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  • 【本文为了赚点知乎盐值而写, 供各位同学一笑 :P】本文将介绍并总结矩阵初等变换的一系列的解题应用包括,内容全部整理自本人本科期间的学习笔,对于正在学习高等代数的同学解题应该很有用。本文主要内容 Contents...

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    【本文为了赚点知乎盐值而写, 供各位同学一笑 :P】

    本文将介绍并总结矩阵初等变换的一系列的解题应用包括,内容全部整理自本人本科期间的学习笔,对于正在学习高等代数的同学解题应该很有用。

    本文主要内容 Contents

    • 应用初等变换求逆矩阵
    • 应用初等变换求解线性方程组
    • 化二次型为标准型
    • 求矩阵的特征根与特征向量
    • 向量组的标准正交化 & 矩阵的正交分解

    矩阵的初等变换

    我们先回顾一下,什么是矩阵的初等变换

    • 对于数量矩阵(元素为数字),其初等变换是指以下三种行(或列)的变换: 1. 某一行(列)乘上一个非零的数
      ; 2. 交换某两行(列); 3. 把某一行(列)的
      倍加到另一行(列)上。
    • 对于多项式矩阵(元素为多项式),其初等变换是类似定义的,是指以下三种行(或列)的变换: 1. 某一行(列)乘上一个零次多项式; 2. 交换某两行(列); 3. 把某一行(列)乘上多项式
      并加到另一行(列)上。

    这三类初等变换都对应着相应的初等(多项式)矩阵,显然,左乘初等矩阵等价于对原矩阵的行向量进行操作,右乘初等矩阵等价于对原矩阵的列向量进行操作(“左行右列”)。

    下面我们就应用初等变换这一傻瓜操作来解决一系列的问题。

    应用初等变换求逆矩阵

    对于一个可逆矩阵

    ,通常利用
    这个公式进行求解,对于维数比较大的矩阵利用这种方法就很痛苦了。我们现在按照如下方法进行操作:
    为可逆的
    阶矩阵, 置
    ,这里
    阶单位阵;对矩阵
    施行初等行变换,直到矩阵变为
    . 此时,矩阵
    正是所求的矩阵
    的逆矩阵。

    当然,也可以置

    ,然后做列变换。不过个人比较推荐行变换这种,因为比较省纸233333...

    下面随手举个栗子:

    【栗子 1】 求

    的逆矩阵。

    [Solution:]

    故而,

    .

    应用初等变换求解线性方程组

    关于线性方程组

    求解的问题,先回顾一些基本的知识。
    • 【齐次线性方程组解的情况】考虑方程组
      对应的矩阵
      , 当
      时方程组有非零解。
    • 【非齐次线性方程组解的情况】考虑矩阵的增广矩阵
      , 当
      时,方程组有解,其中
      时有唯一解,
      时有无穷多个解。
    • 【非齐次线性方程组解的构成】设
      为方程组的导出组
      的解空间,
      是方程组的一个特解, 则方程组的解空间
      .

    现在用矩阵的初等变换给出齐次线性方程组基础解系的算法.

    对于方程组
    对应的矩阵
    , 设
    ,考虑矩阵
    ,对其做初等列变换,变成矩阵
    其中,
    子阵的列向量构成方程组的一个基础解系。

    如果想省纸的话也可以对矩阵

    做行变换,得到
    ,此时
    子阵的行向量构成方程组的一个基础解系。

    进一步的,用矩阵的初等变换给出非齐次线性方程组基础解系的算法如下:

    方程组
    矩阵为
    , 设
    ,考虑矩阵
    }$,对其做初等变换,
    其中,初等行变换只能对前
    行操作,即只能对
    操作,而对最后一列,其初等列变换只能是其他列的倍数加到这一列。
    经过这一系列的操作后, 可以变成以下矩阵
    其中,
    子阵若为
    , 则方程组有解,
    的列向量构成方程组导出组的一个基础解系,而
    为方程组的一个特解。由此可以立刻写出方程组的通解。

    下面再随手举个栗子:

    【栗子 2】求以下方程组的通解

    .

    [Solution]:

    故而,以上方程组的特解为
    , 构成基础解系的两个向量为
    ,通解就是
    .

    化二次型为标准型

    数域

    上的二次型,是指如下多项式:

    其中

    ,而
    是一个对称矩阵.

    二次型的标准型就是只含有二次项的式子

    .

    使用初等变换化二次型为其标准型的的具体操作如下:

    对于二次型
    , 考虑矩阵
    , 对该矩阵的前
    行只做初等行变换,每做一次初等行变换,随之对该矩阵的前
    列做对称的初等列变换(比如交换第
    两行,随之再交换
    两列),最终矩阵可以化为以下形式
    其中
    就是通过非退化线性变换
    得到的标准型。

    这个就不举例子了,敲公式眼睛都瞎了...

    求矩阵的特征根与特征向量

    求一个 $n$ 阶复方阵的特征根对应的特征向量,可以按照以下方式来做:

    考察矩阵
    ,对该多项式矩阵进行一系列的初等变换,
    其中初等行变换只对前
    行施行
    ,最终将
    化为以下形状
    并且满足
    , 而整个矩阵
    化为
    。,而这里
    所有互异的根,就是行列式全部的特征值, 矩阵
    的所有列,代入与之对应的特征值
    ,得到的就是相应特征值的特征向量。

    向量组的标准正交化 & 矩阵的正交分解

    给出向量空间

    上的一个线性无关的向量组
    (构成一个
    阶矩阵
    ),通常我们利用
    Schmidt 正交化的方法来将其变为一组标准正交向量
    (构成一个
    阶矩阵
    )。

    而从这个过程,可以知道,一定存在主对角线元素为正的上三角矩阵

    ,使得
    成立。当
    时,矩阵
    是可逆的,有
    ,这就是可逆矩阵的
    正交三角分解

    我们按照以下方法来做这件事:

    考虑矩阵
    ,对该矩阵只进行一些
    第三类初等列变换
    ,其中
    ,即将前面某列乘上一个倍数加到后面某列的操作。使得 矩阵化为如下形式
    其中,
    是对角线为正数的下三角矩阵。于是矩阵
    ,而
    ,其全部列向量就构成了我们所求的这一组标准正交基。

    下面举一个栗子:

    【栗子 4】将

    中的向量
    标准正交化,并给出变换矩阵。

    [Solution:]

    于是,

    (不打了,敲公式好累。)

    矩阵

    的全部列向量就是所求标准正交化后的向量组。
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  • 核心知识点:高斯消元法,矩阵的初等变换高斯消元法及矩阵初等变换(上)https://www.zhihu.com/video/1217948166714392576大家好,我是如斯学院的nicky老师,今天带大家一起学习高斯消元法及矩阵初等变换。...

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    核心知识点:高斯消元法,矩阵的初等变换

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    高斯消元法及矩阵初等变换(上)https://www.zhihu.com/video/1217948166714392576

    大家好,我是如斯学院的nicky老师,今天带大家一起学习高斯消元法及矩阵初等变换。相信大家对n元一次方程组的求解都已经轻车熟路,下面我们将从高斯消元法解方程组开始介绍矩阵的定义、初等变换、运算法则及其在方程组求解中的具体应用。

    这是一个普通的三元一次方程组,

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    未知数x,y,z用什么符号表示并不重要,因此英国数学家阿瑟·凯莱指出,我们可以仅把方程组中未知数系数提取出来,便可以简洁的完成方程组的求解。这些由数字阵列组成的集合我们将其称为“矩阵”,方程组中由未知数系数组成的矩阵即是此方程组的“系数矩阵”。

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    在此基础上,将等号后的常数加入系数矩阵最后一列,便组成了“增广矩阵”,

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    为了方便描述,我们给这个增广矩阵命名为矩阵F,F中的任意元素都可以通过它的行和列唯一确定,如f23表示第2行第3列的元素3。

    下面我们用高斯消元法求解这个方程组,你可以通过对比方程式和矩阵两种表达形式的不同,领略矩阵表达的优雅和简洁。

    将方程一左右两边同时乘以-2与方程二相加,再将方程一左右两边同时乘以-1与方程三相加,这样我们便消去了方程二和方程三中的未知数x,

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    接下来将方程三与方程二相加,交换方程二和方程三的位置,用1/3乘以方程三的左右两边。

    1743910b34d735556390e4c00f15adb2.png

    此时,方程组的未知数系数呈现阶梯形状,我们便可以通过从下往上将已知的未知数数值依次回代,求得方程组的解。

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    下面让我们用一个更加通用的方程组形式回顾刚才运用高斯消元法求解的过程。这是任意一个三元一次方程组

    8219dbef4cfd567e369ef12a0b4556ae.png

    首先将方程一的-d1/a1倍和-g1/a1倍分别与方程二和方程三相加,消去方程二和方程三中含有未知数x的项,

    3cb68c7fe41cfc1e8ddf31355c4122fb.png

    再将方程二的-h2/e2倍与方程三相加,消去方程三中含有未知数y的项,通过这两步向下消元,使方程组未知数系数呈现阶梯形状,

    cfd155bfe3f10bd6e091baf5b1e4ffac.png

    再从方程三开始将已知的未知数数值依次回代,便能求得任意三元一次方程组的解。

    同理,当求解一个任意的n元一次方程组时,我们只需要运用高斯消元法思想通过类似的向下消元和向上回代过程即可完成求解。

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    让我们重新回到刚才三元一次方程组的例子,将焦点放在增广矩阵如何通过矩阵变换表达这个方程组的求解过程。我们发现,向下消元的过程中,主要运用了3种行变换,将一行的倍数与另一行相加的倍加变换,将某行乘以一个非0实数的倍乘变换,以及交换任意两行位置的对换变换,通过一系列的向下消元过程,将矩阵化解为下三角元素全部为0的阶梯形矩阵。再通过本质为倍加变换的回代过程,将矩阵上三角元素全部化为0。这样,方程组的解同样可以通过矩阵形式显示表达 。对每行施加的倍加变换、倍乘变换和对换变换也被称为矩阵的初等行变换,它们是求解矩阵方程的基本方法。

    至此,我们已经成功建立起了方程组与矩阵方程的直观联系,但矩阵对于方程组的求解意义远不止简化表达形式这么简单。我们发现,在运用方程组形式求解未知数的过程中,很难用一种直观便捷的方式将整个过程记录下来,下一课的内容,你将领略到矩阵在这个领域的巨大优势。

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  • 005 逆阵求法方法二:矩阵初等变换

    005 逆阵求法方法二:矩阵初等变换法





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  • 3.1矩阵初等变换1. 解线性方程组的矩阵转化设有方程组记那么对该方程组有三种等价变换:(1) 交换方程次序;(2) 用不等于的数乘某个方程;(3) 一个方程加上另一个方程的倍.可以等价转化为增广矩阵三种行变换.2. 矩阵...

    3.1矩阵初等变换

    1. 解线性方程组的矩阵转化

    设有方程组那么对该方程组有三种等价变换:

    (1) 交换方程次序;

    (2) 用不等于的数乘某个方程;

    (3) 一个方程加上另一个方程的倍.

    可以等价转化为增广矩阵三种行变换.

    2. 矩阵初等行变换与列变换的定义

    下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

    (1) 对调两行(对调两行,记作);

    (2) 以数乘以某一行的所有元素(第行乘记作);

    (3) 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上,记作).

    同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“”换成“”).

    初等变换:

    矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换.

    3. 初等变换的可逆性

    初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,具体为:

    逆变换

    逆变换

    逆变换

    4. 矩阵等价定义及性质

    矩阵等价:

    如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵就称矩阵等价,记作

    等价关系的性质:

    (1)反身性:

    (2)对称性: 若,则

    (3)传递性: 若

    5. 行阶梯矩阵的定义

    满足如下条件的矩阵称为行阶梯矩阵:

    (1)可划出一条阶梯线,线的下方全为零;

    (2)每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元.

    6. 行最简形

    行最简形矩阵:

    若行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元为且这些非零元所在的列的其他元素都为零, 则称为行最简形矩阵.

    定理

    对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换把变为行最简形矩阵.

    7. 标准形

    矩阵标准形的定义

    矩阵总可经过初等变换化为标准形此标准形由 三个数唯一确定,其中就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.

    说明:所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类,标准形是这个等价类中最简单的矩阵.

    8. 例题

    求矩阵的等价标准形.

    课堂索引:08 第三章 初等变换(1)
    3.1 矩阵初等变换

    例题答案

    所求等价标准形为

    视频讲解

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    学习讨论QQ群:8691615677a1d6329-bc4a-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg

    课程地址:https://t.1yb.co/dfSI

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