u8 j;
float S;//方差
for(j=0;j<=9;j++)
{
}
for(j=0;j<=9;j++)
{
}
S/=10;

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• 方差计算公式方差迭代计算过程推导术语约定递推公式过程推导术语约定(1)En=1n∑i=1nxiE_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \tag{1}En​=n1​i=1∑n​xi​(1)(2)F(n)=∑i=1n(x2−En)F(n) = \sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)}...

方差计算公式

方差迭代计算过程推导术语约定

递推公式

过程推导

术语约定

(1)En=1n∑i=1nxi

E_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \tag{1}En​=n1​i=1∑n​xi​(1)

(2)F(n)=∑i=1n(x2−En)

F(n) = \sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} \tag{2}F(n)=i=1∑n​(x2−En​)(2)

(3)V(n)=1n∑i=1n(x2−En)=F(n)n

V(n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} = \frac{F(n)}{n} \tag{3}V(n)=n1​i=1∑n​(x2−En​)=nF(n)​(3)

递推公式

F(n)=∑i=1n(xi2−En)=∑i=1nxi2−2∑i=1nxiEn+nEn2由En=1n∑i=1nxi可导出，nEn=∑i=1nxi,故

F(n) = \sum_{i=1}^ {n}{(x_i^ 2-E_n)} = \sum_{i=1}^ {n}{x_i^ 2}-2\sum_{i=1}^ {n}{x_iE_n}+nE_n^2 \\

由E_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^ {n}x_i可导出，nE_n = \sum_{i=1}^{n}x_i,故F(n)=i=1∑n​(xi2​−En​)=i=1∑n​xi2​−2i=1∑n​xi​En​+nEn2​由En​=n1​i=1∑n​xi​可导出，nEn​=i=1∑n​xi​,故

(4)F(n)=∑i=1nxi2−2∑i=1nxiEn+nEn2=∑i=1nxi2−2nEn2+nEn2=∑i=1nxi2−nEn2

F(n) = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2}-2\sum_{i=1}^{n}{x_iE_n}+nE_n^2 = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - 2nE_n^2 + nE_n^2 = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - nE_n^2 \tag{4}F(n)=i=1∑n​xi2​−2i=1∑n​xi​En​+nEn2​=i=1∑n​xi2​−2nEn2​+nEn2​=i=1∑n​xi2​−nEn2​(4)

另外,平均数的递推公式有

(5)nEn=(n−1)En−1+xn

nE_n = (n-1)E_{n-1} + x_n \tag{5}nEn​=(n−1)En−1​+xn​(5)

过程推导

F(n)−F(n−1)=(∑i=1nxi2−nEn2)−(∑i=1n−1xi2−(n−1)En−12)=xn2−nEn2+(n−1)En−12

\begin{aligned}

F(n)-F(n-1) &= ( \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - nE_n^2)-( \sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2} -( n-1)E_{n-1}^2) \\

&=x_n^2-nE_n^2+(n-1)E_{n-1}^2 \\

\end{aligned}F(n)−F(n−1)​=(i=1∑n​xi2​−nEn2​)−(i=1∑n−1​xi2​−(n−1)En−12​)=xn2​−nEn2​+(n−1)En−12​​

由(5)知，nEn=(n−1)En−1+xnnE_n = (n-1)E_{n-1} + x_nnEn​=(n−1)En−1​+xn​及(n−1)En−1=nEn−xn(n-1)E_{n-1} = nE_n - x_n(n−1)En−1​=nEn​−xn​，则有：

F(n)−F(n−1)=xn2−nEn2+(n−1)En−12=xn2−En[(n−1)En−1+xn]+En−1(nEn−xn)=xn2−nEnEn−1+EnEn−1−Enxn+nEn−1En−En−1xn=xn2+EnEn−1−Enxn−En−1xn=(xn−En)(xn−En−1)

\begin{aligned}

F(n)-F(n-1) &=x_n^2-nE_n^2+(n-1)E_{n-1}^2 \\

&=x_n^2-E_n[(n-1)E_{n-1}+x_n]+E_{n-1}(nE_n-x_n) \\

&= x_n^2-nE_nE_{n-1}+E_nE_{n-1}-E_nx_n+nE_{n-1}E_n-E_{n-1}x_n \\

&=x_n^2+E_nE_{n-1}-E_nx_n-E_{n-1}x_n \\

&=(x_n-E_n)(x_n-E_{n-1})

\end{aligned}F(n)−F(n−1)​=xn2​−nEn2​+(n−1)En−12​=xn2​−En​[(n−1)En−1​+xn​]+En−1​(nEn​−xn​)=xn2​−nEn​En−1​+En​En−1​−En​xn​+nEn−1​En​−En−1​xn​=xn2​+En​En−1​−En​xn​−En−1​xn​=(xn​−En​)(xn​−En−1​)​

显然有F(1)=0F(1)=0F(1)=0

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# 方差计算公式

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$S^2=\frac 1n[(x_1-\overline x)^2+(x_2-\overline x)^2+...+(x_3-\overline x)^2]$

# 方差计算公式变形

$S^2=\frac 1n[(x_1^2+\overline x^2-2x_1\overline x)+(x_2^2+\overline x^2-2x_2\overline x)+...+(x_n^2+\overline x^2-2x_n\overline x)]=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)+n\overline x^2-2\overline x(x_1+x_2+...+x_n)]=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)+n\overline x^2-2n\overline x^2]=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-n\overline x^2]=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]$

也就是：
$S^2=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]$

# 方差计算公式变形的应用

这算是机器学习中常用的trick。树模型中会经常用到，一下两个场景是我自己实现算法过程中用到的。

## 增量的计算样本集的方差

最近在调研增量学习的相关内容，其中heoffding tree 是一个用于学习流的数结构，也就是数据集不再是一个完整的集合进行批处理。而是以流的形式一部分一部分加入数中实现训练。

树的分裂过程需要计算样本的方差来求出最大增益。
而当数位变成的形式，无法整个计算平均值或者相加，需要对上述公式进行变形。这算是机器学习中常用的trick。

$S^2=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]$
树的节点中存储之前所有数据的和以及平法和，后加入的数据只需利用上述公式就可以更新平法差。

## 直方图加速法

实现传统树模型时，计算最佳分裂点时需要遍历所有属性的所有值来确定如何分裂信息增益最大，遍历的每次都需要重新分割，重新计算方差耗时很长。使用$S^2=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]$需要反复求分割的左右两部分平均值。

使用变形公式
$S^2=\frac 1n[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-\frac 1n(x_1+x_2+...+x_n)^2]$遍历每个属性时提前按照样本的该属性值排序，计算好所样本label值和平法，直方图的形式存储，遍历该属性只需要切割直方图就可以左右部分的label和平法求和，带入变形公式，求分割两部分的方差只需计算加法，无需反复计算平均值。节点分裂速度可以提升好几倍。

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## 输入格式：

输入首先在第一行给出一个正整数 N（≤10
​4
​​ ），随后一行给出 N 个正整数。所有数字都不超过 1000，同行数字以空格分隔。

## 输出格式：

输出这N个数的均方差，要求固定精度输出小数点后5位。

## 输入样例 1：

10
6 3 7 1 4 8 2 9 11 5

3.03974

1
2

## 输出样例 2：

0.00000

#include <iostream>
#include<string>
#include"math.h"
#include <complex>
#include"iomanip"

using namespace std;

int main()
{
int size;
double sum = 0,avg = 0, result = 0,temp;
cin >> size;
int* N_array = new int[size]();
for (int i = 0; i < size; i++) {
cin >> N_array[i];
sum += N_array[i];
}
avg = double(sum / size);
for (int j = 0; j < size; j++)
{
temp = (N_array[j] - avg);
result += temp * temp;
}
result = sqrt(result/size);
cout << fixed << setprecision(5) << result;
delete [ ] N_array;
return 0;
}

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• ## 方差迭代计算公式

千次阅读 2019-05-24 09:08:34
方差迭代计算过程推导术语约定递推公式过程推导 术语约定 (1)En=1n∑i=1nxi E_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \tag{1} En​=n1​i=1∑n​xi​(1) (2)F(n)=∑i=1n(x2−En) F(n) = \sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} \tag{...
• 根据光纤陀螺仪输出的数据，利用allan方差计算公式进行处理运算，利用matlab进行编程
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