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  • 布尔代数

    2019-12-17 10:28:39
    文章目录1 布尔代数的基本概念1.1 布尔代数中的布尔值1.2 布尔代数中的运算符1.3 布尔代数中的常量和变量1.4 布尔代数中的表达式2 布尔代数中的函数2.1 布尔代数的本质2.2 布尔代数的表示方法2.3 两个变量的函数 ...

    1 布尔代数的基本概念

    1.1 布尔代数中的布尔值

    布尔值只有两种状态:true/flase、0/1、yes/no、on/off。

    1.2 布尔代数中的运算符

    主要有三种:

    • AND、X、与
    • OR、+、或
    • NOT、’、非

    1.3 布尔代数中的常量和变量

    常量: 值是固定的,要么是1,要么是0。
    变量: 值是不确定的,我们用x、y、z等符号来表示。

    1.4 布尔代数中的表达式

    表达式就是运算符与常量、变量的组合,例如:x+0×1、x×0+1、x+y+z。


    2 布尔代数中的函数

    2.1 布尔代数的本质

    本质: 有一个或多个变量的表达式。

    2.2 布尔代数的表示方法

    真值表: 如下图。
    在这里插入图片描述
    表达式: 真值表到表达式的转换过程如下。

    1. 找到输出为1的行。
    2. 将值为0的输入进行NOT运算,然后将本行所有输入进行与运算,得到小表达式。
    3. 将所有的小表达式进行或运算。

    无论多复杂的函数,转换方法都是一样的。

    结论: 所有的布尔函数,都可以通过或与非这三种运算构成。

    2.3 两个变量的函数

    所有的两变量函数:
    在这里插入图片描述

    Nand函数可以代替,OR、AND、NOT函数。或者说,Nand运算的组合可以代替,OR、AND、NOT运算例如:x OR y = (x Nand x) Nand (y Nand y)。

    结论: 所有的布尔函数,都可以通过Nand运算构成。


    参考资料:

    1. 深度学习:C/C++、计算机体系
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  • 布尔代数_布尔代数简介

    千次阅读 2020-07-27 01:46:50
    布尔代数 布尔代数简介 (Introduction to Boolean Algebra) A Boolean Algebra is an algebra(set, operations, elements) consisting of a set B with >=2 elements, together with three operations- the AND ...

    布尔代数

    A Boolean Algebra is an algebra(set, operations, elements) consisting of a set B with >=2 elements, together with three operations- the AND operation(Boolean Product), the OR operation(Boolean Sum), and the NOT operation(Complement) - defined on the set, such that for any element a, b, c…. of set B, a*b, a+b and a' are in B.

    布尔代数是由具有> = 2个元素的集合B以及三个运算组成的代数(集合,运算,元素),这三个运算分别是AND运算(布尔乘积), OR运算(布尔和)和NOT运算(补码)-在集合上定义,使得对于任何元素a,b,c…。 集合B中的a * b,a + b和a'在B中。

    For Example:

    例如:

    • Consider the four-element Boolean algebra B4 = ( {0, x, y, 1}; *, +, '; 0, 1). The AND, OR and NOT operations are described by the following tables:

      考虑四元素布尔代数B4 =({0,x,y,1}; *,+,'; 0,1) 。 下表描述了ANDORNOT运算:

      Boolean Algebra
    • Consider the two-element Boolean algebra B2 = ({0,1}; *, +, '; 0, 1). The three operations *(AND), +(OR) and '(NOT) are defined as follows:

      考虑二元布尔代数B2 =({0,1}; *,+,'; 0,1) 。 定义三个操作*(AND)+(OR)'(NOT)如下:

      Boolean Algebra

    一些关键术语 (Some Key Terms)

    Here are some key terms of the Boolean Algebra with a brief description about them:

    以下是布尔代数的一些关键术语,并对其进行了简要说明:

    布尔函数 (Boolean Function)

    Boolean algebra is a switching algebra that deals with binary variables and logic operations. The variables are designated by letters such as A, B, x, and y. The three basic logic operations are AND, OR and NOT. A Boolean function can be expressed algebraically with binary variables, the logic operation symbols, parentheses and equal sign. For a given combination of values of the variables, the Boolean function can be either 1 or 0. Consider for example, the Boolean Function:

    布尔代数是处理二进制变量和逻辑运算的交换代数。 变量由字母(例如A,B,x和y)指定。 三个基本逻辑运算是AND,OR和NOT。 布尔函数可以用二进制变量,逻辑运算符号,括号和等号代数表示。 对于给定的变量值组合,布尔函数可以为1或0。例如,考虑布尔函数:

    F = x + y'z
    

    The Function F is equal to 1 if x is 1 or if both y' and z are equal to 1; F is equal to 0 otherwise.

    如果x为1或y'和z都等于1,则函数F等于1; 否则F等于0。

    真相表 (Truth Table)

    The relationship between a function and its binary variables can be represented in a truth table. To represent a function in a truth table we need a list of the 2n combinations of the n binary variables.

    函数及其二进制变量之间的关系可以在真值表中表示。 为了在真值表中表示一个函数,我们需要n个二进制变量的2 n个组合的列表。

    逻辑图 (Logic Diagram)

    A Boolean function can be transformed from an algebraic expression into a logic diagram composed of AND, OR and NOT gates.

    布尔函数可以从代数表达式转换为由AND,OR和NOT门组成的逻辑图。

    The purpose of Boolean algebra is to facilitate the analysis and design of digital circuits. It provides a convenient tool to:

    布尔代数的目的是促进数字电路的分析和设计。 它提供了一个方便的工具来:

    • Express in algebraic form a truth table relationship between binary variables.

      以代数形式表示二进制变量之间的真值表关系。

    • Express in algebraic for the input-output relationship of logic diagrams.

      以代数形式表示逻辑图的输入输出关系。

    • Find simpler circuits for the same function.

      查找具有相同功能的更简单的电路。

    A Boolean function specified by a truth table can be expressed algebraically in many different ways. Two ways of forming Boolean expressions are Canonical and Non-Canonical forms.

    由真值表指定的布尔函数可以用许多不同的方式代数表示。 形成布尔表达式的两种方法是经典非规范的形式。

    规范形式 (Canonical Form)

    It expresses all binary variables in every product(AND) or sum(OR) term of the Boolean function. To determine the canonical sum-of-products form for a Boolean function F(A, B, C) = A'B + C' + ABC, which is in non-canonical form, the following steps are used:

    它表示布尔函数的每个乘积(AND)或sum(OR)项中的所有二进制变量。 要确定非规范形式的布尔函数F(A,B,C)= A'B + C'+ ABC的规范乘积和形式 ,请使用以下步骤:

    F = A'B + C' + ABC
      = A'B(C + C') + (A + A')(B + B')C' + ABC
    

    where x + x' = 1 is a basic identity of Boolean algebra

    其中x + x'= 1是布尔代数的基本恒等式

    = A'BC + A'BC' + ABC' + AB'C' + A'BC' + A'B'C' + ABC
    = A'BC + A'BC' + ABC' + AB'C' + A'B'C' + ABC
    

    By manipulating a Boolean expression according to Boolean algebra rules, one may obtain a simpler expression that will require fewer gates.

    通过根据布尔代数规则操纵布尔表达式,可以得到需要较少门的较简单表达式。

    The below table lists the most basic identities of Boolean algebra. All the identities in the table can be proven by means of truth tables.

    下表列出了布尔代数的最基本身份。 表格中的所有身份都可以通过真值表来证明。

    Boolean Algebra

    翻译自: https://www.studytonight.com/computer-architecture/boolean-algebra

    布尔代数

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  • 称(L,∗,+,¬,0,1)是布尔代数,n维布尔代数中e1,……,en是L得一组基地,若∀a∈L,a=k1e1+k2e2+……+knen(其中ki为代数系统中得0元或1元)称(L,*,+,\neg,0,1)是布尔代数,n维布尔代数中e_1,……,e_n是L得一组基地,若\...

    基 底 基底
    称 ( L , ∗ , + , ¬ , 0 , 1 ) 是 布 尔 代 数 , n 维 布 尔 代 数 中 e 1 , … … , e n 是 L 得 一 组 基 地 , 若 ∀ a ∈ L , a = k 1 e 1 + k 2 e 2 + … … + k n e n ( 其 中 k i 为 代 数 系 统 中 得 0 元 或 1 元 ) 称(L,*,+,\neg,0,1)是布尔代数,n维布尔代数中e_1,……,e_n是L得一组基地,若\\ \forall a \in L,a=k_1 e_1+k_2 e_2+……+k_n e_n(其中k_i为代数系统中得0元或1元) (L,,+,¬,0,1)ne1,,enLaL,a=k1e1+k2e2++knen(ki01)

    例 : 设 S 30 是 30 的 所 有 正 因 数 做 成 的 集 合 。 对 任 意 a , b ∈ S 30 规 定 运 算 a + b 为 a 、 b 的 最 小 公 倍 数 a ∗ b 为 a 、 b 的 最 大 公 约 数 。 则 ( S 30 , ∗ , + , 1 , 30 ) 是 布 尔 代 数 , 1 是 其 最 小 元 素 , 30 是 其 最 大 元 素 。 该 布 尔 代 数 的 基 底 为 2 , 3 , 5 : 1 = ( 1 ∗ 2 ) + ( 1 ∗ 3 ) + ( 1 ∗ 5 ) , 2 = ( 30 ∗ 2 ) + ( 1 ∗ 3 ) + ( 1 ∗ 5 ) , 3 = ( 1 ∗ 2 ) + ( 30 ∗ 3 ) + ( 1 ∗ 5 ) , 5 = ( 1 ∗ 2 ) + ( 1 ∗ 3 ) + ( 30 ∗ 5 ) , 6 = ( 30 ∗ 2 ) + ( 30 ∗ 3 ) + ( 1 ∗ 5 ) , 10 = ( 30 ∗ 2 ) + ( 1 ∗ 3 ) + ( 30 ∗ 5 ) 15 = ( 1 ∗ 2 ) + ( 30 ∗ 3 ) + ( 30 ∗ 5 ) , 30 = ( 30 ∗ 2 ) + ( 30 ∗ 3 ) + ( 30 ∗ 5 ) 例: 设S_{30}是30的所有正因数做成的集合。对任 意a, b∈S_{30}\\ 规定运算a+b为a、b的最小公倍数 a*b为a、b的最大公约数。\\ 则(S_{30},*,+, 1, 30)是布尔代数,1是其最小元 素,30是其最大元素。\\ 该布尔代数的基底为2, 3,5:\\ 1=(1*2)+(1*3)+(1*5), 2=(30*2)+(1*3)+(1*5), 3=(1*2)+(30*3)+(1*5), 5=(1*2)+(1*3)+(30*5), 6=(30*2)+(30*3)+(1*5), 10=(30*2)+(1*3)+(30*5) 15=(1*2)+(30*3)+(30*5), 30=(30*2)+(30*3)+(30*5) :S3030a,bS30a+bababab(S30,+,1,30)1302,3,5:1=(12)+(13)+(15)2=(302)+(13)+(15)3=(12)+(303)+(15),5=(12)+(13)+(305)6=(302)+(303)+(15),10=(302)+(13)+(305)15=(12)+(303)+(305)30=(302)+(303)+(305)
    在这里插入图片描述
    原 子 ( 极 小 元 ) : 哈 斯 图 中 盖 住 0 的 所 有 元 素 原子(极小元):哈斯图中盖住0的所有元素 0
    有 限 布 尔 代 数 得 基 底 必 是 此 代 数 得 所 有 极 小 元 素 , 反 之 亦 成 立 有限布尔代数得基底必是此代数得所有极小元素,反之亦成立
    性 质 1 : e 1 + e 2 + … … + e n = 1 性 质 2 : 有 限 布 尔 代 数 得 基 底 唯 一 性质1:e_1+e_2+……+e_n=1\\ 性质2:有限布尔代数得基底唯一 1e1+e2++en=12

    由集合生成得布尔代数

    对 于 一 个 布 尔 代 数 ( L , ∗ , + , ¬ , 0 , 1 ) , s 1 , s 2 , s i 为 L 中 得 元 素 集 合 S 中 得 元 素 为 ∑ x 1 ∗ … ∗ x i , x i 或 为 s i 或 为 s i ˉ ∣ 可 证 ( S , ∗ , + , ¬ , 0 , 1 ) 为 布 尔 代 数 , 称 为 由 { s 1 , s 2 , … s i } 生 成 得 布 尔 代 数 对于一个布尔代数(L,*,+,\neg,0,1),s_1,s_2,s_i为L中得元素\\ 集合S中得元素为\sum x_{1}*…*x_{i},x_{i}或为s_i或为\bar {s_i}|\\ 可证(S,*,+,\neg,0,1)为布尔代数,称为由\{s_1,s_2,…s_i\}生成得布尔代数 (L,,+,¬,0,1),s1,s2,siLSx1xixisisiˉ(S,,+,¬,0,1){s1,s2,si}
    例 : ( S 30 , ∗ , + , ¬ , 0 , 1 ) 中 由 { 2 , 6 } 生 成 得 布 尔 代 数 为 ( S 30 , ∗ , + , ¬ , 0 , 1 ) 由 { 1 , 30 } 生 成 得 布 尔 代 数 为 ( { 1 , 30 } , ∗ , + , ¬ , 0 , 1 ) 由 { 2 } 生 成 得 布 尔 代 数 为 ( { 1 , 2 , 15 , 30 } , ∗ , + , ¬ , 0 , 1 ) 例:(S_{30},*,+,\neg,0,1)中\\ 由\{2,6\}生成得布尔代数为(S_{30},*,+,\neg,0,1)\\ 由\{1,30\}生成得布尔代数为(\{1,30\},*,+,\neg,0,1)\\ 由\{2\}生成得布尔代数为(\{1,2,15,30\},*,+,\neg,0,1)\\ :(S30,,+,¬,0,1){2,6}(S30,,+,¬,0,1){1,30}({1,30},,+,¬,0,1){2}({1,2,15,30},,+,¬,0,1)

    [ S t o n e 定 理 ] : 任 意 有 限 布 尔 代 数 < B , ∨ , ∧ , − > , M 是 所 有 原 子 构 成 的 集 合 , 则 < B , ∨ , ∧ , − > 与 < P ( M ) , ∪ , ∩ , ~ > 同 构 [Stone定理]:任意有限布尔代数<B,∨,∧,->,M是所有原子构成的集合,则<B,∨,∧,->与<P(M),\cup,\cap,~>同构 [Stone]:<B,,,>,M<B,,,><P(M),,,>

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  • 布尔代数定律Boolean Algebra differs from both general mathematical algebra and binary number systems. In Boolean Algebra, A+A =A and A.A = A, because the variable A has only logical value. It doesn't ...

    布尔代数定律

    Boolean Algebra differs from both general mathematical algebra and binary number systems. In Boolean Algebra, A+A =A and A.A = A, because the variable A has only logical value. It doesn't have any numerical significance. In ordinary mathematical algebra, A+A = 2A and A.A = A2, because the variable A has some numerical value here. Also, in Binary Number System 1+1 = 10, and in general mathematical algebra 1+1 = 2 but in Boolean Algebra 1+1 = 1 itself. Unlike ordinary algebra and Binary Number System here is subtraction or division in Boolean Algebra. We only use AOI (AND, OR and NOT/INVERT) logic operations to perform calculations in Boolean Algebra.

    布尔代数不同于一般的数学代数和二进制数系统。 在布尔代数中, A + A = AAA = A ,因为变量A仅具有逻辑值。 它没有任何数值意义。 在普通的数学代数中, A + A = 2AAA = A2 ,因为变量A在此处具有某些数值。 同样,在二进制数系统1 + 1 = 10中 ,通常在数学代数1 + 1 = 2中,但在布尔代数1 + 1 = 1中 。 与普通代数和二进制数系统不同,布尔代数是减法或除法。 我们仅使用AOI(AND,OR和NOT / INVERT)逻辑运算来执行布尔代数中的计算。

    布尔代数中的公理 (Axioms in Boolean Algebra)

    There are some set of logical expressions which we accept as true and upon which we can build a set of useful theorems. These sets of logical expressions are known as Axioms or postulates of Boolean Algebra. An axiom is nothing more than the definition of three basic logic operations (AND, OR and NOT). All axioms defined in boolean algebra are the results of an operation that is performed by a logical gate.

    我们接受了一些逻辑表达式,这些逻辑表达式是正确的,并且可以在这些逻辑表达式上建立一组有用的定理。 这些逻辑表达式集被称为布尔代数的公理或假设公理只不过是三个基本逻辑运算(AND,OR和NOT)的定义 。 布尔代数中定义的所有公理都是由逻辑门执行的运算的结果。

        Axiom 1: 0.0 = 0    Axiom 6: 0+1 = 1
        Axiom 2: 0.1 = 0    Axiom 7: 1+0 = 1
        Axiom 3: 1.0 = 0    Axiom 8: 1+1 = 1
        Axiom 4: 1.1 = 1    Axiom 9: 0 = 1
        Axiom 5: 0+0 = 0    Axiom 10: 1 = 0
    
    

    Based on these axioms we can conclude many laws of Boolean Algebra which are listed below,

    根据这些公理,我们可以得出以下布尔代数的许多定律,

    Commutative Laws

    交换律

        A+B = B+A, and 
        A.B = B.A
    
    

    Associative Laws

    关联法

        (A+B) + C = A+(B+C)
        (A.B). C = A. (B.C)
    
    

    AND Laws

    与法律

        A.0 = 0			
        A.1 = A
        A.A = A			
        A.A = 0
    
    

    OR Laws

    或法律

        A+0 = A			
        A+1 = 1
        A+A = A	
        A+A = 0
    
    

    Complementation Laws

    补充法

        If A = 0 then A = 1
        If A = 1 then A = 0 
        A̿ = A
    
    

    Distributive Laws

    分配法

        A(B+C) = AB + AC
        A + BC = (A+B). (A+C)
    
    

    Idempotence Law

    幂等法

        A.A = A, If A=1, then A.A = 1.1 =1 = A and if A=0, then A.A = 0.0 = 0 = A 
        A+A = A, If A=1, then A+A = 1+1 =1 = A and if A=0, then A+A = 0+0 = 0 = A
    
    

    Absorption Law

    吸收定律

        A + A.B = A 
        A.(A+B) = A
    
    

    De-Morgan's Law

    德摩根定律

        A+B =  A. B
        A.B = A + B
    
    

    Consensus Theorem

    共识定理

        A) AB + A C + BC = AB + A C
    
    

    Proof:

    证明:

    LHS     = AB + A C + BC
            = AB + A C + BC (A+A)
            = AB + A C + ABC + ABC
            = AB (1+C) + A C (1+C)
            = AB + A C = RHS
    
    
        B) (A+B) (A + C) (B+C) = (A+B) (A + C)
    
    

    Proof:

    证明:

    LHS     = (A+B) (A + C) (B+C)
            = (AA + AC + BA + BC) (B+C)
            = (AC + BA + BC) (B+C)
            = ABC + ACC + BAB + BAC + BCB + BCC
            = ABC + AC + BA + BAC + BC + BC
            = ABC + AC + BA + BAC + BC
            = AC(B+1) + BA (1+C) + BC
            = AC + BA + BC ............. (Equation 1)
    
    RHS     = (A+B) (A + C)
            = AA + AC + BA + BC
            = AC + BA + BC ............. (Equation 2)
    
    

    Since, Equation 1 = Equation 2, Hence Consensus Theorem is verified.

    由于等式1 =等式2 ,因此验证了共识定理

    翻译自: https://www.includehelp.com/basics/axioms-and-laws-of-boolean-algebra.aspx

    布尔代数定律

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    2014-06-20 12:06:35
    又叫晶体点阵理论。在数学中,格是其非空有限子集都有一个上确界(叫并)和一个下确界(叫交)的偏序集合(poset)。...半格包括了格,依次包括海廷代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。
  • 介绍了泛布尔代数和三电平逆变器的系统组成;阐述了三电平空间矢量脉宽调制( SVPWM)的原理,将 泛布尔代数应用于 SVPWM算法中,利用泛布尔代数将其化简并转化为逻辑表达式,简化了分析难度,并为进 一步的仿真研究和实际...

空空如也

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布尔代数