk)+(yyk)fy(xk,yk)+12!(xxk)2fxx(xk,yk)+12!(xxk)(yyk)fxy(xk,yk)+12!(xxk)(yyk)fyx(xk,yk)+12!(yyk)2fyy(xk,yk)+on

    • 多元函数(n)在点xk处的泰勒展开式为:

      f(x1,x2,,xn)=f(xk1,xk2,,xkn)+i=1n(xixki)fxi(xk1,xk2,,xkn)+12!i,j=1n(xixki)(xjxkj)fij(xk1,xk2,,xkn)+on

    • 把Taylor展开式写成矩阵的形式:

    f(x)=f(xk)+[f(xk)]T(xxk)+12![xxk]TH(xk)[xxk]+on

    其中:

    H(xk)=[2f(xk)x122f(xk)x1x22f(xk)x1xn2f(xk)x2x12f(xk)x222f(xk)x2xn2f(xk)xnx12f(xk)xnx22f(xk)xn2]


    这里写图片描述

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  • 本篇中我们主要总结一下多元函数的代数应用——多元函数找寻极值点。 在开始之前,先做一个回顾,还是老规矩,我们以一元函数的极值比对多元函数的这一部分内容。 回顾 一元函数极值的定义 在y=f(x)上一点x0的去心...

    本篇中我们主要总结一下多元函数的代数应用——多元函数找寻极值点。

    在开始之前,先做一个回顾,还是老规矩,我们以一元函数的极值比对多元函数的这一部分内容。

    回顾

    • 一元函数极值的定义
      • 在y=f(x)上一点x0的去心邻域内,有f(x)<f(x0),则称f(x0)为y=f(x)的极大值,x0为y=f(x)的极大值点;
      • 在y=f(x)上一点x0的去心邻域内,有f(x)>f(x0),则称f(x0)为y=f(x)的极小值,x0为y=f(x)的极小值点;
    • 判别法
      • 第一充分条件:通过一阶导数的正负反映函数增减性判断极值点;
      • 第二充分条件:
        • f’(x0)=0,f’’(x0)<0,则f(x0)为极大值,x0为极大值点
        • f’(x0)=0,f’’(x0)>0,则f(x0)为极小值,x0为极小值点

    回顾就到这里,再细一点的内容请参阅3.5 极值与最值

    多元函数极值

    多元函数极值我们分为两个情况。
    无条件极值
    在这里插入图片描述

    无条件极值的判别步骤
    在这里插入图片描述

    例题

    例1
    在这里插入图片描述

    条件极值

    Case 1
    在这里插入图片描述
    求条件极值的步骤:
    第一步:使用拉格朗日乘除法构造函数
    在这里插入图片描述
    第二步,求三个偏导数,令之等于0,解出x,y在这里插入图片描述
    解出x,y后可能会得到不止一组点,此时,将之代入,最大的就是最大值,最小的就是最小值,反正就是全部代进去。

    例题

    例2
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    Case 2
    条件极值的第二种形式,约束条件是一个方程组在这里插入图片描述
    步骤类似在这里插入图片描述
    以上就是本篇的全部内容,无条件极值的情况要算ABC判别式,条件极值就是构造方程然后解方程组就行了。

    本篇完。

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