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  • 带余除法

    2011-04-14 16:51:00
    对任意整数a,b,b>0,存在唯一的整数q,r,使a=bq+r,其中0≤r,这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础。若c|a,c|b,则称c是a,b的公因数。若d是a,b的公因数,且d可被a,b的任意公因数整除则称d是a,b...

    对任意整数a,b,b>0,存在唯一的整数q,r,使a=bq+r,其中0≤r<b,这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础。若c|a,c|b,则称c是a,b的公因数。若d是a,b的公因数,且d可被a,b的任意公因数整除则称d是a,b的最大公因数。当d≥0 时,d是a,b公因数中最大者。若a,b的最大公因数等于1,则称a,b互素。累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

    http://baike.baidu.com/view/1166525.htm#sub1166525

    带余除法   知识点:

    1、用一个正整数m去除另一个正整数n,如果设商数是q ,余数是r,那么m=nq+r  (0rn)                             

    *)式就是著名的余数公式,亦称欧几里德基本定理。其运算过程叫带余除法,这也是我们所熟知的:被除数 = 除数×商+余数    (0≤余数<除数)

    *)式说明了一个十分简单的重要事实:任何一个整数m都可以用(*)式表示,而且这种表示是唯一的。

    2mn除时的余数只能是0123……,(n-1)这n个数中的一个。

    按照被n除得的余数,我们可以把全体整数分类:余数为0的全体整数作第一类,余数为1的全体整数为第二类……,余数为(n-1)的作第n类,共有n个类,这样,每个整数都在某个类中,同一个整数不会在两个不同的类中出现。

    例如:取n=2 便得到大家知道的奇数、偶数两大类。取n=3 因为任何整数被3除得的余数是012之一,即每个整数必是3k3k+13k+2之一,其中k为整数。

    同理,每个整数都是4k,4k+1,4k+2,4k+3之一,其中k是整数有些整数问题需要把整数按上面的方式分类,然后解释说明,往往能立竿见影解决问题。

    注意:应用这种分类方法时,应把每个类都考虑,不可遗漏,也不可重复。

    1:已知ab都是整数,求证:a+baba-b这三个数中,至少有一个是3的倍数。

    分析:设b=3n 3n+1 3n+2

    2 7142719的积被7除,余数是几?

    分析:71427=71400+27=71400+21+6=7m+6            19=14+5=7n+2

    71427×19=(7m+6)( 7n+2)=……=7k+12=7(k+1)+5

    3ab都是整数,a除以72b除以75,则a2+3b除以7得到的余数十多少?

    分析:设a=7m+2b=7n+5     a2+3b=(7m+2)2+7n+5=7k+4+7n+5=7(k+n+1)+2

    41270除以某个自然数,其商为74,求除数与余数。

    5:“三三数之剩二,五五数之无剩余,七七数之剩四”,求满足条件的最小的自然数。

    分析:设满足条件的最小的自然数为x,则x=3a+2x=5bx=7c+4

    6:一个整数,除357262205得到相同的余数,求这个整数。

    分析:设这个整数是x ,则357= ax+r   262=bx+r   205=cx+r

    所以 (a-b)x=95  (b-c)x=57   x9557的公约数

    7:证明:没有xy存在,使等式x2y21995(xyZ)成立.

    分析:假设有整数xy存在,使x2y21995成立。

    x2y2被4除余数为0或1.x2y2被4除余数为0,1或2.

     又∵1995被4除余数为3.∴得出矛盾,假设不成立.故没有整数xy存在,使x2y21995成立

    1、已知N除以4的余数为3,求N除以12的余数

    http://eblog.cersp.com/userlog17/36997/archives/2007/372794.shtml

    转载于:https://www.cnblogs.com/Cmpl/archive/2011/04/14/division_with_remainder.html

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  • 2.带余除法 初等数论 2.带余除法2.带余除法2.带余除法
  • 1009:带余除法

    2019-01-07 15:15:15
    1009:带余除法 给定被除数和除数,求整数商及余数。此题中请使用默认的整除和取余运算,无需对结果进行任何特殊处理。

    【题目描述】

    给定被除数和除数,求整数商及余数。此题中请使用默认的整除和取余运算,无需对结果进行任何特殊处理。

    【输入】

    一行,包含两个整数,依次为被除数和除数(除数非零),中间用一个空格隔开。

    【输出】

    一行,包含两个整数,依次为整数商和余数,中间用一个空格隔开。

    【输入样例】

    10 3
    

    【输出样例】

    3 1
    

    【来源】

    No

    【例程】

    #include <iostream>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int A,B;
        cin>>A>>B;
        cout<<A/B<<" "<<A%B;
        return 0;
    }
    

    【解析】

    题目难度:非常简单
    本题主要考察输入输出语句以及变量的计算。
    知识点见下方链接:
    C++知识点之输入输出

    展开全文
  • 带余除法的证明

    千次阅读 2018-04-07 17:52:54
    首先先说一下整除的概念整除:设a , b是两个整数,且b!...接下来就是带余除法的定义及其证明:带余除法:设a , b是两个整数,且b != 0,则存在唯一的整数 q , r (0 &lt;= r &lt; |b|),使得 ...

    首先先说一下整除的概念

    整除:设a , b是两个整数,且b!=0 .如果存在整数 c ,使得 a = b * c,则称a被b整除,或 b 整除 a ,记做 b|a 

               此时,又称 a 是 b 的倍数, b 是 a 的因子。



    接下来就是带余除法的定义及其证明:

    带余除法:设a , b是两个整数,且b != 0,则存在唯一的整数 q , r (0 <= r < |b|),使得

                      a = q * b + r , (0 <= r < |b|)


    证明带余除法:

    —————————————————————————————————————————————

    1. 我们首先要证明 0<= r <b:

        设集合 S 是a - b * k 组成的所有整数,其中 k 为整数,即s={a - b * k | k Z} .设T是S中所有非负整数组成

        得集合。

        则T是非空的(因为当k等于由(小于a / b的集合中)的整数时,b * k < a, 所以此时a - b * k>0,所以T非

        空)。所以易得T中得最小元素 r = a - b * q(此处的r , q与带余除法中得意义一样)。且r >= 0(因为T是非

        负集合) 且r < b(我们可以用反证法来证明 r < b,如果r >= b ,则  r > r - b >= 0,则r - b=a - b * (q+1) 

        >= 0,所以此时r-b是T中得最小元素,这一推论与r是T中最小元素相悖

        所以 a = b * q + r, ( 0 <= r < b);

    2 .接下来我们要证明q r 是惟一的:

        我们假定有两个方程  a = b * q1 +r1 a = b * q2 + r2,(0 <= r1< b,0 <= r2 < b);两式相减得

                                              r2 - r1 =b * (q1 - q2)

        其中q != 0,所以 b 整除r2 - r1,即 b|( r2- r1)

       0 <= r1< b,0<= r2<b,所以-b < r2- r1 < b.所以结合 b|( r2 - r1), r2 - r1只能等于0,所以r2== r1.

       又因为b * q1+ r1 == b * q2 + r2,所以q2==q1;

       所以 q r 是惟一的。


    以上我们可以得到对于两个整数a,b,当b!=0时,存在惟一的整数q , r(0 <= r <b),使得

    a=q * b +r (0 <= r <b);


    证毕

    —————————————————————————————————————————————





      

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  • 1009-带余除法

    2019-08-02 19:32:38
    1009:带余除法 时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB 提交数: 37920 通过数: 25547 【题目描述】 给定被除数和除数,求整数商及余数。此题中请使用默认的整除和取余运算,无需对结果进行任何特殊处理。 【输入】 ...

    1009:带余除法

    时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB
    提交数: 37920 通过数: 25547
    【题目描述】
    给定被除数和除数,求整数商及余数。此题中请使用默认的整除和取余运算,无需对结果进行任何特殊处理。

    【输入】
    一行,包含两个整数,依次为被除数和除数(除数非零),中间用一个空格隔开。

    【输出】
    一行,包含两个整数,依次为整数商和余数,中间用一个空格隔开。

    【输入样例】
    10 3
    【输出样例】
    3 1
    【来源】
    No

    代码:

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    int main(){
    	int a,b;
    	cin>>a>>b;
    	cout<<a/b<<" "<<a%b<<endl;//也可以是printf("%d %d",a/b,a%b);
    	return 0;
    }
    
    展开全文
  • 1009:带余除法 时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB 提交数: 80517 通过数: 53162 【题目描述】 给定被除数和除数,求整数商及余数。此题中请使用默认的整除和取余运算,无需对结果进行任何特殊处理。 【输入】 ...
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