精华内容
下载资源
问答
  • 双曲函数
    万次阅读 多人点赞
    2020-02-11 16:36:03

    感谢原博主的分享,知识是宝贵的,希望读者可以完全理解这篇博文的推导

    转载出处https://zhuanlan.zhihu.com/p/20042215

     

    一、发展历史

    双曲函数的起源是悬链线,首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状,遗憾的是他没有得到答案就去世了。

    时隔170年之久,著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题,并且试图去证明这是一条抛物线。事实上,在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。

    一年之后,雅各布的证明毫无进展(废话,证明错的东西怎么会有进展)。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案,同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分,根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。

    18世纪,约翰·兰伯特开始研究这个函数,首次将双曲函数引入三角学;19世纪中后期,奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线,威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此,双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。

    19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生,双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一

    二、函数定义

    在讲双曲函数的定义之前,我们先看一看三角函数的定义。如图所示:

    在实域内,三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。

    同理,双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图:

    具体的定义为

     

     

    三、函数性质

    和对应的三角函数性质十分类似,但又有一定的区别。

    四、恒等式

    双曲函数恒等式一定要结合着三角函数恒等式一起看,真的是太像了:

     

    转载请声明原转载出处,谢谢

    更多相关内容
  • 关于广义三角函数和双曲函数的注释
  • verilog语言编写的基于cordic算法实现的双曲函数
  • 双曲函数

    千次阅读 2019-09-18 22:53:29
    在学习python中看到双曲函数,毕业好多年都忘记了,今天在知乎上看到一篇文本比较好,转载下 一、发展历史 双曲函数的起源是悬链线,首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人...

    在学习python中看到双曲函数,毕业好多年都忘记了,今天在知乎上看到一篇文本比较好,转载下

    一、发展历史

    双曲函数的起源是悬链线,首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状,遗憾的是他没有得到答案就去世了。

    时隔170年之久,著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题,并且试图去证明这是一条抛物线。事实上,在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。

    一年之后,雅各布的证明毫无进展(废话,证明错的东西怎么会有进展)。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案,同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分,根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。

    18世纪,约翰·兰伯特开始研究这个函数,首次将双曲函数引入三角学;19世纪中后期,奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线,威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此,双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。

    19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生,双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一

    二、函数定义

    在讲双曲函数的定义之前,我们先看一看三角函数的定义。如图所示:

     在实域内,三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。

    同理,双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图:

     具体的定义为

     三、函数性质

    和对应的三角函数性质十分类似,但又有一定的区别。

     四、恒等式

    双曲函数恒等式一定要结合着三角函数恒等式一起看,真的是太像了:

     

    preview

     五、欧拉公式

    欧拉公式是复变函数里几乎最重要的一个公式,它揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系,从形式上也十分简洁优美:

     用-x 替换掉x, 得到:

    这样我们可以解出正弦和余弦函数与指数函数的关系式:

     

    再把双曲函数拉过来看看:

     

     

     不是非常接近了呢?很容易看出它们之间存在这样的关系:

     六、复域统一

    先研究一下三角函数和双曲函数的级数展开。

     双曲函数和三角函数的区别仅仅在于是否有-1的幂这一项,双曲函数就是将三角函数改为非交错级数。正是由于其无比相似的级数展开,才使得它们具有十分相似的性质。

    我们说了这么多,两类函数似乎各种相似却还是不一样。那么三角函数和双曲函数的关系到底是什么呢?

    在复域上,它们的形状其实是一样的!

    不信?我们画一画图像。

     

    直观地看,同一行的两个函数除了角度不同之外形状是一样的。

    而其实这个关系前边已经说明过了:

     这两个式子说明对应的两个函数仅通过旋转(对于复变函数,乘i就相当于逆时针旋转90°)即可重合。

    对了,大家都知道三角函数的周期是2pi,那么大家猜猜双曲函数的周期是多少?没错,是2pi i!

    七、映射关系(需具备复变函数基础)

     

     

     八、应用范围

    1.悬链线

    悬链线的方程是双曲余弦函数,这个在文章开头已经介绍过。而悬索桥、双曲拱桥、架空电缆等都用到了悬链线的原理。在工程上,定义\alpha为悬链线系数,而把悬链的方程记为

     

     

     给应用带来很大的方便,如图:

     2.平行直导线单位长度电容

    真空中无限长圆柱形直导线平行放置,相距为d, 半径分别为R1,和R2,电荷线密度为\pm \lambda,则其单位长电容值为:

     虽然是反双曲函数,但我觉得也算双曲函数的应用。这个公式在常见的手册上都是可以看到的。

    3.换元积分

     4.边值问题的解

    直角坐标系中的拉普拉斯方程为

     由于这三项分别是x,y,z的函数,因此方程恒成立就要求这三项均为常数。即

     九、反双曲函数简介

     细心的读者会注意到反双曲函数用的符号为ar,而反三角函数用的符号为arc,为什么呢?

    因为反三角函数也可以用弧长定义:arcsinx就是「正弦值为x的角的弧长」。而反双曲函数则是用面积定义,表示对应双曲扇形面积的二倍,用arsh、arch等显示与其他函数的区别。

    arc在英文中有「弧长」的意思,而ar表示area,有「面积」的意思。

    十 双曲函数用指数定义

    双曲函数用指数定义总结:

    十一、参考文献

    [1]Inverse trigonometric functions

    [2]Inverse hyperbolic function

    [3]Hyperbolic function

    [4](俄)博亚尔丘克,复变函数[M],北京,清华大学出版社,2008.5.

    [5]同济大学数学系,高等数学[M],北京,高等教育出版社,2007.10.

    [6]张清,两无限长平行直导线间电容的精确解[J],安徽,安徽工业大学学报,2003.1.

    [7]徐裕生,反双曲函数符号的含义[J],陕西,高等数学研究,1996.3.

    展开全文
  • 对于三角积分的重要性,我们在本文中找到了一系列幂,其中一些三角函数以前在第一节中不存在。... 最后,在第4节中,我们找到了双曲函数的幂次幂,幂次为n的双曲函数的积分以及幂次为n和m的双曲函数的乘积。
  • 指数函数与对数函数4.1 指数函数回顾4.2 对数函数回顾4.3 指数函数与对数函数互为反函数4.4 对数法则 4.指数函数与对数函数 4.1 指数函数回顾 底数指数底数^{指数}底数指数 4.2 对数函数回顾 y=2x=8y=2^x=8y=2x=8...

    Chapter9:指数函数、对数函数、双曲函数

    9.指数函数、对数函数、双曲函数

    9.1 基础知识

    9.1.1 指数函数回顾

    底 数 指数 底数^{指数} 指数


    9.1.2 对数函数回顾

    y = 2 x = 8 y=2^x=8 y=2x=8
    x = l o g 2 ( y ) = l o g 2 ( 8 ) = 3 x=log_2(y)=log_2(8)=3 x=log2(y)=log2(8)=3 代表着将2提升3个幂次才能得到8

    l o g b ( y ) log_b(y) logb(y)是为了得到 y y y 必须将底数 b b b 提升某个(对数的结果)幂次

    b l o g b ( y ) = y b^{log_b(y)}=y blogb(y)=y

    要求必须 b > 1 , y > 0 b \gt 1,y \gt 0 b>1y>0
    如果 b < 0 b \lt 0 b<0 ,例如 y = b x = ( − 1 ) 1 2 = − 1 < 0 y=b^x=(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1} \lt 0 y=bx=(1)21=1 <0
    如果 b = 0 b=0 b=0,例如 0 x 0^x 0x(无意义)

    如果 b = 1 b=1 b=1 ,例如: y = 1 x = 1 y=1^x=1 y=1x=1,x取任何值都成立,无价值

    0 < b < 1 0 \lt b \lt 1 0<b<1,例如: y = ( 1 2 ) x = 2 − x y=(\frac{1}{2})^x=2^{-x} y=(21)x=2x l o g 1 2 ( y ) = − l o g 2 ( y ) log_{\frac{1}{2}}(y)=-log_2(y) log21(y)=log2(y)

    l o g b ( y ) log_b(y) logb(y) 不可能将 b b b 提升为几次幂而得到一个负数或0,于是 y y y 不可能是负数或0

    9.1.3 指数函数与对数函数互为反函数

    f ( g ( x ) ) = x f(g(x))=x f(g(x))=x b l o g b ( x ) = x b^{log_b(x)}=x blogb(x)=x
    g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g(f(x))=x l o g b ( b x ) = x log_b(b^x)=x logb(bx)=x

    9.1.4 对数法则

    所有不同底数的对数函数其实互为常数倍

    l o g b ( x ) = K l o g c ( x ) log_b(x)=Klog_c(x) logb(x)=Klogc(x) ,其中 K = 1 l o g c ( b ) K=\frac{1}{log_c(b)} K=logc(b)1

    y = l o g c ( x ) y=log_c(x) y=logc(x)图像垂直拉伸K倍得到 y = l o g b ( x ) y=log_b(x) y=logb(x)

    证明:乘积的对数是对数的和

    证明:对数将指数移至对数之前

    证明换底法则

    9.2 e的定义

    9.2.1 有关复利的问题

    银行A:利息年利率 12 % 12\% 12%一年计一次复利,意味着每一年财富增加 12 % 12\% 12%
    假设今年你存入 100 100 100元,今年年底会得到 100 + 100 ∗ 0.12 = 100 ∗ ( 1 + 0.12 ) = 112 100+100*0.12=100*(1+0.12)= 112 100+1000.12=100(1+0.12)=112

    银行B:利息年利率 12 % 12\% 12%一年计两次复利,每次以 12 % / 2 = 6 % 12\%/2=6\% 12%/2=6% 计算
    假设今年你存入 100 100 100元,半年后得到 100 + 100 ∗ 0.06 = 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) = 106 100+100*0.06=100*(1+0.06)=106 100+1000.06=100(1+0.06)=106
    后半年的初始存款为 106 106 106,年底得到 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) ∗ ( 1 + 0.06 ) = 100 ∗ ( 1 + 0.06 ) 2 = 112.36 100*(1+0.06)*(1+0.06)=100*(1+0.06)^2 =112.36 100(1+0.06)(1+0.06)=100(1+0.06)2=112.36

    综上,一年中复利次数越多,年底财富增值越多,但会不会存在一个上限??

    9.2.2 问题的答案

    本金1元,年利率 r r r,一年中复利 n n n 次(每次利率为 r n \frac{r}{n} nr),年底财富增长为
    ( 1 + r n ) n (1+\frac{r}{n})^n (1+nr)n
    本金A元,年利率 r r r,一年中复利 n n n 次(每次利率为 r n \frac{r}{n} nr), t t t 年后的财富为
    A ( 1 + r n ) n t A(1+\frac{r}{n})^{nt} A(1+nr)nt

    当年利率 r = 1 r=1 r=1

    9.2.3 更多关于 e 和对数函数的内容


    x = 1 x=1 x=1
    lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e nlim(1+n1)n=e
    lim ⁡ h → ∞ ( 1 + h ) 1 h = e \lim_{h\rightarrow \infty}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e hlim(1+h)h1=e

    对数法则

    9.3 对数函数和指数函数求导

    指数函数和对数函数求导的例子
    例1:

    例2:

    导数相同意味着原函数图像相同,将 y = l n ( x ) y=ln(x) y=ln(x) 图像向上移动即可得到 y = l n ( 8 x ) y=ln(8x) y=ln(8x)

    例3:

    9.4 求解指数函数或对数函数的极限

    9.4.1 涉及 e 的定义的极限

    例1:

    例2:

    9.4.2 指数函数在 0 附近的行为

    例1:

    例2:

    例3:
    当虚拟变量本身在分母上时,极限可能是一个伪装的导数

    9.4.3 对数函数在 1 附近的行为

    当虚拟变量本身在分母上时,极限可能是一个伪装的导数

    9.4.4 指数函数在 ∞ \infty − ∞ -\infty 附近的行为


    例子:

    指数函数增长迅速:
    不管 n n n 有多大
    e x e^x ex 趋于无穷大的速度比 x x x 任意正次幂都要迅速

    分母趋于无穷大的速度比分子趋于无穷大的速度迅速

    例如:

    9.4.5 对数函数在 ∞ \infty 附近的行为

    不能取任何负数的对数,因此没有必要研究对数函数在 − ∞ -\infty 附近的行为

    对数函数增长缓慢:
    不管 a a a 有多小
    l n ( x ) ln(x) ln(x) 趋于无穷大的速度比 x x x 的任意正次幂都要慢

    分子趋于无穷大的速度比分母趋于无穷大的速度

    例1:

    例2:
    t t t 替换 -x 这一技巧可将指数函数在 − ∞ -\infty 附近的行为转换为在 + ∞ +\infty + 附近的行为

    e x e^x ex − ∞ -\infty 附近的行为,但通过设 t = − x t=-x t=x,我们可以将情形转换为 + ∞ +\infty +
    x → − ∞ x\rightarrow-\infty x 时,有 t → + ∞ t\rightarrow+\infty t+

    9.4.6 对数函数在 0 0 0 附近的行为

    l n ( 0 ) ln(0) ln(0)无意义

    对数函数在 0 附近向下增长缓慢:
    不管 a a a 有多小

    例子:
    1 t \frac{1}{t} t1 替换 x 这一技巧可将对数函数在 0 附近的行为转换为在 ∞ \infty 附近的行为

    9.5 取对数求导法

    何种情况下使用取对数求导法

    取对数求导法的过程

    例子:

    x a x^a xa 的导数

    9.6 指数增长和指数衰变

    9.6.1 指数增长

    t t t 为时间(如 t = 1 t=1 t=1 代表第一年)
    P 0 P_0 P0 是时间 t = 0 t=0 t=0 时的总数(如羊群)
    k k k 为增长常数, k k k 越大种群繁殖越快

    9.6.2 指数衰变

    t t t 为时间(如 t = 1 t=1 t=1 代表第一年)
    P 0 P_0 P0 是原始数量 (如: t = 0 t=0 t=0 时原子的数量)
    − k -k k 是衰变常数

    9.7 双曲函数(实际上是伪装的指数函数)

    9.7.0 双曲函数定义


    双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的(例如图中阴影部分面积 α 2 \frac{\alpha}{2} 2α

    双曲函数的前缀 ar 代表 area (面积,即以上定义的面积)

    双曲函数中的 x x x 其实是双曲角 α \alpha α (大小为上述定义阴影部分面积的 2 2 2 倍)
    x 2 − y 2 = 1 c o s h 2 ( α ) − s i n h 2 ( α ) = 1 y = s i n h ( α ) y = c o s h ( α ) . . . x^2-y^2=1 \\ cosh^2(\alpha)-sinh^2(\alpha)=1\\ y=sinh(\alpha)\\ y=cosh(\alpha)\\ ... x2y2=1cosh2(α)sinh2(α)=1y=sinh(α)y=cosh(α)...
    为了与三角函数在形式上统一,将双曲角 α \alpha α 换个名称 x x x
    c o s h 2 ( x ) − s i n h 2 ( x ) = 1 y = s i n h ( x ) y = c o s h ( x ) . . . cosh^2(x)-sinh^2(x)=1\\ y=sinh(x)\\ y=cosh(x)\\ ... cosh2(x)sinh2(x)=1y=sinh(x)y=cosh(x)...

    9.7.1 双曲余弦函数(Hyperbolic COSine,cosh)

    9.7.2 双曲正弦函数(Hyperbolic SINe,sinh)


    9.7.3 双曲正切函数(Hyperbolic TANgent,tanh)

    t a n h ( x ) = s i n h ( x ) c o s h ( x ) = e x − e − x e x + e − x tanh(x)=\frac{sinh(x)}{cosh(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} tanh(x)=cosh(x)sinh(x)=ex+exexex

    9.7.4 双曲余切函数(Hyperbolic COTangent,coth)

    c o t h ( x ) = 1 t a n h ( x ) = e x + e − x e x − e − x coth(x)=\frac{1}{tanh(x)}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} coth(x)=tanh(x)1=exexex+ex

    9.7.5 双曲正割函数(Hyperbolic SECant,sech)

    s e c h ( x ) = 1 c o s h ( x ) = 2 e x + e − x sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}=\frac{2}{e^x+e^{-x}} sech(x)=cosh(x)1=ex+ex2

    9.7.6 双曲余割函数(Hyperbolic CoSeCant,csch)

    c s c h ( x ) = 1 s i n h ( x ) = 2 e x − e − x csch(x)=\frac{1}{sinh(x)}=\frac{2}{e^x-e^{-x}} csch(x)=sinh(x)1=exex2

    9.7.7 双曲函数与三角函数的关系


    三角函数

    双曲函数

    9.7.8 双曲函数恒等式

    9.7.9 双曲函数加法公式

    9.7.10 双曲函数减法公式

    9.7.11 双曲函数二倍角公式

    9.7.11 双曲函数三倍角公式

    9.7.12 双曲函数半角公式

    9.7.13 双曲函数导数关系

    9.7.14 双曲函数导数关系

    9.7.15 双曲函数级数表示

    展开全文
  • 该代码实现了基于Cordic算法的双曲函数计算,程序用硬件描述语言Verilog实现。并与ISE自带的Cordic算法IP核作了计算比较,可用ISE自带Isim软件仿真。
  • 双曲函数

    千次阅读 多人点赞 2021-10-10 18:54:02
    10.3 反双曲函数 反三角函数中的 ar 代表 arc(弧)【详见本人另一博客中 2.2 描述的三角函数的定义】 反双曲函数中的 ar 代表 area(面积)【详见本人另一博客中 9.7.0 描述的对双曲函数的定义】 双曲函数详见本人...

    10.3 反双曲函数

    反三角函数中的 ar 代表 arc(弧)详见本人另一博客中 2.2 描述的三角函数的定义
    反双曲函数中的 ar 代表 area(面积)详见本人另一博客中 9.7.0 描述的对双曲函数的定义

    双曲函数详见本人另一篇博客:指数函数、对数函数、双曲函数

    下图来自 Wikipedia


    下图来自 Wikipedia

    10.3.1 反双曲正弦函数【 y=arsinh(x) 】

    y = s i n h ( x ) y=sinh(x) y=sinh(x) 通过 y = x y=x y=x 镜像得到 y = a r s i n h ( x ) y=arsinh(x) y=arsinh(x)

    反双曲正弦函数图像

    反双曲正弦函数的指数形式

    反双曲正弦函数的对数形式推导

    反双曲正弦函数的导数推导

    10.3.2 反双曲余弦函数【 y=arcosh(x) 】

    通过限制定义域来使其满足水平线检验


    y = c o s h ( x ) y=cosh(x) y=cosh(x) 通过 y = x y=x y=x 镜像得到 y = a r c o s h ( x ) y=arcosh(x) y=arcosh(x)

    反双曲余弦函数图像

    反双曲余弦函数的指数形式

    反双曲余弦函数的对数形式推导

    反双曲余弦函数的导数推导

    10.3.3 反双曲正切函数【 y=artanh(x) 】

    y = t a n h ( x ) y=tanh(x) y=tanh(x) 通过 y = x y=x y=x 镜像得到 y = a r t a n h ( x ) y=artanh(x) y=artanh(x)

    反双曲正切函数图像

    反双曲正切函数的指数形式

    反双曲正切函数的对数形式推导

    反双曲正切函数的导数推导

    10.3.4 反双曲余切函数【 y=arcoth(x) 】

    y = c o t h ( x ) y=coth(x) y=coth(x) 通过 y = x y=x y=x 镜像得到 y = a r c o t h ( x ) y=arcoth(x) y=arcoth(x)

    反双曲余切函数图像

    反双曲余切函数的指数形式

    反双曲余切函数的对数形式推导

    反双曲余切函数的导数推导

    10.3.5 反双曲正割函数【 y=arsech(x) 】

    通过限制定义域来使其满足水平线检验

    y = s e c h ( x ) y=sech(x) y=sech(x) 通过 y = x y=x y=x 镜像得到 y = a r s e c h ( x ) y=arsech(x) y=arsech(x)

    反双曲正割函数图像

    反双曲正割函数的指数形式

    反双曲正割函数的对数形式推导

    反双曲正割函数的导数推导

    10.3.6 反双曲余割函数【 y=arcsch(x) 】

    y = c s c h ( x ) y=csch(x) y=csch(x) 通过 y = x y=x y=x 镜像得到 y = a r c s c h ( x ) y=arcsch(x) y=arcsch(x)

    反双曲余割函数图像

    反双曲余割函数的指数形式

    反双曲余割函数的对数形式推导

    反双曲余割函数的导数推导

    展开全文
  • 在已知无穷乘积知识的基础上,证明了一个关于双曲函数的无穷乘积定理.根据定理,推广了一些无穷乘积和无穷级数的著名结论.
  • 提出一种双曲函数的方法,并且证明了这种变换方法可以从sinh-Gordon方程中得到。用这种方法和吴消元法,得到一类反应扩散方程的许多显式和精确行波解。这些解包括孤波解,奇性孤波解,周期解和有理函数解。作为反应...
  • 二阶复微分方程双曲函数统解的三种驱动方式及三者之间关系,于力,李峰,用二阶复微分方程统解结构原理证明,单独给出位移初始值,或称为势能驱动,显式解为双曲余弦函数;单独给出速度初始值,或称为动
  • [快乐数学]双曲函数(二)

    千次阅读 2020-12-20 01:17:43
    一咬牙,一狠心还是决定把双曲函数的性质给讲了。1.奇偶性先一个一个慢慢捋,从最基本的几个性质开始。本期只研究y=sinhx和y=coshx两个函数,如无特殊说明,以下所有内容自变量的定义域均为全体实数。研究函数要先从...
  • 双曲函数及其导数

    千次阅读 2021-09-30 18:37:48
    双曲函数shx=ex−e−x2sh x = \frac {e^x-e^{-x}}{2}shx=2ex−e−x​ 双曲余弦函数chx=ex+e−x2ch x= \frac{e^x+e^{-x}}{2}chx=2ex+e−x​ 双曲正切函数thx=shxchxth x= \frac{sh x}{ch x}thx=chxshx​ 双曲余切...
  • 双曲函数 定义

    2021-09-18 12:21:26
    双曲余弦函数 双曲正弦函数 为啥叫余弦、正弦这种跟三角函数名称差不多的名字呢? 我们需要注意,这玩意根本不是三角学,只是它的有些行为有一点像三角函数罢了。 比如: 是不是跟 很相似。 但是...
  • 每日一题 双曲函数的级数
  • 三角函数和双曲函数以及对数函数之间的关系三角函数的双曲函数表三角函数与双曲函数以及对数函数之间的关系 欧拉公式e i x = cos x + isin x , e -i x = cos x - isin x ,i -i e +e cos =2x xx ,i -i e -e sin =2ix ...
  • 三角函数与双曲函数及其导数和不定积分 定义 sin⁡x=eix−e−ix2icos⁡x=eix+e−ix2tan⁡x=eix−e−ix(eix+e−ix)iarcsin⁡x=−iln⁡(1−x2+ix)arccos⁡x=−iln⁡(x2−1+x)arctan⁡x=−i2ln⁡(1+ix1−ix)sh⁡x=ex−e...
  • 转:双曲函数系列

    千次阅读 2019-09-26 10:06:31
    转载链接:... 定义  双曲函数(Hyperbolic Function)包括下列六种函数:  sinh / 双曲正弦: sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2  cosh / 双曲余弦: cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2  ta...
  • 教育资料完美版
  • 一·问题简述:在数学中,双曲函数是与幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一样的一类基本初等函数,它包括双曲正弦函数sinhx,双曲余弦函数coshx,双曲正切函数tanhx等。双曲函数是一类在工程中应用广泛的函数...
  • Python中的双曲函数

    千次阅读 2020-06-21 17:54:58
    Python双曲函数/方法 (Python Hyperbolic functions/methods) In python programming language, there are some of the built-in functions which are defined in math module – they can be used for hyperbolic ...
  • 双曲函数法的延伸和应用,刘建国,曾志芳,孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣,并且在流体物理、固体物理、等离子体物理和光学实验中频频被发现。很
  • NumPy(Numerical Python的缩写)是一个开源的Python科学计算库。...本文主要介绍Python NumPy ufunc 双曲函数(sinh、cosh、arctanh)。 原文地址:Python NumPy ufunc 双曲函数(sinh、cosh、arctanh) ...
  • 双曲函数与反双曲函数

    千次阅读 2016-09-20 16:22:00
    0, 其次,ln(t)(反双曲函数)的定义域对应双曲函数(如cosh(x)等)的值域 因此为了使cosh(x) 具备反函数,所以取x&gt;=0为cosh(x)的定义域,因此arcosh(x)&gt;=0,=&gt;ln(t)中的t必需大于等于1  ...
  • matlab双曲函数

    万次阅读 2018-01-05 16:48:08
    matlab双曲函数matlab:x= -10:0.1:10; sinhx = (exp(x)-exp(-x))/2; coshx = (exp(x)+exp(-x))/2; tanhx = (exp(x)-exp(-x))./(exp(x)+exp(-x)); figure(1),plot(x,sinhx,'r-'),legend('双曲正弦函数sinh(x)'); ...
  • 常见的双曲函数为: cosh⁡t=12(et+e−t),sinh⁡t=12(et−e−t) \cosh t=\frac{1}{2}\left(e^{t}+e^{-t}\right), \quad \sinh t=\frac{1}{2}\left(e^{t}-e^{-t}\right) cosht=21​(et+e−t),sinht=21​(et−e−t) ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 14,690
精华内容 5,876
关键字:

双曲函数

友情链接: 2D_fourbar_no_wear.zip