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  • 介绍了基带传输系统中的码间串扰的解决、奈奎斯特准则与奈奎斯特速率。

    奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究(篇二):无码间串扰与奈奎斯特准则

    写在前:

      本篇是《奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究》的篇二,基础知识部分。主要介绍了基带传输系统中的码间串扰的解决、奈奎斯特准则与奈奎斯特速率。本系列文章的篇一:什么是码间串扰介绍了码间串扰的基本概念和原理

      为了最好地传输数字信号,应该保证接收时没有码间串扰,根据:什么是码间串扰可知需要传输系统总的冲击响应h(t)h(t)满足h(nTs)={h(0)=,   n=0                                      =h(0)δ[n]               10,                      n0h(nT_s)= \left\{ \begin{array}{ll}h(0)=常数,\ \ \ n=0\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =h(0)\delta[n] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 式(1)\\0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\neq0\end{array} \right.
    即,h(t)h(t)的抽样序列是数字冲激序列δ[n]\delta[n](这里不妨考虑归一化后的h(t)h(t))。

      式(1)这一条件是数字基带传输系统无码间串扰的充要条件,它也可以用传输系统总的频率响应H(f)H(f)(从频域上)来表述,被称为奈奎斯特(Nyquist)准则。
    奈奎斯特准则:
      定理(Nyquist准则)  数字基带传输系统无码间串扰的充要条件是式(1),其频域形式为k=H(tk/Ts)=                         2\sum_{k=-\infty}^\infty H(t-k/T_s)=常数\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 式(2)
    其中Rs=1/TsR_s=1/T_s,即码元速率,于是该定理又有形式k=H(tkRs)=\sum_{k=-\infty}^\infty H(t-k\cdot R_s)=常数

      证明  根据前面ISI的分析,这一结论的时域部分是明显的,而频域部分可以如下说明。

    F[n=δ(tnTs)]=1Tsk=δ(fk/Ts)F[δ[n]]=1\mathcal{F}\bigg[\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-nT_s)\bigg]=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(f-k/T_s),\mathcal{F}\big[\delta[n] \big]=1
    h(nTs)=h(t)n=δ(tnTs)H(f)[1Tsk=δ(fk/Ts)]=1Tsk=H(fk/Ts)h(nT_s)=h(t)\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT_s)\longleftrightarrow H(f)\ast\bigg[\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(f-k/T_s)\bigg]=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty H(f-k/T_s)
    根据式(1)可得:1Tsk=H(fk/Ts)=h(0)\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty H(f-k/T_s)=h(0)(常数)
    于是定理得证。

      Nyquist准则的含义是:判断任何信道是否含有ISI的有效方法是计算并观察k=H(fkRs)\sum_{k=-\infty}^\infty H(f-k\cdot R_s)是否为常数。由于它是H(f)H(f)RsR_s周期重复的结果,一定是周期为RsR_s的函数,因此,只需观察它在(Rs/2Rs/2)(-R_s/2,R_s/2)上是否为常数就可以做出判断。
    例题
    例题解答

      现在我们讨论一下基带信道的无码间串扰。由于基带信道是带限(低通)的,于是传输系统的频响函数也是带限的。假定H(f)H(f)的带宽为WW,传输系统欲以Rs=1/TsR_s=1/T_s的码率通过它传输数字序列,依据奈奎斯特准则,会出现下面三种情况:
    在这里插入图片描述

    1 k=H(tkRs)图1\ 带限信道\sum_{k=-\infty}^\infty H(t-k\cdot R_s)
      (1)Rs>2WR_s>2W:如图1.(a)所示,将H(f)H(f)按周期RsR_s重复后根本无法形成常数频谱,因此,该系统无法满足奈奎斯特准则,接收中一定存在码间串扰;

      (2)Rs=2WR_s=2W:如图1.(b)所示,当且仅当H(f)H(f)正好为Rs/2R_s/2的理想LPF(理想低通滤波器)时,它按RsR_s周期重复后恰好可构成常数频谱。因此,无码间串扰接收的充要条件为H(f)H(f)是如下的理想LPFH(f)={,   fRs                                                                 30,         f>RsH(f)= \left\{ \begin{array}{ll}常数,\ \ \ |f|\leqslant R_s\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 式(3)\\0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ |f|>R_s\end{array} \right.

      (3)Rs<2WR_s<2W:如图1.(c)所示,这时,有可能找到某些合适的H(f)H(f),周期重复时满足奈奎斯特准则,从而保证接收时无码间串扰。

      由上面的讨论可以立即得到一个简明的关系式,在无码间串扰的条件下必有:Rs2WR_s\leqslant2W

      在关于理想LPF的码率的介绍中,我的老师比较严谨地补充到:理想LPF的码率上限就是2W2W,当码率低于2W2W时,有可能满足无码间串扰,就是说有的速率可以有的速率不可以,具体条件他尚未探究过,有兴趣可以自行探究。

      关于上面这一段话我产生了疑惑和思考:理想低通滤波器的码率存在着Rs max=2WR_{s\ \max}=2W的限制让我在常识上很容易接受,但是却又有Rs<2WR_s<2W不一定满足无码间串扰的意思。按照我自己本来的直觉既然码率有上限,那么当码率低于这个上限就应该满足无码间串扰了;就像存在一个固定容量的单车道(类比理想低通信道,即理想LPF),每前后两辆车(类比码元)存在着安全距离(最小传输时间间隔,类比TsT_s),车与车之间可以按照任意大过安全距离的距离行驶,只是信道的传输效率不同而已。不过,抽样判决得到的序列又确实与抽样时间间隔有关,那码元速率(也即码元间隔)在低于极限时也确实应该存在着限制。

      那么,对于理想LPF的码元速率究竟有着具体怎样的形式和限制呢?我们就用已经证明的奈奎斯特定理进行进一步的探究吧!参见《奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究》的篇三,理想低通滤波器的可行码元速率探究

      注:本篇中的部分内容和图例参考了李晓峰主编的《通信原理》

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  • 文章目录奈奎斯特准则香农公式 奈奎斯特准则 香农公式

    奈奎斯特准则

    香农公式

    1584790892(1).png

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  • 介绍AD采样系统设计时如何使用奈奎斯特准则,对初学者理论联系实际有较大帮助。
  • 该文献详细讲解了奈奎斯特准则对数据采样系统设计的意义,并系统分析了相关性
  • 通信原理中介绍信道容量时,经常会碰到两个公式:奈奎斯特准则和香农公式。前者在理想情况,后者在有噪声情况下。它们看起来很像,但始终没想到一个直观的方式联系在一起。为什么带宽越大就能传输越多信号?香农公式...

    一、问题引出

    通信原理中介绍信道容量时,经常会碰到两个公式:奈奎斯特准则和香农公式。前者在理想情况,后者在有噪声情况下。它们看起来很像,但始终没想到一个直观的方式联系在一起。为什么带宽越大就能传输越多信号?香农公式如何推导的?

    虽然网上有很多解释,但多停留在应用层面,我希望了解这些公式到底时如何来的,花了很多时间找资料并思考,终于有了一个比较清晰的图像,希望和大家共勉。

    二、奈奎斯特准则

    奈奎斯特(Nyquist)推导出理想低通信道下的最高码元传输速率为:
    Bmax=2W B_{max}=2W
    信息最高传输速率为:
    Cmax=Bmax×log2(M)=2Wlog2(M) C_{max}=B_{max}\times \log_2(M)=2W\log_2(M)
    W理想低通的带宽,M为信号电平进制数,最简单的例子是码元只有0,1两个状态,一个码元包含1bit信息量。也可以是码元电平信号通过DA转换(数模转换器)成0,1/4,1/2,3/4四种电平,那么一个码元包含的信息量就是log2(4)=2bit\log_2 (4)=2 bit

    但我们知道高频电磁波可以通过解调将频谱搬移到低通区。以GSM为例,它的某一个中心频率是890.2MHz,他的频率范围是[890.1,890.3]MHz,中间共200kHz,这就是W带宽,即频谱宽度。

    用奈奎斯特准则可以计算,GSM这个频段的最高码元速率为:Bmax=2×200k=4×105BaudB_{max}=2\times 200k=4\times 10^5Baud ,如果电平进制数为4,则理想信道容量为Cmax=Bmax×log2(4)=8×105b/sC_{max}=B_{max}\times \log_2(4)=8\times 10^5b/s

    奈奎斯特准则半定量解释

    那么这到底为什么是这样呢?如果拥有200kHz的带宽,我们具体如何发送码元(电平信号)才能达到最大传输速率呢?这个问题也困扰了自己很久,网上的解答一般是用采样定理搪塞过去,思考了很久,终于有了答案。

    假设我们要发送1/4码元的很窄脉冲,该脉冲在频域上是很宽的(δ(t)\delta(t)做傅里叶变换为1,分布整个频段),但我们这里有200kHz的频带限制,所以相当于窄脉冲再通过一个200kHz的低通滤波器,这样信号在时域会展宽,数学形式是sinc函数:
    码元低通滤波后的频谱和时域波形

    也就是说我们发送一系列码元的时域波形是右图形态在不同时间上的叠加,如果发送码元的时间过于靠近,比如小于1/2W=1/400k=0.0025ms,那么两个尖峰会发生混叠,造成信号失真。因此,码元的发送需要一定间隔,间隔时间是1/2W,也就是最高转输速率为Bmax=2WB_{max}=2W,这是由有限带宽决定的,如果带宽越大,则传输码元的信号会越尖锐,信号越容易分辨,两信号间隔时间可以越短,码元传输速率就越快。

    5G通信之所以能够比4G快10倍,也是这个原因。4G的中心频段约2000MHz,频谱偏移1%的带宽资源为20M([1990,2010]MHz),5G的商用中心频率为28GHz,频谱偏移1%的带宽资源为280M。也就是5G发送的信号码元的峰值更尖锐,码元间的时间间隔更短,每秒传输的码元更多,速率自然更快。

    三、香农公式

    高斯白噪声干扰的信道中,信息传输的速率最大是:
    Cmax=Wlog2(1+S/N) C_{max}=W\log_2(1+S/N)
    W是信道带宽,S是信源的平均功率,N是信道内高斯噪声功率。对比奈奎斯特公式,两者都有带宽,都有log,但是该怎么联系在一起呢?

    香农公式的半定量解释

    假设信源的电平信号为VSV_S,平均功率为S,信道噪声电平为VNV_N,平均功率N,接收电平信号为VTV_T,平均功率为P。因为噪声信号和信源信号不相关,可以得到:
    P=S+NVT2=VS2+VN2 P=S+N \rightarrow V_T^2=V_S^2+V_N^2
    接下来是很关键一步,接收到的电平最大电平为1V,信道存在1/16V大小的随机噪声电压,那么我们最多可以把信号分“多细”才不至于被信号干扰呢,如果分0,1两个电平,那么1/16的噪声电压显然不会干扰信号。如果信号分成32份,那么噪声相对于1/32就足够大,以至于我们不能分清1/32V的电压是0电压干扰后的结果(这里的干扰电压是平均值),还是2/32电压干扰后的结果,所以直观上看,我们最多只能将信号分成16份,也就是M=16,这样由奈奎斯特准则可以计算最大信道容量Cmax=2Wlog2(16)=8WC_{max}=2W\log_2(16)=8W

    更加一般的结论就是,信号平均电平为VTV_T,干扰平均电平为VNV_N时,信号的进制数M最大为:
    Mmax=VT/VN=VT2/VN2=1+VS2/VN2=1+S/N M_{max}=V_T/V_N=\sqrt{V_T^2/V_N^2}=\sqrt{1+V_S^2/V_N^2}=\sqrt{ 1+S/N}
    带入奈奎斯特公式有:
    Cmax=2Wlog2(M)=Wlog2(1+S/N) C_{max}=2W\log_2(M)=W\log_2(1+S/N)
    就是香农公式!中间有一些不严谨的地方,但其直观图像就是那么简单。

    可以看出,噪声限制了信号不能分“太细”,否则会被噪声淹没,不可分辨。

    四、总结

    奈奎斯特准则和香农公式实际上是从带宽和噪声两个方面来描述其对信道容量的影响。如果带宽无限,无噪声,那么码元可以非常高频得发送,码元可以分成非常细,单个码元能描述的信息量可以趋于无穷。

    但是现实上,带宽是有限的,码元发送的间隔被带宽限制了,其发送速率有上限,这就是奈奎斯特准则。其次,信道肯定是有噪声的,进制数不可能无限细分,最细只能是噪声电压的量级,每个码元携带的信息量也是有上限的,这可以导出香农公式。

    参考资料

    Shannon’s Equation
    《深入浅出理解通信原理》
    《信号与系统》第二版 奥本海姆

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        (还是从上面的框图说起) 系统的输出的信号y(t)为:

    将它经过我们的DA采样后就变为了:



    上面的式子就是无码间干扰的奈奎斯特准则对应的时域条件

    时域的奈奎斯特准则对应的频域条件为:

    为了满足这种的准则,(1)频谱不重叠情况:如果传输速率为奈奎斯特速率(1/Ts = 2W)


    从上式可以看出,这样的滤波器就是理想底通滤波器,而它却又偏偏是非因果,物理不可实现的。

    (2)频谱可重叠情况:为了解决这个问题,升余弦滤波器光荣的接下了这个任务,因为它完美的符合要求:

     

    此时,升余弦滤波器的冲击响应表达式为:


    下面是它的频率响应和时域冲击响应图:


     

     




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