微分方程 订阅
微分方程,是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向,但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解,仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时,可以利用数值分析的方式,利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析,而许多数值方法可以计算微分方程的数值解,且有一定的准确度。 展开全文
微分方程,是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛,可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。此外,微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向,但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解,仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时,可以利用数值分析的方式,利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析,而许多数值方法可以计算微分方程的数值解,且有一定的准确度。
信息
外文名
differential equation
发明人
艾萨克·牛顿
理论基础
极限理论
中文名
微分方程
所属学科
高等数学
微分方程介绍
含有未知函数的导数,如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程 [1]  。
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  • 微分方程

    千次阅读 多人点赞 2017-10-11 09:37:21
    微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 齐次方程 一阶线性微分方程 线性方程 可降阶的高阶微分方程 ynfxynfx型的微分方程 yfxyyfxy型的微分方程 yfyyyfyy型的微分方程 高阶线性微分方程 二阶线性微分方程举例...

    微分方程的基本概念

    1. 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程,有时也简称方程
    2. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶,如x3y+x2y4xy=3x2是三阶微分方程,y(4)4y+10y12y+5y=sin2x是四阶微分方程
    3. 一般的,n阶微分方程的形式是
      F(x,y,y...,y(n))=0
      ,其中y(n)必须出现,而x,y,y,...,y(n1)等变量则可以不出现,例如n阶微分方程
      y(n)+1=0
    4. 首先建立微分方程,然后找出满足微分方程的函数(解微分方程),把这函数代入微分方程能使该方程称为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解
    5. 如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解。如y=x2+Cdydx=2x的通解
    6. 确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解。例如y=x2+1dydx=2x满足条件x=1y=2的特解
    7. 求微分方程y=f(x,y)满足初始条件y|x=x0=y0的特解这样一个问题,叫做一阶微分方程的初值问题,记作
      {y=f(x,y)y|x=x0=y0
    8. 微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线。上述初值问题的几何意义,就是求微分方程的通过点(x0,y0)的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题
      {y=f(x,y,y)y|x=x0=y0,y|x=x0=y0
      的几何意义,是求微分方程的通过点(x0,y0)且在该点处的切线斜率为y0的那条积分曲线

    可分离变量的微分方程

    1. 一般的,如果一个一阶微分方程能写成
      g(y)dy=f(x)dx
      的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程
    2. 例:求微分方程
      (1)dydx=2xy
      的通解:
      上述方程式可分离变量的,分离变量后得:
      dyy=2xdx
      ,两端积分:dyy=2xdx,得ln|y|=x2+C1,从而y=±ex2+C1=±eC1ex2。因为±eC1是任意非零常数,又y0也是方程(1)的解;故得方程(7)的通解
      y=Cex2

    齐次方程

    1. 如果一阶微分方程可化为
      (1)dydx=φ(yx)
      的形式,那么就称这方程为齐次方程。例如
      (xyy2)dx(x22xy)dy=0
      是齐次方程,因为它可化成
      dydx=yx(yx)212(yx)
    2. 例:解方程
      y2+x2dydx=xydydx
      ,原方程可写成
      dydx=y2xyx2=(yx)2yx1
      ,因此是齐次方程,令yx=u,则
      y=uxdydx=u+xdudx
      ,于是原方程变为
      xdudx=uu1
      ,分离变量得
      uln|u|+C=ln|x|
      ,或写为
      ln|xu|=u+C
      ,将yx代入上式中的u,便得到所给方程的通解为
      ln|y|=yx+C

    一阶线性微分方程

    线性方程

    1. 方程
      (1)dydx+P(x)y=Q(x)
      叫做一阶线性微分方程,因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q(x)0,则方程(1)称为齐次的;如果Q(x)0,则方程(1)称为非齐次的
    2. 设(1)为非齐次线性方程,为了求出非齐次线性方程(1)的解,先把Q(x)换成零而写出方程
      (2)dydx+P(x)y=0
      ,方程(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。方程(2)是可分离变量的,分离变量后得
      dyy=P(x)dx
      ,两端积分,得
      ln|y|=0P(x)dx+C1
      ,或
      y=CeP(x)dxC=±eC1
      ,这是对应的齐次线性方程(2)的通解
    3. 使用常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解,将(2)的通解中的C换成x的未知函数u(x),即作变换
      (3)y=ueP(x)dx
      ,于是
      (4)dydx=ueP(x)dxuP(x)eP(x)dx
      ,将(3)和(4)代入方程(1)得
      ueP(x)dxuP(x)eP(x)dx+P(x)ueP(x)dx=Q(x)
      ,即
      ueP(x)dx=Q(x)u=Q(x)eP(x)dx
      ,两端积分,得
      u=Q(x)eP(x)dxdx+C
      ,把上式代入(3),便得非齐次线性方程(1)的通解
      (5)y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)
      ,把(5)式改写成两项之和
      y=CeP(x)dx+eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx
      由此可知,一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和
    4. 例:求方程
      dydx2yx+1=(x+1)52
      的通解.
      解:这是一个非齐次线性方程,先求对应的齐次方程的通解.
      dydx2x+1y=0
      dyy=2dxx+1
      ln|y|=2ln|x+1|+ln|C1|
      (6)y=C(x+1)2
      ,那么
      dydx=u(x+1)2+2u(x+1)
      ,代入所给非齐次方程,得
      u=(x+1)12
      ,两端积分,得
      u=23(x+1)32+C
      ,再把上式代入(6)式,即得所求方程的通解为
      y=(x+1)2[23(x+1)32+C]

    可降阶的高阶微分方程

    二阶及二阶以上的微分方程,即所谓高阶微分方程

    y(n)=f(x)型的微分方程

    1. 微分方程
      (2)y(n)=f(x)
      的右端仅含有自变量x,容易看出,只要把y(n1)作为新的未知函数,那么(2)式就是新未知函数的一阶微分方程。两边积分,就得到一个n阶的微分方程
      y(n1)=f(x)dx+C1
      ,同理可得
      y(n2)=[f(x)dx+C1]dx+C2
      ,依此法继续进行,接连积分n次,便得到方程(2)的含有n个任意常数的通解
    2. 例:求微分方程
      y=e2xcosx
      的通解
      解:对所给方程接连积分三次,得:
      y=12e2xsinx+C
      y=14e2x+cosx+Cx+C2
      y=18e2x+sinx+C1x2+C2x+C3C1=C2
      这就是所求的通解

    y=f(x,y)型的微分方程

    1. 方程
      (7)y=f(x,y)
      的右端不显含未知函数y。如果我们设y=p,那么
      y=dpdx=p
      ,而方程(7)就成为
      p=f(x,p)
      。这是一个关于变量xp的一阶微分方程,设其通解为
      p=φ(x,C1)
      ,但是p=dydx,因此又得到一个一阶微分方程
      dydx=φ(x,C1)
      ,对它进行积分,便得到方程(7)的通解为
      y=φ(x,C1)dx+C2
    2. 例:求微分方程
      (1+x2)y=2xy
      满足初始条件
      y|x=0=1y|x=0=3
      的特解
      解:所给方程式y=f(x,y)型的,设y=p,代入方程并分离变量后,有
      dpp=2x1+x2dx
      两端积分,得
      ln|p|=ln(1+x2)+C
      p=y=C1(1+x2)C1=±eC
      ,由条件y|x=0=3,得
      C1=3
      所以
      y=3(1+x2)
      两端再积分,得
      y=x3+3x+C2
      。又由条件y|x=0=1,得
      C2=1
      ,于是所求的特解为
      y=x3+3x+1

    y=f(y,y)型的微分方程

    1. 方程
      (11)y=f(y,y)
      中不明显地含自变量x,为了求出它的解,我们令y=p,并利用复合函数的求导法则把y化为对y的导数,即
      y=dpdx=dpdydydx=pdpdy
      ,这样,方程(11)就成为
      pdpdy=f(y,p)
      这是一个关于变量yp的一阶微分方程,设它的通解为
      y=p=φ(y,C1)
      ,分离变量并积分,便得方程(11)的通解为
      dyφ(y,C1)=x+C2
    2. 例:求微分方程
      (12)yyy2=0
      的通解
      解:方程(12)不明显地含自变量x,设
      y=py=pdpdy
      代入方程(12),得
      ypdpdyp2=0
      ,在y0p0时,约去p并分离变量,得
      dpp=dyy
      。两端积分,得
      ln|p|=ln|y|+C
      ,即
      p=C1yy=C1yC1=±eC
      再分离变量并两端积分,便得方程(12)的通解为
      ln|y|=C1x+C2
      ,或
      y=C2eC1xC2=±eC2

    高阶线性微分方程

    二阶线性微分方程举例

    如方程

    d2ydx2+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)
    叫做二阶线性微分方程,当方程右端f(x)0时,方程叫做齐次的;当f(x)0时,方程叫做非齐次的

    线性微分方程的解的结构

    对于二阶齐次线性方程

    (6)y+P(x)y+Q(x)y=0

    1. 如果函数y1(x)y2(x)是方程(6)的两个解,那么
    (7)y=C1y1(x)+C2y2(x)
    也是(6)的解,其中C1C2是任意常数
    2. 设y1(x),y2(x),...,yn(x)为定义在区间I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数k1,k2,...,kn,使得当xI时有恒等式
    k1y1+k2y2+...+knyn0
    成立,那么称这n个函数在区间I上线性相关;否则称线性无关
    3. 如果y1(x)y2(x)是方程(6)的两个线性无关的特解,那么
    y=C1y1(x)+C2y2(x)C1C2
    就是方程(6)的通解
    4. 如果y1(x),y2(x),...,yn(x)n阶齐次线性方程
    y(n)+a1(x)y(n1)+...+an1(x)y+an(x)y=0
    n个线性无关的解,那么,此方程的通解为
    y=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x)
    ,其中C1,C2,...,Cn为任意常数
    5. 设y(x)是二阶非齐次线性方程
    (5)y+P(x)y+Q(x)y=f(x)
    的一个特解,Y(x)是与(5)对应的齐次方程(6)的通解,那么
    (8)y=Y(x)+y(x)
    是二阶非齐次线性微分方程(5)的通解
    6. 设非齐次线性方程(5)的右端f(x)是两个函数之和,即
    (9)y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x)
    y1(x)y2(x)分别是方程
    y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)
    y+P(x)y+Q(x)y=f2(x)
    的特解,那么y1(x)+y2(x)就是原方程的特解

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  • matlab常微分方程和常微分方程组的求解-matlab常微分方程和常微分方程组的求解.pdf matlab常微分方程和常微分方程组的求解
  • 附:微分方程的分类:常微分方程和偏微分方程。1、常微分方程(ODE)是指微分方程的自变量只有一个的方程。最简单的常微分方程,未知数是一个实数或是复数的函数,但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数,后者可...
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    附:
    微分方程的分类:常微分方程和偏微分方程。
    1、常微分方程(ODE)是指微分方程的自变量只有一个的方程。最简单的常微分方程,未知数是一个实数或是复数的函数,但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数,后者可对应一个由常微分方程组成的系统。
    2、偏微分方程(PDE)是指微分方程的自变量有两个或以上,且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程,但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程,尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。
    有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中,这种偏微分方程则称为混合型。
    常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。
    一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的;如果有解而又不是唯一的,那又不好确定。因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。

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  • 附:微分方程的分类:常微分方程和偏微分方程。1、常微分方程(ODE)是指微分方程的自变量只有一个的方程。最简单的常微分方程,未知数是一个实数或是复数的函数,但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数,后者可...
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    附:
    微分方程的分类:常微分方程和偏微分方程。
    1、常微分方程(ODE)是指微分方程的自变量只有一个的方程。最简单的常微分方程,未知数是一个实数或是复数的函数,但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数,后者可对应一个由常微分方程组成的系统。
    2、偏微分方程(PDE)是指微分方程的自变量有两个或以上,且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程,但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程,尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。
    有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中,这种偏微分方程则称为混合型。
    常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。
    一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的;如果有解而又不是唯一的,那又不好确定。因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。

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  • 前面我们讨论的都是一阶微分方程,在这一章我们讨论二阶以及二阶以上的微分方程。对于n阶线性微分方程:其中:及f(t)都是区间上的连续函数。如果 ,那么方程(1)就变为我们称其为n阶齐次微分方程,而(1)称为n阶非齐次...

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    前面我们讨论的都是一阶微分方程,在这一章我们讨论二阶以及二阶以上的微分方程。

    对于n阶线性微分方程:

    其中:及f(t)都是区间上的连续函数。

    如果 ,那么方程(1)就变为

    我们称其为n阶齐次微分方程,而(1)称为n阶非齐次方程,并且把(2)叫做对应于(1)的齐次微分方程。

    下面不加证明地给出(1)的解的存在唯一定理:(证明要用到微分方程组的知识,在这里不讨论)

    定理一:如果 都是区间 上的连续函数,那么对于任一 和任意的

    方程 (1)存在唯一的解 ,定义于区间 上,且满足初值条件

    下面我们讨论齐次线性微分方程微分方程的解的性质以及结构:

    首先:依据高等代数的知识我们很容易知道叠加原理:

    定理二(叠加定理):如果是方程(2)的解,那么其线性组合,也就是:

    是(2)的解。

    依据第二章的内容我们知道,我们要求的就是(2)的通解。

    在这里给出几个高等代数的概念1.线性相关与线性无关
    考虑定义在区间 的函数

    如果存在不全为 0 的常数 使得等式:

    对任意t恒成立,我们称这些函数为线性相关,否则就为线性无关。

    2.朗斯基行列式
    由定义于在区间 上的 k 个可微 k-1 次的函数 所做的行列式:

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    称为这些函数的朗斯基行列式。

    定理三: 若函数 在区间 上线性相关,则在区间[a,b]上它们的朗斯基 行列式

    证明:由条件即知,存在一组不全为0的常数使得

    对t微分得到:

    那么(5)是(4)的关于的齐次线性方程组,它的系数行列式即为W(t),当(4)有有非零解时,(5)的系数行列式就为0.证毕。

    (注:逆定理不成立,例如给定函数

    在区间[-1,1]上,我们知道W(t)恒等于0,但是对于

    我们得到当且仅当 也即是 线性无关,所以逆定理不成立)

    定理四: 如果( 2 )的解 在区间 上线性无关, 则 在这个区间的任意一点均不为0.

    证明:我们采用反证法,假设存在一点 使得 ,那么考虑方程组:

    由于其系数行列式为0,由高等代数知识知道存在非零解,我们构造

    那么:x(t)就是满足初值条件

    的(2)通解,同时我们知道x=0也是满足该初值条件的(2)的解,由解的唯一性知道:x(t)=0,那么:

    同时 不全为 0,那么此时 线性相关,矛盾,证毕。

    (:由定理三与定理四我们知道朗斯基行列式W(t)只有两种取值情况,要么恒等于0,要么就不等于0,我们又知道当是连续时,W(t)也为连续,那么当W(t)不等于0时,W(t)要么恒正要么恒负(证明思路是利用数分的介值存在定理))

    定理五:n阶齐次线性微分方程(2)一定存在n个线性无关的解。

    证明:由上面的知识我们知道:只要朗斯基行列式W(t)一个值不为0,就可以得到n个线性无关的解,而朗斯基行列式的不为0值我们可以通过初值条件来构造,我们可以构造如下:

    那么 ,证毕.

    定理六 : 如果 为(2) 线性无关的解,那么方程(2)的通解就为:

    其中 是任意常数.

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  • 附:微分方程的分类:常微分方程和偏微分方程。1、常微分方程(ODE)是指微分方程的自变量只有一个的方程。最简单的常微分方程,未知数是一个实数或是复数的函数,但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数,后者可...
  • 微分方程是微积分学方程中常见的,应用非常广泛的方程,下面就来讨论常微分方程中最简单的变量分离微分方程。设一阶微分方程式:其中f(x,y)是给定的函数,我们要做的工作是求微分方程的解y=y(x),可是一般不能用...
  • 微分方程中,线性方程理论占有非常重要的地位,这不仅因为线性微分方程最简单、其一般理论也被研究的十分清楚,而且微分方程是研究非线性微分方程的基础。[1]在实际物理问题的数学模型中,线性微分方程非常常见,...
  • 高阶微分方程1、微分方程的基本概念1.1微分方程的定义1.2 解微分方程1.3 基本概念2、一阶微分方程2.1 微分方程的解2.2 微分方程的通解不一定包括所有的解2.3 微分方程解法一——可分离变量的微分方程2.3.1 可分离...
  • matlab开发-微分方程微分方程的势场分布。该程序的目标是求解微带线中的稳态电压场。
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  • 前言:下面有些说法不是很严谨,主要目的是传达解题思想而已微分方程对于我们的要求就只是要求会计算一阶和二阶微分方程就好,而且都是很基础的。但是由于二阶微分方程我们只学了二阶常系数微分方程,但是有时会出现...
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  • 微分方程 指描述未知函数的导数与自变 量之间的关系的方程未知函数是一元函 数的微分方程称作 常微分方程 未知函数 是多元函数的微分方程称作 偏微分方程 MATLAB matrix&laboratory 意为矩 阵工厂矩阵实验室 ....
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  • 微分方程这部分内容,每年试题一般是一个小题,也会和其它知识点结合在一起出一个大题,分数一般在4分左右,难度不是很大。除了各种微分方程的求解,对常系数线性微分方程解的结构和性质的考查也是考试的一个重要...

空空如也

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