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  • 基本初等函数
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    2021-06-26 08:56:48

    初等函数

      基本初等函数分为如下5类:

    1. 幂函数,如 y = x μ y = x^{\mu} y=xμ
    2. 指数函数,如 y = a x y = a^x y=ax
    3. 对数函数,如 y = l o g a x y = log_{a}x y=logax
    4. 三角函数,如 y = s i n    x y = sin \; x y=sinx
    5. 反三角函数,如 y = a r c s i n    x y = arcsin \; x y=arcsinx

      初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。

    二次函数

      一般地,把形如 y = a x 2 + b x + c    ( a ≠ 0 ) y = ax^2 + bx + c \; (a \neq 0) y=ax2+bx+c(a=0)的函数叫做二次函数,其中 a a a称为二次项系数 b b b一次项系数 c c c常数项x为自变量,y为因变量。
      二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路径,我们把它叫做抛物线。对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最高点或最低点。
      当 a > 0 a > 0 a>0时,抛物线 y = a x 2 y = ax^2 y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,开口向上,顶点是抛物线的最低点, a a a越大,抛物线的开口越小。
      当 a < 0 a < 0 a<0时,抛物线 y = a x 2 y = ax^2 y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,开口向下,顶点是抛物线的最高点, ∣ a ∣ \left | a \right | a越大,抛物线的开口越小。
      抛物线 y = a x 2 + k y = ax^2 + k y=ax2+k的图像可由 y = a x 2 y = ax^2 y=ax2图像向上或向下平移得到:当 k > 0 k > 0 k>0,向上平移;当 k < 0 k < 0 k<0,向下平移。
      抛物线 y = a x 2 + k y = ax^2 + k y=ax2+k的性质:

    1. a > 0 a > 0 a>0时,开口向上;当 a < 0 a < 0 a<0时,开口向下。
    2. 对称轴是y轴。
    3. 顶点坐标是 ( 0 ,    k ) (0, \; k) (0,k)
    4. ∣ a ∣ \left | a \right | a越大,开口越小。

      抛物线 y = a ( x − h ) 2 y = a(x - h)^2 y=a(xh)2的性质:

    1. a > 0 a > 0 a>0时,开口向上;当 a < 0 a < 0 a<0时,开口向下。
    2. 对称轴是 x = h x = h x=h
    3. 顶点坐标是 ( h ,    0 ) (h, \; 0) (h,0)
    4. ∣ a ∣ \left | a \right | a越大,开口越小。

      抛物线左右移动的原则是左加右减

    1. 把抛物线 y = − 1 2 x 2 \displaystyle{y = -\frac{1}{2}x^2} y=21x2向左平移1个单位,就得到抛物线 y = − 1 2 ( x + 1 ) 2 \displaystyle{y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2} y=21(x+1)2
    2. 把抛物线 y = − 1 2 x 2 \displaystyle{y = -\frac{1}{2}x^2} y=21x2向右平移1个单位,就得到抛物线 y = − 1 2 ( x − 1 ) 2 \displaystyle{y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2} y=21(x1)2

      抛物线 y = a ( x − h ) 2 + k y = a(x - h)^2 + k y=a(xh)2+k的性质:

    1. a > 0 a > 0 a>0时,开口向上;当 a < 0 a < 0 a<0时,开口向下。
    2. 对称轴是 x = h x = h x=h
    3. 顶点坐标是 ( h ,    k ) (h, \; k) (h,k)
    4. ∣ a ∣ \left | a \right | a越大,开口越小。

      把函数 y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y=ax2+bx+c通过配方法变成顶点式 y = a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a \displaystyle{y = ax^2 + bx + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}} y=ax2+bx+c=a(x+2ab)2+4a4acb2,其中对称轴是 x = − b 2 a \displaystyle{x = -\frac{b}{2a}} x=2ab,顶点是 ( − b 2 a ,    4 a c − b 2 4 a ) \displaystyle{(-\frac{b}{2a}, \; \frac{4ac - b^2}{4a})} (2ab,4a4acb2)
      二次函数 y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y=ax2+bx+c的图像与x轴交点的个数:

    1. 如果 b 2 − 4 a c > 0 b^2 - 4ac > 0 b24ac>0,则有2个交点。
    2. 如果 b 2 − 4 a c = 0 b^2 - 4ac = 0 b24ac=0,则有1个交点。
    3. 如果 b 2 − 4 a c < 0 b^2 - 4ac < 0 b24ac<0,则没有交点。

    指数函数

      一般地,函数 y = a x    ( a > 0 且 a ≠ 1 ) y = a^x \; (a > 0且a \neq 1) y=ax(a>0a=1)叫做指数函数,函数的定义域是R。指数函数都经过点 ( 0 ,    1 ) (0, \; 1) (0,1)
      当 a > 1 a > 1 a>1时,指数函数都是增函数;当 0 < a < 1 0 < a < 1 0<a<1时,指数函数都是减函数。

    幂函数

      一般地,函数 y = x α y = x^\alpha y=xα称为幂函数,其中x是自变量, α \alpha α是常量。
      当 α > 0 \alpha > 0 α>0时,幂函数 y = x α y = x^\alpha y=xα有下列性质:

    1. 图像都经过点 ( 1 ,    1 ) (1, \; 1) (1,1) ( 0 ,    0 ) (0, \; 0) (0,0)
    2. 函数的图像在区间 [ 0 ,    + ∞ ) [0, \; +\infty) [0,+)上是增函数。

      当 α < 0 \alpha < 0 α<0时,幂函数 y = x α y = x^\alpha y=xα有下列性质:

    1. 图像都经过点 ( 1 ,    1 ) (1, \; 1) (1,1)
    2. 函数的图像在区间 ( 0 ,    + ∞ ) (0, \; +\infty) (0,+)上是减函数。

      当 α \alpha α为奇数时,幂函数是奇函数;当 α \alpha α为偶数时,幂函数是偶函数。

    对数函数

      一般地,函数 y = l o g a x    ( a > 0 且 a ≠ 1 ) y = log_{a}x \; (a > 0且a \neq 1) y=logax(a>0a=1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是 ( 0 ,    + ∞ ) (0, \; +\infty) (0,+),值域为R。指数函数过点 ( 0 ,    1 ) (0, \; 1) (0,1)
      当 a > 1 a > 1 a>1时,具有如下性质:

    1. 0 < x < 1 0 < x < 1 0<x<1时, y < 0 y < 0 y<0;当 x > 1 x > 1 x>1时, y > 0 y > 0 y>0
    2. ( 0 ,    + ∞ ) (0, \; +\infty) (0,+)上是增函数。

      当 0 < a < 1 0 < a < 1 0<a<1时,具有如下性质:

    1. 0 < x < 1 0 < x < 1 0<x<1时, y > 0 y > 0 y>0;当 x > 1 x > 1 x>1时, y < 0 y < 0 y<0
    2. ( 0 ,    + ∞ ) (0, \; +\infty) (0,+)上是减函数。

    反函数

      设函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)的定义域是D,值域是f(D),如果对于值域f(D)中的每一个y,在D中有且只有一个x使得 g ( y ) = x g(y) = x g(y)=x,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数,并把该函数称为函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)反函数,记为 x = f − 1 ( y ) ,    y ∈ f ( D ) x = f^{-1}(y), \; y \in f(D) x=f1(y),yf(D)
      函数 f f f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数 f − 1 f^{-1} f1的值域和定义域,并且 f − 1 f^{-1} f1的反函数就是 f f f,也就是说,函数 f f f f − 1 f^{-1} f1互为反函数。
      相对于反函数 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f1(x)来说,原来的函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线 y = x y = x y=x对称。

    分段函数

      分段函数:对于自变量x的不同的取值范围,有着不同的解析式的函数,例如 f ( x ) = { 1 0 x x ≤ 1 x x > 1 f(x) = \left\{\begin{matrix} 10^x & x \le 1 \\ x & x > 1 \end{matrix}\right. f(x)={10xxx1x>1。它是一个函数,而不是几个函数。
      分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。

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    0、常用基本初等函数的求导公式

    在这里插入图片描述

    1、 a x a^x ax e x e^x ex的导数

    根据导数的定义
    d d x a x = lim ⁡ Δ x → 0 a x + Δ x − a x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 a x ⋅ a Δ x − a x Δ x = a x lim ⁡ Δ x → 0 a Δ x − 1 Δ x \frac{d}{dx}a^x=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^x\cdot a^{\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} dxdax=Δx0limΔxax+Δxax=Δx0limΔxaxaΔxax=axΔx0limΔxaΔx1
    令 M ( a ) = lim ⁡ Δ x → 0 a Δ x − 1 Δ x \text{令}M\left( a \right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} M(a)=Δx0limΔxaΔx1
    则 d d x a x = a x M ( a ) \text{则}\frac{d}{dx}a^x=a^xM\left( a \right) dxdax=axM(a)
    由于
    M ( a ) = lim ⁡ Δ x → 0 a Δ x − 1 Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 a 0 + Δ x − a 0 Δ x = d d x a x ∣ x = 0 M\left( a \right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{0+\Delta x}-a^0}{\Delta x}=\left. \frac{d}{dx}a^x \right|_{x=0} M(a)=Δx0limΔxaΔx1=Δx0limΔxa0+Δxa0=dxdaxx=0
    M ( a ) M(a) M(a)为函数图像 y = a x y=a^x y=ax x = 0 x=0 x=0处切线的斜率,如图所示
    在这里插入图片描述
    考虑是否存在 b b b使 M ( b ) = 1 M(b)=1 M(b)=1
    a = 2 a=2 a=2,函数图像如图所示,割线(secant line)经过点 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2),其斜率为1,所以可得 M ( 2 ) < 1 M(2)<1 M(2)<1
    在这里插入图片描述
    a = 4 a=4 a=4,函数图像如图所示,割线(secant line)经过点 ( − 1 2 , 1 2 ) (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) (21,21) ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2),其斜率为1,所以可得 M ( 4 ) > 1 M(4)>1 M(4)>1
    在这里插入图片描述
    所以存在 b ∈ ( 2 , 4 ) b\in(2,4) b(2,4)使 M ( b ) = 1 M(b)=1 M(b)=1
    实际上 M ( e ) = 1 ( e 为 自 然 常 数 ) M(e)=1 (e为自然常数) M(e)=1(e)
    详见:
    谈谈高等数学中自然常数e的来历
    The Enigmatic Number e: A History in Verse and Its Uses in the Mathematics Classroom

    现在我们有 M ( e ) = 1 M(e)=1 M(e)=1,即可得
    M ( e ) = lim ⁡ Δ x → 0 e Δ x − 1 Δ x = 1 ( 实 际 上 此 极 限 也 可 从 e 的 定 义 推 导 可 得 , 从 而 通 过 导 数 的 定 义 计 算 e x 的 导 数 ) M\left( e \right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1 (实际上此极限也可从e的定义推导可得,从而通过导数的定义计算e^x的导数) M(e)=Δx0limΔxeΔx1=1(eex)
    可计算出导数
    d d x e x = e x \frac{d}{dx}e^x=e^x dxdex=ex
    回到计算 a x a^x ax,通过将 a x a^x ax化为以 e e e为底的指数,来计算其导数
    d d x a x = d d x e x ln ⁡ a = ( ln ⁡ a ) e x ln ⁡ a = a x ln ⁡ a \frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=\left( \ln a \right) e^{x\ln a}=a^x\ln a dxdax=dxdexlna=(lna)exlna=axlna

    2、 l o g a x log_ax logax l n x lnx lnx的导数

    2.1 l n x lnx lnx的导数

    令    y = ln ⁡ x   则    e y = x \text{令\,\,}y=\ln x\ \text{则\,\,}e^y=x y=lnx ey=x
    d d x ( e y = x )   ⇒ e y ⋅ d y d x = 1 \frac{d}{dx}\left( e^y=x \right) \ \Rightarrow e^y\cdot \frac{dy}{dx}=1 dxd(ey=x) eydxdy=1
    d y d x = 1 e y = 1 x \frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} dxdy=ey1=x1

    2.2 l o g a x log_ax logax的导数

    令    y = log ⁡ a x   则    a y = x \text{令\,\,}y=\log _ax\ \text{则\,\,}a^y=x y=logax ay=x
    d d x ( a y = x ) ⇒ a y ⋅ ln ⁡ a ⋅ d y d x = 1 \frac{d}{dx}\left( a^y=x \right) \Rightarrow a^y\cdot \ln a\cdot \frac{dy}{dx}=1 dxd(ay=x)aylnadxdy=1
    d y d x = 1 a y ⋅ ln ⁡ a = 1 x ln ⁡ a \frac{dy}{dx}=\frac{1}{a^y\cdot \ln a}=\frac{1}{x\ln a} dxdy=aylna1=xlna1

    3、 x x x^x xx的导数

    x x = ( e ln ⁡ x ) x = e x ln ⁡ x x^x=\left( e^{\ln x} \right) ^x=e^{x\ln x} xx=(elnx)x=exlnx
    d d x x x = d d x e x ln ⁡ x = e x ln ⁡ x ( ln ⁡ x + x ⋅ 1 x ) = x x ( ln ⁡ x + 1 ) \frac{d}{dx}x^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln x}=e^{x\ln x}\left( \ln x+x\cdot \frac{1}{x} \right) =x^x\left( \ln x+1 \right) dxdxx=dxdexlnx=exlnx(lnx+xx1)=xx(lnx+1)

    4、 x r x^r xr的导数(r为实数)

    x r = ( e ln ⁡ x ) r = e r ln ⁡ x x^r=\left( e^{\ln x} \right) ^r=e^{r\ln x} xr=(elnx)r=erlnx
    d d x x r = d d x e r ln ⁡ x = e r ln ⁡ x ⋅ r x = x r ⋅ r x = r ⋅ x r − 1 \frac{d}{dx}x^r=\frac{d}{dx}e^{r\ln x}=e^{r\ln x}\cdot \frac{r}{x}=x^r\cdot \frac{r}{x}=r\cdot x^{r-1} dxdxr=dxderlnx=erlnxxr=xrxr=rxr1

    5、三角函数的导数

    5.1 sin ⁡ x \sin x sinx的导数

    方法一

    d d x sin ⁡ x = lim ⁡ Δ x → 0 sin ⁡ ( x + Δ x ) − sin ⁡ x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ Δ x + cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ Δ x − sin ⁡ x Δ x   ( 两 角 和 公 式 sin ⁡ ( a + b ) = sin ⁡ a ⋅ cos ⁡ b + cos ⁡ a ⋅ sin ⁡ b ) = lim ⁡ Δ x → 0 sin ⁡ x ⋅ ( cos ⁡ Δ x − 1 ) Δ x + lim ⁡ Δ x → 0 cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ Δ x Δ x \begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin x&=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin \left( x+\Delta x \right) -\sin x}{\Delta x} \\ &=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x\cdot \cos \Delta x+\cos x\cdot \sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}\ \left(两角和公式 \sin \left( a+b \right) =\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b \right) \\ &=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x\cdot \left( \cos \Delta x-1 \right)}{\Delta x}+ \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x\cdot \sin \Delta x}{\Delta x} \end{aligned} dxdsinx=Δx0limΔxsin(x+Δx)sinx=Δx0limΔxsinxcosΔx+cosxsinΔxsinx (sin(a+b)=sinacosb+cosasinb)=Δx0limΔxsinx(cosΔx1)+Δx0limΔxcosxsinΔx
    由于
    lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x − 1 x = lim ⁡ x → 0 1 − 2 sin ⁡ 2 x 2 − 1 x   ( 倍 角 公 式 cos ⁡ 2 x = 1 − 2 sin ⁡ 2 x ) = − lim ⁡ x → 0 ( sin ⁡ x 2 x 2 ⋅ sin ⁡ x 2 ) = − lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x 2   ( 重要极限 lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x x = 1 ) = 0 \begin{aligned} \underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x-1}{x}&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{1-2\sin ^2\frac{x}{2}-1}{x}\ \left(倍角公式 \cos 2x=1-2\sin ^2x \right)\\ &=-\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \sin \frac{x}{2} \right) \\ &=-\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\sin \frac{x}{2}\ \left( \text{重要极限}\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x}{x}=1 \right) \\ &=0 \end{aligned} x0limxcosx1=x0limx12sin22x1 (cos2x=12sin2x)=x0lim(2xsin2xsin2x)=x0limsin2x (重要极限x0limxsinx=1)=0

    d d x sin ⁡ x = lim ⁡ Δ x → 0 sin ⁡ x ⋅ ( cos ⁡ Δ x − 1 ) Δ x + lim ⁡ Δ x → 0 cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ Δ x Δ x = cos ⁡ x \frac{d}{dx}\sin x=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x\cdot \left( \cos \Delta x-1 \right)}{\Delta x}+ \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x\cdot \sin \Delta x}{\Delta x}=\cos x dxdsinx=Δx0limΔxsinx(cosΔx1)+Δx0limΔxcosxsinΔx=cosx

    方法二

    在这里插入图片描述
    由于 Δ x \Delta x Δx很小,所以可以认为 O A ⊥ A B OA \bot AB OAAB A B = Δ x ( Δ x 为 弧 度 ) AB=\Delta x (\Delta x 为弧度) AB=Δx(Δx),易证 ∠ A B E = x \angle ABE=x ABE=x(OA逆时针旋转90°和AB平行,OD逆时针旋转90°和BE平行,OA与OD的夹角为 x x x,则AB与BE的夹角也为 x x x
    可 得 Δ y Δ x = B E A B = cos ⁡ x , 即 d d x sin ⁡ x = cos ⁡ x 可得\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{BE}{AB}=\cos x,即\frac{d}{dx}\sin x=\cos x ΔxΔy=ABBE=cosxdxdsinx=cosx

    5.2 cos ⁡ x \cos x cosx的导数

    d d x cos ⁡ x = lim ⁡ Δ x → 0 cos ⁡ ( x + Δ x ) − cos ⁡ x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ Δ x − sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ Δ x − cos ⁡ x Δ x   ( 两 角 和 公 式 cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a ⋅ cos ⁡ b − sin ⁡ a ⋅ sin ⁡ b ) = lim ⁡ Δ x → 0 cos ⁡ x ⋅ ( cos ⁡ Δ x − 1 ) Δ x − lim ⁡ Δ x → 0 sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ Δ x Δ x = − sin ⁡ x \begin{aligned} \frac{d}{dx}\cos x&=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos \left( x+\Delta x \right) -\cos x}{\Delta x}\\ &=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x\cdot \cos \Delta x-\sin x\cdot \sin \Delta x-\cos x}{\Delta x}\ \left(两角和公式 \cos \left( a+b \right) =\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b \right) \\ &=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x\cdot \left( \cos \Delta x-1 \right)}{\Delta x}-\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x\cdot \sin \Delta x}{\Delta x}\\ &=-\sin x \end{aligned} dxdcosx=Δx0limΔxcos(x+Δx)cosx=Δx0limΔxcosxcosΔxsinxsinΔxcosx (cos(a+b)=cosacosbsinasinb)=Δx0limΔxcosx(cosΔx1)Δx0limΔxsinxsinΔx=sinx

    5.3 tan ⁡ x \tan x tanx的导数

    d d x tan ⁡ x = d d x sin ⁡ x cos ⁡ x = cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x   ( 商的求导法则 ) = 1 cos ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x \begin{aligned} \frac{d}{dx}\tan x&=\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}\\ &=\frac{\cos ^2x+\sin ^2x}{\cos ^2x}\ \left( \text{商的求导法则} \right) \\ &=\frac{1}{\cos ^2x}\\ &=\sec ^2x \end{aligned} dxdtanx=dxdcosxsinx=cos2xcos2x+sin2x (商的求导法则)=cos2x1=sec2x

    5.4 csc ⁡ x \csc x cscx的导数

    d d x csc ⁡ x = d d x ( sin ⁡ x ) − 1 = − ( sin ⁡ x ) − 2 cos ⁡ x = − cos ⁡ x sin ⁡ 2 x = − csc ⁡ x ⋅ cot ⁡ x \frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}\left( \sin x \right) ^{-1}=-\left( \sin x \right) ^{-2}\cos x=-\frac{\cos x}{\sin ^2x}=-\csc x\cdot \cot x dxdcscx=dxd(sinx)1=(sinx)2cosx=sin2xcosx=cscxcotx

    5.5 sec ⁡ x \sec x secx的导数

    d d x sec ⁡ x = d d x ( cos ⁡ x ) − 1 = − ( cos ⁡ x ) − 2 ( − sin ⁡ x ) = sin ⁡ x cos ⁡ 2 x = sec ⁡ x ⋅ tan ⁡ x \frac{d}{dx}\sec x=\frac{d}{dx}\left( \cos x \right) ^{-1}=-\left( \cos x \right) ^{-2}\left( -\sin x \right) =\frac{\sin x}{\cos ^2x}=\sec x\cdot \tan x dxdsecx=dxd(cosx)1=(cosx)2(sinx)=cos2xsinx=secxtanx

    5.6 cot ⁡ x \cot x cotx的导数

    d d x cot ⁡ x = d d x cos ⁡ x sin ⁡ x = − sin ⁡ 2 x − cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x    ( 商的求导法则 ) = − 1 sin ⁡ 2 x = − csc ⁡ 2 x \begin{aligned} \frac{d}{dx}\cot x&=\frac{d}{dx}\frac{\cos x}{\sin x}\\ &=\frac{-\sin ^2x-\cos ^2x}{\sin ^2x}\,\,\left( \text{商的求导法则} \right)\\ &=-\frac{1}{\sin ^2x}\\ &=-\csc ^2x\\ \end{aligned} dxdcotx=dxdsinxcosx=sin2xsin2xcos2x(商的求导法则)=sin2x1=csc2x

    6、反三角函数的导数

    6.1 arcsin ⁡ x \arcsin x arcsinx的导数

    令  y = arcsin ⁡ x  则  sin ⁡ y = x \text{令\ }y=\arcsin x\ \text{则\ }\sin y=x  y=arcsinx  siny=x
    d d x ( sin ⁡ y = x ) ⇒ cos ⁡ y ⋅ d y d x = 1   \frac{d}{dx}\left( \sin y=x \right) \Rightarrow \cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1\ dxd(siny=x)cosydxdy=1 
    d y d x = 1 cos ⁡ y = 1 1 − sin ⁡ 2 y = 1 1 − x 2 \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dxdy=cosy1=1sin2y 1=1x2 1

    6.2 arccos ⁡ x \arccos x arccosx的导数

    令  y = arccos ⁡ x  则  cos ⁡ y = x \text{令\ }y=\arccos x\ \text{则\ }\cos y=x  y=arccosx  cosy=x
    d d x ( cos ⁡ y = x ) ⇒ − sin ⁡ y ⋅ d y d x = 1   \frac{d}{dx}\left( \cos y=x \right) \Rightarrow -\sin y\cdot \frac{dy}{dx}=1\ dxd(cosy=x)sinydxdy=1 
    d y d x = − 1 sin ⁡ y = − 1 1 − cos ⁡ 2 y = − 1 1 − x 2 \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dxdy=siny1=1cos2y 1=1x2 1

    6.3 arctan ⁡ x \arctan x arctanx的导数

    令  y = arctan ⁡ x  则  tan ⁡ y = x \text{令\ }y=\arctan x\ \text{则\ }\tan y=x  y=arctanx  tany=x
    d d x ( tan ⁡ y = x ) ⇒ sec ⁡ 2 y ⋅ d y d x = 1   \frac{d}{dx}\left( \tan y=x \right) \Rightarrow \sec ^2y\cdot \frac{dy}{dx}=1\ dxd(tany=x)sec2ydxdy=1 
    d y d x = cos ⁡ 2 y \frac{dy}{dx}=\cos ^2y dxdy=cos2y
    在这里插入图片描述
    由图可得  cos ⁡ y = 1 1 + x 2  则  d y d x = cos ⁡ 2 y = 1 1 + x 2 \text{由图可得\ }\cos y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ \text{则\ }\frac{dy}{dx}=\cos ^2y=\frac{1}{1+x^2} 由图可得 cosy=1+x2 1  dxdy=cos2y=1+x21

    7、双曲函数的导数

    sinh ⁡ ( x ) = e x − e − x 2   ,   cosh ⁡ ( x ) = e x + e − x 2   ,   tanh ⁡ ( x ) = sinh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( x ) = e x − e − x e x + e − x \sinh\left( x \right) =\frac{e^x-e^{-x}}{2}\ ,\ \cosh\left( x \right) =\frac{e^x+e^{-x}}{2}\ ,\ \tanh\left( x \right) =\frac{\sinh\left( x \right)}{\cosh\left( x \right)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} sinh(x)=2exex , cosh(x)=2ex+ex , tanh(x)=cosh(x)sinh(x)=ex+exexex

    7.1 sinh ⁡ x \sinh x sinhx的导数

    d d x sinh ⁡ x = d d x ( e x − e − x 2 ) = e x + e − x 2 = cosh ⁡ x \frac{d}{dx}\sinh x=\frac{d}{dx}\left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right) =\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x dxdsinhx=dxd(2exex)=2ex+ex=coshx

    7.2 cosh ⁡ x \cosh x coshx的导数

    d d x cosh ⁡ x = d d x ( e x + e − x 2 ) = e x − e − x 2 = sinh ⁡ x \frac{d}{dx}\cosh x=\frac{d}{dx}\left( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right) =\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x dxdcoshx=dxd(2ex+ex)=2exex=sinhx

    7.3 tanh ⁡ x \tanh x tanhx的导数

    d d x tanh ⁡ x = d d x sinh ⁡ x cosh ⁡ x = cosh ⁡ 2 x − sinh ⁡ 2 x cosh ⁡ 2 x    ( 商的求导法则 ) = 1 cosh ⁡ 2 x   ( 由 cosh ⁡ 2 x − sinh ⁡ 2 x = 1 可 得 ) \begin{aligned} \frac{d}{dx}\tanh x&=\frac{d}{dx}\frac{\sinh x}{\cosh x}\\ &=\frac{\cosh ^2x-\sinh ^2x}{\cosh ^2x}\,\,\left( \text{商的求导法则} \right)\\ &=\frac{1}{\cosh^2x}\ \left( 由\cosh^2x-\sinh^2x=1 可得\right)\\ \end{aligned} dxdtanhx=dxdcoshxsinhx=cosh2xcosh2xsinh2x(商的求导法则)=cosh2x1 (cosh2xsinh2x=1)

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  • 函数 1 ) 概念 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y = f(x),则y = f(x)的反函数为 x = f(y) 或者 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)y=f−1(x) 后者为常用记发 存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是...

    反函数

    1 ) 概念

    • 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y = f(x),则y = f(x)的反函数为 x = f(y) 或者 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f1(x) 后者为常用记发
    • 存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的),这里的一一对应是定义域和值域的一一对应
    • 注意:上标"−1"指的并不是幂, 代表反函数
    • 最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数,再比如: y = x 3 y = x^3 y=x3 y = x 3 y = \sqrt[3]{x} y=3x

    2 ) 性质

    • 函数f(x)与它的反函数 y = f − 1 ( x ) y = f^{-1}(x) y=f1(x)图象关于直线y = x对称
    • 函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
    • 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
    • 大部分偶函数不存在反函数(当函数y = f(x), 定义域是{0} 且 f(x) = C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} )。
    • 奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
    • 备注:奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称
    • 一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性
    • 严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数
    • 反函数是相互的且具有唯一性
    • 定义域、值域相反对应法则互逆(三反)

    六个基本初等函数

    1 ) 分类

    • 基本初等函数包括幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数常数函数

    2 ) 幂函数

    • 一般地, 形如 y = x a y=x^a y=xa(a为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数
    • 其中,a可为任何常数,但中学阶段仅研究a为有理数的情形
    • a为无理数时取其近似的有理数, 例如函数 y = x 0 、 y = x 1 、 y = x 2 、 y = x − 1 y = x^0 、y = x^1、y = x^2、y = x^{-1} y=x0y=x1y=x2y=x1
    • 注: y = x − 1 = 1 x y=x^{-1} = \frac{1}{x} y=x1=x1 ; y = x 0 y=x^0 y=x0时, x≠0 等都是幂函数

    3 ) 指数函数

    • 一般地,函数 y = a x y=a^x y=ax(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是R。对于一切指数函数来讲,值域为(0, +∞)。
    • 即: y = a x    ( a > 0 且 a ≠ 1 )    x ∈ R     y ∈ ( 0 , + ∞ ) y = a^x \ \ (a > 0 且 a \neq 1) \ \ x \in R \ \ \ y \in (0, +\infty) y=ax  (a>0a=1)  xR   y(0,+)
    • 指数函数中, 前面的系数为1。 如 : y = 1 0 x 、 y = π x y=10^x 、 y=\pi^x y=10xy=πx 都是指数函数; 而 y = 2 ∗ 3 x y = 2*3^x y=23x 不是指数函数

    指数函数的4个运算法则

    • a m + n = a m ∗ a n a^{m+n} = a^m * a^n am+n=aman
    • a m n = ( a m ) n a^{mn} = (a^m)^n amn=(am)n
    • a 1 n = a n a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} an1=na
    • a m − n = a m a n a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} amn=anam

    4 ) 对数函数

    • 对数函数是指数函数的反函数
    • y = l o g a x y = log_a x y=logax x ∈ ( 0 , + ∞ ) x \in (0, + \infty) x(0,+), y ∈ R y \in R yR,其中a为底数,a > 0 且 a ≠ 1,等价于 a y = x a^y = x ay=x
    • 当 a > 1时,递增;当 0 < a < 1时,递减

    常用对数运算

    • l o g a M N = l o g a M + l o g a N log_a {MN} = log_a M + log_a N logaMN=logaM+logaN

    • l o g a M N = l o g a M − l o g a N log_a {\frac{M}{N}} = log_a M - log_a N logaNM=logaMlogaN

    • l o g a a b = b log_a a^b = b logaab=b

    • a l o g a N = N a^{log_a N} = N alogaN=N

    • l o g 1 0 b = l g b log_10 b = lg b log10b=lgb

    • l o g e b = l n b log_e b = ln b logeb=lnb

    • l o g a b = l o g c b l o g c a log_a b = \frac{log_c b}{log_c a} logab=logcalogcb 换底公式

    • l o g a n b m = m n l o g a b log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b loganbm=nmlogab 指系公式

    • l o g a b = l n b l n a = 1 l n a l n b = 1 l o g b a log_a b = \frac{ln b}{ln a} = \frac{1}{\frac{ln a}{ln b}} = \frac{1}{log_b a} logab=lnalnb=lnblna1=logba1 倒数公式

    • l o g a b ∗ l o g c a = l n b l n a ∗ l n a l n c = l n b l n c = l o g c b log_a b * log_c a = \frac{ln b}{ln a} * \frac{ln a}{ln c} = \frac{ln b}{ln c} = log_c b logablogca=lnalnblnclna=lnclnb=logcb 链式公式

    5 ) 三角函数

    • 三角函数是基本初等函数之一
    • 是以角度(数学上最常用弧度制,下同)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
    • 也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。
    • 在数学分析中,三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解,允许它们的取值扩展到任意实数值,甚至是复数值。
    • 常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
    • 在航海学、测绘学、工程学等其他学科中,还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。
    • 不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出,称为三角恒等式。
    • 在直角三角形ABC中,角A为90度,设角B为 θ \theta θ, 边BC记为a, 边AC记为b, 边AB记为c
    • 勾股定理:直角三角形中 a 2 = b 2 + c 2 a^2 = b^2 + c^2 a2=b2+c2
    • s i n θ = b a < 1 sin \theta = \frac{b}{a} < 1 sinθ=ab<1 正弦函数
    • c o s θ = c a < 1 cos \theta = \frac{c}{a} < 1 cosθ=ac<1 余弦函数
    • t a n θ = b c tan \theta = \frac{b}{c} tanθ=cb 正切函数
    • c o t θ = c b cot \theta = \frac{c}{b} cotθ=bc 余切函数
    • s e c θ = a c sec \theta = \frac{a}{c} secθ=ca 正割函数
    • c s c θ = a b csc \theta = \frac{a}{b} cscθ=ba 余割函数
    • 一般我们可以将三角形放入直角坐标系中来处理

    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    上图和我们的假设条件不一致,仅作为参考

    以下为六种函数图像,均为周期函数,只展示一部分, 画图软件为Mac平台的Grapher


    备注:图片托管于github,请确保网络的可访问性

    相关公式非常之多,不再这里赘述

    6 ) 反三角函数

    • 反三角函数是一种基本初等函数。
    • 它是反正弦arcsin x,反余弦arccos x,反正切arctan x,反余切arccot x,反正割arcsec x,反余割arccsc x这些函数的统称
    • 各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切 ,反正割,反余割为x的角。
    • 三角函数的反函数是个多值函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。
    • 欧拉提出反三角函数的概念,并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。
    • 如果一个三角函数是: y = s i n x y = sin x y=sinx, 则其反三角函数为: y = a r c s i n x y = arc sin x y=arcsinx 因为不同的x可以对应同一个y值,属于多对一的现象,原则上是不存在反函数的
    • 我们在研究三角函数的反函数的时候可以设定一个区间,如[-π/2, π/2], 单调递增是有反函数的,值域范围在 [-1, 1],即:y = sinx, x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] x[2π,2π] y ∈ [ − 1 , 1 ] y \in [-1, 1] y[1,1] 单调递增
    • 则其反函数:y = arcsinx, x ∈ [ − 1 , 1 ] x \in [-1, 1] x[1,1], y ∈ [ − π 2 , π 2 ] y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] y[2π,2π]

    7 ) 常数函数

    • 在数学中,常数函数(也称常值函数)是指值不发生改变(即是常数)的函数。
    • 例如:y = 5
    • 常数函数都是偶函数
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  • 基本初等函数及图像

    万次阅读 多人点赞 2019-11-06 14:47:58
    本文介绍了基本初等函数的分类,基本初等函数的图像曲线 以及函数的基本性质

    基本初等函数的分类

    (1)常量函数 y=C (C为常数)
    (2)幂函数 y=xμ (μ∈R, μ≠0)
    (3)指数函数 y=ax (a>0, a≠1,特别当a=e时,记为 y=ex)
    (4)对数函数 y=logax (a>0, a≠1,特别当a=e时,记为 y=lnx)
    这里对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数,y=lnx是 y=ex的反函数。
    (5)三角函数
    正弦函数 y=sin(x);
    余弦函数 y=cos(x);
    正切函数 y=tan(x)=sin(x)/cos(x);
    余切函数 y=cot(x)=cos(x)/sin(x)
    (6)反三角函数
    反正弦函数 y=arcsin(x)
    反余弦函数 y=arccos(x)
    反正切函数 y=arctan(x)
    反余切函数 y=arccot(x)

    基本初等函数的图像

    1 常数函数 y=C在这里插入图片描述
    2 幂函数 y=xμ
    在这里插入图片描述
    3指数函数 y=ax
    在这里插入图片描述
    4 对数函数 y=logax
    在这里插入图片描述
    5 正弦函数 y=sin(x)
    在这里插入图片描述
    6 余弦函数 y=cos(x)
    在这里插入图片描述
    7 正切函数 y=tan(x)
    在这里插入图片描述
    8 余切函数 y=cot(x)
    在这里插入图片描述
    9 反正弦函数 y=arcsin(x)
    在这里插入图片描述
    10 反余弦函数 y=arccos(x)
    在这里插入图片描述
    11 反正切函数 y=arctan(x)
    在这里插入图片描述
    12 反余切函数 y=arccot(x)
    在这里插入图片描述

    函数的基本性质

    1 有界性
    2 单调性
    设函数f(x)在D上有定义,如果对于D中任意两个数x1, x2, 当x1 < x2时,总有f(x1)<f(x2) (或 f(x1)>f(x2)),
    则称f(x)在D上单调增加(或单调减少)
    单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。
    3 奇偶性
    设y=f(x), x∈D, 其中D关于原点对称,如果对于任意x∈D,总有
    f(-x) = -f(x) (或 f(-x) = f(x)),
    则称f(x)为奇函数(或偶函数)。
    法则:两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数,两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积也是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数,偶函数与奇函数的和既不是偶函数也不是奇函数
    4 周期性

    反函数

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