差分方程 订阅
包含未知函数的差分及自变数的方程。在求微分方程*的数值解时,常把其中的微分用相应的差分来近似,所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解,是连续问题离散化*的一个例子。 [1] 展开全文
包含未知函数的差分及自变数的方程。在求微分方程*的数值解时,常把其中的微分用相应的差分来近似,所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解,是连续问题离散化*的一个例子。 [1]
信息
别    称
递推关系式
拼    音
chà fèn fāng chéng
应用学科
数学
中文名
差分方程
适用领域范围
自动控制与设计、数值计算、经济学研究等
外文名
difference equation
差分方程简介
在数学上,递推关系(recurrence relation),也就是差分方程(difference equation),是一种递推地定义一个序列的方程式:序列的每一项目是定义为前一项的函数。某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的(混沌的)性质,他们属于数学中的非线性分析领域。所谓解一个递推关系式,也就是求其解析解,即关于n的非递归函数。
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  • 差分方程

    千次阅读 2020-02-01 16:23:52
    原理参考 http://www.doc88.com/p-9502576569388.html 建模时,通常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合系数, 其稳定性讨论要用到代数方程的求根

    基本原理参考
    http://www.doc88.com/p-9502576569388.html

    差分可根据差分的阶数分为n阶差分
    各阶差分之间还有不同的方案
    例如一阶可分为两点差分和三点差分:
    1.两点差分就不多介绍
    2.三点差分包括前向差分,后向差分,中心差分:

    在这里插入图片描述

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  • 差分差分方程

    2015-09-18 13:19:47
    差分方程,支持有速度求加速度,有位移求速度等
  • 时间序列分析关注事件或者说变量在时间上的动态变化情况。如果将时间人为分期,并记变量y...一、一阶差分方程1、一阶差分方程的概念 一阶差分方程为:yt = Φyt-1+wt这个动态方程将变量在第t期的值yt与变量wt及变量...

    时间序列分析关注事件或者说变量在时间上的动态变化情况。如果将时间人为分期,并记变量y在第t期的值为yt,那么将变量在第t期的值yt与另外的变量wt及第t期以前的值(如yt-1)联系起来的方程即为差分方程。下面首先介绍一阶差分方程,然后介绍p阶差分方程。

    一、一阶差分方程

    1、一阶差分方程的概念

    一阶差分方程为:

    yt = Φyt-1+wt

    这个动态方程将变量在第t期的值yt与变量wt及变量在第t-1期的值联系起来。在后面的分析中,wt将被处理为随机变量,但在目前,我们先将其看作一期期的确定值。

    2、用递归法求解差分方程

    假定已知条件为:y-1和wt,其中t=0,1,2,...

    在每个时期,我们都有一个方程将当期的y与前一期的y及当期的w联系起来,从而在已知y-1和wt在任意时期的值时,我们可以通过递归模拟出这个动态过程,进而求出y在每一时期的值。

    第0期 y0= Φy-1+w0

    第1期 y1= Φy0+w1

    第2期 y2= Φy1+w2

    • •

    • •

    • •

    第t期 yt= Φyt-1+wt

    进而,y1= Φy0+w1=Φ(Φy-1+w0)=

    Φ2y-1+Φw0+w1

    y2= Φy1+w2=Φ(Φ2y-1+Φw0+w1)=

    Φ3y-1+Φ2w0+Φw1+w2

    依此类推,可得

    af45f6beda2e174e56b4ad362060364c.png

    3、动态乘子

    通过递归法模拟一阶差分方程,我们将yt表示为y-1与w的历史值的线性函数,这让我们很容易地看到w的各期值对yt的影响,如w0对yt的影响为:

    c585854dcb2e1f1c8ea23e6a303de802.png

    我们可以将yt+j表示为yt-1和w的历史值的线性函数(这里先贴图,后面有时间再打公式):

    921ae4390695b6f16159de2389ff832f.png

    从而,wt对yt+j的影响为:

    63124427c06be7565575caf639b22ba4.png

    这里就能很明显地看出,动态乘子(我理解为w的某一期值对y的某一期值的影响系数)只取决于时间间隔 j,而与时间t无关。

    从动态乘子的表达式也可以看出y对w的动态响应与Φ的值密切相关。当0<Φ<1,随着时间间隔 j 的增大,w的影响以几何级数的速度趋于0;当-1<Φ<0,w对y的影响会震荡收敛于0;当Φ>1或Φ<-1时,动态乘子将以指数速度增加(不知道是不是所谓的爆炸过程),只不过都Φ为负时是一个振荡发散过程。因此,当|Φ|<1,差分方程是稳定(收敛)的,当|Φ|>1时系统是发散的。而对于边界情况Φ=1,式子变为

    a3f5f915a8616123a95cc00960385e67.png

    即w的每一历史值对y的影响均为1,w每增加一单位将导致y永久性地增加一单位:

    c492411d707d76f580d42f57827fdb6b.png

    接下来我们考虑w对y的所有现值的影响效应,假设利率为r,则t时刻的现值为

    3333bf3b5ba653c26109d83bb0c07a13.png

    记β=1/(1+r)为折现因子,则现值为

    4a9a348510405ea059145071b4633116.png

    将该式对wt求偏导有:

    bb0f66d8f3fee45c697415f68f12b275.png

    对于动态乘子的计算,该式只关心wt增加一单位同时wt+1及以后的未来值均不改变时对y的影响,即它计算的是w的某一时期的单个冲击对y的某一时期的影响效应,所以也称动态乘子式为脉冲响应函数。有时我们可能更关心w的永久变化对y的影响效应,永久变化的意思是说从某一期开始,w的值永久性增加1个单位,对y的影响为:

    afdd540b559a31177c98c04b715caa64.png

    当|Φ|<1且j趋于无穷时,我们就得到了w对y的长期效应:

    a439b25bc2919e1627247f502e64aced.png

    另一个相关的问题是考虑w某一时期的一个冲击对y各个时期的累积影响效应为:

    90ecd50d819e5a07faec3510cd75bd0a.png

    注意w的冲击对y的累积效应等于w的永久变化对y的某一时期的长期效应。

    二、p阶差分方程

    1、p阶差分方程的概念

    c3c234a8691e2442733542d92becdc26.png

    该动态方程将第t期的值与p阶滞后性及wt关联起来,称之为p阶差分方程。

    首先定义(px1)的向量ξt为:

    d1a9785f3d392244e3af4b4a35b21dce.png

    定义(pxp)的矩阵F为:

    4ec5da9d937a19d8f92af194d9c5cbe1.png

    定义(px1)的向量vt为:

    7489e4d35237dee5bb19617922847f97.png

    则有以下一阶向量差分方程:

    9ef8f70401f01bfa88a1e26df7abd02d.png

    简单验证可知该方程的第一个分量表达式即为前面的p阶差分方程。将p阶差分方程转化为一阶向量差分方程可以类比一阶差分方程的思路去解p阶差分方程。

    66a099e63d9a23c1550a8a26efe86f70.png

    0854f4e06e2c4b38c96e99e0faa474c6.png

    按照上式递归:

    cb74320120fb72227b5bcfe7e756b0cd.png

    将这个结果转化为ξ和v的定义式,有:

    9ae90bd043e5a83e0dcd239dc6dc81c4.png

    ac56d0c1428f415948ecfeab322a92fc.png

    fcdb04ff4e280c9128aac585aefa1a11.png

    。则该系统的第一个方程可以写为:

    cdd440b172f14916af2bd612ccb96821.png

    将式子推广:

    4e2c2c8908f3a12fa1b35e17ef8d6926.png

    同样的方法可以得出:

    2b64c850f1a58722a855d4f4f89359dc.png

    从而,p阶差分方程的动态乘子式为:

    16d70835dfbf80bbe8e6380745f0f0ce.png

    对于该动态乘子的具体数值,我们可以通过数值模拟得出。步骤如下

    0456fb1b0711efe57c22ffbb2eab50b2.png

    并且令其他的所有w为0,然后递归到第t期得到的y值即为yt对w0的脉冲响应。

    尽管我们可以通过数值模拟的到任意一个我们关心的脉冲响应,但对动态乘子进行简单分析还是很有必要的。由前面已经,动态乘子等于F的j次方的第(1,1)个元素给出,矩阵论告诉我们该元素可以有F矩阵的特征值容易地给出。解方程:

    0804e38d18dd32cbd6031e542dba3c9c.png

    即可得到F的所有特征值。对于p阶差分方程,该方程实质上是关于λ的p阶方程,将其展开并处理即可得到如下形式

    b43c64c0edf3fa6734d7efefe6fad4fc.png

    下面分两种情形继续讨论:

    (1)F非奇异,F有p个不同的特征值

    (2)F不是可逆矩阵,F存在相同的特征值

    • F有p个不同的特征值

    由矩阵论我们知道,当(pxp)的矩阵F有P个不同的特征值时,则存在一个非奇异矩阵T,使得

    4d902b2f7e4a7e7ce020b6d8e4b9901b.png

    其中,Λ是一个主对角线元素为F的特征值,其余元素为0的(pxp)对角矩阵,即:

    cdf7595a47c03b5aa9fa7451a76c0c96.png

    从而

    b84a7a029ff71fe6c29f3d72717b5d93.png

    a9dd29ca0194f4efec174d5a49d73982.png

    则可以展开为:

    e071d7ee16a83ce7ce092ab32ba0a9f9.png

    2f36fec12299580d738ee778fbbd7375.png

    从而动态乘子式可以表示为:

    3c39f85571524c24f62d37df436ac6db.png

    9af900ef00fafcb07ffc0b9f4a969cf9.png

    其中:

    6a156785a5d8b6c425afbbf176b9c39f.png

    从而Ci的和为

    dadaa5a4cab7042916ca78f61720470f.png

    = 1

    因为该和式即为T•T-1的第(1,1)个元素。综上,p阶差分方程的动态乘子式的用F特征值表示的形式为:

    aa230dab6ac5ef1f4cfc2b46f51883f9.png

    其中,

    3eb7513f6c01dde01cc1b98e640d096d.png

    接下来我们对P=2的特殊情形进行详细讨论。

    2、二阶差分系统

    二阶差分方程的特征方程为:

    6a0dcd3548934e4799431f244d2f8b28.png

    可以解出两个特征值为:

    82a39b960709d8a7c90c9607843da916.png

    当Φ12+4Φ2>0时,两个特征值均为实数。当λ1>1时,即λ

    c2b88220d4b7f1ea85b8d4c3941e152b.png

    或者

    7070d5ea1390aff492c43a7e62bb6b2e.png

    首先,当Φ1>=2时,上式明显成立,当Φ1<2时,两边平方得

    5e53f6ef02a5054bd196af2267b4a078.png

    d8b13e5778b24f9a86a9c4e6362d6b60.png

    时,λ1>1。

    同理,当λ2<-1时,

    5c42f77d95d725844a26f81171483f6b.png

    当Φ1<-2时,上式恒成立,当Φ1>-2时,两边平方得

    1637865ae2feb9ef9951c9206cfa4f12.png

    时,λ2<-1。见下图

    4f036faa178ccdd7905aa768492604cb.png

    当Φ1与Φ2组成的坐标点落在直线Φ2=1+Φ1的左上方或者落在直线Φ2=1-Φ1的右上方时,系统均不稳定,即λ1或λ2其中之一的绝对值大于1,二阶差分方程就不稳定。

    当Φ12+4Φ2<0时,两个特征值均为复数且共轭,可以写成以下形式

    2ce5f1f244b722224a8b21906f277625.png

    a,b可以用Φ1与Φ2表示为:

    fd951dfe3676b080bb0f0102befc6fd3.png

    为方便进行计算,我们可以将复数转换为极坐标形式

    68bb156d4f86083b809fede6ad3f7d72.png

    其中

    d183854b48d457490c7a733a9cf181f8.png

    1f8d32069d7ce07f440e56181a9531c0.png

    进而可以写为指数形式:

    0e8dfaade377092c0016c593adfa1dac.png

    因此,

    74fd11da98b9de374f46b6301f5e98cb.png

    同理可得(λ1与λ2共轭),

    d6ac3b4f9ca23b49fce39d5f749e4c3a.png

    所以,

    c95edd2e03a7ff71318e566d6a35dddc.png

    258399e0f3e6f0c52437bf69460343a7.png

    上式看着似乎还是一个复数,不过,实际上,上式是实数。因为λ1与λ2为共轭复数的情形下,c1与c2也为共轭复数,他们可以写为:

    19ec36b80c88041ee15191264610d932.png

    c53275194b8ea8b91a3d8cf5d3ffa867.png

    带入上式,可得:

    8b4b1e8a27d515e8a65af0ae4e54011f.png

    可以看到,当R<1时,动态乘子随 j 的增大会振荡收敛于0;当R=1时,动态乘子是关于 j 的周期函数,周期由2π/θ给出;当R>1时,动态乘子是一个振荡发散过程。如图

    4f036faa178ccdd7905aa768492604cb.png

    当Φ12+4Φ2<0时,即(Φ1,Φ2)位于图中抛物线以下时,λ1,λ2为共轭复数。又由

    5c7fe4fd64ac33607374b9e09df81f56.png

    可得

    df9d29d31ac9a069dab5dc62b08dc99c.png

    当Φ2<-2时,|R|>1,二阶差分系统振荡发散。即图中位于Φ2=-2以下的点全都不稳定。

    综上所述,只有当(Φ1,Φ2)落在图中三角形区域内时,二阶差分系统才是稳定的。

    3、F具有重复的特征值

    这种情况的相关式子的推导计算更为复杂,但思路大体一致。假设F有重复的特征值并且具有s<p个线性独立的特征向量,利用Jordan分解有:

    d107cddc97e3287c505d0cb18130778c.png

    其中,M为(pxp)矩阵,J 的形式为

    c0d09afe2def742297bd355bb810f58c.png

    其中,

    5beca08c75df591d782bbdd61558964d.png

    所以,

    25b552453bd49b406e5bd00542409989.png

    其中,

    8fcfc95349d63475e7c03ab54272144b.png

    可以看到,只要知道 J 的具体值,就能够向前面一样讨论出动态乘子的表达式。

    4、长期与现值的计算

    到目前为止,我们一直在讨论动态乘子即脉冲响应的情况,接下来让我们一起看看P阶差分系统的长期效应与w对现值的影响。

    若F的所有特征值的模小于1,则当 j 很大时,Fj 趋于0,从而我们可以将yt看着w的无限期历史值的解:

    5ac7669a555de0766f0331336ffca0ff.png

    其中ψj即脉冲响应由 Fj 第(1,1)个元素给出。

    计算w的暂时冲击对y的现值的影响同样重要,首先有

    7392da557615dc4169245ef873701457.png

    v的变化对ξ的现值影响为

    5c814a7e13e22dd7d9ef4d66c388e6c6.png

    进而,w对y的现值影响为

    b1f4273d75b10984101f01870cb54062.png

    这实际上就是上述矩阵的第(1,1)个元素,并且其值为

    442ef8fb8f26c13082e8dce9fb7936dd.png

    上式中,令β=1即可得到w的短暂冲击对y的长期效应为:

    44ba6a3c83f2d445b7698208260e0de5.png

    这个式子的另一种解释为w的永久变化对y的影响。

    展开全文
  • 分数阶差分方程理论

    2019-05-09 19:01:42
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    时间序列分析关注事件或者说变量在时间上的动态变化情况。如果将时间人为分期,并记变量y在第t期的值为yt,那么将变量在第t期的值yt与另外的变量wt及第t期以前的值(如yt-1)联系起来的方程即为差分方程。下面首先介绍一阶差分方程,然后介绍p阶差分方程。

    一、一阶差分方程

    1、一阶差分方程的概念

    一阶差分方程为:

    yt = Φyt-1+wt

    这个动态方程将变量在第t期的值yt与变量wt及变量在第t-1期的值联系起来。在后面的分析中,wt将被处理为随机变量,但在目前,我们先将其看作一期期的确定值。

    2、用递归法求解差分方程

    假定已知条件为:y-1和wt,其中t=0,1,2,...

    在每个时期,我们都有一个方程将当期的y与前一期的y及当期的w联系起来,从而在已知y-1和wt在任意时期的值时,我们可以通过递归模拟出这个动态过程,进而求出y在每一时期的值。

    第0期 y0= Φy-1+w0

    第1期 y1= Φy0+w1

    第2期 y2= Φy1+w2

    • •

    • •

    • •

    第t期 yt= Φyt-1+wt

    进而,y1= Φy0+w1=Φ(Φy-1+w0)=

    Φ2y-1+Φw0+w1

    y2= Φy1+w2=Φ(Φ2y-1+Φw0+w1)=

    Φ3y-1+Φ2w0+Φw1+w2

    依此类推,可得

    35b58921a058eef3faf3c258222531cc.png

    3、动态乘子

    通过递归法模拟一阶差分方程,我们将yt表示为y-1与w的历史值的线性函数,这让我们很容易地看到w的各期值对yt的影响,如w0对yt的影响为:

    80ac1edf64c84ecb299e739358a908c8.png

    我们可以将yt+j表示为yt-1和w的历史值的线性函数(这里先贴图,后面有时间再打公式):

    7d3276f50ad9cf0af2bbbfe88bfc1854.png

    从而,wt对yt+j的影响为:

    14aa8d03d0c6c5b51d17af0675e02504.png

    这里就能很明显地看出,动态乘子(我理解为w的某一期值对y的某一期值的影响系数)只取决于时间间隔 j,而与时间t无关。

    从动态乘子的表达式也可以看出y对w的动态响应与Φ的值密切相关。当0<Φ<1,随着时间间隔 j 的增大,w的影响以几何级数的速度趋于0;当-1<Φ<0,w对y的影响会震荡收敛于0;当Φ>1或Φ<-1时,动态乘子将以指数速度增加(不知道是不是所谓的爆炸过程),只不过都Φ为负时是一个振荡发散过程。因此,当|Φ|<1,差分方程是稳定(收敛)的,当|Φ|>1时系统是发散的。而对于边界情况Φ=1,式子变为

    269661b2532ffa9f2ad1b15d5d39a4d9.png

    即w的每一历史值对y的影响均为1,w每增加一单位将导致y永久性地增加一单位:

    353bcee27e19ea94e56f68d2bd8b1212.png

    接下来我们考虑w对y的所有现值的影响效应,假设利率为r,则t时刻的现值为

    cbecf79f2cbc0ac0253a876ab29f0951.png

    记β=1/(1+r)为折现因子,则现值为

    8d0509a23ecb246bdda544346823d83f.png

    将该式对wt求偏导有:

    246fb084b0c1ca65c0ecfc4dc6c712fe.png

    对于动态乘子的计算,该式只关心wt增加一单位同时wt+1及以后的未来值均不改变时对y的影响,即它计算的是w的某一时期的单个冲击对y的某一时期的影响效应,所以也称动态乘子式为脉冲响应函数。有时我们可能更关心w的永久变化对y的影响效应,永久变化的意思是说从某一期开始,w的值永久性增加1个单位,对y的影响为:

    2d0674a85f5df9e3de612f319e4e1585.png

    当|Φ|<1且j趋于无穷时,我们就得到了w对y的长期效应:

    1ec66ffdbfb55a056c3a74da7fa75370.png

    另一个相关的问题是考虑w某一时期的一个冲击对y各个时期的累积影响效应为:

    8ab1a729f62a890749fac9a74ae231b9.png

    注意w的冲击对y的累积效应等于w的永久变化对y的某一时期的长期效应。

    二、p阶差分方程

    1、p阶差分方程的概念

    9c71f3a5ba5b17c7f6c3d7f58ef786cb.png

    该动态方程将第t期的值与p阶滞后性及wt关联起来,称之为p阶差分方程。

    首先定义(px1)的向量ξt为:

    5a88c43cf0b45c0f4501b797507828d5.png

    定义(pxp)的矩阵F为:

    1cd39d5f88bf11e4a24a1a54520b6be8.png

    定义(px1)的向量vt为:

    f749155e482ea64d15e0b5d28984ae25.png

    则有以下一阶向量差分方程:

    3eb85722ff871d2b3c1897c8d3fe2dea.png

    简单验证可知该方程的第一个分量表达式即为前面的p阶差分方程。将p阶差分方程转化为一阶向量差分方程可以类比一阶差分方程的思路去解p阶差分方程。

    188aeff5900528bda9619daaa640e0ef.png

    60a1c88b9977d9636d3dde41dcc2e690.png

    按照上式递归:

    a38ceecdf07db9e382c7bf9da95c66a2.png

    将这个结果转化为ξ和v的定义式,有:

    e8d4d825b419b87a3b1d59a6ce3ac645.png

    11716367b1cfa06dcc3f7b3015893d28.png

    80cad6428a01e67e5722c2d78b6e3312.png

    。则该系统的第一个方程可以写为:

    25f826fe427463542441d377319ac3c2.png

    将式子推广:

    bdfa71cb7723573c7d4d844f610b03c9.png

    同样的方法可以得出:

    a71fcd13530e5b942842495963dff63b.png

    从而,p阶差分方程的动态乘子式为:

    d94ad93c52ecc34349d8d655585a567a.png

    对于该动态乘子的具体数值,我们可以通过数值模拟得出。步骤如下

    c12bb3c04e5ef9f01b687755922be661.png

    并且令其他的所有w为0,然后递归到第t期得到的y值即为yt对w0的脉冲响应。

    尽管我们可以通过数值模拟的到任意一个我们关心的脉冲响应,但对动态乘子进行简单分析还是很有必要的。由前面已经,动态乘子等于F的j次方的第(1,1)个元素给出,矩阵论告诉我们该元素可以有F矩阵的特征值容易地给出。解方程:

    84b56af31a2065a571eb1013413c63a4.png

    即可得到F的所有特征值。对于p阶差分方程,该方程实质上是关于λ的p阶方程,将其展开并处理即可得到如下形式

    0ec4f0844afcf225aa185d494bfd5267.png

    下面分两种情形继续讨论:

    (1)F非奇异,F有p个不同的特征值

    (2)F不是可逆矩阵,F存在相同的特征值

    • F有p个不同的特征值

    由矩阵论我们知道,当(pxp)的矩阵F有P个不同的特征值时,则存在一个非奇异矩阵T,使得

    40a6ed11b88b2820999c17acc14108ef.png

    其中,Λ是一个主对角线元素为F的特征值,其余元素为0的(pxp)对角矩阵,即:

    6c61d9e7e5b8b79ec3aac3e43bbd2db4.png

    从而

    1a1b65d6bb8f17f84275022702976257.png

    21bb22b37cd03bf5e52a2652fe73ae84.png

    则可以展开为:

    96760f7e60edf283451aeff7d40db80f.png

    380b25ffbf751faa722638288668d0c3.png

    从而动态乘子式可以表示为:

    471ac6090da9e8ee361f3b0061eba1d7.png

    203eae2de95c4426c524fcd811aca945.png

    其中:

    a0c73bb54c10020fc9adb83dcd4a34e6.png

    从而Ci的和为

    fe3ff880a60f5194693cf8692f2a6593.png

    = 1

    因为该和式即为T•T-1的第(1,1)个元素。综上,p阶差分方程的动态乘子式的用F特征值表示的形式为:

    90f50db13df8862cbedebd61e045b240.png

    其中,

    69bae427d9e459b0fc9b91ad6035e04c.png

    接下来我们对P=2的特殊情形进行详细讨论。

    2、二阶差分系统

    二阶差分方程的特征方程为:

    e28aedae8fe789348c4af65f8e248d73.png

    可以解出两个特征值为:

    c783a9264fc88be5ee85a3f1018dec13.png

    当Φ12+4Φ2>0时,两个特征值均为实数。当λ1>1时,即λ

    43da87f2c93ded142548b6640f462719.png

    或者

    a6889e33c7d551e4e57988878ef4dda0.png

    首先,当Φ1>=2时,上式明显成立,当Φ1<2时,两边平方得

    6044a1f37606423b4239c834aaa78ead.png

    28f0d3333e0a0880def938561a2d3fdb.png

    时,λ1>1。

    同理,当λ2<-1时,

    34b5ef6833f7450e10278e73507248d2.png

    当Φ1<-2时,上式恒成立,当Φ1>-2时,两边平方得

    f49504ea1e70e4fbda3e5b2124bace25.png

    时,λ2<-1。见下图

    a4f0d5e33911f914e8b136bbb7393ced.png

    当Φ1与Φ2组成的坐标点落在直线Φ2=1+Φ1的左上方或者落在直线Φ2=1-Φ1的右上方时,系统均不稳定,即λ1或λ2其中之一的绝对值大于1,二阶差分方程就不稳定。

    当Φ12+4Φ2<0时,两个特征值均为复数且共轭,可以写成以下形式

    65cc9efb90d8dafc7df95a01b0c928af.png

    a,b可以用Φ1与Φ2表示为:

    4c5353bed028e84f9e2e8434bb2da156.png

    为方便进行计算,我们可以将复数转换为极坐标形式

    2abff3c1ad14315d41c892f440b8cd06.png

    其中

    228d12eb6271a6f803085e8d42af70a4.png

    6a284e4fc0dc6cd7ef9fcc6bcc5e9f02.png

    进而可以写为指数形式:

    80bb94863cf0245ae853425a22a2ec30.png

    因此,

    11c21d4c4a4e925974721205df6e7c17.png

    同理可得(λ1与λ2共轭),

    05b5a8e7dfbf942fc05cdfd870338d57.png

    所以,

    fe655f8e4d0656c4bc7df518dd54780c.png

    53a12f378773dbd38d3c7673059d46fd.png

    上式看着似乎还是一个复数,不过,实际上,上式是实数。因为λ1与λ2为共轭复数的情形下,c1与c2也为共轭复数,他们可以写为:

    812794dbb6100945f2ad5b963ee9efcd.png

    2a283e7b0783c6bfcd381e6bbab7509a.png

    带入上式,可得:

    02dea0e55d1901463f1d70c3c0521884.png

    可以看到,当R<1时,动态乘子随 j 的增大会振荡收敛于0;当R=1时,动态乘子是关于 j 的周期函数,周期由2π/θ给出;当R>1时,动态乘子是一个振荡发散过程。如图

    a4f0d5e33911f914e8b136bbb7393ced.png

    当Φ12+4Φ2<0时,即(Φ1,Φ2)位于图中抛物线以下时,λ1,λ2为共轭复数。又由

    d755c20e76304d5ab3ca197217cf1395.png

    可得

    13f5f9fb235fa9a98bdfb0ba23b07f28.png

    当Φ2<-2时,|R|>1,二阶差分系统振荡发散。即图中位于Φ2=-2以下的点全都不稳定。

    综上所述,只有当(Φ1,Φ2)落在图中三角形区域内时,二阶差分系统才是稳定的。

    3、F具有重复的特征值

    这种情况的相关式子的推导计算更为复杂,但思路大体一致。假设F有重复的特征值并且具有s<p个线性独立的特征向量,利用Jordan分解有:

    8383f117bc40e120e447bc13b9b45248.png

    其中,M为(pxp)矩阵,J 的形式为

    1048c0472d764fa2438c62051c8a7585.png

    其中,

    2adf0824fddc0c6c74d40959881f01da.png

    所以,

    1cf02e66c748b9ac943c0fd5ed7cd57a.png

    其中,

    867c086523b41e88dcd2cc9805d39e2a.png

    可以看到,只要知道 J 的具体值,就能够向前面一样讨论出动态乘子的表达式。

    4、长期与现值的计算

    到目前为止,我们一直在讨论动态乘子即脉冲响应的情况,接下来让我们一起看看P阶差分系统的长期效应与w对现值的影响。

    若F的所有特征值的模小于1,则当 j 很大时,Fj 趋于0,从而我们可以将yt看着w的无限期历史值的解:

    c80573fb354f7a476143c67f396c7db3.png

    其中ψj即脉冲响应由 Fj 第(1,1)个元素给出。

    计算w的暂时冲击对y的现值的影响同样重要,首先有

    612766d9e90a5ada4f2aebbad44d224d.png

    v的变化对ξ的现值影响为

    b3bf010a78f83acaa8176de63e0b2cad.png

    进而,w对y的现值影响为

    255aeecc352a3846c288eb86ee88c475.png

    这实际上就是上述矩阵的第(1,1)个元素,并且其值为

    1fa507d4238651fe40b6c6f996a28dba.png

    上式中,令β=1即可得到w的短暂冲击对y的长期效应为:

    9b6c9bdfb35e790faa320db5a581f4e3.png

    这个式子的另一种解释为w的永久变化对y的影响。

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