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  • 指数函数导数
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    2020-09-07 10:15:05

    微积分的本质


    P5 指数函数求导

    • 本节从指数函数的实际意义出发,通过代数运算,推导出指数函数的一般性质
    • 从而引出e的定义,理解所谓“指数函数”的形式的可行性,以及神秘的常数。

    #1 从实际角度看f(x) = 2x

    1. 把2t这个函数看成是随着时间t按照比例增长的人口数量
      在这里插入图片描述

    p.s. 这里如果把2t看成是人口数量,那么函数整个还是比较离散的概念。为了后续按照导数的定义,使得微小变化量有实际意义,往往也会采取将函数值看成是人口总重量。

    1. 定性求解dM/dt(也就是人口重量的微小变化量除以时间的微小变化量)

    ①先来考虑单天的微小变化量的比值

    如下图,考虑从第三天到第四天的微小变化。第三天人口总重为23=8,第四天人口总重为24=16,所以dM=8,而dt=1.
    在这里插入图片描述

    总的来说,多进行几次推导计算(比如从第四天到第五天,增长了16,第五天到第六天增长了32…),不难发现:每天的增长率就等于当天开始时π酱的数量

    于是,做出一个合理猜想——2t的导数等于该函数本身。

    猜想的不合理性:虽然整个趋势预测的并没有错,但是所谓导数的定义,是要在有限小的一个变化趋势中去看比值,比如说1/10,1/100,1/1000这样的微小量。

    1. 定量求解dM/dt
      在这里插入图片描述
      ①微小量比值式的转换

    将2t+dt拆解成2t*2dt;这个变换可以说是指数函数最重要的性质之一,将加法的思想(微小量)转换成乘法的思想(变化率和比率)

    ②提取公因式,将微小量比值式转换成两个分部相乘的形式。

    这一步转换看起来似乎比较平常,也是顺应变化趋势的,但是其实蕴含着一个很重要的思想。
    它将右边式子(关于dt求极限)变得与具体的时间t无关了,所有与确切时间t相关的因子都放在在式子的左边。
    在这里插入图片描述

    而关于右边这个式子的取值,虽然笔记还没有做到极限的内容,但是根据极限的思想和定义,我们都可以知道,右部最终是趋于一个常数的。

    ③得到最终的导数表达式
    在这里插入图片描述
    4. 形如y = ax的导数的一般式子

    形如这样的函数(也即指数函数)的导数都等于自身的一定常数倍。

    而常数的取值和a底数的数值有关。

    #2 指数函数y=ex的重要性

    引出e的原因?
    ——根据前文,我们知道ax的导数就等于其自身乘上某一常数,我们好奇是否存在某个底数a使得函数ax的导数就等于其自身,也就是常数为1.

    1. e的定义
    • ex这样的指数函数,就满足我们的要求——其导数等于自身。
    • 为什么呢?
      ——因为自然指数e就是这样的定义而来的
      在这里插入图片描述
    1. y=ex图像的理解

    性质:该图像上任意一点的切线的斜率都等于这一点到横轴的距离。

    在这里插入图片描述
    3. y=ax导数式中常数的含义

    ①指数复合函数的链式求导法则

    f(x) = e^cx^ f'(x) = ce^cx^

    ②以2x为例来理解导数中常数的意义
    在这里插入图片描述

    按照对数的定义可知2可以写成eln2
    那么可以把一个一般的指数函数2x写成一个自然常数为底的复合指数函数

    从而根据链式法则,推导出——
    y=ax的导数中的常数为lna

    #3 形如y=ect的指数函数

    指数函数有很多可行的表达方式。

    在日常生活或是实际应用中,我们往往会采取将指数函数写成y=ect的形式,因为这样c这个常数的意义可以一目了然。

    1. 在许多自然现象里,变化率都和变化量成正比

    因此——可以建模成指数函数进行求解

    水温变化
    投资的总额增长


    后记

    本文为观察《微积分的本质》B站公开课所做,如果问题欢迎评论或私信交流。

    原视频链接

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    a^xlog_ax 求导的推导做一个总结。

    我以前接触到的推法是:

    首先记住

      (log_ax)'=\frac{1}{x*lna} ,

    之后 a^x的导数可以根据对数的导数推导如下:

    y=a^x , 所以 x = log_ay,俩边求导, 根据复合函数求导法则为:

    (log_ay)'=x'

    \Rightarrow

    y'\frac{1}{y*lna}=1

    \Rightarrow

    y'=y*lna=a^xlna

    或者记住 a^x 的导数,用复合函数求导推 log_ax 的导数。但是个人觉得这种做法太讨巧了,而且我也不是总能记住其中一个的导数是什么,一般是一忘就都忘了。理解一个东西,还是得从定义上去理解,找了一个百度百科的定义:

    导数: 当函数 y=f(x)自变量 x 在一点 x_0 上产生一个增量 \Delta x 时,函数输出值的增量 \Delta y 与自变量增量 \Delta x 的比值在 \Delta x 趋于0时的极限 a 如果存在, a 即为在 x_0 处的导数,记作 f'(x_0)\frac{df(x_0)}{dx}

    既然是定义,那么肯定具有普适性,所以就从定义去推导一下导数。

     

    指数函数导数定义推导

    f'(a^{x_0})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{​{​{a^{x_0 + \Delta x}-a^{x_0}}}}{\Delta x} \\ =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x_0}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}

    y=a^{\Delta x} - 1 , 则有 \Delta x = log_a(y+1) ,则

    f'(a^{x_0})=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{a^{x_0}*y}{log_a(y+1)}\\=a^{x_0}\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{log_a(y+1)^\frac{1}{y}}

    \Delta x \rightarrow 0 时,

    \frac{1}{y}\rightarrow+\infty , 此时 log_a(y+1)^\frac{1}{y}=log_ae,因此:

    f'(a^{x_0})=a^{x_0}*\frac{1}{log_ae}=a^{x_0}*lna

     

    对数函数导数定义推导

    对数函数求导同样:

    f'(log_ax_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{​{log_a(x_0+\Delta x)}-log_ax_0}{\Delta x} \\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}log_a\frac{x_0+\Delta x}{x_0}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}log_a(1+\frac{\Delta x}{x_0})^\frac{1}{\Delta x}\\=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{x_0}log_a(1+\frac{\Delta x}{x_0})^\frac{x_0}{\Delta x}

    \Delta x\rightarrow0 的时候,\frac{x_0}{\Delta x}\rightarrow\infty , 此时

    log_a(1+\frac{\Delta x}{x_0})^\frac{x_0}{\Delta x}=log_ae

    f'(log_ax_0)=\frac{1}{x_0}log_ae=\frac{1}{x_0lna}

    其中 log_ae=\frac{lne}{lna} 是用了换底公式,换底公式的证明:

    有一个等式: c=log_ab, 假设其中 e^x=a, e^y=b

    所以c=log_{e^x}e^y=\frac{y}{x}log_ee

    由于 x=lna, y=lnb ,所以

    c=\frac{y}{x}=\frac{lnb}{lna}

     

    来自:https://zhuanlan.zhihu.com/p/40260702

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  • 指数函数导数  对f(x) = ax求导:  ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):  函数在某...

     

     指数函数的性质

      先来复习一下中学的课程:

    指数函数的导数

      对f(x) = ax求导:

      ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):

      函数在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率,所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率。

      如果y=2x,则,我们仍不知道M(a)是什么,暂且作为悬念。

    e

      我们知道e表示自然对数的底数,暂且不管自然对数到底是什么,只知道它确实存在。e有两个性质:

      1) (ex)’ = ex

      2) ex在x=0的导数是1

      当我们想要继续对f(kx)=2kx,k∈R求导时,根据上节的公式(2),,这并没有解决问题,看起来更复杂了。如果已知函数某一点的导数,就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数,2kx仅仅是2x的压缩或伸展,在x=0处的斜率也不断向左或向右倾斜:

      当k=1/M(2)时,(bx)在x=0处的导数是1,b = e,虽然暂时不知道它的值,但已经知道它确实存在。

    对数的性质

    自然对数的导数

      自然对数是以e为底的对数,简写做ln

      

      y=lne和y=ex互为反函数:

    lnx求导

      对于函数y = lnx,其反函数是ey = x,根据反函数微分法:

    M(a)的真相

      已经做了足够多的准备工作,是时候揭开M(a)的真相了。

      在对指数函数y=ax求导时,我们得出(ax)’=axM(a)。根据对数的性质,elna = a,原函数需要使用对数进行一次变换:

      根据链式求导法则,

      所以,M(a) = ln(a)

    指数函数的求导公式

      由于已经知道了M(a),所以我们终于可以完成对指数函数的求导了。

      对数函数求导公式:(ax)’ = axlna

       示例:

      (10x)’ = 10xln10, (2x)’ = 2x ln2

    对数微分法

      自然对数求导公式:(lnu)’ = u’/u,u是x的函数

      根据该公式,(lnx)’ = x’/x = 1/x

     

      示例1:(lnx)’ = x’/x = 1/x

      示例2:(lnax)’ = (ax)’/ ax = (ax lna) / ax = lna

      示例3:(xx)’

        这个稍微复杂点,不能直接用指数函数求导法则,因为指数也是x,此时需要使用对数做一次转换。

      示例4:(xn)’

      根据幂函数求导公式,(xn)’ = nxn-1,现在使用对数转换对其求解:

      也可以使用对数微分法求解:

      示例5:(lnsecx)’

      (lnsecx)’ = (secx)’/secx = secxtanx/secx = tanx

     e的真相

      先来看一个极限:

      这下麻烦了,似乎没有办法直接求解。然而数学的魅力就在于化繁为简,化不可能为可能。暂且抛开lim,并使用对数转换(1+1/x)x :

      由此得出结论:

    总结

    1. (e^x)’ = e^x,e^x在e^x=0处的导数是1
    2. 指数函数的导数 (ax)’=axlna
    3. (lnx)’ = 1/x
    4. 对数微分法,(lnu)’ = u’/u 
    5.  


      作者:我是8位的

      出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

      本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

     

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    2^x的求导

    前面我们探索了一些常见函数的导数,但是指数函数是非常重要的一种类型。

    1. 从几何上探索

    设t为天数,P(t)为人口数量。离散的图

    要想图像连续就得转成质量,所以P(t)换成M(t)。dM/dt就是质量的微小变化率和天数的微小变化量的比例。

    通过计算我们感觉每天的增长率和函数自身相等,就猜测导数是不是等于函数自身呢?

    但这种猜想不能确定对,我们上面算的是1天的变化率,而导数是dt小之又小的情况下的比率。

    这里开讲人提到并不能找到一个图直接阐述这一过程,所以下面就用代数法。

    2. 从代数上探索

    第一步把2^(t+dt)展成乘法形式

    第二步转成下面形式,注意后一项包含了所有dt,所以前一项和dt无关了

    你用计算器一算会发现这个数逼近于0.6931,所以导数就是2^t * c

    在坐标轴上表示如下。

    3^t算算就是下面这个了,乘的系数变了。

    8^t下如图所示

    可能会发现8的情况正好是2的3倍,但是2和0.6931啥关系,8和2.0794啥关系呢?下面开始探究

    3.找到一个特殊的数e

    首先找到一个底数使系数为1.

    其实e就是为此定义的数。

    你要是问e为啥有这个性质,就像问π为啥是周长和直径的比率。这些数就是这样定义的,没为啥

    4.利用e来求导

    既然找到了e,下面就利用这个e来求普通指数函数的导数。

    首先用链式法则求出e^ct的导数,再把2^t表示成e的形式

    2^t的导数自然就出来了

    声明一下,平时你见不到a^t的形式,因为都可以写成e^ct的形式,这倒是没发现啊

    将指数函数写成e为底的形式是非常正常的,因为k就是上面讨论的那个常数,代表变化率(导数)是其当前自身数量的倍数。


    感悟

    本节就只讨论了指数函数求导咋来的,以及平常指数函数为啥写成以e为底。

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