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  • 多元回归分析

    千次阅读 2019-08-14 17:00:35
    一、概念 回归分析 ...多元回归分析 在自变量很多(有很多的冗余变量,变量直接不完全独立)时,采用逐步回归分析法,筛选自变量,建立预测效果更好的多元回归模型 二、案例 数学建模都是定量的解决问题...

    一、概念

    回归分析

    是一种统计学上分析数据的方法,可以了解两个或多个变量间是否相关、相关方向与强度,并建立数学模型通过观察特定变量来预测研究者感兴趣的变量。(就是说在不确定自变量和因变量之间函数关系的情况下分析他们之间的表达式)

    多元回归分析

    在自变量很多(有很多的冗余变量,变量直接不完全独立)时,采用逐步回归分析法,筛选自变量,建立预测效果更好的多元回归模型

    二、案例

    数学建模都是定量的解决问题,用数据说话,尽量避免定性的问题

    以陕西省长武地区1984~1995年的烟蚜传毒病情资料、相关虫情和气象资料为例,建立蚜传病毒病情指数的逐步回归模型,说明逐步回归分析的具体步骤。影响蚜传病毒病情指数的虫情因子和气象因子一共有21个,通过逐步回归,从中选出对病情指数影响显著的因子,从而建立相应的模型。

    y:历年病情指数

    x1:前年冬季油菜越冬时的蚜量(头/株)

    x2:前年冬季极端气温

    x3:5月份最高气温

    x4:5月份最低气温

    x5:3~5月份降水量

    x6:4~6月份降水量

    x7:3~5月份均温

    x8:4~6月份均温

    x9:4月份降水量

    x10:4月份均温

    x11:5月份均温

    x12:5月份降水量

    x13:6月份均温

    x14:6月份降水量

    x15:第一次蚜迁高峰期百株烟草有翅蚜量

    x16:5月份油菜百株蚜量

    x17:7月份降水量

    x18:8月份降水量

    x19:7月份均温

    x20:8月份均温

    x21:元月均温

    录入数据到excel表格

    使用spss进行对数据进行分析

    打开spss导入数据–>点击分析–>回归–>线性–>y因变量–>自变量–>年份导入个案标签–>逐步分析方法,选项进入0.15 删除0.20,点击确定

    输出文档分析

    REGRESSION

    /MISSING LISTWISE

    /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA

    /CRITERIA=PIN(.15) POUT(.20)

    /NOORIGIN

    /DEPENDENT y

    /METHOD=ENTER x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21

    /RESIDUALS ID(年份).

     

     

     

     

    回归

     

     

     

    备注
    已创建输出 11-AUG-2019 17:16:34
    注释
    输入 活动数据集 数据集1
    过滤器 <无>
    权重 <无>
    拆分文件 <无>
    工作数据文件中的行数 12
    缺失值处理 对缺失的定义 将用户定义的缺失值视为缺失。
    使用的个案数 统计基于那些对于任何所用变量都不具有缺失值的个案。
    语法 REGRESSION

    /MISSING LISTWISE

    /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA

    /CRITERIA=PIN(.15) POUT(.20)

    /NOORIGIN

    /DEPENDENT y

    /METHOD=ENTER x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21

    /RESIDUALS ID(年份).

    资源 处理程序时间 00:00:00.03 耗用时间 00:00:00.19 所需内存量 24688 字节 残差图需要更多内存 0 字节  

     

    [数据集1]

     

     

     

    警告
    对于具有因变量 y 的最终模型,由于实现了完美拟合,因此无法计算影响统计。
     

     

    输入/除去的变量a
    模型 输入的变量 除去的变量 方法
    1 x21, x7, x13, x15, x4, x18, x17, x9, x1, x12, x10b . 输入
     
    a. 因变量:y
    b. 已达到“容差 = .000”限制。
     

     

    模型摘要b
    模型 R R 方 调整后 R 方 标准估算的误差
    1 1.000a 1.000 . .
     
    a. 预测变量:(常量), x21, x7, x13, x15, x4, x18, x17, x9, x1, x12, x10
    b. 因变量:y
     

     

    ANOVAa
    模型 平方和 自由度 均方 F 显著性
    1 回归 18.808 11 1.710 . .b
    残差 .000 0 .
    总计 18.808 11
     
    a. 因变量:y
    b. 预测变量:(常量), x21, x7, x13, x15, x4, x18, x17, x9, x1, x12, x10
     

     

    系数a
    模型 未标准化系数 标准化系数 t 显著性
    B 标准误差 Beta
    1 (常量) .726 .000 . .
    x1 -.001 .000 -.026 . .
    x4 .025 .000 .044 . .
    x7 -.226 .000 -.109 . .
    x9 -.003 .000 -.039 . .
    x10 .021 .000 .017 . .
    x12 -.001 .000 -.014 . .
    x13 .066 .000 .058 . .
    x15 .009 .000 .989 . .
    x17 .001 .000 .052 . .
    x18 -.001 .000 -.055 . .
    x21 -.006 .000 -.006 . .
     
    a. 因变量:y
     

     

    排除的变量a
    模型 输入 Beta t 显著性 偏相关 共线性统计
    容差
    1 x2 .b . . . .000
    x3 .b . . . .000
    x5 .b . . . .000
    x6 .b . . . .000
    x8 .b . . . .000
    x11 .b . . . .000
    x14 .b . . . .000
    x16 .b . . . .000
    x19 .b . . . .000
    x20 .b . . . .000
     
    a. 因变量:y
    b. 模型中的预测变量:(常量), x21, x7, x13, x15, x4, x18, x17, x9, x1, x12, x10
     

     

    残差统计a
    最小值 最大值 平均值 标准偏差 个案数
    预测值 .4000 4.5600 2.7642 1.30760 12
    残差 .00000 .00000 .00000 .00000 12
    标准预测值 -1.808 1.373 .000 1.000 12
    标准残差 . . . . 0
     
    a. 因变量:y
     
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  • 多元相关分析与多元回归分析

    万次阅读 多人点赞 2018-10-27 17:13:02
    多元回归分析模型建立 线性回归模型基本假设 多元回归分析用途 多元线性相关分析 矩阵相关分析 复相关分析 曲线回归模型 多项式曲线 二次函数 对数函数 指数函数 幂函数 双曲线函数 变量间的...

    目录

    变量间的关系分析

    什么是相关分析

    什么是回归分析

    分析步骤

    回归分析与相关分析的主要区别

    一元线性相关分析

    一元线性回归分析

    建模

    方差分析检验

     t检验

    多元回归分析模型建立

    线性回归模型基本假设

    多元回归分析用途

    多元线性相关分析

    矩阵相关分析

    复相关分析

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    对数函数

    指数函数

    幂函数

    双曲线函数


    变量间的关系分析

    变量间的关系有两类,一类是变量间存在着完全确定的关系,称为函数关系,另一类是变量间的关系不存在完全的确定性,不能用精缺的数学公式表示,但变量间存在十分密切的关系,这种称为相关关系,存在相关关系的变量称为相关变量

    相关变量间的关系有两种:一种是平行关系,即两个或两个以上变量相互影响。另一种是依存关系,即是一个变量的变化受到另一个或多个变量的影响。相关分析是研究呈平行关系的相关变量之间的关系。而回归分析是研究呈依存关系的相关变量间的关系。表示原因的变量称为自变量-independent variable,表示结果的变量称为因变量-dependent variable

    什么是相关分析

    通过计算变量间的相关系数来判断两个变量的相关程度及正负相关。

    什么是回归分析

    通过研究变量的依存关系,将变量分为因变量和自变量,并确定自变量和因变量的具体关系方程式

    分析步骤

    建立模型、求解参数、对模型进行检验

    回归分析与相关分析的主要区别

    1.在回归分析中,解释变量称为自变量,被解释变量称为因变量,相关分析中,并不区分自变量和因变量,各变量处于平的地位。--(自变量就是自己会变得变量,因变量是因为别人改变的)

    2.在相关分析中所涉及的变量全部是随机变量,在回归分析中只有只有因变量是随机变量。

    3.相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度,而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制。

    一元线性相关分析

    线性相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的线性关系,总体相关系数的计算公式为:

     δ^2x代表x的总体方差, δ^2y代表y的总体方差,δxy代表x变量与y变量的协方差,相关系数ρ没有单位,在-1到1之间波动,绝对值越接近1越相关,符号代表正相关或复相关。

    一元线性回归分析

    使用自变量与因变量绘制散点图,如果大致呈直线型,则可以拟合一条直线方程

    建模

    直线模型为:

     y是因变量y的估计值,x为自变量的实际值,a、b为待估值

    几何意义:a是直线方程的截距,b是回归系数

    经济意义:a是x=0时y的估计值,b是回归系数

    对于上图来说,x与y有直线的趋势,但并不是一一对应的,y与回归方程上的点的差距成为估计误差或残差,残差越小,方程愈加理想。

    当误差的平方和最小时,即Q,a和b最合适

    对Q求关于a和b的偏导数,并令其分别等于零,可得:

     式中,lxx表示x的离差平方和,lxy表示x与y的离差积和。

    方差分析检验

    将因变量y实测值的离均差平方和分成两部分即使:

    分为:

    实测值yi扣除了x对y的线性影响后剩下的变异

    和x对y的线性影响,简称为回归评方或回归贡献

    然后证明:

     t检验

    当β成立时,样本回归系数b服从正态分布,这是可以使用T检验判断是否有数学意义,检验所用统计量为

    例如t=10,那么可以判断α=0.05水平处拒绝H0,接受H1,那么x与y存在回归关系

    多元回归分析模型建立

    一个因变量与多个自变量间的线性数量关系可以用多元线性回归方程来表示

    b0是方程中的常数项,bi,i=1,2,3称为偏回归系数。

    当我们得到N组观测数据时,模型可表示为:

    其矩阵为:

    X为设计阵,β为回归系数向量。

    线性回归模型基本假设

    在建立线性回归模型前,需要对模型做一些假定,经典线性回归模型的基本假设前提为:

    1.解释变量一般来说是非随机变量

    2.误差等方差及不相关假定(G-M条件)

    3.误差正太分布的假定条件为:

    4. n>p,即是要求样本容量个数多于解释变量的个数

    多元回归分析用途

    1.描述解释现象,希望回归方程中的自变量尽可能少一些

    2.用于预测,希望预测的均方误差较小

    3.用于控制,希望各个回归系数具有较小的方差和均方误差

    变量太多,容易引起以下四个问题:
    1.增加了模型的复杂度

    2.计算量增大

    3.估计和预测的精度下降

    4.模型应用费用增加

    多元线性相关分析

    两个变量间的关系称为简单相关,多个变量称为偏相关或复相关

    矩阵相关分析

    设n个样本的资料矩阵为:

    此时任意两个变量间的相关系数构成的矩阵为:

    其中rij为任意两个变量之间的简单相关系数,即是:

    复相关分析

    系数计算:

    设y与x1,x2,....,回归模型为

    y与x1,x2,....做相关分析就是对y于y^做相关分析,相关系数计算公式为

    曲线回归模型

    多项式曲线

    二次函数

    y=a+bx+cx^2

    对数函数

    y=a+blogx

    指数函数

    y = ae^bx或y = ae^(b/x)

    幂函数

    y=ax^b (a>0)

    双曲线函数

    y = a+b/x

     实战操作见下一篇文章

    展开全文
  • 关于一元回归分析和多元回归分析的matlab代码,含有测试数据,直接就可以运行,然后出图,注释清楚,通俗易懂,每一步都有注释,比较详细。
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  • EXCEL多元回归分析

    万次阅读 2018-04-13 14:36:14
    一、多元回归分析定义: 多元回归分析(Multiple Regression Analysis)是指在相关变量中将一个变量视为因变量,其他一个或多个变量视为自变量,建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行...

    一、多元回归分析定义:

            多元回归分析(Multiple Regression Analysis)是指在相关变量中将一个变量视为因变量,其他一个或多个变量视为自变量,建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行分析的统计分析方法。

    二、不多说,上实例分析过程:

    1)数据整理


    2)数据建模:

    假设回归估算表达式:y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x1x2+b5x1x3+b6x2x3+b7x12+b8x22+b9x32

    3)多元回归分析:

    Excel中:选择“工具”——“数据分析”——“回归”


    故此,估算的回归方程:

    y=6570.419+56.7445x1+104.106x2+50.071x3+0.482x1x2-0.0874x1x3-0.897x2x3-0.239x12-2.9996x22-0.1714x32

    (该表中重要的是E列,该列的E40:E49中的 P-value 为回归系数t统计量的P值。

    注意:其中b1、b7的t统计量的P值为0.0156和0.0175,远小于显著性水平0.05,因此该两项的自变量与y相关。而其他各项的t统计量的P值远大于b1、b7的t统计量的P值,但如此大的P值说明这些项的自变量与因变量不存在相关性,因此这些项的回归系数不显著。)

                                                                    注意:                                                      

    T检验用于对某一自变量Xi对于Y的线性显著性,若某一Xi不显著,意味可以从模型中剔除这个变量,使得模型更简洁。

    F检验用于对所有的自变量X在整体上看对于Y的线性显著性

    T检验的结果看P-value,F检验看Significant F值,一般要小于0.05,越小越显著(这个0.05其实是显著性水平,是人为设定的,如果比较严格,可以定成0.01,但是也会带来其他一些问题)                                 

    一般来说,只要F检验和关键变量的T检验通过了,模型的预测能力就是OK的。


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  • 一、多元回归分析简介 用回归方程定量地刻画一个应变量与多个自变量间的线性依存关系,称为多元回归分析(multiple linear regression),简称多元回归(multiple regression)。 多元回归分析是多变量分析的基础,也是...

    一、多元回归分析简介

    用回归方程定量地刻画一个应变量与多个自变量间的线性依存关系,称为多元回归分析(multiple linear regression),简称多元回归(multiple regression)。

    多元回归分析是多变量分析的基础,也是理解监督类分析方法的入口!实际上大部分学习统计分析和市场研究的人的都会用回归分析,操作也是比较简单的,但能够知道多元回归分析的适用条件或是如何将回归应用于实践,可能还要真正领会回归分析的基本思想和一些实际应用手法!

    回归分析的基本思想是:虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系,但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。

    二、多元回归线性分析的运用

    具体地说,多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。

    (1)确定几个特定的变量之间是否存在相关关系,如果存在的话,找出它们之间合适的数学表达式; 

    (2)根据一个或几个变量的值,预测或控制另一个变量的取值,并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;

    (3)进行因素分析。例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间,找出哪些是重要因素,哪些是次要因素,这些因素之间又有什么关系等等。

    在运用多元线性回归时主要需要注意以下几点:

    首先,多元回归分析应该强调是多元线性回归分析!强调线性是因为大部分人用回归都是线性回归,线性的就是直线的,直线的就是简单的,简单的就是因果成比例的;理论上讲,非线性的关系我们都可以通过函数变化线性化,就比如:Y=a+bLnX,我们可以令 t=LnX,方程就变成了 Y=a+bt,也就线性化了。

    第二,线性回归思想包含在其它多变量分析中,例如:判别分析的自变量实际上是回归,尤其是Fisher线性回归方程;Logistics回归的自变量也是回归,只不过是计算线性回归方程的得分进行了概率转换;甚至因子分析和主成分分析最终的因子得分或主成分得分也是回归算出来的;当然,还有很多分析最终也是回归思想!

    第三:什么是“回归”,回归就是向平均靠拢。

    第四:如果你用线性回归方式去解释过去,你只能朝着一个趋势继续,但未来对过去的偏离有无数种可能性;

    第五:线性回归方程纳入的自变量越多,越应该能够反应现实,但解释起来就越困难;

    第六:统计学家往往追求的是简约的模型和更高的解释度,往往关注模型R平方,共线性和回归诊断问题;

    第七:市场研究人员往往注重模型的解释合理性,是否与预设的直觉一直,是否支持了我的市场假设等;

    多元线性回归分析的主要目的是:解释和预测

    三、多元回归模型的建立

    模型的表达形式如下:

     

     

    在此征用一个网络上的例子来做详细讲解:

     

    假设我们收集了100个企业客户经理对我产品的总体满意度和分项指标的满意度评价,我期望知道,什么分项指标对我总体满意度有重要影响,它的改进更能够提升总体满意度;如果建立预测模型,我期望知道了分项指标的评价就能够预测总体满意度数值;

     

     

    在SPSS中选择回归分析后,把X10作为因变量,X1到X7作为自变量,选择相应的统计参数和输出结果:

     

     

    R平方是我们最需要关注的,该值说明了方程的拟合好坏,R平方=0.80非常不错了,说明:1)总体满意度的80%的变差都可以由7个分项指标解释,或者说,7个分项指标可以解释总体满意度80%的变差!2)R平方如果太大,大家不要高兴太早,社会科学很少有那么完美的预测或解释,一定存在了共线性!

     

    方程分析表的显著性表明了回归具有解释力!

    线性回归方程给出可预测的计算系数,但是,社会科学很少进行预测,重要的是解释;

    这里要注意的是如果自变量的测量尺度是统一的话,我们可以直接比较系数的大小,但是如果自变量的测量尺度不统一的话,我们必须看标准化回归系数,标准化回归系数去掉的量纲,且反应了重要性!我们就是需要重要性测量!

    当然,这个时候,研究人员应该关注每个指标的回归系数是否真的等于零,要进行假设检验!

    四、多元回归模型的显著性检验

    上文中有提到,若R平方过大,拟合优度很好的情况下,可能存在多重共线性,而多重共线性便是多元回归模型产生误差的主要原因。

    造成多重共线性的原因有一下几种:

    1、解释变量都享有共同的时间趋势;

    2、一个解释变量是另一个的滞后,二者往往遵循一个趋势;

    3、由于数据收集的基础不够宽,某些解释变量可能会一起变动;

    4、某些解释变量间存在某种近似的线性关系;

    判别:

    1、发现系数估计值的符号不对;

    2、某些重要的解释变量t值低,而R方不低

    3、当一不太重要的解释变量被删除后,回归结果显著变化;

    检验:

    1、相关性分析,相关系数高于0.8,表明存在多重共线性;但相关系数低,并不能表示不存在多重共线性;

    2、vif检验;

    3、条件系数检验;

    解决方法:

    克服主成分分析的统计方式有主成分回归、岭回归、逐步回归,其定义分别为:

    主成分回归:主成分分析法作为多元统计分析的一种常用方法在处理多变量问题时具有其一定的优越性,其降维的优势是明显的,主成分回归方法对于一般的多重共线性问题还是适用的,尤其是对共线性较强的变量之间。当采取主成分提取了新的变量后,往往这些变量间的组内差异小而组间差异大,起到了消除共线性的问题。

    岭回归:岭回归分析实际上是一种改良的最小二乘法,是一种专门用于共线性数据分析的有偏估计回归方法。岭回归分析的基本思想是当自变量间存在共线性时,解释变量的相关矩阵行列式近似为零,X'X是奇异的,也就是说它的行列式的值也接近于零,此时OLS估计将失效。此时可采用岭回归估计。岭回归就是用X'X+KI代替正规方程中的X'X,人为地把最小特征根由minli提高到min(li+k),希望这样有助于降低均方误差。

    逐步回归:逐步回归(Stepwise Regression)是一种常用的消除多重共线性、选取“最优”回归方程的方法。其做法是将逐个引入自变量,引入的条件是该自变量经F检验是显著的,每引入一个自变量后,对已选入的变量进行逐个检验,如果原来引入的变量由于后面变量的引入而变得不再显著,那么就将其剔除。引入一个变量或从回归方程中剔除一个变量,为逐步回归的一步,每一步都要进行F 检验,以确保每次引入新变量之前回归方程中只包含显著的变量。这个过程反复进行,直到既没有不显著的自变量选入回归方程,也没有显著自变量从回归方程中剔除为止。

    处理多重共线性的原则:

    1、  多重共线性是普遍存在的,轻微的多重共线性问题可不采取措施;

    2、  严重的多重共线性问题,一般可根据经验或通过分析回归结果发现。如影响系数符号,重要的解释变量t值很低。要根据不同情况采取必要措施。

    3、  如果模型仅用于预测,则只要拟合程度好,可不处理多重共线性问题,存在多重共线性的模型用于预测时,往往不影响预测结果;

    五、总概模型图

     

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/Little-Li/p/11261287.html

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  • 为了获得较为准确的底板破坏深度预测公式,基于多元回归分析法,结合大量实际资料对底板抗破坏能力、采厚、工作面斜长、采深、岩层倾角这5个与底板破坏深度有直接影响的因子进行线性回归分析,通过比较获得精确度较高的...
  • SPSS多元回归分析实例

    2012-12-26 20:45:06
    用SPSS 在大多数的实际问题中,影响因变量的因素不是一个而是多个,我们称这类回问题为多元回归分析。可以建立因变量y与各自变量xj(j=1,2,3,…,n)之间的多元线性回归模型
  • 第八章 多元回归分析 模型识别和数据问题 contents Functional form misspecification Using proxy variables Measurement error in variables Missing data and Outlying observations Functional from ...
  • 为了获得在煤柱留设研究中相对比较准确的预测公式,基于多元回归分析法,在总结全国各典型煤矿断层防隔水煤柱相关资料的基础上,以水头压力、煤层厚度、安全系数、煤体抗拉强度为主要影响因子,研究了煤矿断层防隔水煤柱...
  • title: 数学建模—多元回归分析 tags: 建模 EverydayOneCat 木星全貌???? 知识点 1.笔记 在了接受域中,接受X为0的假设,X对外没有比较显著的线性关系。 2.知识点补充 多元回归模型:含两个以上解释变量的回归...
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  • 根据某矿影响煤层瓦斯含量的大量参数值,运用多元回归分析的数学模型,建立了煤层瓦斯含量预测的多元回归方程,并对方程及其系数的显著性作了检验,进行了学生化残差分析。通过此数学模型能够直观地反映煤层埋深、煤层...
  • 多元回归分析 这是统计学分析数据的一个方法 目的 目的是为了了解两个或多个变量之间是否相关,相关的方向与强度,并建立模型以便观察特定的变量,来预测研究者(我们)所感兴趣的变量。 思想 自变量与因变量之间...
  • 多元回归分析的心得(笔记) 通过一篇博客内的文章 对我最近帮老师做多元回归分析求解相关系数有很大帮助(从零开始涉猎) 文章内对我帮助最大的就是通过公式死算出来相关系数(这方面基本没有涉猎…所以当老师要求做时很...
  • 对不同参数与残余应力做多元回归分析,得到多元回归方程。通过有限元分析和实验验证多元回归方程的正确性,证明多元回归方法是减少不同参数下成形件残余应力的预测与实验时间、对既定参数残余应力评估的有效方法。
  • 第5章 多元回归分析: 最小二乘估计的渐近性质 摘要: 在第4章中我们讨论了基于分布假设的小样本的精确统计性质本章将讨论在没有分布假设前提下的大样本的渐近统计性质(asymptotic properties or large sample ...

空空如也

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多元回归分析